錐(位相)

$F\colon S^{n-1}\times[0,1]\to D^n$ を $F(x,s):=(1-s)x$ で定める。$F$ は連続で、$\|F(x,s)\|=1-s\le1$ なので $D^n$ に値をとる。$s=1$ では $F(x,1)=0$ が $x$ によらないので、$F$ は $X\times\{1\}$ の各点で同じ値をとり、商写像の普遍性（商空間）により連続写像 $f\colon CS^{n-1}\to D^n$、$f([x,s])=(1-s)x$ が誘導される。
$f$ は全単射である。$y\in D^n\setminus\{0\}$ に対し、$(1-s)x=y$、$\|x\|=1$ となる $(x,s)$ は $s=1-\|y\|\in[0,1)$、$x=y/\|y\|$ に限るので、逆像はただ一点 $[y/\|y\|,\,1-\|y\|]$ である。$y=0$ に対し $(1-s)x=0$ は $\|x\|=1$ より $s=1$ を意味するので、逆像は頂点のみである。
$S^{n-1}\times[0,1]$ はコンパクト（コンパクト空間。$\mathbb{R}^n$ の有界閉集合と閉区間の直積であることと、Mun00 §26–§27 の Heine–Borelの定理と有限直積のコンパクト性による）であり、その連続像 $CS^{n-1}=q(S^{n-1}\times[0,1])$ もコンパクトである。$D^n$ は距離空間なのでHausdorff空間である。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続全単射は同相写像である（Mun00 Theorem 26.6）から、$f$ は同相写像である。頂点と底面の行き先は定義式から直ちに分かる。$\square$

1. $q$ は $X\times[0,1)$ 上で単射である（$s<1$ の点は他のどの点とも同一視されない）。$W\subset X\times[0,1)$ が $X\times[0,1]$ の開集合ならば、$W$ は $X\times\{1\}$ と交わらないので $q^{-1}(q(W))=W$ であり、商位相の定義により $q(W)$ は $CX$ の開集合である。とくに $W=X\times[0,1)$ として $CX\setminus\{v\}=q(X\times[0,1))$ は開集合であり、$q|_{X\times[0,1)}$ は連続な単射で開写像なので、像への同相写像である。
2. $x\mapsto(x,0)$ は $X$ から $X\times[0,1)$ への埋め込み（像 $X\times\{0\}$ への同相写像）であり、(1) と合成して埋め込みになる。$q^{-1}(q(X\times\{0\}))=X\times\{0\}$ は $X\times[0,1]$ の閉集合なので、底面は $CX$ の閉集合である。$\square$

1. $X$ がコンパクトなら $X\times[0,1]$ はコンパクトであり、その連続像 $CX$ もコンパクトである。逆に $CX$ がコンパクトなら、prop-cone-topology-base により底面は $CX$ の閉集合で $X$ と同相なので、コンパクト空間の閉部分空間としてコンパクトである。
2. $CX$ が Hausdorff なら、その部分空間と同相な $X$ も Hausdorff である。逆に $X$ が Hausdorff とし、$CX$ の相異なる 2 点をとる。両方が頂点でなければ、prop-cone-topology-base により両点は開部分空間 $CX\setminus\{v\}\cong X\times[0,1)$ に属し、$X\times[0,1)$ は Hausdorff 空間の直積として Hausdorff なので、そこで分離する開集合は $CX$ でも開集合である。一方が頂点 $v$、他方が $[x,s]$（$s<1$）のときは $c:=(1+s)/2$ とおき、
   $$ U:=q(X\times[0,c)),\qquad V:=q(X\times(c,1]) $$
   とする。$q^{-1}(U)=X\times[0,c)$、$q^{-1}(V)=X\times(c,1]$ はいずれも開集合なので $U,V$ は $CX$ の開集合であり、$[x,s]\in U$、$v\in V$、$U\cap V=\emptyset$ である。$\square$

$K\colon(X\times[0,1])\times[0,1]\to CX$ を $K((x,s),t):=q(x,\,s+t(1-s))$ で定める。$(x,s,t)\mapsto(x,s+t(1-s))$ は $X\times[0,1]\times[0,1]$ から $X\times[0,1]$ への連続写像（$s+t(1-s)\in[0,1]$）であり、$q$ との合成なので $K$ は連続である。
$H$ を上の式で定義するには、$K$ が $X\times\{1\}$ 上の同一視と両立すること、および得られる写像が $CX\times[0,1]$ 上で連続であることを確かめる必要がある。前者は、$s=1$ のとき $s+t(1-s)=1$ なので $K((x,1),t)=v$ が $x$ と $t$ によらないことから従う。後者は商写像と直積の相性の問題である。$[0,1]$ は局所コンパクト（局所コンパクト空間）な Hausdorff 空間なので、商写像 $q$ と恒等写像の直積
$$ q\times\operatorname{id}_{[0,1]}\colon(X\times[0,1])\times[0,1]\to CX\times[0,1] $$
もまた商写像である（Whitehead の補題、rem-cone-topology-whitehead）。$K$ はこの商写像の各ファイバー $q^{-1}(z)\times\{t\}$ の上で定値である：$z\neq v$ ならファイバーは一点であり、$z=v$ ならファイバーは $(X\times\{1\})\times\{t\}$ でその上で $K$ は値 $v$ をとる。よって商写像の普遍性により、$H\circ(q\times\operatorname{id}_{[0,1]})=K$ を満たす連続写像 $H\colon CX\times[0,1]\to CX$ がただ一つ存在し、定義から $H([x,s],t)=[x,s+t(1-s)]$ である。
$H([x,s],0)=[x,s]$ なので $H(\cdot,0)=\operatorname{id}_{CX}$、$H([x,s],1)=[x,1]=v$ なので $H(\cdot,1)$ は頂点への定値写像であり、$H(v,t)=[x,1+t(1-1)]=v$ なので頂点は全時刻不動である。よって $H$ は恒等写像から定値写像へのホモトピーであり $CX$ は可縮、さらに $\{v\}$ を止めているので $\{v\}$ は強変位レトラクトである。$\square$

合成 $X\times[0,1]\xrightarrow{f\times\operatorname{id}}Y\times[0,1]\xrightarrow{q_Y}CY$ は連続で、$X\times\{1\}$ を一点 $v_Y$ に写すので、商写像 $q_X$ の普遍性により連続写像 $Cf$ が誘導される。合成則と恒等写像の保存は、$[x,s]$ での値を比べれば直ちに分かる。$\square$

(1)$\Rightarrow$(2)：$H\colon X\times[0,1]\to Z$ を $H(x,0)=g(x)$、$H(x,1)=z_0$（$x$ によらない点 $z_0\in Z$）を満たすホモトピーとする。$H$ は $X\times\{1\}$ 上で定値なので、商写像の普遍性により連続写像 $G\colon CX\to Z$ で $G\circ q=H$ となるものがあり、$G([x,0])=H(x,0)=g(x)$ である。
(2)$\Rightarrow$(1)：$G$ を拡張とし、$H:=G\circ q\colon X\times[0,1]\to Z$ とおく。$H$ は連続で、$H(x,0)=G([x,0])=g(x)$、$H(x,1)=G(v)$ は $x$ によらない。よって $H$ は $g$ から定値写像 $c_{G(v)}$ へのホモトピーである。$\square$

$p\colon CX\to\widetilde{C}X$ を商写像、$H$ を prop-cone-topology-contractible の収縮とする。$L:=p\circ H\colon CX\times[0,1]\to\widetilde{C}X$ は連続である。$z=[x_0,s]$ が潰される母線上の点なら $H(z,t)=[x_0,s+t(1-s)]$ も母線上にあるので、$L(z,t)$ は $t$ と $s$ によらず基点である。prop-cone-topology-contractible の証明と同じく、$[0,1]$ が局所コンパクト Hausdorff なので Whitehead の補題（rem-cone-topology-whitehead）により $p\times\operatorname{id}_{[0,1]}\colon CX\times[0,1]\to\widetilde{C}X\times[0,1]$ は商写像であり、$L$ はその各ファイバー上で定値である（母線上の点のファイバー $q(\{x_0\}\times[0,1])\times\{t\}$ 上では基点、それ以外のファイバーは一点）。よって商写像の普遍性により、$\widetilde H\circ(p\times\operatorname{id}_{[0,1]})=L$ を満たす連続写像 $\widetilde H\colon\widetilde{C}X\times[0,1]\to\widetilde{C}X$ が誘導される。$\widetilde H(\cdot,0)$ は恒等写像、$\widetilde H(\cdot,1)$ は基点への定値写像、基点は全時刻不動である。$\square$