Hodge–Tate分解
概要
Hodge–Tate分解（Hodge–Tate decomposition）とは、$p$ 進体の上の固有で滑らかな多様体の $p$ 進エタールコホモロジーを $\mathbb{C}_p$ 係数に広げると Tate 捻りのついた Hodge 成分の直和に分かれるという分解で、複素多様体の Hodge 分解の $p$ 進類似である。基本の形は Tate の定理で、標数 $0$ の完備離散付値体 $K$（剰余体は標数 $p$ の完全体）の整数環の上の $p$ 可除群 $G$ の Tate 加群は、$K$ の代数閉包の完備化 $C$ の上で、$G$ の接空間に $C(1)$ を掛けたものと双対の余接空間に $C$ を掛けたものの直和に、Galois 作用と両立してただ 1 通りに分かれる。系として Galois 加群は $G$ の次元を決め、重さは $0$ と $1$ だけである。
前提知識: p進Hodge理論, Dieudonné加群とp可除群, 形式群, Cartier双対, Galoisコホモロジー
Hodge–Tate 分解（Hodge–Tate decomposition）とは、$p$ 進体の上の固有で滑らかな多様体の $p$ 進エタールコホモロジーを $\mathbb{C}_p$ の係数に広げると、Tate 捻りのついた Hodge 成分の直和に分かれる、という分解である。複素多様体の Hodge分解 の $p$ 進類似にあたる。最も基本の形は Tate が 1967 年に示した $p$ 可除群についての定理である。完備離散付値環 $R$（分数体 $K$ の標数は $0$、剰余体は標数 $p$ の完全体）の上の $p$ 可除群 $G$ について、Tate 加群 $T(G)$ は、$G$ の接空間 $t_G$ と双対 $G'$ の余接空間 $t^*_{G'}$ で
$$
T(G)\otimes_{\mathbb{Z}_p}C\;\cong\;\bigl(t_G(K)\otimes_KC(1)\bigr)\oplus\bigl(t^*_{G'}(K)\otimes_KC\bigr)
$$
と分解する。ここで $C$ は $K$ の代数閉包の完備化である。
p進Hodge理論 は、この形の分解をもつ表現の一般論（Hodge–Tate 表現、周期環 $B_{\mathrm{HT}}$）を扱う。この記事では、幾何の側から分解を作るところを扱う。Tate のコホモロジー計算（thm-ht-cohomology）と対数の性質、$p$ 可除群の次元の公式を引用したうえで、Tate の定理（thm-ht-main）を証明する。系として、Galois 加群 $T(G)$ が $G$ の次元を決めること、$p$ 可除群から来る表現の Hodge–Tate 重さが $0$ と $1$ だけであることを示す。
設定とコホモロジー計算
以下、$p$ を素数、$R$ を完備離散付値環とし、分数体 $K$ の標数は $0$、剰余体 $k$ は標数 $p$ の完全体とする。$\bar K$ を $K$ の代数閉包、$G_K:=\operatorname{Gal}(\bar K/K)$ とし、$C$ を $\bar K$ の完備化、$\mathcal{O}_C$ をその整数環、$\mathfrak{m}_C$ を極大イデアルとする。$K$ が $\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大なら $C=\mathbb{C}_p$ である（p進複素数体）。$G_K$ は $C$ に連続に作用する。$\chi\colon G_K\to\mathbb{Z}_p^\times$ を $p$ 進円分指標とし、$j\in\mathbb{Z}$ について $C(j)$ は $C$ に $g\cdot x=\chi(g)^jg(x)$ で $G_K$ を作用させたものとする。
連続コチェインのコホモロジーについて、次が成り立つ。
- $H^0(G_K,C)=K$ である。
- $j\ne0$ なら $H^0(G_K,C(j))=0$ かつ $H^1(G_K,C(j))=0$ である。
この定理はこの記事では証明しない。
1 は Tat67 §3 の Theorem 1（p. 176）、2 は同じ頁の Theorem 2 を指標 $\chi^j$ に当てたものである（$\chi^j$ の核の固定体は、有限次部分を除いて $K$ 上全分岐な $\mathbb{Z}_p$ 拡大になる）。$K$ が $\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大のとき、$H^0$ の部分は p進Hodge理論 の定理「Ax–Sen–Tate の定理と Tate の定理」と同じ内容で、新しいのは $H^1$ の消滅である。
$H^1$ の消滅は、拡張が分かれることを意味する。$C$ ベクトル空間 $W$ への $G_K$ の作用が半線形であるとは、$g(cw)=g(c)g(w)$ が成り立つことをいう。
$W$ を有限次元 $C$ ベクトル空間で、$G_K$ が連続かつ半線形に作用するものとし、$W_0\subset W$ を $G_K$ で安定な部分空間とする。$i\ne j$ について $W_0\cong C(i)^{a}$、$W/W_0\cong C(j)^{b}$ なら、$W\to W/W_0$ の $G_K$ 同変な $C$ 線形切断がただ 1 つある。
$E:=\operatorname{Hom}_C(W/W_0,W_0)$ に $g\cdot f:=g\circ f\circ g^{-1}$ で $G_K$ を作用させる。$E\cong C(i-j)^{ab}$ である。$C$ 線形な切断 $s$ を 1 つとり、$c(g):=g\circ s\circ g^{-1}-s$ とおく。射影との合成は $0$ なので $c(g)\in E$ であり、$c(gh)=c(g)+g\cdot c(h)$ が成り立つ。$c$ は連続なので、thm-ht-cohomology の 2 により $c(g)=g\cdot f-f$ となる $f\in E$ がある。$s':=s-f$ とおくと $g\circ s'\circ g^{-1}=s+c(g)-g\cdot f=s-f=s'$ なので、$s'$ は $G_K$ 同変な切断である。同変な切断が 2 つあれば、その差は $E^{G_K}=H^0(G_K,C(i-j))^{ab}=0$ に属する。$\square$
$p$ 可除群の不変量
高さ $h$ の $p$ 可除群 $G$ とは、$R$ 上の位数 $p^{vh}$ の有限可換群スキーム $G_v$ の帰納系で、$0\to G_v\to G_{v+1}\xrightarrow{\,p^v\,}G_{v+1}$ が完全であるものをいう（Tat67 §2.1。Dieudonné加群とp可除群 の定義「Barsotti–Tate 群」と同じ対象である）。$G$ の連結成分 $G^\circ$ は可除な形式群で、その次元 $n$ を $G$ の次元という。$G$ の不変量を次のように定める。
- 接空間 $t_G(K)$：$G^\circ$ の原点での接空間で、$n$ 次元 $K$ ベクトル空間である。$t_G(C):=t_G(K)\otimes_KC$ とおき、$G_K$ は $C$ に作用させる。余接空間も $t^*_G(K):=\operatorname{Hom}_K(t_G(K),K)$、$t^*_G(C):=t^*_G(K)\otimes_KC$ とする。
- Tate 加群 $T(G):=\varprojlim_vG_v(\bar K)$：$G_K$ が作用する階数 $h$ の自由 $\mathbb{Z}_p$ 加群である。$K$ の標数が $0$ なので各 $G_v\otimes_RK$ がエタールであることによる。$V(G):=T(G)\otimes_{\mathbb{Z}_p}\mathbb{Q}_p$ とおく。
- 双対 $G'$：$G_v$ の Cartier双対 がなす $p$ 可除群で、高さは $h$ である。その次元を $n'$ とすると $n+n'=h$ である（Tat67 Proposition 3, p. 166。この記事では証明しない）。
- 点：$G(\mathcal{O}_C):=\varprojlim_i\varinjlim_vG_v(\mathcal{O}_C/\mathfrak{m}^i\mathcal{O}_C)$（$\mathfrak{m}$ は $R$ の極大イデアル）。捩れ部分は $\Phi(G):=\varinjlim_vG_v(\bar K)$ で、$G_K$ 不変部分は $G(R)$ である。
対数 $\log\colon G(\mathcal{O}_C)\to t_G(C)$ は局所同相な $\mathbb{Z}_p$ 準同型で、$0\to\Phi(G)\to G(\mathcal{O}_C)\to t_G(C)\to0$ は完全である。また $G(R)$ の像は $t_G(K)$ を $\mathbb{Q}_p$ 上張る（Tat67 §2.4, pp. 168–169、§4, p. 177。この記事では証明しない）。$G=\mu_{p^\infty}$ なら $G(\mathcal{O}_C)=U:=1+\mathfrak{m}_C$、$t_G(C)=C$ で、これは通常の $p$ 進対数である。
Cartier 双対により $T(G')\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_C}(G,\mu_{p^\infty})$ であり（Tat67 p. 177）、完全な $G_K$ 同変の対
$$
T(G)\times T(G')\longrightarrow\mathbb{Z}_p(1)
$$
がある（同 p. 178）。
$u\in T(G')$ に対応する準同型 $\varphi_u\colon G_{\mathcal{O}_C}\to\mu_{p^\infty}$ は、点の準同型 $G(\mathcal{O}_C)\to U$ と接写像 $d\varphi_u\colon t_G(C)\to C$ を引き起こす。そこで
$$
\alpha\colon G(\mathcal{O}_C)\to\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}_p}(T(G'),U),\qquad \beta_G\colon t_G(C)\to\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}_p}(T(G'),C)
$$
を $\alpha(x)(u):=\varphi_u(x)$、$\beta_G(t)(u):=d\varphi_u(t)$ で定める。$G'$ についての $\beta_{G'}$ を転置した写像
$$
\alpha_G\colon T(G)\longrightarrow t^*_{G'}(C),\qquad \alpha_G(x)(y):=\beta_{G'}(y)(x)
$$
を Hodge–Tate 写像という（$G''=G$ を使う）。これを $C$ 線形に延ばした $T(G)\otimes_{\mathbb{Z}_p}C\to t^*_{G'}(C)$ も同じ記号で書く。$\operatorname{Hom}$ への $G_K$ の作用は $(g\cdot f)(u)=g(f(g^{-1}u))$ で、$\alpha,\beta_G,\alpha_G$ はすべて $G_K$ 同変である。
対数との関係は次の可換図式にまとめられる。横は完全で、下の段の $\mu$ は $U$ の中の $1$ の $p$ 冪乗根全体である。
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & \Phi(G) \ar[r] \ar[d]^{\alpha_0} & G(\mathcal{O}_C) \ar[r]^-{\log} \ar[d]^{\alpha} & t_G(C) \ar[r] \ar[d]^{\beta_G} & 0 \\
0 \ar[r] & \operatorname{Hom}(T(G'),\mu) \ar[r] & \operatorname{Hom}(T(G'),U) \ar[r]^-{\log} & \operatorname{Hom}(T(G'),C) \ar[r] & 0
}
$$
Tate の定理
$G$ を $R$ 上の高さ $h$、次元 $n$ の $p$ 可除群、$G'$ をその双対、$n'$ を $G'$ の次元とする。
- $\beta_G$ と $\beta_{G'}$ は単射で、$K$ 線形な同型 $t_G(K)\cong\operatorname{Hom}_{G_K}(T(G'),C)$ を与える。また $\alpha$ は同型 $G(R)\cong\operatorname{Hom}_{G_K}(T(G'),U)$ を与える。
- $\beta_G$ に $\mathbb{Z}_p(1)$ への対で捩れをつけた写像を $\iota\colon t_G(C)(1)\to T(G)\otimes_{\mathbb{Z}_p}C$ とすると、$C$ 線形で $G_K$ 同変な完全列（Hodge–Tate 列）
$$ 0\longrightarrow t_G(C)(1)\xrightarrow{\ \iota\ }T(G)\otimes_{\mathbb{Z}_p}C\xrightarrow{\ \alpha_G\ }t^*_{G'}(C)\longrightarrow0 $$
がある。 - この完全列は $G_K$ 同変にただ 1 通りに分かれる。したがって、標準的な同型
$$ T(G)\otimes_{\mathbb{Z}_p}C\;\cong\;\bigl(t_G(K)\otimes_KC(1)\bigr)\oplus\bigl(t^*_{G'}(K)\otimes_KC\bigr) $$
がある。
ここで $\iota$ は次のものである。対が完全なので $T(G)\cong\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}_p}(T(G'),\mathbb{Z}_p(1))$ であり、$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}_p}(T(G'),C)(1)\cong T(G)\otimes_{\mathbb{Z}_p}C$ となる。この同型と $\beta_G(1)$ の合成が $\iota$ である。
1 は Tat67 Proposition 11 と Theorem 3（pp. 177–179）、2 と 3 は同 Corollary 2（p. 180）の双対の形である（同所は $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}_p}(T(G),C)$ の分解として述べている）。この形の完全列は SW13 Introduction, p. 4 にもある。
要点：図式の左の縦の矢印 $\alpha_0$ は Cartier 双対で同型なので、$\alpha$ と $\beta_G$ の核と余核は同じである。Galois 不変部分をとると、離散付値を使って単射性が言える。次に、不変元の次元の和が $h$ 以下であることを $C(-1)$ に不変元がないことから示し、$n+n'=h$ と合わせて等号を得る。thm-ht-cohomology、対数の性質、$n+n'=h$ は引用である。
詳しい証明を開く
$T:=T(G)$、$T':=T(G')$、$W:=\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}_p}(T,C)$、$W':=\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}_p}(T',C)$ とおく。thm-ht-cohomology の 1 から $\mathcal{O}_C^{G_K}=R$ であり、$G(\mathcal{O}_C)^{G_K}=G(R)$、$t_G(C)^{G_K}=t_G(K)$ である。
段 1（$\alpha_0$ は同型）。有限な各段で、Cartier 双対の完全な対 $G_v(\bar K)\times G'_v(\bar K)\to\mu_{p^v}$ がある。帰納極限と射影極限をとると $\alpha_0$ が全単射であることが分かる。蛇の補題により $\ker\alpha\cong\ker\beta_G$、$\operatorname{coker}\alpha\cong\operatorname{coker}\beta_G$ である。とくにこれらは $\mathbb{Q}_p$ ベクトル空間で、$\ker\alpha$ は捩れをもたず $p$ で一意に割れる。
段 2（$\alpha$ は $G(R)$ で単射）。$(\ker\alpha)^{G_K}=\ker\alpha\cap G(R)$ である。$x$ がこの群に属するとき、$py=x$ となる $y\in\ker\alpha$ はただ 1 つなので $G_K$ で固定され、この群は $p$ 可除である。$G$ が連結なら、$R$ の付値が離散なので $\bigcap_\nu p^\nu G(R)=0$ であり（座標が $\pi^i$ で割れる点の $p$ 倍は座標が $\pi^{i+1}$ で割れる。$\pi$ は $R$ の素元）、核は $0$ である。一般の場合、$G^\circ\to G$ が引き起こす $T(G')\to T((G^\circ)')$ は全射なので、$\alpha$ の核と $G^\circ(R)$ の交わりは $G^\circ$ についての核に含まれ、$0$ である。$G(R)/G^\circ(R)$ は捩れ群で $\ker\alpha$ は捩れをもたないので、$\ker\alpha\cap G(R)=0$ である。
段 3（$\beta_G$ は $t_G(K)$ で単射）。$x\in G(R)$ で $\beta_G(\log x)=0$ とする。図式から $\alpha(x)$ は $\operatorname{Hom}(T',\mu)$ に属するので、$\alpha_0(y)=\alpha(x)$ となる $y\in\Phi(G)$ がある。$\alpha_0$ の単射性と同変性から $y$ は $G_K$ で固定され、$y\in G(R)$ である。段 2 により $x=y$ なので $\log x=0$ である。$\log G(R)$ は $t_G(K)$ を $\mathbb{Q}_p$ 上張るので、$\beta_G$ は $t_G(K)$ で単射である。
段 4（$\beta_G$ の単射性）。$\beta_G$ は単射 $t_G(K)\to(W')^{G_K}$ を与える。自然な写像 $(W')^{G_K}\otimes_KC\to W'$ は単射である。実際 $C$ は体で $C^{G_K}=K$ なので、$C$ は $(\mathbb{Q}_p,G_K)$ 正則であり（p進Hodge理論 の定義「正則な周期環」は一般の群 $G$ と体 $F$ についてのもので、$B$ が体なら条件はどちらも自動的にみたされる）、$W'\cong C\otimes_{\mathbb{Q}_p}\operatorname{Hom}(T',\mathbb{Q}_p)$ に同じ記事の定理「Fontaine の形式論の基本定理」の 1 を当てればよい。$\beta_G$ はこの 2 つの単射の合成 $t_G(K)\otimes_KC\to(W')^{G_K}\otimes_KC\to W'$ なので単射である。$G'$ についても同じである。
段 5（次元）。$d:=\dim_KW^{G_K}$、$d':=\dim_K(W')^{G_K}$ とおく。段 3 から $n\le d'$、$n'\le d$ である。$T\cong\operatorname{Hom}(T',\mathbb{Z}_p(1))$ から $W'\cong T\otimes_{\mathbb{Z}_p}Y$（$Y:=\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}_p}(\mathbb{Z}_p(1),C)\cong C(-1)$）であり、$(f,t\otimes\lambda)\mapsto f(t)\lambda$ は非退化な $C$ 双線形で $G_K$ 同変な対 $W\times W'\to Y$ を与える。$Y^{G_K}=0$（thm-ht-cohomology の 2）なので $W^{G_K}$ と $(W')^{G_K}$ は直交し、段 4 と同じ単射性から、これらが張る $C$ 部分空間の次元は $d$ と $d'$ である。非退化性から $d+d'\le h$ となる。$h=n+n'\le d'+d\le h$ より $n=d'$、$n'=d$ である。
段 6（結論）。段 5 から $t_G(K)\to(W')^{G_K}$ は同型である。$\alpha$ の主張を示す。単射性は段 2 である。$f\in\operatorname{Hom}_{G_K}(T',U)$ をとると、$\log\circ f\in(W')^{G_K}$ は $\beta_G(t)$（$t\in t_G(K)$）と書ける。$\log x=t$ となる $x\in G(\mathcal{O}_C)$ をとると、$\alpha(x)f^{-1}$ は値が $\mu$ にあるので $\alpha_0(y)$（$y\in\Phi(G)$）と書け、$x_0:=x-y$ について $\alpha(x_0)=f$ である。$f$ は同変なので $\alpha(g x_0-x_0)=0$ であり、$gx_0-x_0\in\ker\alpha$ の対数は $\beta_G$ の単射性により $0$ である。したがって $gx_0-x_0$ は $\ker\alpha$ の捩れ元で、$\ker\alpha$ は捩れをもたないので $gx_0=x_0$、すなわち $x_0\in G(R)$ である。これで 1 が示された。
次に 2 を示す。$\beta_G(t_G(C))=(W')^{G_K}\otimes_KC$ と $\beta_{G'}(t_{G'}(C))=W^{G_K}\otimes_KC$ は直交し、次元の和が $n+n'=h$ なので、対 $W\times W'\to Y$ について互いの直交補空間である。$W'\cong T\otimes Y$ を $(1)$ だけ捩ると $\iota\colon t_G(C)(1)\to T\otimes C$ は単射で、$\alpha_G$ は $\beta_{G'}$ の転置なので $\ker\alpha_G=\iota(t_G(C)(1))$ となる。$\beta_{G'}$ が単射なので $\alpha_G$ は全射である。
3 は、$t_G(C)(1)\cong C(1)^n$、$t^*_{G'}(C)\cong C^{n'}$ なので lem-ht-splitting から従う。$\square$
$G$ を thm-ht-main のとおりとする。Hodge–Tate 表現の定義は、$\mathbb{C}_p$ を $C$ に読み替えて、$K$ が一般のときも同じように定める。p進Hodge理論 の $B_{\mathrm{HT}}$ の正則性と命題「Hodge–Tate 分解との同値」の証明は、同記事の定理「Ax–Sen–Tate の定理と Tate の定理」を thm-ht-cohomology に替えればそのまま通る。
- $V(G)$ は Hodge–Tate 表現で、Hodge–Tate 重さは $1$ が $n$ 回、$0$ が $n'$ 回である。p進Hodge理論 の記号で $D_{-1}\cong t_G(K)$、$D_0\cong t^*_{G'}(K)$ である。
- Galois 加群 $V(G)$ は $G$ の次元 $n$ を決める。
- $G_K$ の $p$ 進表現で、Hodge–Tate 表現でないもの、または重さに $0,1$ 以外の値をもつものは、$R$ 上の $p$ 可除群の $V(G)$ と同型にならない。
$t_G(K)\otimes_KC(1)\cong C(1)^n$、$t^*_{G'}(K)\otimes_KC\cong C^{n'}$ なので、thm-ht-main の 3 は p進Hodge理論 の命題「Hodge–Tate 分解との同値」の条件 2 を重さ $1$（$n$ 回）と重さ $0$（$n'$ 回）で与える。重複度はその命題により $V(G)$ だけで決まる。$D_{-1}=(C(-1)\otimes V(G))^{G_K}$ は、分解に $C(-1)$ を掛けて thm-ht-cohomology を当てると $t_G(K)\oplus0$ になり、$D_0$ も同様である。2 は重さ $1$ の重複度が $n$ であることである。3 は 1 の対偶である。$\square$
2 は Tat67 Corollary 1（p. 180）を $V(G)$ で述べたものである。
直感
$t_G$ の成分に $C(1)$ が付く典型は $G=\mu_{p^\infty}$ で、$T(G)=\mathbb{Z}_p(1)$ である。Tate 加群の元 $x$ は、$G'$ から $\mu_{p^\infty}$ への準同型を通して $G'$ の不変微分形式の空間 $t^*_{G'}(C)$ の元 $\alpha_G(x)$ を与える。この写像は、輪体に微分形式の積分を対応させる周期の写像に似た役割をもつ。$\mathcal{O}_C$ の上では、$p$ 可除群は組 $(T,W)$（$T$ は有限階数の自由 $\mathbb{Z}_p$ 加群、$W=\operatorname{Lie}G\otimes C$ は $T\otimes C(-1)$ の部分空間）で分類される（SW13 Theorem B, p. 4）。これは、複素アーベル多様体を特異ホモロジーと Hodge フィルトレーションで分類する Riemann の結果の $p$ 進類似である（同 p. 5）。$G$ が $K$ の上の完備離散付値環で定義されているときは、thm-ht-main の 3 により、この部分空間は $G_K$ の作用で決まる補空間をもつ。
例
$G=\mu_{p^\infty}$ は $h=n=1$、$n'=0$ で、$G'=\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$ である（Tat67 p. 166）。$T(G)=\mathbb{Z}_p(1)$、$T(G')=\mathbb{Z}_p$ である。$u=1$ に対応する $\varphi_u$ は恒等写像なので $\beta_G\colon C\to\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}_p,C)=C$ も恒等写像で、Hodge–Tate 列は $0\to C(1)\to\mathbb{Z}_p(1)\otimes C\to0\to0$ である。
$G=\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$ は $n=0$、$n'=1$ で、$x=1\in T(G)$ に対応する $G'=\mu_{p^\infty}\to\mu_{p^\infty}$ は恒等写像なので、$\alpha_G\colon\mathbb{Z}_p\otimes C\to C$ は同型である。列は $0\to0\to\mathbb{Z}_p\otimes C\to C\to0$ である。thm-ht-main の 1 は $G=\mu_{p^\infty}$ のとき $K=C^{G_K}$、$1+\mathfrak{m}_R=U^{G_K}$ を述べているだけである。
$A$ を $R$ 上の $g$ 次元アーベルスキーム、$A'$ を双対とする。$G=A[p^\infty]$ は高さ $2g$、次元 $g$ の $p$ 可除群で、$G'=A'[p^\infty]$ である（Tat67 pp. 161, 166）。$t_A\cong H^0(A,\Omega^1_{A/R})^*$、$t_{A'}\cong H^1(A,\mathcal{O}_A)$ を $K$ 上で読むと、thm-ht-main から
$$
T_pA\otimes_{\mathbb{Z}_p}C\cong\bigl(H^0(A_K,\Omega^1)^*\otimes_KC(1)\bigr)\oplus\bigl(H^1(A_K,\mathcal{O})^*\otimes_KC\bigr)
$$
であり、$H^1_{\mathrm{et}}(A_{\bar K},\mathbb{Q}_p)=\operatorname{Hom}(T_pA,\mathbb{Q}_p)$ なので、双対をとって
$$
H^1_{\mathrm{et}}(A_{\bar K},\mathbb{Q}_p)\otimes_{\mathbb{Q}_p}C\cong\bigl(H^1(A_K,\mathcal{O})\otimes_KC\bigr)\oplus\bigl(H^0(A_K,\Omega^1)\otimes_KC(-1)\bigr)
$$
を得る（Tat67 p. 180 の注意）。$g=1$、すなわちよい還元をもつ楕円曲線 $E$ なら、$V_pE$ の重さは $0$ と $1$ が 1 回ずつである。
$F$ を $\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大、$\mathcal{O}_F$ を整数環、$G$ を Lubin–Tate理論 の定理「Lubin–Tate形式群」の形式群の $p$ 可除群とする。$R=\mathcal{O}_F$、$K=F$ である。高さは $[F:\mathbb{Q}_p]$、次元は $1$ で、$T(G)$ は階数 $1$ の自由 $\mathcal{O}_F$ 加群である。$\tau_0\colon F\to C$ を包含、$L\subset\bar F$ を $F$ の $\mathbb{Q}_p$ 上の Galois 閉包とする。このとき $\mathbb{Q}_p$ 上の埋め込み $\tau\colon F\to C$ について、$G_L$ の半線形表現として $C\otimes_{\mathcal{O}_F,\tau_0}T(G)\cong C(1)$ であり、$\tau\ne\tau_0$ なら $C\otimes_{\mathcal{O}_F,\tau}T(G)\cong C$ である。
確かめを開く
$\mathcal{O}_F\otimes_{\mathbb{Z}_p}C\cong\prod_\tau C$ から $T(G)\otimes C=\bigoplus_\tau C_\tau$（$C_\tau:=C\otimes_{\mathcal{O}_F,\tau}T(G)$ は $1$ 次元）である。$\tau(F)\subset L$ なので、各 $C_\tau$ は $G_L$ で安定である。Hodge–Tate 列は $G$ の自己準同型 $[a]$（$a\in\mathcal{O}_F$）と可換で、$[a](X)=aX+\cdots$ なので $[a]$ は $t_G(C)=C$ に $a$ 倍で作用する。よって $1$ 次元の $\iota(t_G(C)(1))$ は $C_{\tau_0}$ に含まれ、$C_{\tau_0}$ に等しい。したがって $C_{\tau_0}\cong C(1)$ である。残りの $\bigoplus_{\tau\ne\tau_0}C_\tau$ は $\alpha_G$ により $t^*_{G'}(C)\cong C^{m}$（$m=[F:\mathbb{Q}_p]-1$）と同型である。$G_L$ の不変部分は、thm-ht-cohomology の 1 を $L$ に当てると $L^m$ で、各 $C_\tau^{G_L}$ の次元は $1$ 以下である（thm-ht-main の証明の段 4 と同じ）。和の次元が $m$ なので各 $C_\tau^{G_L}$ は $1$ 次元で、$C_\tau\cong C$ である。
充満忠実性
Tate の定理の応用として、次が得られる。
$G,H$ を $R$ 上の $p$ 可除群とする。自然な写像
$$
\operatorname{Hom}_R(G,H)\longrightarrow\operatorname{Hom}_{G_K}\bigl(T(G),T(H)\bigr)
$$
は全単射である。
この定理はこの記事では証明しない。
これは Tat67 Theorem 4 の Corollary 1（p. 181）である。証明の鍵は cor-ht-weights の 2 である。$f\colon G\to H$ が $K$ の上で同型なら、$G$ と $H$ の高さと次元は等しく、$G_v$ と $H_v$ の座標環の判別式が等しくなるので、$f$ は $R$ の上でも同型である（同 p. 181）。一般の場合は、$T(G)\times T(H)$ の中の準同型のグラフに閉包の操作を施して、この場合に帰着させる（同 pp. 181–182）。
一般の多様体
Tate は、この形の分解が一般の多様体のすべての次数のエタールコホモロジーにもあるかと問うた（Tat67 p. 180 の注意）。この問いへの答えは、p進Hodge理論 の例「Hodge–Tate 表現の例」の 4 に述べたとおりである。$K$ を $\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大とし、$X$ を $K$ 上の固有で滑らかな多様体とすると、$G_K$ 同変な同型
$$
H^i_{\mathrm{et}}(X_{\bar K},\mathbb{Q}_p)\otimes_{\mathbb{Q}_p}\mathbb{C}_p\cong\bigoplus_{j=0}^iH^{i-j}(X,\Omega^j_X)\otimes_K\mathbb{C}_p(-j)
$$
がある。固有で滑らかな剛解析多様体に対して Sch13 Corollary 1.8 がこの形で述べており、Tate の問いへの答えであることも同所に記されている。この記事では証明しない。$X$ に $R$ の上のよいモデルを仮定しない点が、ex-ht-abelian との違いである。$i=1$、$X=A_K$ のとき、ex-ht-abelian はこの分解を与える。
反例
thm-ht-main の仮定を 1 つずつ外す。確かめは表の下にある。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $K$ の標数が $0$ | $K=\mathbb{F}_p(\!(t)\!)$、$G=\mu_{p^\infty}$ | $T(G)$ の階数が $h$ である |
| $K$ の付値が離散 | $K=\widehat{\mathbb{Q}_p(\mu_{p^\infty})}$、$G=\mu_{p^\infty}\times\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$ | 分解の一意性と、重さの定義 |
| $V$ が $R$ 上の $p$ 可除群から来る | $\mathbb{Q}_p(2)$ | 重さは $0$ と $1$ だけ |
1 行目：標数 $p$ の体には $1$ の原始 $p$ 乗根がないので $\mu_{p^v}(\bar K)=1$ であり、$T(G)=0$ だが $h=1$ である。$\mathbb{F}_p[\![t]\!]$ は完備離散付値環で、剰余体 $\mathbb{F}_p$ は完全なので、破れているのは標数の条件だけである。
2 行目：$H:=\ker\chi$ は $\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}_p(\mu_{p^\infty}))$ で、ヘンゼル体の完備化は絶対 Galois 群を変えないので、$H$ は $K$ の絶対 Galois 群である。$K$ は完備で標数 $0$ だが、付値は離散でない。$H$ の上で $\chi=1$ なので $C(1)\cong C$ であり、$C(1)^H\ne0$ である。このとき $T(G)\otimes C\cong C\oplus C$ の中で、$0\to C(1)\to T(G)\otimes C\to C\to0$ の同変な切断は $c\in C^H$ の分だけある。また $C(1)$ と $C$ が区別できないので、重さは定まらない。
3 行目：$\mathbb{Q}_p(2)$ は重さ $2$ の Hodge–Tate 表現であり、cor-ht-weights の 3 により $V(G)$ の形にならない。Hodge–Tate 表現でない例としては p進Hodge理論 の例「反例の確かめ」の表現があり、これも $V(G)$ の形にならない。
関連項目
- 前提: p進Hodge理論, Dieudonné加群とp可除群, 形式群, Galoisコホモロジー
- 比較: Hodge分解, Lubin–Tate理論, Tate加群
- 発展: エタールコホモロジー, アーベルスキーム, Tate捻り
参考文献
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