エタール位相

同義語：étale topologyetale topology

概要

前提知識: エタール射, Grothendieck位相, 層, 分離閉包, 絶対Galois群

複素数体上の乗法群 $\mathbb{G}_{m}=\operatorname{Spec}\mathbb{C}[u,u^{-1}]$ の座標 $u$ は、複素位相では各点の近くで平方根 $\sqrt{u}$ をもつ（$\mathbb{C}^\times$ の各点の小さな円板の上で平方根の枝がとれる）。しかし Zariski 位相の開集合は大きすぎて、空でないどの Zariski 開集合の上でも $u$ は正則関数の平方にならない（prop-etale-topology-kummer）。そこで開集合の包含の代わりに、「局所同相写像」の代数版であるエタール射 $U\to X$ を開集合とみなし、エタール射の族で像が全体を覆うものを被覆とする。これがエタール位相である。2 乗写像 $\mathbb{G}_m\to\mathbb{G}_m$ はそのような被覆であり、その上では $u$ が平方になる。エタール位相は点の集合の上の位相ではなく、スキームの圏の上のGrothendieck位相であり、その上の層（エタール層）とそのコホモロジー（エタールコホモロジー）が、複素多様体の特異コホモロジーに相当する情報を任意の体の上で与える。体 $K$ の 1 点 $\operatorname{Spec}K$ の上では、エタール層は $K$ の絶対Galois群が作用する集合と同じものになる。

定義

以下、スキームの射 $\varphi\colon U\to X$ がエタールであることはエタール射の記事の定義「エタール射の定義」（平坦・不分岐・局所有限表示）に従う。

エタール被覆

スキーム $U$ のエタール被覆（étale covering）とは、スキームの射の族 $\{\varphi_i\colon U_i\to U\}_{i\in I}$ であって、次の 2 条件を満たすものをいう。
(R1) 各 $\varphi_i$ はエタール射である。
(R2) $U_i$ の像は $U$ を覆う。すなわち $U=\bigcup_{i\in I}\varphi_i(U_i)$ である。

この定義は Stacks Étale Cohomology, Definition 27.1（Tag 03PG）による。条件 (ii) は、非交和 $\coprod_iU_i\to U$ が全射であることと同じである。1 つの射 $U'\to U$ だけからなる族 $\{U'\to U\}$ も、全射なエタール射ならエタール被覆である。この点が開被覆と大きく違い、重要なエタール被覆の多くは 1 つの射からなる（Stacks Étale Cohomology, Remark 4.2、Tag 03N6）。

エタール位相

$X$ をスキームとする。$X$ 上のスキームの圏 $\mathrm{Sch}/X$ で、各対象 $U$ の被覆をエタール被覆と定めたものは Grothendieck 位相になる（prop-etale-topology-axioms）。これをエタール位相（étale topology）といい、この景を $X$ の大エタール景 $(\mathrm{Sch}/X)_{\mathrm{\acute{e}t}}$ という。$X$ 上エタールなスキームだけからなる充満部分圏に同じ被覆を入れた景を小エタール景 $X_{\mathrm{\acute{e}t}}$ という。これらの景の上の層をエタール層という。

小エタール景はエタールコホモロジーの記事の定義「小エタール景」と同じものである。景の上の層の定義は Grothendieck位相の記事の定義「景上の層」による。すなわち、$X_{\mathrm{\acute{e}t}}$ の上の前層 $F$（反変関手 $F\colon X_{\mathrm{\acute{e}t}}\to\mathbf{Set}$）がエタール層であるとは、任意のエタール被覆 $\{U_i\to U\}_{i\in I}$ について
$$ F(U)\longrightarrow\prod_{i\in I}F(U_i)\ \rightrightarrows\ \prod_{(i,j)\in I\times I}F(U_i\times_UU_j) $$
が等化子になることである。左の写像は制限 $s\mapsto(s|_{U_i})_i$、右の 2 本の写像は $(s_i)_i$ を $(s_i|_{U_i\times_UU_j})_{i,j}$ と $(s_j|_{U_i\times_UU_j})_{i,j}$ に送る写像である。$i=j$ の項 $U_i\times_UU_i$ は一般に $U_i$ と異なるので、1 つの射からなる被覆 $\{U'\to U\}$ でも条件は空でない（Stacks Étale Cohomology, Definition 4.1・Remark 4.2、Tag 03N5・03N6）。アーベル群に値をとる層も同様に定める。

直感

$X$ が複素数体上の滑らかな多様体なら、エタール射 $U\to X$ は、各点の近くで複素解析的に局所同型になる射である。たとえば $t\mapsto t^2$ で定まる $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[t]\to\operatorname{Spec}\mathbb{C}[t]$ は $t=0$ でエタールでないが、$t=0$ を除けばエタールになる（Stacks Étale Cohomology, Section 4、Tag 03N4）。エタール被覆は、開被覆に加えて「有限次の被覆空間」のような写像も被覆として許し、平方根や $n$ 乗根のような多価関数の枝を局所的に選べるようにする。その代わり「開集合の共通部分」は $U_i\times_UU_j$ に置き換わる。
体 $K$ の 1 点 $\operatorname{Spec}K$ は Zariski 位相では何の構造ももたないが、エタール位相では有限次分離拡大 $L$ の $\operatorname{Spec}L$ を「開集合」としてもち、層の条件は「Galois 群の作用で不変な切断が下の切断である」という形になる（prop-etale-topology-invariants）。1 点の上のエタール位相は、体の Galois 理論そのものである。

基本性質

Grothendieck 位相であること

エタール被覆の公理

スキームの射の族について、次が成り立つ。

同型 $V\to U$ だけからなる族 $\{V\to U\}$ はエタール被覆である。
$\{U_i\to U\}_{i\in I}$ がエタール被覆で、各 $i$ について $\{V_{ij}\to U_i\}_{j\in J_i}$ がエタール被覆なら、合成の族 $\{V_{ij}\to U\}_{i,j}$ はエタール被覆である。
$\{U_i\to U\}_{i\in I}$ がエタール被覆で、$V\to U$ が任意の射なら、$\{U_i\times_UV\to V\}_{i\in I}$ はエタール被覆である。
さらに、$X$ 上エタールなスキーム $U,V,W$ と $X$ 上の射 $V\to U$、$W\to U$ について、$V\times_UW$ は $X$ 上エタールであり、$X$ 上エタールなスキームの間の $X$ 上の射はエタールである。したがってエタール被覆は $\mathrm{Sch}/X$ と $X_{\mathrm{\acute{e}t}}$ の上の Grothendieck 位相を定める。

要点：エタール射は同型を含み、合成と底変換で保たれる（エタール射の記事の例「開埋め込みと同型」、命題「合成と底変換」）。全射性も合成と底変換で保たれる。

詳しい証明を開く

1：同型は開埋め込みなのでエタールであり、全射である。

2：エタール射の合成はエタールである（エタール射の記事の命題「合成と底変換」の 1）。全射性：$u\in U$ をとると $u=\varphi_i(u_i)$ となる $i$ と $u_i\in U_i$ があり、さらに $u_i$ は $V_{ij}\to U_i$ のどれかの像に入るので、$u$ は合成のどれかの像に入る。

3：エタール射は底変換で保たれる（同じ命題の 2）。全射性：像が $U$ を覆うことは $\pi\colon\coprod_iU_i\to U$ が全射であることと同じである。スキームのファイバー積は非交和と交換するので $\bigl(\coprod_iU_i\bigr)\times_UV=\coprod_i(U_i\times_UV)$ であり、全射の底変換は全射なので（Stacks Morphisms, Lemma 9.4、Tag 01S1）、$\coprod_i(U_i\times_UV)\to V$ は全射である。

後半：$X$ 上エタールなスキームの間の $X$ 上の射はエタールである（エタール射の記事の注意「消去律」、Stacks Morphisms, Lemma 37.19、Tag 02GW）。とくに $V\to U$ はエタールで、その底変換 $V\times_UW\to W$ もエタールであり、$W\to X$ と合成して $V\times_UW\to X$ はエタールである。したがって $X_{\mathrm{\acute{e}t}}$ はファイバー積をもち、1〜3 の族は $X_{\mathrm{\acute{e}t}}$ の中にとどまる。1〜3 は Grothendieck位相の記事の定義「Grothendieck位相」の 3 条件である。$\square$

3 の底変換は、次の図式が引き戻しの図式（ファイバー積）であることを意味する。
$$ \xymatrix{ U_i\times_UV \ar[r] \ar[d] & U_i \ar[d]^{\varphi_i} \\ V \ar[r] & U } $$
図式が可換とは、$U_i\times_UV$ から $U$ への 2 つの合成が等しいことであり、3 は「左の縦の射がエタールで、$i$ を動かすと像が $V$ を覆う」ことを述べている。

Zariski 位相との比較

Zariski 位相より細かいこと

$X$ をスキームとする。

$X$ 上のスキーム $U$ の Zariski 開被覆 $\{V_i\hookrightarrow U\}$（$V_i\subset U$ は開部分スキームで $\bigcup_iV_i=U$）はエタール被覆である。とくに $X$ の開部分スキームは $X_{\mathrm{\acute{e}t}}$ の対象である。
エタール層は、Zariski 開被覆についても層の条件を満たす。
$X$ 上のスキーム $T$ の関手 $h_T\colon U\mapsto\operatorname{Hom}_X(U,T)$ はエタール層である。とくに $U\mapsto\Gamma(U,\mathcal{O}_U)$、$U\mapsto\Gamma(U,\mathcal{O}_U)^\times$、$U\mapsto\{a\in\Gamma(U,\mathcal{O}_U)^\times\mid a^n=1\}$ はエタール層である。

1：開埋め込みはエタールであり（エタール射の記事の例「開埋め込みと同型」）、像の合併が $U$ である。2：1 により Zariski 開被覆はエタール被覆なので、Grothendieck位相の記事の命題「細かい位相の層は粗い位相の層」による。3：同じ記事の定理「表現可能関手は層（引用）」により、$h_T$ は fppf 位相の層であり、エタール被覆は fppf 被覆なので（fppf位相の記事の注意「エタール被覆はfppf被覆」）エタール層である。3 つの関手はそれぞれ $T=\mathbb{A}^1_X$、$\mathbb{G}_{m,X}$、$\mu_{n,X}$ で表される。$\square$

1 の逆は成り立たない。次の命題は、エタール被覆で初めて見えるものがあることを示す。

Kummer 被覆

$k$ を体、$n\ge2$ を $k$ の標数で割り切れない整数とし、$\mathbb{G}_m=\operatorname{Spec}k[u,u^{-1}]$ の $n$ 乗写像 $[n]\colon\mathbb{G}_m\to\mathbb{G}_m$（$u\mapsto u^n$ に対応する射）を考える。

$\{[n]\colon\mathbb{G}_m\to\mathbb{G}_m\}$ はエタール被覆である。この被覆の上では、座標 $u$ は $n$ 乗になる。
$\mathbb{G}_m$ の空でないどの開部分スキーム $V$ の上でも、$u|_V$ は $\Gamma(V,\mathcal{O}_V)$ の元の $n$ 乗にならない。とくに $[n]$ は、空でないどの Zariski 開集合の上でも切断（$[n]\circ s$ が包含となる射 $s\colon V\to\mathbb{G}_m$）をもたない。

1：$[n]$ がエタールであることはエタール射の記事の例「乗法群の $n$ 乗写像」による。全射性：下の $\mathbb{G}_m$ の点 $y$ で $u$ の値を $a\in\kappa(y)^\times$ とすると、$y$ のファイバーは $\operatorname{Spec}\kappa(y)[t]/(t^n-a)$ であり、$t^n-a$ は次数 $n\ge1$ なのでこの環は $0$ でなく、ファイバーは空でない。上の $\mathbb{G}_m$ の座標を $t$ と書くと、$u$ の引き戻しは $t^n$ である。
2：$V$ は空でない基本開集合 $D(g)=\operatorname{Spec}k[u,u^{-1},g^{-1}]$（$0\neq g\in k[u,u^{-1}]$）を含むので、$D(g)$ の上で示せば十分である。$f\in k[u,u^{-1},g^{-1}]\subset k(u)$ が $f^n=u$ を満たすとすると、$u$ についての位数（$u$ で何回割れるか）を比べて $n\cdot(\text{整数})=1$ となり矛盾する。

詳細

$k[u,u^{-1},g^{-1}]$ は有理関数体 $k(u)$ の部分環であり、$k(u)$ の $0$ でない元 $h$ に対し、$h=u^m\,a/b$（$a,b\in k[u]$ は $u$ で割り切れない）と書いたときの $m$ を $\operatorname{ord}(h)$ とおくと、$\operatorname{ord}(h_1h_2)=\operatorname{ord}(h_1)+\operatorname{ord}(h_2)$ である。$f^n=u$ から $n\operatorname{ord}(f)=\operatorname{ord}(u)=1$ となり、$n\ge2$ に反する。

切断 $s$ があれば、$s$ が引き戻す座標 $t$ の像 $f=s^*(t)$ は $f^n=u|_V$ を満たすので、これも起こらない。$\square$

2 の議論は $k$ の標数によらない。この命題は、層の射 $\mathbb{G}_m\to\mathbb{G}_m$、$a\mapsto a^n$ が、エタール位相では全射（各切断が被覆の上で局所的に $n$ 乗になる。Kummer完全列の記事の定理「Kummer完全列」）だが、$X=\mathbb{G}_{m,k}$ の Zariski 位相では全射でない（座標 $u$ はどの Zariski 開被覆の上でも $n$ 乗にならない）ことを示している。

体のスペクトルの上のエタール位相

以下、$K$ を体とする。$K$ 代数 $A$ が有限次元のとき、$\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}K$ がエタールであるような $A$ を有限エタール $K$ 代数という。

体の上の有限エタール代数

$A$ を有限次元の $K$ 代数とする。$\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}K$ がエタールであることと、$K$ の有限次分離拡大体 $L_1,\dots,L_r$ によって $A\cong L_1\times\cdots\times L_r$（$K$ 代数としての同型）と書けることは同値である。

（⇐）$\operatorname{Spec}(L_1\times\cdots\times L_r)$ は開かつ閉な部分スキーム $\operatorname{Spec}L_i$ の非交和であり、各 $\operatorname{Spec}L_i\to\operatorname{Spec}K$ は $L_i/K$ が有限次分離拡大なのでエタールである（エタール射の記事の例「体の分離拡大」）。エタールであることは各点の近傍で決まる性質なので、$\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}K$ はエタールである。
（⇒）$A$ の素イデアルはすべて極大で有限個 $\mathfrak{m}_1,\dots,\mathfrak{m}_r$ しかない。不分岐性により各局所環 $A_{\mathfrak{m}_i}$ は $K$ の有限次分離拡大体 $A/\mathfrak{m}_i$ になり、そこから $A$ が被約で $\mathfrak{m}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{m}_r=0$ となるので、中国の剰余定理により $A\cong\prod_{i=1}^rA/\mathfrak{m}_i$ である。

（⇒）の詳しい証明を開く

素イデアルは極大：素イデアル $\mathfrak{p}\subset A$ について $A/\mathfrak{p}$ は有限次元の整域であり、$0$ でない元 $x$ を掛ける $K$ 線形写像は単射なので全射、すなわち $x$ は可逆である。よって $A/\mathfrak{p}$ は体であり、$\mathfrak{p}$ は極大イデアルである。

極大イデアルは有限個：相異なる極大イデアル $\mathfrak{m}_1,\dots,\mathfrak{m}_s$ は互いに素なので、中国の剰余定理により $A\to\prod_{i=1}^sA/\mathfrak{m}_i$ は全射であり、$s\le\dim_KA$ である。よって $A$ の極大イデアルは有限個 $\mathfrak{m}_1,\dots,\mathfrak{m}_r$ である。

局所環が体：点 $x=\mathfrak{m}_i$ で $\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}K$ は不分岐なので、エタール射の記事の定義「不分岐な射」の条件 1 により、$\operatorname{Spec}K$ の点の極大イデアル $0$ が生成するイデアル $0$ が $A_{\mathfrak{m}_i}$ の極大イデアルに等しい。すなわち $A_{\mathfrak{m}_i}$ は体であり、同じ定義の条件 2 により $A_{\mathfrak{m}_i}=A/\mathfrak{m}_i$ は $K$ の有限次分離拡大である。

被約：冪零元 $a$ はすべての $A_{\mathfrak{m}_i}$（体）で $0$ になるので、各 $i$ について $s_ia=0$ となる $s_i\notin\mathfrak{m}_i$ がある。$a$ の零化イデアルはどの極大イデアルにも含まれないので $A$ 全体であり、$a=0$ である。冪零元全体は素イデアル全体の共通部分なので $\mathfrak{m}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{m}_r=0$ であり、中国の剰余定理により $A\cong\prod_{i=1}^rA/\mathfrak{m}_i$ となる。$\square$

より一般に、$K$ 上エタールなスキームは、$K$ の有限次分離拡大体のスペクトルの（有限とは限らない）非交和である（Stacks Morphisms, Lemma 37.7、Tag 02GL、Étale Cohomology, Proposition 26.2 の 1、Tag 03PC）。したがって $(\operatorname{Spec}K)_{\mathrm{\acute{e}t}}$ の上の層は、有限次分離拡大 $L$ の上の値 $F(\operatorname{Spec}L)$ と、それらの間の射による制限写像でほぼ決まる。その制限写像を調べる鍵が次の補題である。

Galois 拡大のテンソル積

$L/K$ を有限次 Galois 拡大、$\Gamma=\operatorname{Gal}(L/K)$ とする。$K$ 代数の準同型
$$ \Theta\colon L\otimes_KL\longrightarrow\prod_{\sigma\in\Gamma}L,\qquad a\otimes b\longmapsto(a\,\sigma(b))_{\sigma\in\Gamma} $$
は同型である。したがって $\operatorname{Spec}L\times_{\operatorname{Spec}K}\operatorname{Spec}L$ は $\lvert\Gamma\rvert$ 個の $\operatorname{Spec}L$ の非交和であり、$\sigma$ 番目の成分 $\operatorname{Spec}L$ の上で第 1 射影は恒等写像、第 2 射影は $\operatorname{Spec}(\sigma)$ である。

要点：$L=K(\theta)$ と原始元で書くと $L\otimes_KL\cong L[x]/(m_{\theta,K})$ であり、$m_{\theta,K}$ は $L$ で相異なる 1 次式 $x-\sigma(\theta)$ の積に分解するので、中国の剰余定理で $L$ の積に分かれる。

詳しい証明を開く

原始元定理（分離拡大の記事の定理「原始元定理」）により $L=K(\theta)$ と書け、$f=m_{\theta,K}$ とすると $L\cong K[x]/(f)$、$\theta\leftrightarrow x$ である。よって $L\otimes_KL\cong L\otimes_KK[x]/(f)\cong L[x]/(f)$（$a\otimes g(\theta)\mapsto a\,g(x)$）である。$L/K$ は Galois なので、$f$ は $L$ の中で相異なる根 $\sigma(\theta)$（$\sigma\in\Gamma$）をもち、$f=\prod_{\sigma\in\Gamma}(x-\sigma(\theta))$ である（根の個数は $\deg f=[L:K]=\lvert\Gamma\rvert$。$\sigma\mapsto\sigma(\theta)$ は単射）。1 次式 $x-\sigma(\theta)$ は互いに素なので、中国の剰余定理により $L[x]/(f)\to\prod_{\sigma\in\Gamma}L[x]/(x-\sigma(\theta))=\prod_{\sigma\in\Gamma}L$、$g(x)\mapsto(g(\sigma(\theta)))_\sigma$ は同型である。合成すると $a\otimes g(\theta)\mapsto(a\,g(\sigma(\theta)))_\sigma=(a\,\sigma(g(\theta)))_\sigma$ となり、$\Theta$ に一致する。$\sigma$ 番目の成分への環準同型 $L\otimes_KL\to L$ は $a\otimes b\mapsto a\sigma(b)$ なので、$a\mapsto a\otimes1$ との合成は恒等写像、$b\mapsto1\otimes b$ との合成は $\sigma$ である。$\square$

たとえば $L=\mathbb{C}$、$K=\mathbb{R}$ なら $\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}\cong\mathbb{C}\times\mathbb{C}$、$a\otimes b\mapsto(ab,a\bar b)$ である。
$L/K$ を有限次 Galois 拡大とし、$(\operatorname{Spec}K)_{\mathrm{\acute{e}t}}$ の上の層 $F$ を考える。$\sigma\in\Gamma$ に対し $\sigma\cdot s:=F(\operatorname{Spec}\sigma)(s)$（$s\in F(\operatorname{Spec}L)$）とおくと、$\operatorname{Spec}(\tau\sigma)=\operatorname{Spec}(\sigma)\circ\operatorname{Spec}(\tau)$ と $F$ の反変性から $(\tau\sigma)\cdot s=\tau\cdot(\sigma\cdot s)$ となり、$\Gamma$ は $F(\operatorname{Spec}L)$ に左から作用する。

層の条件と Galois 不変元

上の状況で、制限写像 $F(\operatorname{Spec}K)\to F(\operatorname{Spec}L)$ は単射であり、その像は $\Gamma$ で不変な元の全体 $F(\operatorname{Spec}L)^\Gamma$ である。

$\{\pi\colon\operatorname{Spec}L\to\operatorname{Spec}K\}$ はエタール被覆である（$L/K$ は分離的なのでエタール射の記事の例「体の分離拡大」によりエタールで、1 点への射なので全射）。層の条件により
$$ F(\operatorname{Spec}K)\longrightarrow F(\operatorname{Spec}L)\ \rightrightarrows\ F(\operatorname{Spec}(L\otimes_KL)) $$
は等化子である。lem-etale-topology-galois-tensor により $\operatorname{Spec}(L\otimes_KL)$ は $\lvert\Gamma\rvert$ 個の $\operatorname{Spec}L$ の非交和なので、$F(\operatorname{Spec}(L\otimes_KL))=\prod_{\sigma\in\Gamma}F(\operatorname{Spec}L)$ である。

詳細

非交和の成分は互いに交わらない Zariski 開被覆をなし、$F$ はこの被覆についても層の条件を満たす（prop-etale-topology-zariski の 2）。異なる成分の共通部分は空スキームであり、空スキームは空な族で被覆されるので $F(\emptyset)$ は 1 点集合である。よって層の条件は $F(\operatorname{Spec}(L\otimes_KL))\to\prod_\sigma F(\operatorname{Spec}L)$ が全単射であることを意味する。

同じ補題の射影の記述により、2 本の写像はこの同一視のもとで $s\mapsto(s)_\sigma$ と $s\mapsto(\sigma\cdot s)_\sigma$ になる。よって等化子は $\{s\mid\text{すべての }\sigma\text{ について }\sigma\cdot s=s\}=F(\operatorname{Spec}L)^\Gamma$ であり、$F(\operatorname{Spec}K)$ はこれと制限写像によって全単射に対応する。$\square$

たとえば表現可能な層 $F=\mathbb{G}_m$（$F(U)=\Gamma(U,\mathcal{O}_U)^\times$）で $K=\mathbb{R}$、$L=\mathbb{C}$ とすると、$\sigma$ が複素共役のとき $\sigma\cdot z=\bar z$ であり、命題は $\mathbb{R}^\times=(\mathbb{C}^\times)^{\{1,\sigma\}}$ という当たり前の等式になる。一般の層でも、$\operatorname{Spec}K$ の上の値は Galois 拡大の上の値の Galois 不変部分で決まる。
次に、$K$ の分離閉包 $K^{\mathrm{sep}}$ を 1 つ固定し、$G=G_K=\operatorname{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K)$ を絶対 Galois 群とする。集合 $M$ に $G$ が作用し、各点の固定部分群が開であるとき、$M$ を連続な $G$ 集合という。有限エタール $K$ 代数 $A$ に対し、$K$ 代数の準同型 $A\to K^{\mathrm{sep}}$ 全体の集合
$$ \Phi(A):=\operatorname{Hom}_K(A,K^{\mathrm{sep}}) $$
に、$\sigma\cdot\lambda:=\sigma\circ\lambda$ で $G$ を作用させる。

有限エタール代数と有限 G 集合

$\Phi(A)$ は $\dim_KA$ 個の元からなる有限な連続 $G$ 集合である。
$A$ が体なら $G$ は $\Phi(A)$ に推移的に作用する。$A\cong L_1\times\cdots\times L_r$（$L_i$ は体）なら、$\Phi(A)$ は $\Phi(L_1),\dots,\Phi(L_r)$ の非交和であり、これが軌道への分解である。
$A\mapsto\Phi(A)$ は、有限エタール $K$ 代数の同型類全体から、有限な連続 $G$ 集合の（$G$ 集合としての）同型類全体への全単射を与える。この対応で、体は推移的な $G$ 集合に対応する。

要点：体 $L$ については、$L$ の $K^{\mathrm{sep}}$ への埋め込み $\lambda$ の固定部分群は $\lambda(L)$ に対応する開部分群であり、絶対Galois群の記事の定理「有限次分離拡大と開部分群の対応」によって、推移的な $G$ 集合 $G/H$ と有限次分離拡大が一対一に対応する。一般の $A$ は thm-etale-topology-finite-etale-algebras により体の積なので、軌道に分けて体の場合に帰着する。

詳しい証明を開く

1・2：まず $A=L$ が体の場合。$L/K$ は有限次分離拡大なので、絶対Galois群の記事の定理「有限次分離拡大と開部分群の対応」の証明と同じく、原始元 $\theta$ の最小多項式の $K^{\mathrm{sep}}$ における相異なる $[L:K]$ 個の根に応じて $\lvert\Phi(L)\rvert=[L:K]$ である。$\lambda\in\Phi(L)$ の固定部分群は $\{\sigma\mid\sigma|_{\lambda(L)}=\mathrm{id}\}=G_{\lambda(L)}$ であり、同じ定理の 1 により開である。$\lambda,\lambda'\in\Phi(L)$ に対し、$\lambda'\circ\lambda^{-1}\colon\lambda(L)\to K^{\mathrm{sep}}$ は同じ記事の補題「埋め込みの延長」により $\sigma\in G$ に延長され、$\sigma\circ\lambda=\lambda'$ となるので、作用は推移的である。

次に $A=L_1\times\cdots\times L_r$ とし、$e_i$ を第 $i$ 成分だけが $1$ の元とする。$K$ 代数の準同型 $\lambda\colon A\to K^{\mathrm{sep}}$ について、$\lambda(e_i)$ は体の中の冪等元なので $0$ か $1$ であり、$e_ie_j=0$（$i\neq j$）と $\sum_ie_i=1$ から、ちょうど 1 つの $i$ で $\lambda(e_i)=1$ である。このとき $\lambda$ は第 $i$ 射影 $A\to L_i$ を通る。よって $\Phi(A)=\coprod_i\Phi(L_i)$（$G$ の作用と両立する）であり、$\lvert\Phi(A)\rvert=\sum_i[L_i:K]=\dim_KA$、各点の固定部分群は開である。

3：$K$ 代数の同型 $A\cong B$ は $G$ 集合の同型 $\Phi(B)\cong\Phi(A)$ を引き起こすので、写像は同型類の上で矛盾なく定まる。全射：有限な連続 $G$ 集合 $M$ を軌道に分け、軌道 $G\cdot x$ の点 $x$ の固定部分群 $H$ は開なので、同じ定理の 2 により $H=G_E$ となる $K$ 上有限次の中間体 $E\subset K^{\mathrm{sep}}$ がある。$\sigma G_E\mapsto\sigma|_E$ は $G/G_E$ から $\Phi(E)$ への全単射で（同じ定理の証明）、$\tau\cdot\sigma G_E=\tau\sigma G_E\mapsto\tau\circ\sigma|_E$ なので $G$ 集合の同型である。よって $G\cdot x\cong G/G_E\cong\Phi(E)$ であり、軌道ごとの $E$ の積を $A$ とすれば $M\cong\Phi(A)$ である。単射：$\Phi(A)\cong\Phi(B)$ とし、$A\cong\prod_iL_i$、$B\cong\prod_jM_j$ と分解すると、2 により軌道の対応から $i$ と $j$ の一対一対応で $\Phi(L_i)\cong\Phi(M_j)$ となるものがある。体 $L,M$ について同型 $\psi\colon\Phi(L)\to\Phi(M)$ があれば、$\lambda\in\Phi(L)$ と $\psi(\lambda)$ の固定部分群は等しく、$G_{\lambda(L)}=G_{\psi(\lambda)(M)}$ である。同じ定理の 2 の単射性から $\lambda(L)=\psi(\lambda)(M)$ であり、$L\cong M$ である。よって $A\cong B$ である。$A$ の積への分解の因子は $A$ の極大イデアルによる剰余体として $A$ から決まることにも注意する（thm-etale-topology-finite-etale-algebras の証明）。$\square$

この対応は射まで込めると、有限エタール $K$ 代数の圏と有限な連続 $G$ 集合の圏の反変同値になる。これは、$\operatorname{Spec}K$ のエタール基本群が $G$ であること（エタール基本群の記事の命題「体のエタール基本群」）と、同じ記事の定理「Galois圏の主定理の適用」から従う。さらに、有限とは限らないエタール $K$ スキームと層にまで広げると、次の定理が成り立つ。

体のエタール層と連続 G 集合

$K$ を体、$K^{\mathrm{sep}}$ をその分離閉包、$G=G_K$ とする。$(\operatorname{Spec}K)_{\mathrm{\acute{e}t}}$ の上の層 $F$ に、帰納極限
$$ F_{\bar s}:=\varinjlim_{L}F(\operatorname{Spec}L) $$
（$L$ は $K^{\mathrm{sep}}$ に含まれる $K$ の有限次拡大を包含の順に動く）と、その上の $G$ の自然な作用を対応させる関手は、エタール層の圏と連続な $G$ 集合の圏の圏同値を与える。このとき $F(\operatorname{Spec}K)=(F_{\bar s})^G$ である。アーベル群の層は、$G$ が連続に作用する（離散）アーベル群に対応する。

定理の出典と証明の範囲

この定理は Stacks Étale Cohomology, Theorem 56.3（Tag 03QT）、Lemma 56.5（Tag 04JM）、Lemma 59.1（Tag 04JQ）にある（Stacks は $F_{\bar s}$ を幾何的点での茎として定める）。ここでは証明せず、その基礎になる有限の段階（thm-etale-topology-finite-etale-algebras、prop-etale-topology-galois-sets）と Galois 不変元の記述（prop-etale-topology-invariants）だけを証明した。定理から、$\operatorname{Spec}K$ のエタールコホモロジーは $G$ の Galois コホモロジーに一致する（エタールコホモロジーの記事の定理「基礎的な比較と計算」の 1）。

茎と幾何的点

一般のスキーム $X$ では、分離閉体 $\Omega$ からの射 $\bar x\colon\operatorname{Spec}\Omega\to X$（幾何的点）について、$\bar x$ を通るエタール射 $U\to X$ を動かした帰納極限 $F_{\bar x}:=\varinjlim F(U)$ を $F$ の $\bar x$ での茎という（エタールコホモロジーの記事の「茎と幾何的点」の節）。上の定理の $F_{\bar s}$ は $X=\operatorname{Spec}K$ の場合である。構造層の茎は、$\bar x$ の像の点の局所環の狭義 Hensel 化であり（狭義Hensel局所環の記事の定理「エタール位相の茎としての狭義Hensel化」）、Zariski 位相での茎が局所環であるのと対照的である。

例

実数体の 1 点

$K=\mathbb{R}$ とする。$\mathbb{R}$ の有限次分離拡大は $\mathbb{R}$ と $\mathbb{C}$ に同型なものだけなので（$\mathbb{C}$ は代数閉体で $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$）、thm-etale-topology-finite-etale-algebras により有限エタール $\mathbb{R}$ 代数は $\mathbb{R}^a\times\mathbb{C}^b$ の形である。$\{\operatorname{Spec}\mathbb{C}\to\operatorname{Spec}\mathbb{R}\}$ はエタール被覆で、$\operatorname{Spec}\mathbb{C}\times_{\operatorname{Spec}\mathbb{R}}\operatorname{Spec}\mathbb{C}\cong\operatorname{Spec}\mathbb{C}\sqcup\operatorname{Spec}\mathbb{C}$ である（lem-etale-topology-galois-tensor の後の例）。$G_{\mathbb{R}}=\{1,c\}$（$c$ は複素共役）なので、$(\operatorname{Spec}\mathbb{R})_{\mathrm{\acute{e}t}}$ の層は、集合 $M=F(\operatorname{Spec}\mathbb{C})$ と $c^2=\mathrm{id}$ を満たす写像 $c\colon M\to M$ の組と同じものであり、$F(\operatorname{Spec}\mathbb{R})=M^{c}$ である（prop-etale-topology-invariants、thm-etale-topology-galois-sheaves）。有限な連続 $G_{\mathbb{R}}$ 集合としては、$\Phi(\mathbb{R})$ は 1 点（固定点）、$\Phi(\mathbb{C})=\{\mathrm{id},c\}$ は $c$ で入れ替わる 2 点である。

有限体の 1 点

$K=\mathbb{F}_q$ なら、絶対Galois群の記事の定理「有限体の絶対Galois群」により $G_K\cong\widehat{\mathbb{Z}}$ は Frobenius 元 $\phi$ が位相的に生成する。連続な $G_K$ 集合 $M$ では、各点 $x$ の固定部分群は開なので、ある $n\ge1$ について $G_{\mathbb{F}_{q^n}}$ を含み（したがって $\phi^n$ を含み）、$\phi$ は $M$ の上の各軌道が有限な置換を与える。さらに $G_K$ の作用は $\phi$ の作用だけで決まる。

詳細

2 つの連続な作用が $\langle\phi\rangle$ の上で一致すれば、各 $x$ について $\sigma\mapsto\sigma\cdot x$ はどちらも局所定数なので、2 つが一致する $\sigma$ の集合は開かつ閉で、稠密な $\langle\phi\rangle$ を含むから $G_K$ 全体である。

したがって $(\operatorname{Spec}\mathbb{F}_q)_{\mathrm{\acute{e}t}}$ の層 $F$ は、集合 $F_{\bar s}$ とその上の置換 $\phi$ で決まる（thm-etale-topology-galois-sheaves）。有限エタール代数 $\mathbb{F}_{q^n}$ には、$\Phi(\mathbb{F}_{q^n})$ の上で $\phi$ が長さ $n$ の巡回置換として働く $G_K$ 集合が対応する（prop-etale-topology-galois-sets）。

Artin–Schreier 被覆

$k$ を標数 $p>0$ の体、$\mathbb{A}^1_k=\operatorname{Spec}k[u]$ とし、$Y=\operatorname{Spec}k[u][t]/(t^p-t-u)$ とする。$\{Y\to\mathbb{A}^1_k\}$ はエタール被覆である。エタールであることはエタール射の記事の例「Artin–Schreier 被覆」による。全射であることは、$u$ の値が $a\in\kappa(y)$ の点 $y$ のファイバー $\operatorname{Spec}\kappa(y)[t]/(t^p-t-a)$ が空でないことによる。この被覆の上で $u=t^p-t$ となるので、エタール位相では $\mathbb{G}_a\to\mathbb{G}_a$、$x\mapsto x^p-x$ が全射になる（エタールコホモロジーの記事の命題「Kummer列とArtin–Schreier列」の 2）。標数 $p$ では Kummer 被覆の $n=p$ の場合がエタールでなく（下の反例の表）、その代わりをこの被覆が果たす。

反例

エタール被覆の定義の条件を外したり、エタール位相を別の位相に替えたりすると成り立たなくなることを表にまとめる（確認は表の下）。

外す条件	反例	成り立たなくなること
エタール（平坦・有限・全射だけ）	相対 Frobenius $\mathrm{Fr}\colon\mathbb{A}^1_k\to\mathbb{A}^1_k$（標数 $p$）	$\{\mathrm{Fr}\}$ がエタール被覆
$n$ が標数で割り切れない	標数 $p$ の $[p]\colon\mathbb{G}_m\to\mathbb{G}_m$	Kummer 被覆がエタール被覆・$p$ 乗写像がエタール層として全射
全射（像が全体を覆う）	$\{\mathbb{G}_m\hookrightarrow\mathbb{A}^1_k\}$	構造層 $\mathcal{O}$ がその族について層の条件を満たす
平坦（像が覆うだけ）	$\{\operatorname{Spec}k\hookrightarrow\mathbb{A}^1_k,\ \mathbb{G}_m\hookrightarrow\mathbb{A}^1_k\}$	構造層がその族について層の条件を満たす
エタール位相（Zariski 位相に替える）	$\mathbb{G}_{m,\mathbb{C}}$ の定数層 $\mathbb{Z}/n$	$H^1$ が複素位相の $H^1(\mathbb{C}^\times,\mathbb{Z}/n)$ と一致

反例の確認

上の表の 5 つの行を上から順に確かめる。

各反例の確認を開く

1. $\mathrm{Fr}$ は $u\mapsto u^p$ に対応する射で、有限・平坦・全単射だが、どの点でも不分岐でなくエタールでない（エタール射の記事の例「反例：Frobenius 射」）。よって $\{\mathrm{Fr}\}$ は条件 (i) を破り、エタール被覆でない。平坦かつ局所有限表示な全射なので fppf 被覆ではある（fppf位相の記事の定義「fppf位相」）。

2. 標数 $p$ の体 $k$ 上で $[p]$ は $k[v,v^{-1}]\to k[u,u^{-1}]$、$v\mapsto u^p$ に対応し、$k[u,u^{-1}]=k[v,v^{-1}][t]/(t^p-v)$ で $(t^p-v)'=pt^{p-1}=0$ なので、相対 Kähler 微分は $0$ にならず不分岐でない（1 と同じ計算。Kummer完全列の記事の例「反例：標数 $p$ では同じ被覆がエタールにならない」）。さらに $k$ が完全体でなければ、$p$ 乗写像 $\mathbb{G}_m\to\mathbb{G}_m$ はエタール層として全射でない（fppf位相の記事の注意「エタール位相では $p$ 乗写像が全射でない」）。prop-etale-topology-kummer で $n$ が標数で割り切れないと仮定したのはこのためである。

3. 開埋め込み $j\colon\mathbb{G}_m\hookrightarrow\mathbb{A}^1_k$ はエタールだが原点を覆わない。$j$ は単射なので $\mathbb{G}_m\times_{\mathbb{A}^1}\mathbb{G}_m=\mathbb{G}_m$ で、2 本の写像は等しく、等化子は $\mathcal{O}(\mathbb{G}_m)=k[u,u^{-1}]$ 全体である。一方 $\mathcal{O}(\mathbb{A}^1_k)=k[u]\to k[u,u^{-1}]$ は全射でない。構造層は $\mathbb{A}^1_X$ で表される表現可能関手で、エタール層である（prop-etale-topology-zariski の 3）から、この族を被覆に加えると表現可能関手が層でなくなる。条件 (ii) が必要な理由である。

4. 像の合併は $\mathbb{A}^1_k$ 全体だが、閉埋め込み $\operatorname{Spec}k\hookrightarrow\mathbb{A}^1_k$ は平坦でない。この族についても構造層が層の条件を満たさないことは Grothendieck位相の記事の例「反例：像が全体を覆うだけでは被覆にならない」にある。

5. $\mathbb{G}_{m,\mathbb{C}}$ は既約なので、Zariski 位相では定数層が脆弱になり、正の次数のコホモロジーが消える。一方エタール位相では $H^1(\mathbb{G}_{m,\mathbb{C}},\mathbb{Z}/n)\cong\mathbb{Z}/n$ であり、複素位相の $H^1(\mathbb{C}^\times,\mathbb{Z}/n)$ と一致する（エタールコホモロジーの記事の例「反例：Zariski位相の定数層」）。エタール被覆 prop-etale-topology-kummer が、Zariski 開被覆では見えない「穴のまわりを 1 周するとずれる」情報を拾う。

注意

スキーム $X$ の上の 3 つの代表的な位相を比べる。

	Zariski 位相	エタール位相	fppf 位相
被覆の射	開埋め込み	エタール射	平坦・局所有限表示
被覆の条件	像が $X$ を覆う	像が $X$ を覆う	像が $X$ を覆う
包含関係	最も粗い	Zariski より細かい	エタールより細かい
$X=\operatorname{Spec}K$ の小さな景の上の層	集合	連続な $G_K$ 集合	—
$X=\mathbb{G}_{m,k}$ 上の $n$ 乗写像 $\mathbb{G}_m\to\mathbb{G}_m$（$n\ge2$ は標数で割り切れない）	全射でない	全射	全射
$X=\operatorname{Spec}k$（$k$ は標数 $p$ の完全でない体）上の $p$ 乗写像 $\mathbb{G}_m\to\mathbb{G}_m$	全射でない	全射でない	全射
構造層の茎	局所環	狭義 Hensel 化	—

表の「全射」は層の射としての全射（切断が被覆の上で局所的に持ち上がること）である。$n$ 乗写像の行は prop-etale-topology-kummer と Kummer完全列の記事、$p$ 乗写像の行は fppf位相の記事の命題「fppf位相でのKummer完全列」と注意「エタール位相では $p$ 乗写像が全射でない」による。

大きな景と小さな景

大エタール景 $(\mathrm{Sch}/X)_{\mathrm{\acute{e}t}}$ は $X$ 上のすべてのスキーム（集合論的な大きさを制限したもの）を対象にもち、小エタール景 $X_{\mathrm{\acute{e}t}}$ はその充満部分圏で、$X$ の「エタールな開集合」だけからなる。$X_{\mathrm{\acute{e}t}}$ の対象の間の射はつねにエタールなので（prop-etale-topology-axioms）、$X_{\mathrm{\acute{e}t}}$ の族が被覆かどうかは全射性だけで判定できる。

コホモロジーと準標準性を開く

大きな景の上のアーベル層を小さな景に制限しても、エタールコホモロジーは変わらない（Stacks Étale Cohomology, Definition 27.3・Proposition 27.4、Tag 03PI・03PJ）。エタール被覆は fpqc 被覆でもあるので（同 Lemma 27.2、Tag 03PH）、表現可能関手はエタール層であり、エタール位相は「準標準的」である。

エタール位相から先へ

エタール層の圏はトポスの代表例であり、そのコホモロジーがエタールコホモロジー、有限エタール被覆の分類がエタール基本群（Galois圏の枠組み）である。エタール被覆による貼り合わせの理論は忠実平坦降下の特別な場合として扱われる。体 $K$ の場合には、エタール層は連続な $G_K$ 集合、アーベル層は離散 $G_K$ 加群であり（thm-etale-topology-galois-sheaves）、エタールコホモロジーは Galoisコホモロジーになる。