正則元による次元の低下
概要
正則元による次元の低下（dimension drop by a regular element）とは、ネーター局所環 $(R,\mathfrak m)$ 上の零でない有限生成加群 $M$ と $x\in\mathfrak m$ について、常に $\dim M-1\le\dim M/xM\le\dim M$ が成り立ち、$x$ が $M$ 上の非零因子なら $\dim M/xM=\dim M-1$ となるという定理である。次元がちょうど 1 落ちることは、$\dim R/P=\dim M$ をみたす台の極小素イデアル $P$ のどれにも $x$ が属さないことと同値である。これを繰り返すと、極大イデアルの元からなる $M$ 正則列 $x_1,\ldots,x_r$ について $\dim M/(x_1,\ldots,x_r)M=\dim M-r$ となり、深さは次元以下になる。
ネーター局所環の上では、方程式を一つ課すと次元は高々 1 しか落ちず、その方程式が零因子でなければ次元はちょうど 1 落ちる。この記事の主題は、この事実を有限加群の言葉で述べた次の定理（thm-ddr-main）である。$(R,\mathfrak m)$ をネーター局所環、$M\neq0$ を有限 $R$ 加群、$x\in\mathfrak m$ とすると、
- 常に $\dim M-1\le\dim M/xM\le\dim M$ が成り立つ。
- $x$ が $M$ 上の非零因子なら $\dim M/xM=\dim M-1$ である。
2 を繰り返すと、極大イデアルの元からなる $M$ 正則列 $x_1,\ldots,x_r$ について $\dim M/(x_1,\ldots,x_r)M=\dim M-r$ となり、正則列の長さは次元を超えない（cor-ddr-sequence）。完全交叉局所環で「方程式を一つ加えるごとに次元がちょうど一つ落ちる」こと、正則局所環で正則パラメータ系の途中の商の次元が分かること、深さが次元以下であることは、どれもこの定理から出る。
証明は素イデアルの鎖とパラメータ系だけで行い、Cohen–Macaulay 性も鎖状性も仮定しない。下からの評価には Krullの高さ定理 が、上からの評価には「非零因子は台の極小素イデアルに入らない」ことが効く。
記号と規約
環は単位元をもつ可換環とし、局所環は零環でないものとする。$(R,\mathfrak m)$ はネーター局所環、$M$ は有限生成 $R$ 加群である。
- 台と次元：$M$ の台 $\operatorname{Supp}M$ は $M_P\neq0$ となる素イデアル $P$ の集合で、$M$ が有限生成なら $\operatorname{Supp}M=V(\operatorname{Ann}M)$ である（加群の台 の定理「有限加群の台」）。$M\neq0$ のとき、$\operatorname{Supp}M$ に含まれる素イデアルの厳密な鎖の長さの上限を $\dim M$ と書く。$\operatorname{Supp}M=V(\operatorname{Ann}M)$ なので $\dim M=\dim R/\operatorname{Ann}M$ であり、$M=R$ なら環の Krull次元 に戻る。ネーター局所環の次元は有限なので（下の 2 つ目の事実）、$\dim M$ も有限である。
- 正則元と正則列：$x\in R$ が $M$ 上の非零因子であるとは、掛け算 $M\xrightarrow{x}M$ が単射であることをいう。$x_1,\ldots,x_r$ が $M$ 正則列であるとは、各 $i$ で $x_i$ が $M/(x_1,\ldots,x_{i-1})M$ 上の非零因子であり、最後の商 $M/(x_1,\ldots,x_r)M$ が零でないことをいう（正則列 の定義「加群上の正則列」）。$\mathfrak m$ の元からなる $M$ 正則列の長さの最大値を $M$ の深さ $\operatorname{depth}M$ と呼ぶ（深さ）。
証明では、次の 4 つの事実を引く。 - 極小素の有限性：任意の環でイデアル $I$ の根基 $\sqrt I$ は $I$ を含む素イデアルの共通部分である。ネーター環では $I$ を含む極小な素イデアルは有限個で、$I$ を含む素イデアルはどれもそのいずれかを含む（パラメータ系 の補題「根基と有限個の極小素」）。
- 次元の上界：ネーター局所環 $(A,\mathfrak n)$ で $r$ 個の元が生成するイデアル $I$ が $\sqrt I=\mathfrak n$ をみたすなら $\dim A\le r$ である（同じ記事の補題「極大根基の生成元数による次元上界」。中身は Krullの高さ定理 の定理「Krullの一般高さ定理」）。$I=\mathfrak n$ に当てれば $\dim A$ は有限である。
- パラメータ系の存在：次元 $e$ のネーター局所環は、$\sqrt{(y_1,\ldots,y_e)}$ が極大イデアルになる $e$ 個の元 $y_1,\ldots,y_e$ をもつ（同じ記事の定理「パラメータ系の存在」。$e=0$ では空列）。
- 随伴素：ネーター環上の有限加群 $M$ について、$M$ 上の零因子の全体は随伴素イデアル全体 $\operatorname{Ass}M$ の和集合であり（随伴素イデアル の定理「零因子を検出する和集合」）、$\operatorname{Supp}M$ の極小元はすべて $\operatorname{Ass}M$ に属する（同じ記事の命題「支持と随伴素の極小元」）。
一つの元で割った加群の台
$x\in\mathfrak m$ と有限生成 $R$ 加群 $M\neq0$ について、$M/xM\neq0$ であり
$$\operatorname{Supp}(M/xM)=\operatorname{Supp}M\cap V(x)$$
が成り立つ。とくに $\dim M/xM\le\dim M$ である。
$M/xM=0$ なら $M=xM\subset\mathfrak mM$ となり、中山の補題（Nakayamaの補題）から $M=0$ となって仮定に反する。
素イデアル $P$ をとる。局所化は完全なので $(M/xM)_P=M_P/xM_P$ である。$x\notin P$ なら $x$ は $R_P$ の単元なので $xM_P=M_P$ で、商は零である。$x\in P$ で $M_P\neq0$ なら、$M_P$ はネーター局所環 $R_P$ 上の有限生成加群で $x$ はその極大イデアルの元だから、上と同じ中山の補題により $M_P/xM_P\neq0$ である。$M_P=0$ なら商も零である。以上で等式を得る。右辺は $\operatorname{Supp}M$ に含まれるので次元の不等式も従う。$\square$
主定理
$(R,\mathfrak m)$ をネーター局所環、$M\neq0$ を有限生成 $R$ 加群、$d=\dim M$、$x\in\mathfrak m$ とする。
- $d-1\le\dim M/xM\le d$ である。
- $\dim M/xM=d-1$ となるのは、$\dim R/P=d$ をみたす $\operatorname{Supp}M$ のどの極小元 $P$ にも $x$ が属さないとき、かつそのときに限る。
- $x$ が $M$ 上の非零因子なら $d\ge1$ であり、$\dim M/xM=d-1$ である。
$J=\operatorname{Ann}M$ とおき、$\bar R=R/J$ を考える。$\bar R$ はネーター局所環で、$\dim\bar R=\dim R/J=d$ である。lem-ddr-support により $\operatorname{Supp}(M/xM)=V(J)\cap V(x)=V(J+xR)$ なので、$e=\dim M/xM$ は $\bar R/x\bar R=R/(J+xR)$ の次元に等しい。
1 の下からの評価。 $\bar R/x\bar R$ は次元 $e$ のネーター局所環なので、パラメータ系 $\bar y_1,\ldots,\bar y_e$ をもつ。これを $\bar R$ の極大イデアル $\bar{\mathfrak m}$ の元 $y_1,\ldots,y_e$ に持ち上げる。$\bar R$ のイデアル $L=(x,y_1,\ldots,y_e)$ を含む素イデアルは、$\bar R/x\bar R$ のイデアル $(\bar y_1,\ldots,\bar y_e)$ を含む素イデアルに対応し、後者は極大イデアルただ一つである。根基は含む素イデアルの共通部分なので $\sqrt L=\bar{\mathfrak m}$ である。$L$ は $e+1$ 個の元で生成されるので、次元の上界から $d=\dim\bar R\le e+1$ を得る。上からの評価 $e\le d$ は lem-ddr-support にある。
2 の「かつそのとき」の向き。 $x$ が、$\dim R/P=d$ をみたす $\operatorname{Supp}M$ の極小元 $P$ のどれにも属さないとする。$\operatorname{Supp}(M/xM)$ の中の厳密な鎖 $Q_0\subsetneq Q_1\subsetneq\cdots\subsetneq Q_l$ をとる。$Q_0\supset J$ なので、極小素の有限性から $Q_0$ は $J$ を含む極小な素イデアル $P$、すなわち $\operatorname{Supp}M=V(J)$ の極小元 $P$ を含む。$\dim R/P\le d-1$ なら、鎖は $V(P)$ の中にあるので $l\le\dim R/P\le d-1$ である。$\dim R/P=d$ なら仮定から $x\notin P$ であり、$x\in Q_0$ だから $P\subsetneq Q_0$ である。そこで鎖の下に $P$ を付け加えると $\operatorname{Supp}M$ の中の長さ $l+1$ の鎖になるので、$l+1\le d$ である。どちらでも $l\le d-1$ なので $e\le d-1$ であり、1 と合わせて $e=d-1$ を得る。
2 の「ときに限る」の向き。 $\dim R/P=d$ をみたす $\operatorname{Supp}M$ の極小元 $P$ が $x$ を含むとする。$V(P)\subset V(J)\cap V(x)=\operatorname{Supp}(M/xM)$ なので $e\ge\dim R/P=d$ であり、$e\neq d-1$ である。
3。 $x$ が $M$ 上の非零因子なら、零因子の全体は $\operatorname{Ass}M$ の和集合なので、$x$ は $\operatorname{Ass}M$ のどの元にも属さない。$\operatorname{Supp}M$ の極小元は $\operatorname{Ass}M$ に属するから、$x$ はそのどれにも属さず、2 から $e=d-1$ である。$e\ge0$ なので $d\ge1$ である。$\square$
2 が求めるのは、次元が最大の成分を避けることだけである。次元の小さい成分や、極小でない随伴素イデアル（埋込随伴素）に $x$ が属していても、次元はちょうど 1 落ちうる（埋込随伴素の場合の例は下の反例の節の最後にある）。3 は、非零因子がこの条件を自動的にみたすことを述べている。
$M=R$ のときは、随伴素の理論を使わずに 3 を示せる。次の補題がそのための一歩で、環がネーターであることも要らない。
零でない環 $A$ の非零因子 $x$ は、$A$ のどの極小素イデアルにも属さない。
$P$ を極小素イデアルとする。$A_P$ の素イデアルは $P$ に含まれる $A$ の素イデアルに対応するので、$P$ の極小性から $A_P$ の素イデアルは $PA_P$ ただ一つであり、根基の記述から $PA_P=\sqrt{0}$ となる。$x\in P$ と仮定すると、$x/1$ は冪零で、$x^N/1=0$ となる $N\ge1$ がある。すなわち $sx^N=0$ となる $s\notin P$ がある。$x$ は非零因子なので $x^N$ も非零因子で、$s=0$ となるが、これは $s\notin P$ に反する。よって $x\notin P$ である。$\square$
$A=R$ の極小素イデアルは $\operatorname{Supp}R=\operatorname{Spec}R$ の極小元そのものなので、この補題と主定理の 2 から、ネーター局所環 $R$ の極大イデアルの非零因子 $x$ について $\dim R/xR=\dim R-1$ が従う。
主定理の 1 の下からの評価は、$M=R$ では「方程式を一つ加えても解の空間の次元は高々 1 しか落ちない」という幾何学的な直観を、ネーター局所環で正確にしたものである。Mat89 は §13 の Theorem 13.5 の後の注意（p. 100）で、単項イデアル定理（Krullの高さ定理 の $r=1$ の場合）をこの直観に対応させ、直観そのものは厳密には常に正しいわけではないと注意している。局所性が要ることは下の反例の節の 2 行目で見る。
正則列による次元の公式
$(R,\mathfrak m)$ をネーター局所環、$M\neq0$ を有限生成 $R$ 加群、$x_1,\ldots,x_r\in\mathfrak m$ を $M$ 正則列とする。このとき
$$\dim M/(x_1,\ldots,x_r)M=\dim M-r$$
であり、とくに $r\le\dim M$ である。したがって $\operatorname{depth}M$ は有限で、$\operatorname{depth}M\le\dim M$ が成り立つ。
$M_i=M/(x_1,\ldots,x_i)M$ とおく（$M_0=M$）。$M_i$ は有限生成で、$M_r\neq0$ だから途中の $M_i$ もすべて零でない。$x_{i+1}$ は $M_i$ 上の非零因子で $M_{i+1}=M_i/x_{i+1}M_i$ なので、thm-ddr-main の 3 から $\dim M_{i+1}=\dim M_i-1$ である。$i=0,1,\ldots,r-1$ と順に当てて $\dim M_r=\dim M-r$ を得る（$r=0$ では何も割らない）。$M_r\neq0$ なので $\dim M_r\ge0$、すなわち $r\le\dim M$ である。$\mathfrak m$ の元からなる $M$ 正則列の長さはすべて $\dim M$ 以下なので、その最大値 $\operatorname{depth}M$ は存在して $\dim M$ 以下である。$\square$
この系は Mat89 §16 の演習 16.1（p. 132）にあたる。$M=R$ とすると、零でないネーター局所環 $R$ の極大イデアルの元からなる $R$ 正則列 $x_1,\ldots,x_r$ について $\dim R/(x_1,\ldots,x_r)=\dim R-r$ となる。言い換えると、極大イデアルの元からなる正則列は、パラメータ系 の意味での部分パラメータ系（$\dim R/(x_1,\ldots,x_r)=\dim R-r$ をみたす列）であり、同じ記事の定理「部分系の延長と全系の初期部分」によりパラメータ系に延長できる。
逆向き、すなわち $\dim R/(x_1,\ldots,x_r)=\dim R-r$ なら $x_1,\ldots,x_r$ が正則列であるという主張は、一般には成り立たない（下の反例の節）。これが成り立つ環がちょうど Cohen–Macaulay 局所環であり、そこでは列の正則性が商の次元や生成するイデアルの高さだけで判定できる。この判定とその帰結は Macaulayの非混合性定理 で扱う。
Hilbert–Samuel 関数による見方
主定理の 1 の下からの評価には、Hilbert–Samuel 関数を使う別の証明もある。$\delta(M)$ を、$M/(y_1,\ldots,y_s)M$ が有限の長さになる $y_1,\ldots,y_s\in\mathfrak m$ の個数 $s$ の最小値とすると、$M\neq0$ について $\delta(M)=\dim M$ が成り立つ（Hilbert–Samuel関数 の定理「Hilbert–Samuel 次元定理」の証明、Mat89 Theorem 13.4、pp. 98–100）。$N=M/xM$ が $t=\delta(N)$ 個の元 $y_1,\ldots,y_t$ で割って有限の長さになるなら、$M/(x,y_1,\ldots,y_t)M=N/(y_1,\ldots,y_t)N$ も有限の長さなので $\dim M=\delta(M)\le t+1=\dim N+1$ である。この議論も $x$ の正則性を使わない。上で素イデアルの鎖とパラメータ系による証明を選んだのは、次元の等式 $\delta(M)=\dim M$ の全体を前提にせずに済むからである。
例
体 $k$ に対し $R=k[x,y]_{(x,y)}$ とする。素イデアルの鎖 $0\subsetneq(x)\subsetneq(x,y)$ から $\dim R\ge2$、極大イデアルが 2 元で生成されることと次元の上界から $\dim R\le2$ で、$\dim R=2$ である。$x$ は整域 $R$ の零でない元なので非零因子であり、$R/xR\cong k[y]_{(y)}$ の次元は $1=2-1$ である。続けて $y$ で割ると体 $k$ になり、次元は $0$ である。$x,y$ は長さ 2 の $R$ 正則列で、cor-ddr-sequence のとおり次元が 1 ずつ落ちる。
素数 $p$ について $R=\mathbb Z_{(p)}$ は素イデアルが $0$ と $pR$ だけの 1 次元ネーター局所環である。$p$ は非零因子で、$R/pR\cong\mathbb F_p$ は体だから次元は $0=1-1$ である。
$(R,\mathfrak m)$ を $d$ 次元の正則局所環、$x_1,\ldots,x_d$ を正則パラメータ系（$\mathfrak m$ を生成する $d$ 個の元）とする。$x_1,\ldots,x_d$ は $R$ 正則列である（正則局所環 の命題「正則パラメータ系は正則列で、正則局所環は Cohen–Macaulay」）。cor-ddr-sequence により、各 $i$ で $\dim R/(x_1,\ldots,x_i)=d-i$ である。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $x$ が $M$ 上の非零因子 | $R=k[x,y]_{(x,y)}/(xy)$、$M=R$ と $x$ | 3 の等式（次元が落ちない） |
| $R$ が局所環 | $R=k[\![t]\!][u]$、$M=R$ と $tu-1$ | 1 の下からの評価（2 以上落ちる） |
| $x\in\mathfrak m$ | $x$ が単元 | $M/xM\neq0$（商が零になる） |
| $M$ が有限生成 | $R=k[t]_{(t)}$、$M=k(t)$ と $t$ | $M/xM\neq0$ と 3 の等式 |
1 行目。 $(xy)=(x)\cap(y)$ なので、$R$ の極小素イデアルは $(x)$ と $(y)$ で、$R/(x)\cong k[y]_{(y)}$ と $R/(y)\cong k[x]_{(x)}$ はどちらも 1 次元である。$R$ の素イデアルはどれも $(x)$ か $(y)$ を含むので $\dim R=1$ である。$x\cdot y=0$、$y\neq0$ なので $x$ は零因子で、$R/xR\cong k[y]_{(y)}$ の次元は $1$ のままである。$x$ は次元 $1$ の極小素イデアル $(x)$ に属しており、主定理の 2 の条件が破れている。
2 行目。 $R=k[\![t]\!][u]$ はネーター整域で、素イデアルの鎖 $0\subsetneq(t)\subsetneq(t,u)$ から $\dim R\ge2$ である。一方 $u\mapsto t^{-1}$ で定まる全射 $R\to k[\![t]\!][t^{-1}]=k(\!(t)\!)$ の核は $(tu-1)$ なので、$R/(tu-1)$ は体 $k(\!(t)\!)$ で次元は $0$ である。$tu-1$ は整域の零でない元なので非零因子だが、次元は 2 以上落ちる。局所化すれば主定理が当てはまり、極大イデアル $\mathfrak n=(tu-1)$ での局所化 $R_{\mathfrak n}$ は単項イデアル $\mathfrak n$ の高さが 1 なので 1 次元で、そこでは次元はちょうど 1 落ちる。
3 行目。 $x$ が単元なら $xM=M$ で、商は零加群になる。
4 行目。 $M=k(t)$ では $M_{(0)}$ も $M_{(t)}=M$ も零でないので $\operatorname{Supp}M=\operatorname{Spec}R$、$\dim M=1$ である。$t$ は $M$ 上の非零因子だが、$M$ の上で可逆なので $M/tM=0$ である。
逆は成り立たない。 $R=k[x,y]_{(x,y)}/(x^2,xy)$ と $y$ を考える。$\sqrt{(x^2,xy)}=(x)$ なので $R$ の素イデアルは $(x)$ と $(x,y)$ で、$\dim R=1$ である。$R/yR\cong k[x]/(x^2)$ は次元 $0$ なので、$\dim R/yR=\dim R-1$ が成り立つ。しかし $y\cdot x=0$ で、$x\neq0$ である（$x=ax^2+bxy$ とすると $k[x,y]_{(x,y)}$ の中で $x(1-ax-by)=0$ となり、$1-ax-by$ は単元なので $x=0$ となって矛盾する）。よって $y$ は零因子である。$y$ は次元が最大の成分 $(x)$ を避けているが、埋込随伴素 $(x,y)$ に属している。主定理の 2 の条件は次元の等式と同値だが、3 の非零因子の条件はそれより真に強い。
関連項目
- 前提: Krull次元, パラメータ系, 加群の台, 随伴素イデアル
- 関連: 正則列, 深さ, Krullの高さ定理, Hilbert–Samuel関数
- 応用: Macaulayの非混合性定理, Cohen–Macaulay環, 完全交叉局所環, 正則局所環
参考文献
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