代数的整数

$\alpha=p/q$（$p,q\in\mathbb{Z}$、$q\ge1$、$p$ と $q$ は互いに素）と既約分数で書き、$\alpha$ が $f(x)=x^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_0$（$c_i\in\mathbb{Z}$）の根であるとする。$f(p/q)=0$ の両辺に $q^n$ を掛けると
$$ p^n=-\bigl(c_{n-1}p^{n-1}q+c_{n-2}p^{n-2}q^2+\cdots+c_0q^n\bigr) $$
となり、右辺は $q$ の倍数である。$q>1$ と仮定すると、$q$ を割り切る素数 $\ell$ があり、$\ell\mid p^n$ である。素数 の記事の補題「Euclidの補題」により $\ell\mid p$ となり、$p$ と $q$ が互いに素であることに反する。よって $q=1$、すなわち $\alpha=p\in\mathbb{Z}$ である。逆に整数は代数的整数である。$\square$

1 ⇒ 2：$\alpha$ が $x^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_0$（$c_i\in\mathbb{Z}$）の根であるとし、$M=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\alpha+\cdots+\mathbb{Z}\alpha^{n-1}$ とおく。$k$ に関する帰納法で $\alpha^k\in M$（$k\ge0$）を示す。$k< n$ なら明らかである。$k\ge n$ で $\alpha^j\in M$（$j< k$）とすると、
$$ \alpha^k=\alpha^{k-n}\alpha^n=-\bigl(c_{n-1}\alpha^{k-1}+c_{n-2}\alpha^{k-2}+\cdots+c_0\alpha^{k-n}\bigr) $$
は $\alpha^{k-1},\dots,\alpha^{k-n}$ の整数係数の 1 次結合なので $M$ に属する。$\mathbb{Z}[\alpha]$ の元は $\alpha$ の冪の整数係数の 1 次結合なので、$\mathbb{Z}[\alpha]=M$ は有限生成である。
2 ⇒ 3：$M=\mathbb{Z}[\alpha]$ とすればよい。$1\in M$ なので $M\neq\{0\}$ であり、$M$ は環なので $\alpha M\subset M$ である。
3 ⇒ 1：$M=\mathbb{Z}m_1+\cdots+\mathbb{Z}m_r$ とする。$\alpha m_i\in M$ なので、整数 $a_{ij}$ によって
$$ \alpha m_i=\sum_{j=1}^ra_{ij}m_j\qquad(i=1,\dots,r) $$
と書ける。$A=(a_{ij})$ を整数を成分とする $r\times r$ 行列、$v={}^t(m_1,\dots,m_r)\in\mathbb{C}^r$ とすると、$(\alpha I_r-A)v=0$ である。$M\neq\{0\}$ なので $v\neq0$ であり、複素数を成分とする行列 $\alpha I_r-A$ は $0$ でないベクトルを $0$ に写す。よって 行列式 の記事の定理「正則性の判定」により $\det(\alpha I_r-A)=0$ である。$\chi(x):=\det(xI_r-A)$ は、Leibniz の公式で展開すると、対角成分の積 $\prod_i(x-a_{ii})$ から $x^r$ が 1 回だけ現れ、他の項は $x$ について $r-2$ 次以下なので、整数係数のモニックな $r$ 次多項式である。$\chi(\alpha)=0$ なので $\alpha$ は代数的整数である。$\square$

$\alpha$ が $n$ 次、$\beta$ が $m$ 次の整数係数のモニックな多項式の根であるとし、
$$ M=\sum_{0\le i< n,\ 0\le j< m}\mathbb{Z}\alpha^i\beta^j $$
とおく。prf-algebraic-integer-module の 1 ⇒ 2 と同じ議論により、すべての $a\ge0$ について $\alpha^a$ は $1,\alpha,\dots,\alpha^{n-1}$ の整数係数の 1 次結合であり、$\beta^b$ も $1,\beta,\dots,\beta^{m-1}$ の整数係数の 1 次結合である。したがって $\alpha^a\beta^b\in M$ であり、$\mathbb{Z}[\alpha,\beta]$ の元はこれらの整数係数の 1 次結合なので $\mathbb{Z}[\alpha,\beta]=M$ である。$M$ は有限生成で $1\in M$、しかも環である。$\gamma$ を $\alpha+\beta$、$\alpha-\beta$、$\alpha\beta$ のいずれかとすると $\gamma\in M$ なので $\gamma M\subset M$ であり、thm-algebraic-integer-module の 3 ⇒ 1 により $\gamma$ は代数的整数である。
$0,1\in\overline{\mathbb{Z}}$ なので、$\overline{\mathbb{Z}}$ は $\mathbb{C}$ の部分環である。$K$ も $\mathbb{C}$ の部分環なので、共通部分 $\mathcal{O}_K$ は $K$ の部分環である。$\square$

$m_\alpha\in\mathbb{Z}[x]$ なら、$m_\alpha$ はモニックなので $\alpha$ は代数的整数である。
逆に $\alpha$ が整数係数のモニックな多項式 $f$ の根であるとする。$f\in\mathbb{Q}[x]$ は $\alpha$ を根にもつので、$m_\alpha$ は $\mathbb{Q}[x]$ で $f$ を割り切る（体の拡大 の記事の命題「最小多項式の存在と一意性」の 1）。代数学の基本定理により $\mathbb{C}$ は代数閉体なので、$m_\alpha=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_d)$（$\alpha_i\in\mathbb{C}$）と 1 次式の積に分解する（代数閉体 の記事の命題「代数閉体の同値条件」）。各 $\alpha_i$ は $m_\alpha$ の根なので $f$ の根でもあり、代数的整数である。根と係数の関係（対称多項式 の記事の命題「根と係数の関係」）により、$m_\alpha$ の $x^{d-k}$ の係数は $(-1)^ke_k(\alpha_1,\dots,\alpha_d)$（$e_k$ は $k$ 次の基本対称多項式）であり、thm-algebraic-integer-ring によりこれは代数的整数である。この係数は有理数でもあるので、prop-algebraic-integer-rational により整数である。$\square$

$\alpha$ は整数係数の多項式 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$（$a_n\neq0$、$n\ge1$）の根である（$\mathbb{Q}$ 係数の多項式の分母を払えばよい）。$f(\alpha)=0$ の両辺に $a_n^{n-1}$ を掛けると
$$ (a_n\alpha)^n+a_{n-1}(a_n\alpha)^{n-1}+a_{n-2}a_n(a_n\alpha)^{n-2}+\cdots+a_0a_n^{n-1}=0 $$
となる（$x^k$ の項 $a_k\alpha^k$ に $a_n^{n-1}=a_n^{k}\cdot a_n^{n-1-k}$ を掛けると $a_ka_n^{n-1-k}(a_n\alpha)^k$ になる）。よって $a_n\alpha$ は整数係数のモニックな多項式 $x^n+\sum_{k< n}a_ka_n^{n-1-k}x^k$ の根であり、$d=a_n$ とすればよい。$\alpha\in K$ なら $d\alpha\in K\cap\overline{\mathbb{Z}}=\mathcal{O}_K$ で、$\alpha=(d\alpha)/d$ である。$\square$

各 $b_i$ が $d_i$ 次の整数係数のモニックな多項式の根であるとする。prf-algebraic-integer-ring と同じ議論により、$b_i$ の冪は $1,b_i,\dots,b_i^{d_i-1}$ の整数係数の 1 次結合であり、$\alpha$ の冪は $1,\alpha,\dots,\alpha^{n-1}$ の、$\mathbb{Z}[b_0,\dots,b_{n-1}]$ の元を係数とする 1 次結合である（$\alpha^n=-\sum_ib_i\alpha^i$ を繰り返し使う）。したがって
$$ M=\sum\mathbb{Z}\,b_0^{e_0}\cdots b_{n-1}^{e_{n-1}}\alpha^j\qquad(0\le e_i< d_i,\ 0\le j< n) $$
は環 $\mathbb{Z}[b_0,\dots,b_{n-1},\alpha]$ に等しく、有限生成で $1$ を含む。$\alpha M\subset M$ なので、thm-algebraic-integer-module の 3 ⇒ 1 により $\alpha$ は代数的整数である。$\square$

$\alpha=a+b\sqrt d$（$a,b\in\mathbb{Q}$）とする。$b=0$ なら $\alpha\in\mathbb{Q}$ であり、prop-algebraic-integer-rational により $\alpha\in\mathcal{O}_K$ と $a\in\mathbb{Z}$ は同値で、これは右辺の元で $b=0$（$n=0$）のものと一致する。以下 $b\neq0$ とする。$\alpha\notin\mathbb{Q}$ であり、$\alpha$ は
$$ (x-a)^2-db^2=x^2-2ax+(a^2-db^2)\in\mathbb{Q}[x] $$
の根なので、これが $\alpha$ の最小多項式である。prop-algebraic-integer-minimal-polynomial により、$\alpha\in\mathcal{O}_K$ であることは
$$ m:=2a\in\mathbb{Z}\quad\text{かつ}\quad a^2-db^2\in\mathbb{Z} $$
と同値である。この条件の下で $n:=2b$ も整数であることを示す。$4(a^2-db^2)=m^2-dn^2$ は整数なので $dn^2\in\mathbb{Z}$ である。$n=p/q$（$q\ge1$、$p,q$ は互いに素）と既約分数で書くと $q^2\mid dp^2$ であり、$q$ と $p$ は互いに素なので $q^2\mid d$ である（素数 の記事の補題「Euclidの補題」を $q$ の素因数ごとに使う）。$d$ は平方因子をもたないので $q=1$、すなわち $n\in\mathbb{Z}$ である。
よって $\alpha\in\mathcal{O}_K$ は、「$\alpha=(m+n\sqrt d)/2$ で $m,n\in\mathbb{Z}$、かつ $m^2-dn^2\equiv0\pmod4$」と同値である。整数の平方は $4$ を法として $0$ か $1$（偶数なら $0$、奇数なら $1$）であることを使う。

• $d\equiv2,3\pmod4$ のとき：$n$ が奇数なら $dn^2\equiv d\equiv2,3$ で、$m^2\equiv dn^2$ となる $m$ はない。よって $n$ は偶数で、$m^2\equiv0$ から $m$ も偶数である。すなわち $a=m/2$、$b=n/2$ はともに整数である。逆に $a,b\in\mathbb{Z}$ なら $2a\in\mathbb{Z}$、$a^2-db^2\in\mathbb{Z}$ である。
• $d\equiv1\pmod4$ のとき：$m^2-dn^2\equiv m^2-n^2\pmod4$ であり、これが $0$ になるのは $m,n$ の偶奇が一致するときに限る。
  最後に、$d\equiv1\pmod4$ のとき右辺の集合が $\mathbb{Z}[(1+\sqrt d)/2]$ に等しいことを確かめる。$\omega=(1+\sqrt d)/2$ は $\omega^2=\omega+\frac{d-1}4$ を満たし、$\frac{d-1}4\in\mathbb{Z}$ なので、$\mathbb{Z}[\omega]=\{x+y\omega\mid x,y\in\mathbb{Z}\}$ である。$x+y\omega=\frac{(2x+y)+y\sqrt d}2$ で $2x+y\equiv y\pmod2$、逆に $m\equiv n\pmod 2$ なら $\frac{m+n\sqrt d}2=\frac{m-n}2+n\omega$ である。$d\equiv2,3\pmod4$ のときも同様に $\mathbb{Z}[\sqrt d]=\{a+b\sqrt d\mid a,b\in\mathbb{Z}\}$ である（$(\sqrt d)^2=d$）。$\square$