深谷圏

前提知識: Floer理論, Lagrange部分多様体, シンプレクティック多様体, 鎖複体

深谷圏（Fukaya category）は、シンプレクティック多様体 $(M,\omega)$ の Lagrange部分多様体を対象とし、2 つの Lagrange 部分多様体の交点が生成する Floer 複体を射の空間とする圏である。射の合成は、境界が Lagrange 部分多様体に乗る擬正則な多角形（境界に $k+1$ 個の角をもつ円板）を数えて定める演算 $\mu^k$ で与えられ、合成は結合法則をホモトピーを除いてしか満たさない。そのため深谷圏は通常の圏ではなく、高次の演算 $\mu^1,\mu^2,\mu^3,\dots$ の組をもつ $A_\infty$ 圏として定義される。
この構成は深谷賢治（Kenji Fukaya）による（Kon95 pp. 16–17）。Kontsevich は 1994 年に、ミラー対称性を「シンプレクティック多様体の深谷圏から作った導来圏と、ミラーの複素多様体の連接層の導来圏の同値」として定式化するホモロジー的ミラー対称性予想を提出した（Kon95 p. 18）。
この記事は分野の案内である。まず $A_\infty$ 圏を定義し、そのコホモロジーが（単位元を除いて）通常の圏になることを証明する。次に Lagrange Floer コホモロジーと深谷圏の定義を述べ、交点の個数の下界を導く。最後にホモロジー的ミラー対称性と学ぶ順を示す。擬正則円板のモジュライ空間の横断性とコンパクト化は深い問題で、この記事では証明しない。

$A_\infty$ 圏

$K$ を体とし、次数付きベクトル空間の斉次元 $a$ の次数を $\lvert a\rvert$ と書く。

（Aur13 命題 2.7 の (2.7)、p. 21。そこでの符号 $(-1)^{j+\deg a_1+\dots+\deg a_j}$ は $(-1)^{\maltese_j}$ と同じである。）微分次数付き圏（DG圏）の微分 $d$ と合成 $a_2a_1$ から $\mu^1(a):=(-1)^{\lvert a\rvert}da$、$\mu^2(a_2,a_1):=(-1)^{\lvert a_1\rvert}a_2a_1$、$\mu^k:=0$（$k\ge3$）とおくと、$A_\infty$ 圏が得られる（$k=1,2,3$ の関係式は Leibniz 則と結合法則から直接確かめられ、$k\ge4$ では全項が $0$）。
$k=1,2,3$ の関係式を書き出しておく。$k=1$ では $\mu^1(\mu^1(a_1))=0$ で、各 $\hom(X,Y)$ は $\mu^1$ を微分とする複体になる。$k=2$ では
$$ \mu^1\mu^2(a_2,a_1)+(-1)^{\lvert a_1\rvert-1}\mu^2(\mu^1a_2,a_1)+\mu^2(a_2,\mu^1a_1)=0 $$
（Leibniz 則）、$k=3$ では、$\mu^1a_i=0$ のとき
$$ \mu^2\bigl(a_3,\mu^2(a_2,a_1)\bigr)-(-1)^{\lvert a_1\rvert}\mu^2\bigl(\mu^2(a_3,a_2),a_1\bigr)=-\mu^1\mu^3(a_3,a_2,a_1) $$
である（$\mu^1$ を含む他の項は消える）。後者は「$\mu^2$ は $\mu^3$ をホモトピーとして結合的である」ことを表すので、ホモトピー結合法則と呼んでおく。

$H(\mathcal A)$ が各対象に恒等射をもつとき、$\mathcal A$ はコホモロジー的に単位的（c-unital）であるという。深谷圏はこの意味で単位的だが、鎖の段階では一般に単位元をもたない（Aur13 p. 22）。$A_\infty$ 圏の情報は $H(\mathcal A)$ だけでは失われ、写像錐や生成元を扱うには鎖の段階の $A_\infty$ 構造が必要になる（同 注意 2.10、p. 23 と §3）。

Lagrange Floer コホモロジー

$(M,\omega)$ を、コンパクトであるか無限遠で適当に振る舞うシンプレクティック多様体とし、$L_0,L_1$ を横断的に交わるコンパクトな Lagrange 部分多様体とする。係数には、体 $K$ 上の Novikov 体
$$ \Lambda:=\Bigl\{\sum_{i=0}^\infty a_iT^{\lambda_i}\Bigm| a_i\in K,\ \lambda_i\in\mathbb R,\ \lambda_i\to+\infty\Bigr\} $$
を使う。Floer 複体 $CF(L_0,L_1)$ は交点 $p\in L_0\cap L_1$ を基底とする $\Lambda$ ベクトル空間で、微分 $\mu^1$ は、$p$ と $q$ を結び境界が $L_0$、$L_1$ に乗る擬正則な帯 $u\colon\mathbb R\times[0,1]\to M$ のうち指数 $1$ のものを、面積 $\omega(u)$ の重み $T^{\omega(u)}$ を付けて数える：
$$ \mu^1(p)=\sum_q\sum_{[u]:\,\mathrm{ind}[u]=1}\#\mathcal M(p,q;[u],J)\,T^{\omega([u])}\,q $$
（Aur13 定義 1.3–1.4、pp. 3–5）。これは Floer理論 の Lagrange Floer の行にあたり、作用汎関数の勾配流線が擬正則な帯であることに対応する。

（Aur13 定理 1.1、p. 2。）$\phi$ が Hamilton 同相写像であることと、$L$ が正の面積の円板を張らないことは、どちらも外せない（同 例 1.2、p. 2）。

深谷圏の定義

$k\ge1$ と Lagrange 部分多様体 $L_0,\dots,L_k$、交点 $p_i\in L_{i-1}\cap L_i$、$q\in L_0\cap L_k$ について、境界に $k+1$ 個の角をもつ円板からの擬正則写像で、角が $p_1,\dots,p_k,q$ に写り、角の間の境界の弧が順に $L_0,\dots,L_k$ に乗るものを考える。その指数 $2-k$ のものを面積の重みつきで数えて
$$ \mu^k(p_k,\dots,p_1):=\sum_q\sum_{[u]:\,\mathrm{ind}[u]=2-k}\#\mathcal M(p_1,\dots,p_k,q;[u],J)\,T^{\omega([u])}\,q $$
と定める（Aur13 定義 2.4 と (2.5)–(2.6)、p. 19）。$k=1$ は Floer の微分、$k=2$ は三角形を数える積である。

（Aur13 定義 2.9、p. 22。）$A_\infty$ 関係式は、指数 $3-k$ の 1 次元のモジュライ空間の境界が「帯が分かれる」か「円板が 2 つに分かれる」かのどちらかであることから従う（同 命題 2.7、p. 21）。こうして $\mathcal F(M,\omega)$ は $\Lambda$ 上の $\mathbb Z$ 次数付き $A_\infty$ 圏で、コホモロジー的に単位的である。摂動のデータを替えても、得られる圏はコホモロジーで同値になる関手で結ばれる（同 p. 22）。thm-fk-cohomology-category のコホモロジー圏 $H(\mathcal F(M,\omega))$ は、射が $HF(L,L')$、合成が三角形を数える積の圏で、Donaldson–深谷圏と呼ばれることがある（同 注意 2.10、p. 23）。
$2c_1(TM)=0$ や Maslov 類の仮定を外せば $\mathbb Z/2$ 次数で、$\operatorname{char}K=2$ ならスピン構造なしで、完全シンプレクティック多様体の完全 Lagrange 部分多様体なら Novikov 体なしで、同様の圏が作れる（同 p. 22）。非コンパクトな多様体には、無限遠で Lagrange 部分多様体を回して交わらせる巻きつき深谷圏（wrapped Fukaya category）がある（同 §4）。円板の泡立ちを許すと $\mu^0$ をもつ曲がった $A_\infty$ 圏になる（同 注意 2.12、pp. 23–24）。

ホモロジー的ミラー対称性

（Kon95 p. 18。導来圏は $A_\infty$ 圏のねじれ複体から作る、同 p. 16。）根拠として Kontsevich は、$V\times V$ の対角線の Floer コホモロジーの積が量子コホモロジーの積になると期待されること（Gromov–Witten理論）を挙げた。2 次元トーラスでは、互いに異なるホモロジー類の 3 本の閉測地線の間の $\mu^2$ が、普遍被覆の平面の三角形の面積についての Gauss 型の和、すなわちテータ関数で書け、$\mu^2$ の結合法則がテータ関数の双線形な恒等式になる（同 p. 19）。

• 楕円曲線：Polishchuk と Zaslow は、楕円曲線 $E$ の $D^b(E)$ が、ミラーのトーラスの深谷圏から作った圏 $F^0$（Kontsevich の記法ではコホモロジー圏 $H(\mathcal F)$ にあたる）と同値であることを証明した（PZ98 §1 と Main Theorem、§5）。
• その後の進展：非コンパクトな場合は巻きつき深谷圏を使い、たとえば $T^*S^1$ と $\mathbb C^\times$ が対応する。Calabi–Yau でない場合のミラーは Landau–Ginzburg 模型になる。射影空間の Calabi–Yau 超曲面（5 次 3 次元多様体を含む）でも予想が示されている（Aur13 §4.4、p. 37）。

反例：仮定を外すと

• 1 行目：$L_1$ は正の面積の円板を張る。$L_0$ と $L_1$ を結ぶ指数 1 の帯はちょうど 2 本 $u$（$p$ から $q$）、$v$（$q$ から $p$）で、$\mu^1p=\pm T^{\omega(u)}q$、$\mu^1q=\pm T^{\omega(v)}p$ となり $\mu^1\mu^1p\ne0$ である。指数 2 の帯の 1 次元の族の一方の端は 2 本の帯に分かれるが、もう一方の端では $L_1$ の張る円板が泡として分かれ、打ち消し合いが起こらない（Aur13 例 1.11、pp. 11–12）。
• 2 行目：平行移動は面積を保つシンプレクティック同相写像だが Hamilton 同相写像ではなく、十分大きく動かすと $L\cap\phi(L)=\emptyset$ となる。一方 $\sum_i\dim H^i(S^1;\mathbb Z/2)=2$ である（Aur13 例 1.2、p. 2）。

分野の地図と学ぶ順

1. 準備：シンプレクティック多様体 → Lagrange部分多様体 → 概複素構造、および 鎖複体 → ホモロジー代数。
2. Floer 理論：Floer理論（Morse ホモロジーとの類比、エネルギー）→ この記事の Lagrange Floer コホモロジー。
3. 代数：この記事の $A_\infty$ 圏 → DG圏 → 三角圏 → 導来圏。
4. 深谷圏とミラー対称性：この記事の定義 → Gromov–Witten理論 との関係 → 連接層 の導来圏とホモロジー的ミラー対称性。

関連項目

• 前提: Floer理論, Lagrange部分多様体, シンプレクティック多様体, 鎖複体
• 基本の概念: DG圏, 三角圏, 導来圏
• 比較: Gromov–Witten理論, Morse理論
• 発展: 連接層, Calabi–Yau多様体, 楕円曲線