Max Noetherの基本定理

$H=AF+BG$ なら、$L$ を $P$ を通らない直線として両辺を $L^{\deg H}$ で割ると、次数の関係から $H_*=A_*F_*+B_*G_*$ となり、各点で Noether の条件が成り立つ。
逆を示す。$F\cap G$ は有限なので（Bézoutの定理 の補題「共通成分のない曲線の交わりは有限」）、射影変換で、直線 $Z$ の上に $F\cap G$ の点がないようにする。射影変換は局所環の同型を与えるので、Noether の条件は保たれる。Bézoutの定理 の証明の段 0 と同じく、$F,G$ は $Z$ で割り切れず、$f:=F(x,y,1)$、$g:=G(x,y,1)$ は共通因子をもたない。$h:=H(x,y,1)$ とおく。$P=[a:b:1]$ で $L=Z$ をとると、$F_*,G_*,H_*$ は $\mathcal{O}_{(a,b)}$ の元 $f,g,h$ と同一視され、Noether の条件は「$h$ の $\mathcal{O}_{(a,b)}/(f,g)$ での像が $0$」ということである。
交点数（平面曲線） の補題「大域の商は局所の商の直積」により、$k[x,y]/(f,g)\to\prod_{Q\in V(f,g)}\mathcal{O}_Q/(f,g)$ は同型である。すべての交点は $\{Z\ne0\}$ にあるので、仮定から $h$ の像は各成分で $0$ であり、したがって $k[x,y]/(f,g)$ での $h$ の像は $0$、すなわち
$$ h=af+bg\qquad(a,b\in k[x,y]) $$
である。$N\ge\max(\deg H,\ \deg a+\deg F,\ \deg b+\deg G)$ をとる。多項式 $p$ の斉次化を $p^*$ と書くと、$Z^{N-\deg H}H$ と $Z^{N-\deg a-\deg F}a^*F+Z^{N-\deg b-\deg G}b^*G$ はどちらも次数 $N$ の形式で、$Z=1$ を代入するとどちらも $h$ になる。次数 $N$ の形式は $Z=1$ を代入したもので決まるので、両者は等しく、$Z^{N-\deg H}H\in(F,G)$ である。Bézoutの定理 の補題「無限遠直線を掛ける写像の単射性」を $N-\deg H$ 回使うと、$H=A'F+B'G$ となる多項式 $A',B'$ がある。$A',B'$ を斉次成分に分け、両辺の次数 $\deg H$ の部分をとると、
$$ H=A'_sF+B'_tG\qquad(s=\deg H-\deg F,\ t=\deg H-\deg G) $$
を得る（$A'_s$ は $A'$ の $s$ 次の斉次成分で、$s< 0$ なら $0$）。$\square$

アフィン座標で $P=(0,0)$ とし、$F,G,H$ を非斉次化した多項式を同じ文字で書く。$\mathcal{O}:=\mathcal{O}_P$、$\mathfrak{a}:=(x,y)$ とする。
3：$m_P(H)\ge m_P(F)+m_P(G)-1$ は $H\in\mathfrak{a}^t$（$t=m_P(F)+m_P(G)-1$）ということである。交点数（平面曲線） の補題「接線と交点数」の 1 により、共通の接線がなければ $\mathfrak{a}^t\mathcal{O}\subset(F,G)$ なので、$H\in(F,G)$ である。
1：横断的に交わるとは $m_P(F)=m_P(G)=1$ で接線が異なることであり、$P\in H$ は $m_P(H)\ge1=1+1-1$ なので、3 の特別な場合である。
2：重複度は積について足し算なので、$m_P(F)=1$ なら $F$ の成分のうち $P$ を通るのはただ 1 つの $F_1$ で、その重複度は $1$、$m_P(F_1)=1$ である。ほかの成分は $\mathcal{O}$ の単元なので $(F,K)=(F_1,K)$（$K$ は任意）である。$R:=\mathcal{O}/(F_1)$ は既約曲線 $F_1$ の $P$ での局所環であり、$P$ は $F_1$ の単純点なので $R$ は 離散付値環 である（代数曲線 の定理「Jacobi の判定法（平面曲線）」と、非特異な点の局所環が離散付値環であること）。その付値を $\operatorname{ord}$、一意化元を $\tau$ とし、多項式 $K$ の $R$ での像を $\bar K$ と書く。$\bar K\ne0$ で $\operatorname{ord}\bar K=e$ なら $(\bar K)=(\tau^e)$ であり、$R/(\tau^e)$ は $1$ 次元の商 $(\tau^i)/(\tau^{i+1})\cong R/(\tau)=k$ を $e$ 個重ねたものなので
$$ I(P,K\cap F)=\dim_k\mathcal{O}/(F_1,K)=\dim_kR/(\bar K)=\operatorname{ord}\bar K $$
である（$\bar K=0$ なら両辺とも $\infty$）。仮定 $I(P,H\cap F)\ge I(P,G\cap F)$ は $\operatorname{ord}\bar H\ge\operatorname{ord}\bar G$ となり、$\bar G\ne0$（共通成分がない）なので $\bar H\in(\bar G)$ である。$R=\mathcal{O}/(F_1)$ に戻すと $H\in(F_1,G)=(F,G)$ である。$\square$

1 の場合、Bézoutの定理 の系「共有点の個数と重複度」の 3 により各交点で横断的に交わるので、prop-mnt-criteria の 1 が使える。2 の場合は prop-mnt-criteria の 2 が使える。どちらでも thm-mnt-main により $H=AF+BG$ となる形式 $A,B$ があり、節「交点サイクル」の計算から $H\bullet F=B\bullet F+G\bullet F$ である。$B$ が $F$ と共通成分をもてば $H=AF+BG$ も $F$ と共通成分をもつので、$B\bullet F$ は定まる。$\deg(H\bullet F)>\deg(G\bullet F)$ なら $B$ は定数でない（等しければ $B$ は $0$ でない定数で、$H\bullet F=G\bullet F$）。$\square$

cor-mnt-residual の 2 を $F=C$、$G=Q$、$H=C'$ に使う。$C\cap Q$ の点は $P_1,\dots,P_6$ で、$C$ の単純点であり、$C'\bullet C\ge Q\bullet C$ である。よって次数 $3-2=1$ の形式 $L$ で $L\bullet C=C'\bullet C-Q\bullet C=P_7+P_8+P_9$ となるものがあり、次数が正なので $L$ は直線である。$\square$

既約な 2 次曲線と直線の共有点は、Bézout の定理から 2 個以下なので、6 点のどの 3 点も同じ直線の上にない。したがって辺の 6 本の直線は相異なり、$X,Y,Z$ は定まる。$C:=P_1P_2\cdot P_3P_4\cdot P_5P_6$、$C':=P_2P_3\cdot P_4P_5\cdot P_6P_1$ とおく。異なる 2 直線は 1 点で交点数 $1$ で交わるので、$C'\bullet C$ は 9 組の直線の交点の和で、
$$ C'\bullet C=P_1+P_2+\cdots+P_6+X+Y+Z $$
である（たとえば $P_1P_2\cap P_2P_3=P_2$、$P_1P_2\cap P_6P_1=P_1$、$P_1P_2\cap P_4P_5=X$）。直線 $P_1P_2$ と $Q$ の交点は $P_1,P_2$ の 2 点で、交点数の和が $2$ なのでそれぞれ $1$ である。よって $Q\bullet C=P_1+\cdots+P_6$ である。$P_1$ は $C$ の 3 本の直線のうち $P_1P_2$ だけの上にあるので $C$ の単純点で、ほかの $P_i$ も同じである。prop-mnt-cubic-conic により $X,Y,Z$ は 1 本の直線の上にある。$\square$

prf-cor-mnt-pascal で $Q$ を 2 直線の積 $\ell m$ に、六角形を $A,B',C,A',B,C'$ に替える。各辺は $\ell$ の点と $m$ の点を結ぶので、$\ell$ とも $m$ とも異なり、6 点のうちちょうど 2 点を通る。したがって $C:=AB'\cdot CA'\cdot BC'$ と $C':=B'C\cdot A'B\cdot C'A$ の 6 本の直線は相異なり、$C'\bullet C$ は 6 点と 3 つの対辺の交点の和、$Q\bullet C$ は 6 点の和で、6 点は $C$ の単純点である。prop-mnt-cubic-conic から結論が従う。$\square$

$R\ne P_9$ と仮定する。既約な 3 次曲線の多重点は高々 1 つである（2 つあれば、それらを通る直線と $C$ の交点数の和が $2+2>3$ となり Bézoutの定理 に反する）。$P_9$ を通る直線で、$R$ も $C$ の多重点も通らないもの $L$ をとる（$P_9$ を通る直線は無限にある）。$L$ は既約な $C$ の成分でないので $L\bullet C=P_9+S+T$ と書け、$S,T$ は $C$ の単純点である。
$$ (LC'')\bullet C=P_9+S+T+\sum_{i=1}^8P_i+R=C'\bullet C+R+S+T\ \ge\ C'\bullet C $$
で、$C\cap C'$ の点はすべて $C$ の単純点なので、cor-mnt-residual の 2（$F=C$、$G=C'$、$H=LC''$）により、次数 $1$ の $L'$ で $L'\bullet C=R+S+T$ となるものがある。$S\ne T$ なら $L$ と $L'$ はどちらも $S,T$ を通るので $L=L'$ である。$S=T$ なら、$L$ と $L'$ はどちらも単純点 $S$ で $C$ との交点数が $2$ 以上なので、交点数の性質 (v) の等号の条件から、どちらも $S$ での $C$ の接線であり、$L=L'$ である。すると $L\bullet C=L'\bullet C$ から $R=P_9$ となり、仮定に反する。$\square$

要点：$P_1,\dots,P_8$ を通る 3 次の形式の空間 $V$ が 2 次元であることを、Bézoutの定理 で示す。そうなら $V$ は $C_1,C_2$ で張られ、その元はすべて $P_9$ で $0$ になる。