平均値の定理による差の評価

• $f(x)=x^2$、$[a,b]=[1,3]$：弦の傾きは $\frac{9-1}{3-1}=4$ である。$f'(c)=2c=4$ から $c=2$ で、確かに $1<2<3$ である。
• $f(x)=x^3$、$[a,b]=[0,3]$：弦の傾きは $\frac{27-0}{3-0}=9$ である。$f'(c)=3c^2=9$ から $c=\sqrt3=1.732\ldots$ で、確かに $0<\sqrt3<3$ である（$c=-\sqrt3$ は区間の外）。
  この 2 つは $c$ を求められたが、一般には $c$ の値は求められない。

$0< a< b$ とし、$f(x)=\log x$ に平均値の定理を使う。$f'(x)=\frac1x$ なので
$$ \log b-\log a=\frac{b-a}c\qquad(a< c< b) $$
となる $c$ がある。$a< c< b$ から $\frac1b<\frac1c<\frac1a$ なので、両辺に $b-a>0$ を掛けて
$$ \frac{b-a}b<\log b-\log a<\frac{b-a}a $$
である。

• $a=1$、$b=2$：$\frac12<\log2<1$。実際 $\log2=0.6931\ldots$ である。
• $a=1$、$b=1.1$：$\frac{0.1}{1.1}<\log1.1<0.1$、すなわち $0.0909\ldots<\log1.1<0.1$。実際 $\log1.1=0.0953\ldots$ である。
  使ったのは $c$ の値ではなく、$c$ が $a$ と $b$ の間にあることだけである。

$f(x)=x(2-x)=2x-x^2$ は、$f(x)=1-(x-1)^2\le1$ より $x=1$ で最大値 $1$ をとる。$f'(x)=2-2x$ なので $f'(1)=0$ であり、頂上の接線は水平である。

$f(x)=x^3-x$ を $[0,1]$ で考える。$f(0)=0=f(1)$ である。$f'(x)=3x^2-1=0$ から $x=\pm\frac1{\sqrt3}$ で、区間 $(0,1)$ の中にあるのは $c=\frac1{\sqrt3}=0.577\ldots$ である。この点で $f$ は最小値 $f\bigl(\frac1{\sqrt3}\bigr)=\frac1{3\sqrt3}-\frac1{\sqrt3}=-\frac2{3\sqrt3}=-0.384\ldots$ をとる。

• $f(x)=x^3+x$ は $f'(x)=3x^2+1>0$ なので、実数全体で狭義単調増加である。たとえば $f(1)=2< f(2)=10$ である。
• $f(x)=\sin^2x+\cos^2x$ は $f'(x)=2\sin x\cos x-2\cos x\sin x=0$ なので定数であり、$f(0)=1$ から $f(x)=1$ である。
• $f(x)=\sqrt x$ を $I=[1,\infty)$ で考えると $|f'(x)|=\frac1{2\sqrt x}\le\frac12$ なので、$x,y\ge1$ なら $|\sqrt x-\sqrt y|\le\frac12|x-y|$ である。たとえば $\sqrt{10}-3=0.162\ldots\le\frac12\cdot1=0.5$ である。

正の整数 $k$ について、ex-emv-log-intro で $a=k$、$b=k+1$ とすると
$$ \frac1{k+1}<\log(k+1)-\log k<\frac1k $$
である。$H_n:=1+\frac12+\cdots+\frac1n$（調和数）とおく。
段 1（下からの評価）。右の不等式 $\log(k+1)-\log k<\frac1k$ を $k=1,\dots,n$ について足す。その左辺の和は $\log2-\log1+\log3-\log2+\cdots+\log(n+1)-\log n=\log(n+1)$ と打ち消し合い（望遠鏡和）、右辺の和は $H_n$ なので、$\log(n+1)< H_n$ となる。
段 2（上からの評価）。$n\ge2$ とし、左の不等式 $\frac1{k+1}<\log(k+1)-\log k$ を $k=1,\dots,n-1$ について足す。その左辺の和は $\frac12+\cdots+\frac1n$、右辺の和は望遠鏡和で $\log n-\log1=\log n$ なので、$\frac12+\cdots+\frac1n<\log n$ である。両辺に $1$ を足して $H_n<1+\log n$ となる。$n=1$ では $H_1=1=1+\log1$ で等号である。
まとめて $\log(n+1)< H_n\le1+\log n$ である。次の表の値は数値計算による。

特に $H_n\to\infty$ であり、その増え方は $\log n$ と同じ程度である。

$(\sin x)'=\cos x$ で、すべての実数で $|\cos x|\le1$ である。実数全体は区間なので、cor-emv-consequences の 3（$M=1$）により、すべての実数 $x,y$ で
$$ |\sin x-\sin y|\le|x-y| $$
である。$y=0$ とすれば $|\sin x|\le|x|$ が得られる。たとえば $x=0.5$ では $\sin0.5=0.4794\ldots\le0.5$ である。

$\sqrt{101}$ を評価する。$f(x)=\sqrt x$ に $[100,101]$ で平均値の定理を使うと、$f'(x)=\frac1{2\sqrt x}$ なので
$$ \sqrt{101}-10=\frac1{2\sqrt c}\qquad(100< c<101) $$
となる $c$ がある。$100< c<101<121$ から $10<\sqrt c<11$ なので $\frac1{22}<\frac1{2\sqrt c}<\frac1{20}$ であり、
$$ 10+\frac1{22}<\sqrt{101}<10+\frac1{20} $$
である。数値では $10.04545\ldots<10.04987\ldots<10.05$ である。
同じように $\sqrt{4.1}$ なら、$[4,4.1]$ で $\sqrt{4.1}-2=\frac{0.1}{2\sqrt c}$（$4< c<4.1$）であり、$\sqrt c>2$ から $\sqrt{4.1}<2+\frac{0.1}4=2.025$ である。実際 $\sqrt{4.1}=2.0248\ldots$ である。

すべての実数 $x$ で $\cos x\ge1-\frac{x^2}2$ であることを示す。
段 1（補助の関数）。$g(x):=\cos x-1+\frac{x^2}2$ とおくと、$g(0)=0$、$g'(x)=-\sin x+x=x-\sin x$ である。
段 2（$x\ge0$ で $g'\ge0$）。ex-emv-sine から $\sin x\le|\sin x|\le|x|=x$（$x\ge0$）なので、$g'(x)=x-\sin x\ge0$ である。
段 3（$x\ge0$ で $g\ge0$）。$[0,\infty)$ は区間なので、cor-emv-consequences の 2 により $g$ は $[0,\infty)$ で単調増加である。よって $x\ge0$ なら $g(x)\ge g(0)=0$ である。
段 4（$x<0$ の場合）。$\cos(-x)=\cos x$、$(-x)^2=x^2$ なので $g(-x)=g(x)$ である。$x<0$ なら $-x>0$ なので、段 3 から $g(x)=g(-x)\ge0$ である。
こうして $\cos x\ge1-\frac{x^2}2$ である。$x=0.5$ では $\cos0.5=0.8775\ldots\ge0.875$、$x=1$ では $\cos1=0.5403\ldots\ge0.5$ である（数値計算）。

$f(x)=|x|$ は $[-1,1]$ で連続で、$f(-1)=f(1)=1$ である。しかし $x>0$ では $f'(x)=1$、$x<0$ では $f'(x)=-1$ であり、$f'(c)=0$ となる $c$ はない。$x=0$ で微分できないので「$(a,b)$ で微分可能」という仮定を満たさず、thm-emv-rolle の結論が成り立たない。
$[-1,2]$ で考えると、弦の傾きは $\frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}=\frac{2-1}3=\frac13$ だが、$f'$ の値は $\pm1$ だけなので、thm-emv-mvt の結論も成り立たない。

$0\le x<1$ で $f(x)=x$、$f(1)=0$ と定める。$f$ は $(0,1)$ で微分可能で $f'=1$ であり、$f(0)=f(1)=0$ だが、$f'(c)=0$ となる $c$ はない。
$f$ は $x=1$ で連続でない（$x\to1-0$ で $f(x)\to1$ だが $f(1)=0$）ので、「$[a,b]$ で連続」という仮定を満たさない。thm-emv-rolle の証明では、最大値・最小値の定理（rem-emv-premises の 1）がこの仮定を使っている。実際この $f$ は $[0,1]$ で最大値をとらない（値は $1$ にいくらでも近づくが $1$ にならない）。

1. $f(x)=\frac1x$ を $[-1,0)\cup(0,1]$ で考える。定義域の各点で $f'(x)=-\frac1{x^2}<0$ だが、$f(-1)=-1<1=f(1)$ であり、$f$ は減少していない。cor-emv-consequences の 2 が崩れる。
2. $x<0$ で $0$、$x>0$ で $1$ をとる関数を、$0$ を除いた実数全体で考える。各点で $f'=0$ だが、定数でない。cor-emv-consequences の 1 が崩れる（$M=0$ とすれば 3 も崩れる）。
   どちらも定義域が区間でなく、cor-emv-consequences の証明の「$[x,y]\subset I$」が成り立たない（たとえば $x=-1$、$y=1$ のとき $[-1,1]$ は $0$ を含むが、$0$ は定義域にない）。

$f(x)=\cos x+i\sin x$ を $[0,2\pi]$ で考えると、$f(0)=f(2\pi)=1$ である。$f'(x)=-\sin x+i\cos x$ であり、その絶対値は $\sqrt{\sin^2x+\cos^2x}=1$ なので、$f'(c)=0$ となる $c$ はない。
証明で使った最大値・最小値は実数の大小を使うので、複素数値（平面の点を値とする）の関数では、Rolle の定理も平均値の定理も等式の形では一般に成り立たない。一般に成り立つのは $|f(b)-f(a)|\le M(b-a)$（$M$ は $|f'|$ の上界）という不等式の形である（本記事では証明しない）。