楕円の周の長さ

楕円の点を $(x,y)=(3\cos t,\ 2\sin t)$（$0\le t\le2\pi$）と表す。$\dfrac{dx}{dt}=-3\sin t$、$\dfrac{dy}{dt}=2\cos t$ なので、周の長さは
$$ L=\int_0^{2\pi}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt=\int_0^{2\pi}\sqrt{9\sin^2t+4\cos^2t}\,dt=\int_0^{2\pi}\sqrt{4+5\sin^2t}\,dt $$
である（$4\cos^2t=4-4\sin^2t$ を使った）。
円 $x^2+y^2=r^2$ なら同じ計算で被積分関数は $\sqrt{r^2\sin^2t+r^2\cos^2t}=r$ となり、$L=2\pi r$ が出る。ところが $\sqrt{4+5\sin^2t}$ は、高校で習う関数では原始関数が書けないことが知られている（rem-peri-elliptic。この記事では証明しない）。数値積分で求めると
$$ L=15.8654\ldots $$
である（ex-peri-simpson の計算）。

$a=3$、$b=2$ で、次の 3 つの円の周を求める。

• 半径が $a$ と $b$ の平均 $\dfrac{a+b}2=\dfrac52$ の円：周 $\pi(a+b)=5\pi=15.707\ldots$
• 半径が $a^2$ と $b^2$ の平均の平方根 $\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}2}=\sqrt{6.5}$ の円：周 $2\pi\sqrt{6.5}=\pi\sqrt{2(a^2+b^2)}=16.019\ldots$
• 面積が楕円と同じ（$\pi ab=6\pi$）円、半径 $\sqrt{ab}=\sqrt6$：周 $2\pi\sqrt6=15.390\ldots$
  楕円の周 $15.865\ldots$ は、はじめの 2 つの間にある。3 つ目より大きい。

1. $a=3$、$b=2$：$\pi(a+b)=15.707\ldots\le L=15.865\ldots\le\pi\sqrt{26}=16.019\ldots$ である。下の評価は $L$ より $0.157\ldots$ 小さく、上の評価は $0.153\ldots$ 大きい。
2. $a=3$、$b=1$：$\pi(a+b)=12.566\ldots\le L=13.364\ldots\le\pi\sqrt{20}=14.049\ldots$ である。
3. $a=1$ で $b$ を $0$ に近づけると、楕円は長さ $2$ の線分 $-1\le x\le1$ に近づき、$L(1,b)$ は線分を往復する長さ $4$ に近づく（被積分関数は $\lvert\sin t\rvert$ に近づき、$\displaystyle\int_0^{2\pi}\lvert\sin t\rvert\,dt=4$）。評価の両端は $\pi=3.14\ldots$ と $\sqrt2\,\pi=4.44\ldots$ に近づく。どちらの評価も、$b$ が小さいほど誤差が大きい。

$f(t)=\sqrt{9\sin^2t+4\cos^2t}$ とし、$\left[0,\dfrac\pi2\right]$ を $N$ 等分（$N$ は偶数）して Simpson の公式（台形公式とSimpsonの公式（高校数学））を使い、4 倍する。$N=2$ では刻み $h=\dfrac\pi4$ で、$f(0)=2$、$f\!\left(\dfrac\pi4\right)=\sqrt{6.5}=2.5495\ldots$、$f\!\left(\dfrac\pi2\right)=3$ から
$$ 4\cdot\frac h3\left\{f(0)+4f\!\left(\frac\pi4\right)+f\!\left(\frac\pi2\right)\right\}=\frac\pi3\,(2+10.198\ldots+3)=15.915\ldots $$
である。$N$ を増やすと次のようになる。

$N=16$ で小数第 10 位まで $L=15.8654395893\ldots$ が求まる。誤差は精度の高い数値積分（計算機の多倍長計算）で求めた値との差である。

楕円は、円 $x^2+y^2=a^2$ の $y$ 座標を $\dfrac ba$ 倍したものである。面積はこの変換で一律に $\dfrac ba$ 倍になり、楕円の面積は $\pi a^2\cdot\dfrac ba=\pi ab$ である（1次変換と行列式：面積の拡大率）。同じことを周で行うと $2\pi a\cdot\dfrac ba=2\pi b=12.566\ldots$（$a=3$、$b=2$）となるが、正しい周は $15.865\ldots$ である。
理由は、長さの拡大率が場所によって違うことにある。円の点 $(a\cos t,a\sin t)$ の速さは $a$、楕円の点 $(a\cos t,b\sin t)$ の速さは $\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}$ で、比は $\sqrt{\sin^2t+\dfrac{b^2}{a^2}\cos^2t}$ である。これは $t=0$（縦に進む所）で $\dfrac ba$、$t=\dfrac\pi2$（横に進む所）で $1$ になる。たとえば円の $-0.2\le t\le0.2$ の弧と $\dfrac\pi2-0.2\le t\le\dfrac\pi2+0.2$ の弧はどちらも長さ $0.4a=1.2$ だが、楕円に移すと長さは $0.806\ldots$ と $1.195\ldots$ になる（数値積分）。

$\pi(a+b)$ は半径 $\dfrac{a+b}2$ の円の周、$\pi\sqrt{2(a^2+b^2)}$ は半径 $\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}2}$ の円の周である。thm-peri-main の等号の条件により、$a\ne b$ なら $L$ はどちらとも等しくない。$a=3$、$b=2$ では $L=15.865\ldots$ に対して $15.707\ldots$ と $16.019\ldots$ である。後者は、速さの 2 乗の平均 $\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi}f^2\,dt=\dfrac{a^2+b^2}2$ の平方根を「平均の速さ」とみなした値で、根号と平均の順を入れかえると等しくならない（図 2 の赤と灰色の線の差）。