SO(3)とSU(2)

$U=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\mathrm{SU}(2)$ とする。$U^\dagger U=I_2$ は、行ベクトル $(a,b)$、$(c,d)$ が $\mathbb{C}^2$ の標準Hermite内積について正規直交であることを意味する。$(a,b)$ に直交する単位ベクトルは $\lambda(-\bar b,\bar a)$（$|\lambda|=1$）の形に限られる（$\mathbb{C}^2$ で $(a,b)$ の直交補空間は 1 次元で $(-\bar b,\bar a)$ を含む）。このとき $\det U=\lambda(|a|^2+|b|^2)=\lambda$ なので、$\det U=1$ から $\lambda=1$ であり $U=U(a,b)$ である。逆に $|a|^2+|b|^2=1$ なら $U(a,b)$ の行は正規直交で行列式は $1$ である。$(a,b)$ は $U(a,b)$ の第 1 行なので一意である。積の公式は直接計算による：第 1 行は $(ac-b\bar d,\ ad+b\bar c)$ であり、第 2 行 $(-\bar b c-\bar a\bar d,\ -\bar b d+\bar a\bar c)$ はその成分の $(-\overline{\,\cdot\,},\overline{\,\cdot\,})$ に一致する。$(a,b)\mapsto U(a,b)$ は $S^3$ から $M_2(\mathbb{C})$ への連続な単射で、逆写像は第 1 行を読む連続写像なので、像 $\mathrm{SU}(2)$ の上への同相写像である。$\square$

直接の行列計算で $(\sigma^1)^2=(\sigma^2)^2=(\sigma^3)^2=I_2$、$\sigma^1\sigma^2=i\sigma^3$、$\sigma^2\sigma^3=i\sigma^1$、$\sigma^3\sigma^1=i\sigma^2$ が確かめられ、逆順の積 $\sigma^2\sigma^1$ 等はそれぞれ符号を変えたものになる。これで九つの積が定まり、上の式になる。$\operatorname{tr}\sigma^k=0$、$\operatorname{tr}I_2=2$ から $\frac12\operatorname{tr}(\sigma^i\sigma^j)=\delta_{ij}$ である。三つの積は $\sigma^i\sigma^j\sigma^k=\delta_{ij}\sigma^k+i\sum_l\epsilon_{ijl}\sigma^l\sigma^k$ であり、トレースをとると $\sigma^k$ の項は消え、$\sigma^l\sigma^k$ のトレースは $2\delta_{lk}$ なので $\operatorname{tr}(\sigma^i\sigma^j\sigma^k)=2i\epsilon_{ijk}$ である。最後の式は $H(x)H(y)=\sum_{i,j}x_iy_j\sigma^i\sigma^j$ のトレースをとればよい。$\square$

$(UXU^\dagger)^\dagger=UX^\dagger U^\dagger=UXU^\dagger$、$\operatorname{tr}(UXU^\dagger)=\operatorname{tr}(XU^\dagger U)=\operatorname{tr}X=0$ なので、$X\mapsto UXU^\dagger$ は $\mathfrak{h}$ を $\mathfrak{h}$ に写す実線形写像であり、$X\mapsto U^\dagger XU$ が逆写像である。$x\mapsto H(x)$ が $\mathbb{R}^3\to\mathfrak{h}$ の線形同型なので、$\mathrm{Ad}(U)$ が一意に定まる。
直交性：lem-so3-su2-pauli-products の内積の式とトレースの巡回性から、
$${}^t\!(\mathrm{Ad}(U)x)\,(\mathrm{Ad}(U)y)=\tfrac12\operatorname{tr}\bigl(UH(x)U^\dagger UH(y)U^\dagger\bigr)=\tfrac12\operatorname{tr}(H(x)H(y))={}^t\!x\,y$$
なので ${}^t\!\mathrm{Ad}(U)\,\mathrm{Ad}(U)=I_3$ である。
行列式：$U\sigma^jU^\dagger=H(\mathrm{Ad}(U)e_j)=\sum_i\mathrm{Ad}(U)_{ij}\sigma^i$ である。ここで $\frac1{2i}\operatorname{tr}(\sigma^i\sigma^j\sigma^k)=\epsilon_{ijk}$ と行列式の定義（$\det A=\sum_{i,j,k}\epsilon_{ijk}A_{i1}A_{j2}A_{k3}$）から
$$\det\mathrm{Ad}(U)=\frac1{2i}\operatorname{tr}\bigl((U\sigma^1U^\dagger)(U\sigma^2U^\dagger)(U\sigma^3U^\dagger)\bigr)=\frac1{2i}\operatorname{tr}(U\sigma^1\sigma^2\sigma^3U^\dagger)=\frac1{2i}\operatorname{tr}(\sigma^1\sigma^2\sigma^3)=1$$
である。よって $\mathrm{Ad}(U)\in\mathrm{SO}(3)$ である。
準同型性：$UVH(x)(UV)^\dagger=U\bigl(VH(x)V^\dagger\bigr)U^\dagger=UH(\mathrm{Ad}(V)x)U^\dagger=H(\mathrm{Ad}(U)\mathrm{Ad}(V)x)$ である。$\mathrm{Ad}(I_2)=I_3$ は明らかである。
成分：$U\sigma^jU^\dagger=\sum_i\mathrm{Ad}(U)_{ij}\sigma^i$ の両辺に $\sigma^i$ を掛けてトレースをとれば $\mathrm{Ad}(U)_{ij}=\frac12\operatorname{tr}(\sigma^iU\sigma^jU^\dagger)$ であり、これは $U$ の成分とその複素共役の多項式、したがって $\operatorname{Re}a,\operatorname{Im}a,\operatorname{Re}b,\operatorname{Im}b$ の実多項式である。$\square$

$U^\dagger=\begin{pmatrix}\bar a&-b\\\bar b&a\end{pmatrix}$ を用いて三つの共役を計算すると
$$U\sigma^1U^\dagger=\begin{pmatrix}2\operatorname{Re}(a\bar b)&a^2-b^2\\\overline{a^2-b^2}&-2\operatorname{Re}(a\bar b)\end{pmatrix},\quad U\sigma^2U^\dagger=\begin{pmatrix}2\operatorname{Im}(a\bar b)&-i(a^2+b^2)\\i\,\overline{a^2+b^2}&-2\operatorname{Im}(a\bar b)\end{pmatrix},\quad U\sigma^3U^\dagger=\begin{pmatrix}|a|^2-|b|^2&-2ab\\-2\bar a\bar b&|b|^2-|a|^2\end{pmatrix}$$
となる。$H(y)$ の $(1,1)$ 成分は $y_3$、$(1,2)$ 成分は $y_1-iy_2$ なので、$U\sigma^jU^\dagger=H(y)$ を満たす $y$ が $\mathrm{Ad}(U)$ の第 $j$ 列である。$j=1$：$y_3=2\operatorname{Re}(a\bar b)$、$y_1-iy_2=a^2-b^2$ から $y_1=\operatorname{Re}(a^2-b^2)$、$y_2=-\operatorname{Im}(a^2-b^2)$。$j=2$：$y_1-iy_2=-i(a^2+b^2)$ から $y_1=\operatorname{Im}(a^2+b^2)$、$y_2=\operatorname{Re}(a^2+b^2)$、$y_3=2\operatorname{Im}(a\bar b)$。$j=3$：$y_1-iy_2=-2ab$ から $y_1=-2\operatorname{Re}(ab)$、$y_2=2\operatorname{Im}(ab)$、$y_3=|a|^2-|b|^2$。$\square$

$R$ の複素固有値 $\lambda$ と固有ベクトル $z\in\mathbb{C}^3\setminus\{0\}$ をとると、$R$ が実直交行列なので $\|Rz\|=\|z\|$（$\mathbb{C}^3$ の標準 Hermite ノルム）であり $|\lambda|=1$ である。実係数の特性多項式の非実根は共役対で現れ、その積は $|\lambda|^2=1$ なので、$\det R=1$ と合わせると残る実根は $1$ である。三つの根がすべて実なら各根は $\pm1$ で、積が $1$ なので少なくとも一つは $1$ である。よって $R$ は固有値 $1$ をもつ。$Rz=z$ を満たす $z\neq0$ の実部と虚部はともに $R$ で固定され、少なくとも一方は $0$ でないので、$Rv=v$ となる単位ベクトル $v\in\mathbb{R}^3$ がとれる。
$v=(\sin\beta\cos\alpha,\ \sin\beta\sin\alpha,\ \cos\beta)$ と極座標で書くと（$v=\pm e_3$ のときは $\alpha=0$ とする）、$Q:=R_3(\alpha)R_2(\beta)$ は $Qe_3=R_3(\alpha)(\sin\beta,0,\cos\beta)=v$ を満たす。$R':=Q^{-1}RQ\in\mathrm{SO}(3)$ は $R'e_3=Q^{-1}Rv=Q^{-1}v=e_3$ を満たすので、$R'$ は $e_3$ を固定し、直交性により $e_3$ の直交補空間 $\mathbb{R}e_1\oplus\mathbb{R}e_2$ も保つ。したがって $R'=\begin{pmatrix}A&0\\0&1\end{pmatrix}$、$A\in\mathrm{O}(2)$、$\det A=1$ であり、$A=\begin{pmatrix}\cos\gamma&-\sin\gamma\\\sin\gamma&\cos\gamma\end{pmatrix}$ の形なので $R'=R_3(\gamma)$ である。よって $R=QR_3(\gamma)Q^{-1}$ であり、$Q^{-1}=R_2(-\beta)R_3(-\alpha)$ から生成の主張が従う。$\square$

$c=\cos(\theta/2)$、$s=\sin(\theta/2)$ とおく。$U_1(\theta)=\begin{pmatrix}c&-is\\-is&c\end{pmatrix}=U(c,-is)$、$U_2(\theta)=\begin{pmatrix}c&-s\\s&c\end{pmatrix}=U(c,-s)$、$U_3(\theta)=\begin{pmatrix}e^{-i\theta/2}&0\\0&e^{i\theta/2}\end{pmatrix}=U(e^{-i\theta/2},0)$ であり、いずれも $|a|^2+|b|^2=c^2+s^2=1$ を満たすので $\mathrm{SU}(2)$ の元である。prop-so3-su2-nine-entries に代入する。$U_1(\theta)$：$a^2-b^2=c^2+s^2=1$、$a^2+b^2=c^2-s^2=\cos\theta$、$ab=-ics$、$a\bar b=ics$、$|a|^2-|b|^2=\cos\theta$ なので、$2\operatorname{Im}(ab)=-2cs=-\sin\theta$、$2\operatorname{Im}(a\bar b)=\sin\theta$ となり、成分は $R_1(\theta)$ に一致する。$U_2(\theta)$：$a^2-b^2=\cos\theta$、$a^2+b^2=1$、$ab=a\bar b=-cs$ なので $-2\operatorname{Re}(ab)=\sin\theta$、$2\operatorname{Re}(a\bar b)=-\sin\theta$ となり $R_2(\theta)$ に一致する。$U_3(\theta)$：$a^2=e^{-i\theta}$、$b=0$ なので、第 1 行は $(\cos\theta,-\sin\theta,0)$、第 2 行は $(\sin\theta,\cos\theta,0)$、第 3 行は $(0,0,1)$ となり $R_3(\theta)$ に一致する。
$\theta$ を動かせば各 $R_k(\theta)$ が像に入り、lem-so3-su2-axis-rotations により $\mathrm{SO}(3)$ はこれらで生成され、$\mathrm{Ad}$ は準同型なので、像は $\mathrm{SO}(3)$ 全体である。$\square$

$\mathrm{Ad}(U)=I_3$ とすると、$U$ はすべての $\sigma^k$ と可換である。$U\sigma^3=\sigma^3U$ から $U$ は対角行列であり、対角行列が $\sigma^1$ と可換であることから二つの対角成分は等しく、$U=\lambda I_2$ である。$\det U=\lambda^2=1$ から $\lambda=\pm1$ である。逆に $\pm I_2$ は共役作用を変えないので核に属する。$\mathrm{Ad}(U)=\mathrm{Ad}(V)$ は $\mathrm{Ad}(U^{-1}V)=I_3$、すなわち $U^{-1}V=\pm I_2$ と同値である。$U\neq-U$ なので各ファイバーはちょうど二元である。$\square$

lem-so3-su2-surjective と lem-so3-su2-kernel により $\overline{\mathrm{Ad}}$ は全単射な群準同型である。$\mathrm{Ad}$ が連続なので、商位相の定義により $\overline{\mathrm{Ad}}$ は連続である。定義域はコンパクト空間 $S^3\cong\mathrm{SU}(2)$ の連続像としてコンパクトであり、値域 $\mathrm{SO}(3)$ は $M_3(\mathbb{R})$ の部分空間として Hausdorff空間である。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射は同相写像である（閉集合の像はコンパクトゆえ閉なので、逆写像が連続になる。Mun00 §26 Theorem 26.6）。よって $\overline{\mathrm{Ad}}$ は同相写像である。
被覆写像であること。$\mathrm{SU}(2)$ の開集合 $O$ に対し $q^{-1}(q(O))=O\cup(-O)$ は開なので、$q$ は開写像である。$U\in\mathrm{SU}(2)$ に対し、$M_2(\mathbb{C})\cong\mathbb{C}^4$ の Euclid ノルムで $\|V-U\|<1$ となる $V\in\mathrm{SU}(2)$ の全体を $W$ とすると、$W$ は $U$ の開近傍で、$\|U\|=\sqrt{2}>1$ より $W\cap(-W)=\emptyset$ である（$V\in W\cap(-W)$ なら $2\sqrt2=\|2U\|\leq\|U-V\|+\|U+V\|<2$ となり矛盾）。$q(W)$ は $q(U)$ の開近傍で、$q^{-1}(q(W))=W\sqcup(-W)$ であり、$q|_W\colon W\to q(W)$ は連続な全単射（$W$ は $\pm$ の対を含まない）で開写像なので同相写像である。$-W$ についても同様である。$\overline{\mathrm{Ad}}$ が同相なので、$\mathrm{Ad}(U)$ の開近傍 $\overline{\mathrm{Ad}}(q(W))$ の逆像は $W\sqcup(-W)$ であり、各片は同相に写る。よって $\mathrm{Ad}$ は各ファイバーが二元の被覆写像である。
$\mathbb{RP}^3$ との同相。prop-so3-su2-parametrization の同相 $S^3\to\mathrm{SU}(2)$ は $(a,b)\mapsto U(a,b)$ であり、$-(a,b)\mapsto-U(a,b)$ なので、対蹠点の同一視 $S^3/\{\pm1\}=\mathbb{RP}^3$ と $\mathrm{SU}(2)/\{\pm I_2\}$ の同相を誘導する（商写像の普遍性を両方向に用いる）。これと $\overline{\mathrm{Ad}}$ を合成すれば $\mathbb{RP}^3\cong\mathrm{SO}(3)$ である。$\square$