Cevaの定理

同義語：チェバの定理Ceva's theorem

概要

前提知識: 射影平面, 重心座標, 行列式, 体

三角形 $ABC$ の頂点と向かいの辺の上の点を結ぶ 3 本の直線 $AD$、$BE$、$CF$ が 1 点で交わるための条件を、辺の比の積で述べたものが Cevaの定理 である。実数の平面での形（面積比による証明、重心座標による符号つきの形）は Cevaの定理（高校数学）で扱った。この記事では、同じ定理を任意の体 $k$ の上の平面で考え、射影平面 $\mathbb{P}^2(k)$ の中の行列式の条件として捉え直す。
そうすると、次のことが見えてくる。

「3 本が平行になる」という実数の平面での例外は、射影平面では無限遠直線の上の 1 点で交わる場合にすぎず、定理は例外なしの同値になる（thm-ceva-projective）。
体の標数が $2$ かどうかで、Ceva の配置の形が分かれる。標数 $2$ では、1 点で交わる 3 本の Ceva 線の足は必ず一直線上に並ぶ（thm-ceva-char2）。
定理は $n$ 次元の単体に広がり、そこでは比の積の条件が「すべての 2 次元の面で積が 1」というコサイクルの条件になる（thm-ceva-simplex）。
中心からの射影で、球面三角形の Ceva の定理（正弦の比の形）が同じ計算から出る（cor-ceva-sphere）。

設定：体の上の平面と符号つきの比

以下、$k$ を体とし、平面 $k^2$ の点をベクトルとして足したりスカラー倍したりする。異なる 2 点 $X,Y$ を通る直線を $XY$ と書く。

符号つきの比

異なる 2 点 $X,Y\in k^2$ と、直線 $XY$ の上の点 $Z\ne Y$ について、
$$ Z-X=t\,(Y-Z) $$
をみたす $t\in k$ がただ 1 つある。これを $\dfrac{XZ}{ZY}$ と書き、符号つきの比 という。

$Z=X+s(Y-X)$（$s\ne1$）と書けば $t=\dfrac{s}{1-s}$ であり、逆に $t\ne-1$ なら $Z=\dfrac{X+tY}{1+t}$ である。よって $Z\mapsto\dfrac{XZ}{ZY}$ は、直線 $XY$ から $Y$ を除いた集合と $k\setminus\{-1\}$ のあいだの全単射で、$Z=X$ のとき $0$ になる。値 $-1$ をとる点はない。$k=\mathbb{R}$ なら、$Z$ が線分 $XY$ の内部にあるとき正、外にあるとき負である。
1 本の直線の上にない 3 点 $A,B,C$ を 三角形 という。この記事を通して、点 $D,E,F$ はそれぞれ直線 $BC$、$CA$、$AB$ の上にあって三角形の頂点ではないとし、
$$ r_1=\frac{BD}{DC},\qquad r_2=\frac{CE}{EA},\qquad r_3=\frac{AF}{FB} $$
とおく。$r_1,r_2,r_3$ はどれも $0$ でも $-1$ でもない。直線 $AD$、$BE$、$CF$ を Ceva 線 という。

重心座標で射影平面に埋め込む

$k^2$ の各点 $P$ は $P=\alpha A+\beta B+\gamma C$（$\alpha+\beta+\gamma=1$）とただ 1 通りに書ける（重心座標の命題「表示の存在と一意性」と同じ証明が任意の体で通る：$B-A$、$C-A$ が $k^2$ の基底になる）。そこで
$$ \iota\colon k^2\to\mathbb{P}^2(k),\qquad \iota(P)=[\alpha:\beta:\gamma] $$
とおく。射影平面の記号は射影平面の定義「体 $K$ の上の射影平面」に従い、直線 $\{ax+by+cz=0\}$ を $L(a:b:c)$ と書く。

平面と射影平面の対応

$\iota$ は単射で、像は $\mathbb{P}^2(k)$ から直線 $\ell_\infty:=L(1:1:1)$ を除いた集合である。
$k^2$ の直線 $\ell$ に対し、$\iota(\ell)$ は $\mathbb{P}^2(k)$ のある直線 $\bar\ell\ne\ell_\infty$ から、$\bar\ell\cap\ell_\infty$ の 1 点を除いた集合である。逆に $\ell_\infty$ 以外の直線はどれもこの形で得られる。
$k^2$ の 2 直線 $\ell\ne m$ が平行であることと、$\bar\ell\cap\bar m$ が $\ell_\infty$ の上にあることは同値である。

1 次関数を斉次の 1 次式に直す

$[x:y:z]$ が $\ell_\infty$ の上にないことは $x+y+z\ne0$ と同じで、そのとき代表を $x+y+z=1$ にとり直せばただ 1 つの $P=xA+yB+zC$ が対応する。
直線 $\ell$ は、定数でない 1 次関数 $f(P)=uP_1+vP_2+w$ により $\ell=\{f=0\}$ と書ける。$\alpha+\beta+\gamma=1$ なら $f(\alpha A+\beta B+\gamma C)=\alpha f(A)+\beta f(B)+\gamma f(C)$ なので、$\iota(\ell)=\bar\ell\setminus\ell_\infty$、$\bar\ell:=L\bigl(f(A):f(B):f(C)\bigr)$ である。$f$ が定数でないので $(f(A),f(B),f(C))$ は $(1,1,1)$ の定数倍でなく、$\bar\ell\ne\ell_\infty$ である。逆に $(a,b,c)$ が $(1,1,1)$ の定数倍でなければ、$f(A)=a$、$f(B)=b$、$f(C)=c$ となる 1 次関数 $f$ がただ 1 つあり（$A,B,C$ が一直線上にないから）、それは定数でない。
$\bar\ell\ne\bar m$ は射影平面でちょうど 1 点で交わる。その点が $\ell_\infty$ の上にないことは、$\ell$ と $m$ が $k^2$ で交わることと同じである。$\square$

$\iota(A)=[1:0:0]$、$\iota(B)=[0:1:0]$、$\iota(C)=[0:0:1]$ であり、$D=\dfrac{B+r_1C}{1+r_1}$ などから
$$ \iota(D)=[0:1:r_1],\qquad \iota(E)=[r_2:0:1],\qquad \iota(F)=[1:r_3:0] $$
である。以下、$\iota$ を省いて点を斉次座標で書く。

共線と共点の行列式による判定

$\mathbb{P}^2(k)$ で、3 点 $[p],[q],[s]$ が 1 本の直線の上にあることは $\det(p,q,s)=0$ と同値である。同じく、相異なる 3 直線 $L(u),L(v),L(w)$ が 1 点を通ることは $\det(u,v,w)=0$ と同値である（$p,q,s,u,v,w\in k^3\setminus\{0\}$ を行に並べた行列式）。

2 次元部分空間と零化空間

前半：3 点が直線 $W$（2 次元部分空間）の上にあれば $p,q,s\in W$ は 1 次従属である。逆に 1 次従属なら $p,q,s$ は高々 2 次元の部分空間に入り、それを含む 2 次元部分空間が 1 本の直線である。
後半：3 直線が点 $[p]$ を通れば $u,v,w$ は $\{x\mid x\cdot p=0\}$（2 次元）に入るので 1 次従属である。逆に 1 次従属とする。$L(u)\ne L(v)$ なので $u,v$ は 1 次独立で、$w=\lambda u+\mu v$ と書ける。$L(u)\cap L(v)$ の点 $[p]$ は $u\cdot p=v\cdot p=0$ をみたすので $w\cdot p=0$、つまり $[p]$ は $L(w)$ の上にもある。$\square$

主定理：射影平面の Ceva の定理

射影平面の Ceva の定理

$k$ を体、$ABC$ を $k^2$ の三角形とし、$D,E,F$ と $r_1,r_2,r_3$ を上のとおりとする。

3 本の Ceva 線 $AD$、$BE$、$CF$ について、「1 点で交わるか、または 3 本とも平行」であることと、$r_1r_2r_3=1$ は同値である。
$r_1r_2r_3=1$ のとき、3 本が平行になるのは $1+r_3+r_3r_1=0$ のときに限る。そうでなければ交点は
$$ P=\frac{A+r_3B+r_3r_1C}{1+r_3+r_3r_1} $$
である。

3 本の直線の係数を並べる

段 1（Ceva 線の式）。直線 $AD$ は $[1:0:0]$ と $[0:1:r_1]$ を通るので $L(0:r_1:-1)$、つまり $r_1y-z=0$ である。同じく $BE=L(1:0:-r_2)$、$CF=L(r_3:-1:0)$ である。3 本は相異なる。たとえば $AD=BE$ ならこの直線は $A,B$ を通るので $AB$ になり、$D$ が $AB$ と $BC$ の共有点 $B$ になってしまう。
段 2（行列式）。lem-ceva-det により、射影平面で 3 本が 1 点を通ることは
$$ \det\begin{pmatrix}0&r_1&-1\\1&0&-r_2\\r_3&-1&0\end{pmatrix}=1-r_1r_2r_3=0 $$
と同値である。
段 3（平面に戻す）。prop-ceva-embed の 2・3 により、射影平面の 3 直線 $\overline{AD},\overline{BE},\overline{CF}$ が $\ell_\infty$ の外の 1 点を通ることは $k^2$ で 1 点で交わることであり、$\ell_\infty$ の上の 1 点を通ることは、どの 2 本も平行、つまり 3 本とも平行であることである。これで 1 が示された。
段 4（交点）。$r_1r_2r_3=1$ とし、$p=(1,r_3,r_3r_1)$ とおく。$r_1\cdot r_3-r_3r_1=0$、$1-r_2\cdot r_3r_1=0$、$r_3\cdot1-r_3=0$ なので $[p]$ は 3 本の上にある。$[p]$ が $\ell_\infty$ の上にあることは $1+r_3+r_3r_1=0$ と同じで、そうでなければ $P=\iota^{-1}[p]$ は表示の式で与えられる。$\square$

有限体の平面で 3 本が平行になる場合

$k=\mathbb{F}_5$、$r_1=3$、$r_2=2$、$r_3=1$ とすると $r_1r_2r_3=6=1$ かつ $1+r_3+r_3r_1=5=0$ である。$A=(0,0)$、$B=(1,0)$、$C=(0,1)$ にとる。$\mathbb{F}_5$ では $4^{-1}=4$、$3^{-1}=2$、$2^{-1}=3$ なので、$D=\dfrac{B+3C}{4}=(4,2)$、$E=\dfrac{C+2A}{3}=(0,2)$、$F=\dfrac{A+B}{2}=(3,0)$ である。直線 $AD$、$BE$、$CF$ の方向はそれぞれ $(4,2)$、$(-1,2)=(4,2)$、$(3,-1)=(3,4)=2\cdot(4,2)$ で、3 本とも平行である。

比の積は射影的な量である

主定理は、射影平面だけで述べ直せる。三角形の頂点 $A,B,C$ を代表するベクトル $a,b,c$（$k^3$ の基底）を選び、辺の上の点を $d=\beta_1b+\gamma_1c$、$e=\gamma_2c+\alpha_2a$、$f=\alpha_3a+\beta_3b$ と書く。個々の比 $\gamma_1/\beta_1$ などは $a,b,c$ の選び方（それぞれの定数倍）で変わるが、積
$$ \frac{\gamma_1}{\beta_1}\cdot\frac{\alpha_2}{\gamma_2}\cdot\frac{\beta_3}{\alpha_3} $$
は変わらない（$a,b,c$ を $\lambda a,\mu b,\nu c$ にすると、分子と分母にそれぞれ $\lambda\mu\nu$ の逆数が掛かる）。主定理の証明は、3 本の Ceva 線が 1 点を通ることとこの積が $1$ であることの同値を示している。特に、射影変換で写り合う配置どうしで積は等しい。また、どの辺の上にもない点 $[p_1:p_2:p_3]$ は、$A,B,C$ を固定する射影変換 $[x:y:z]\mapsto[x/p_1:y/p_2:z/p_3]$ で $[1:1:1]$ に移る（射影幾何学の定理「射影枠の基本定理」の特別な場合）。こうして、1 点で交わる Ceva 線の配置は、どれも「重心と 3 本の中線」の配置と射影的に同じ形である。

標数による分かれ方

実数の平面では、1 点で交わる 3 本の Ceva 線の足 $D,E,F$ が一直線上に並ぶことはない。これは体の標数に依存する事実である。

足を結ぶ直線と標数

$AD$、$BE$、$CF$ が射影平面で 1 点を通る（$r_1r_2r_3=1$）とする。

$k$ の標数が $2$ なら、$D,E,F$ は一直線上にある。
$k$ の標数が $2$ でなければ、$D,E,F$ は一直線上にない。直線 $EF$ と直線 $BC$ は、$r_1=1$ なら平行で、$r_1\ne1$ なら
$$ \frac{BD'}{D'C}=-r_1 $$
をみたす点 $D'\ne D$ で交わる。

共線の行列式を同じ形で計算する

段 1。lem-ceva-det の前半により、$D,E,F$ が一直線上にあることは
$$ \det\begin{pmatrix}0&1&r_1\\r_2&0&1\\1&r_3&0\end{pmatrix}=1+r_1r_2r_3=0 $$
と同値である（これは Menelausの定理の主定理の判定式である）。いま $r_1r_2r_3=1$ なので、値は $2$ である。標数 $2$ なら $2=0$ で $D,E,F$ は一直線上にあり、そうでなければ一直線上にない。
段 2。標数が $2$ でないとする。射影平面で直線 $EF$ と $BC=L(1:0:0)$ は 1 点 $[0:1:s]$ で交わる（$EF=BC$ なら $E$ が $BC$ と $CA$ の共有点 $C$ になるので、$EF\ne BC$ である。また $EF$ が $C=[0:0:1]$ を通れば、$EF$ は $C$ と $E$ を通るので $CA$ になり、$F$ が $CA$ と $AB$ の共有点 $A$ になってしまう。よって交点は $C$ でなく、$[0:1:s]$ の形に書ける）。段 1 と同じ行列式で $r_1$ を $s$ に替えたものが $0$ なので $1+sr_2r_3=0$、つまり $s=-1/(r_2r_3)=-r_1$ である。$[0:1:-r_1]$ が $\ell_\infty$ の上にあるのは $1-r_1=0$ のときで、そのとき $EF$ と $BC$ は平行である。そうでなければ交点 $D'=\dfrac{B-r_1C}{1-r_1}$ の比は $-r_1$ で、$r_1\ne0$ と標数が $2$ でないことから $-r_1\ne r_1$、つまり $D'\ne D$ である。$\square$

2 の $D'$ は、$B,C$ に関して $D$ の調和共役である（実数の場合は同記事の定理「完全四角形による調和共役の作図」）。標数 $2$ では調和共役は自分自身になり、それが 1 の現れである。

Fano 平面の Ceva の配置

$k=\mathbb{F}_2$ の射影平面（7 点 7 直線。射影平面の例「Fano 平面」）で、三角形 $[1:0:0]$、$[0:1:0]$、$[0:0:1]$ と点 $[1:1:1]$ をとる。3 本の Ceva 線の足は $[0:1:1]$、$[1:0:1]$、$[1:1:0]$ で、3 点はどれも直線 $x+y+z=0$ の上にある。
この例では足がすべて $\ell_\infty=L(1:1:1)$ の上にあり、平面 $\mathbb{F}_2^2$ の中では見えない。実際、$\mathbb{F}_2$ では $k\setminus\{0,-1\}$ が空なので、平面 $\mathbb{F}_2^2$ には頂点以外の辺の上の点がない。$k=\mathbb{F}_4=\{0,1,\omega,\omega^2\}$ では $r_i\in\{\omega,\omega^2\}$ で、$r_1r_2r_3=1$ となるのは $r_1=r_2=r_3$ のときだけである。そのとき $1+r_3+r_3r_1=1+\omega+\omega^2=0$（または $\omega$ と $\omega^2$ を入れ替えた式）なので、thm-ceva-projective の 2 により 3 本の Ceva 線は平行になり、thm-ceva-char2 の 1 により足は一直線上に並ぶ。

単体の Ceva の定理

三角形の Ceva 線は「頂点と点 $P$ を通る直線」であった。$n$ 次元では、辺 $A_iA_j$ に向かい合う $(n-2)$ 次元の面と $P$ を含む超平面が、その役目を果たす。
$k^n$ の $n+1$ 点 $A_0,\dots,A_n$ を、どの $n$ 点を含む超平面にも残りの 1 点がのらないようにとる（$A_1-A_0,\dots,A_n-A_0$ が基底）。三角形のときと同じく、重心座標により $k^n$ を射影空間 $\mathbb{P}^n(k)$ の超平面 $\{x_0+\dots+x_n=0\}$ の補集合と同一視し、$A_i$ を基本ベクトル $e_i$ が張る点 $[e_i]$ とみる。$i\ne j$ ごとに、直線 $A_iA_j$ の上の頂点でない点 $D_{ij}=D_{ji}$ をとり、$r_{ij}=\dfrac{A_iD_{ij}}{D_{ij}A_j}$ とおく。$D_{ij}=\dfrac{A_i+r_{ij}A_j}{1+r_{ij}}=\dfrac{A_j+r_{ij}^{-1}A_i}{1+r_{ij}^{-1}}$ なので $r_{ji}=r_{ij}^{-1}$ であり、$D_{ij}=[e_i+r_{ij}e_j]$ である。
点 $P=[p_0:\dots:p_n]$ のどの座標も $0$ でないとき、$i\ne j$ について、$P$ と $A_l$（$l\ne i,j$）が張る射影部分空間を $H_{ij}(P)$ と書く。$n=2$ では $H_{12}(P)$ は直線 $A_0P$ である。

単体の Ceva の定理

上の設定で、次の 2 つは同値である。

どの座標も $0$ でない点 $P$ で、すべての $i\ne j$ について $D_{ij}\in H_{ij}(P)$ となるものがある。
相異なるすべての $i,j,l$ について $r_{ij}\,r_{jl}\,r_{li}=1$ である。
このとき $P=[1:r_{01}:r_{02}:\dots:r_{0n}]$ であり、$P$ はただ 1 つに決まる。

比を座標の比として読む

段 1（$H_{ij}(P)$ と辺の交わり）。$p=\sum_lp_le_l$ とおくと、$H_{ij}(P)$ に当たる部分空間は $p_ie_i+p_je_j$ と $e_l$（$l\ne i,j$）で張られる。そのベクトル $\sum_{l\ne i,j}c_le_l+c\,(p_ie_i+p_je_j)$ が $e_i,e_j$ の張る部分空間に入るのは $c_l=0$（$l\ne i,j$）のときに限る。よって $H_{ij}(P)$ と直線 $A_iA_j$ の共有点はただ 1 つ $[p_ie_i+p_je_j]$ である。
段 2（1 ⇔ 比の条件）。段 1 より、$D_{ij}=[e_i+r_{ij}e_j]\in H_{ij}(P)$ は $[e_i+r_{ij}e_j]=[p_ie_i+p_je_j]$、つまり $r_{ij}=p_j/p_i$ と同値である。したがって 1 は、すべての $i\ne j$ で $r_{ij}=p_j/p_i$ となる $0$ でない $p_0,\dots,p_n$ があることと同値である。
段 3（1 ⇒ 2）。$r_{ij}r_{jl}r_{li}=\dfrac{p_j}{p_i}\cdot\dfrac{p_l}{p_j}\cdot\dfrac{p_i}{p_l}=1$ である。
段 4（2 ⇒ 1）。$p_0=1$、$p_j=r_{0j}$（$j\ge1$）とおく。$i,j\ge1$、$i\ne j$ なら、2 を $(i,j,0)$ に使って $r_{ij}=(r_{j0}r_{0i})^{-1}=r_{0j}/r_{0i}=p_j/p_i$ であり、$i=0$ または $j=0$ のときは定義と $r_{ji}=r_{ij}^{-1}$ から同じ式が成り立つ。段 2 により 1 が成り立つ。
段 5（一意性）。段 2 より $p_j/p_0=r_{0j}$ なので、$P$ は表示の点に限る。$\square$

$n=2$ で $A_0,A_1,A_2$ を $A,B,C$ と読むと、条件 2 は $r_{01}r_{12}r_{20}=r_3r_1r_2=1$ で、thm-ceva-projective に戻る。条件 2 は、辺に値 $r_{ij}$ を置いたとき、すべての 2 次元の面（三角形）を一周する積が $1$ になるという条件であり、それが「頂点の値の比 $p_j/p_i$ で書ける」ことと同値であるというのが定理の内容である。これはコサイクル条件と、それが頂点の量の比として解けることの、いちばん簡単な場合に当たる。段 4 が示すように、$0$ を含む三角形での条件だけから残りの条件が出る。

四面体の中点

$n=3$ で、すべての $D_{ij}$ を辺の中点にとると $r_{ij}=1$ で、条件 2 が成り立つ。$P=[1:1:1:1]$ は重心 $\frac14(A_0+A_1+A_2+A_3)$ で、$H_{01}(P)$ は辺 $A_2A_3$ と重心を含む平面である。この平面が辺 $A_0A_1$ をその中点で切ることが、定理の 1 の内容である。$k=\mathbb{R}$ で $r_{ij}>0$ がすべて成り立つなら、$p_j=r_{0j}>0$ なので $P$ は四面体の内部の点である。

球面の Ceva の定理

単位球面 $S^2\subset\mathbb{R}^3$ の点を位置ベクトルで表す。球面三角法の記号に合わせ、1 次独立な単位ベクトル $A,B,C$ を頂点とし、2 点ずつを大円の短い弧で結んだものを球面三角形とする。2 点 $X,Y$ の距離（弧の長さ）を $XY$ と書く。

球面三角形の Ceva の定理

球面三角形 $ABC$ の辺の弧 $BC$、$CA$、$AB$ の内部に点 $D,E,F$ をとる。$A$ と $D$、$B$ と $E$、$C$ と $F$ を通る 3 つの大円が共通の 1 組の対蹠点を通ることは
$$ \frac{\sin BD}{\sin DC}\cdot\frac{\sin CE}{\sin EA}\cdot\frac{\sin AF}{\sin FB}=1 $$
と同値である。

中心からの射影で射影平面に移す

段 1（弧の上の点の分解）。弧 $BC$ の長さを $a$（$0< a<\pi$）、$\theta=BD$ とすると $0<\theta< a$、$DC=a-\theta$ である。$B,C$ の張る平面に $u=B$ を含む正規直交基底 $u,w$ を、$C=\cos a\,u+\sin a\,w$ となるようにとると $D=\cos\theta\,u+\sin\theta\,w$ である。$D=\beta B+\gamma C$ とおいて $w$ の成分を比べると $\gamma\sin a=\sin\theta$、$u$ の成分から $\beta=\cos\theta-\gamma\cos a=\dfrac{\sin(a-\theta)}{\sin a}$ である。よって
$$ D=\frac{\sin DC\cdot B+\sin BD\cdot C}{\sin BC} $$
であり、$E$、$F$ も同じ形に書ける。
段 2（射影平面へ）。大円は原点を通る平面と $S^2$ の交わりなので、$X\mapsto[X]$ により大円は $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ の直線に、1 組の対蹠点は 1 点に対応する。3 つの大円が共通の対蹠点を通ることは、対応する 3 直線が 1 点を通ることである。$A,B,C$ を $e_1,e_2,e_3$ に写す線形同型で座標をとると、段 1 より
$$ D=[0:1:r_1],\quad E=[r_2:0:1],\quad F=[1:r_3:0],\qquad r_1=\frac{\sin BD}{\sin DC},\ r_2=\frac{\sin CE}{\sin EA},\ r_3=\frac{\sin AF}{\sin FB} $$
である。$r_1,r_2,r_3\ne0$ なので、prf-ceva-projective の段 1・段 2（射影平面の中だけの計算）がそのまま使え、3 直線が 1 点を通ることは $r_1r_2r_3=1$ と同値である。$\square$

この定理とその逆は、正弦定理を使う形で Tod86 Art. 188–189 にある。平面の Ceva の定理は、小さい球面三角形の極限として、$\sin x\approx x$ から読める。

例と反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
$D,E,F$ は頂点でない	$D=F=B$、$E$ は辺 $CA$ の内部	3 直線 $AB$、$BE$、$CB$ は $B$ を通るが、$\frac{AF}{FB}$ が定義されず、比の積で判定できない
平行な場合を含める（thm-ceva-projective の 1）	ex-ceva-parallel	$r_1r_2r_3=1$ なのに、$k^2$ の中に共通の点がない
比に符号をつける	$k=\mathbb{R}$、$r_1=r_2=2$、$r_3=-\frac14$	長さの比の積は $1$ だが符号つきの積は $-1$ で、3 本は 1 点で交わらず平行でもない（足は一直線上にある：Menelausの定理）
標数が $2$ でない（thm-ceva-char2 の 2）	ex-ceva-fano	射影平面で 1 点を通る Ceva 線の足が一直線上に並ぶ（$\mathbb{F}_4$ では 3 本は平行）
すべての 2 次元の面で積が $1$（thm-ceva-simplex）	$n=3$、$r_{01}=r_{12}=r_{02}=1$、$r_{03}=r_{23}=1$、$r_{13}=2$	面 $A_0A_1A_2$ では積が $1$ だが、面 $A_0A_1A_3$ で $r_{01}r_{13}r_{30}=2$ となり、条件 1 の $P$ がない
正弦の比を使う（cor-ceva-sphere）	$A,B,C$ を座標軸の上の単位ベクトル、$BD=CE=\frac\pi3$、$AF=\frac\pi{10}$	弧の長さの比の積は $2\cdot2\cdot\frac14=1$ だが、正弦の比の積は $\tan^2\frac\pi3\tan\frac\pi{10}=0.974\ldots$ で、3 つの大円は共通の点を通らない

3 行目の配置では、prf-ceva-char2 の段 1 の行列式が $1+r_1r_2r_3=0$ になる。6 行目では辺の弧の長さがどれも $\frac\pi2$ なので、$\frac{\sin BD}{\sin DC}=\tan BD$ などとなる。

さらに先へ

比を角の正弦で書き直した形は三角関数形のCevaの定理、1 点で交わらない 3 本の Ceva 線がつくる三角形の面積は Routhの定理で扱う。
射影平面の点と直線の双対によって、Ceva の定理は Menelausの定理に移る。2 つの判定式 $1-r_1r_2r_3$ と $1+r_1r_2r_3$ の符号の違いは、双対で比が $r\mapsto-1/r$ と変わることから来る。
thm-ceva-char2 は、4 点 $A,B,C,P$ がつくる完全四角形の 3 つの対角点 $D,E,F$ が一直線上にあるかどうかを述べている。射影平面の公理系では、対角点が一直線上にないことを要請する公理を Fano の公理と呼び、ex-ceva-fano はそれが成り立たない例である。Desarguesの定理・複比・調和共役とあわせて読むとよい。
定理の名は、1678 年の著書 De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio で発表した G. Ceva による（OR12）。