永田予想

1 ⇒ 2. $\sum_im_i=rm$ を代入する。

2 ⇒ 1. 曲線 $C$ を $G$、$m_i:=\operatorname{mult}_{p_i}C$、$M:=\sum_im_i$ とする。$M=0$ なら明らかである。lem-nag-all により、$\mathbb{Z}/r$ の巡回置換 $\sigma^j$ のそれぞれについて、同じ点の組に $(d;m_{\sigma^j(1)},\dots,m_{\sigma^j(r)})$ の曲線 $G_j$ がある。積 $\prod_jG_j$ は次数 $rd$ で、各点の重複度は $M$ 以上である。2 から $rd\ge M\sqrt r$、すなわち $d\sqrt r\ge M$ である。

1 ⇔ 3. 既約な $C$ の強変換との交点数は $d\sqrt r-\sum_im_i$ で、$E_i$ との交点数は $1$ である。曲線は既約成分の和で、重複度も次数も加法的なので、1 は既約な曲線で確かめれば足りる。

1 ⇔ 4. 1 は $\varepsilon_r\ge1/\sqrt r$ と同値である。逆向きの不等号は prop-nag-count の 1 の曲線からわかる。その既約成分のどれかは比 $\deg/\sum\operatorname{mult}$ が全体の比以下である。

2 ⇔ 5. $t=a/b>1/\sqrt r$ で $\ell(bD_t)$ が有効なら、次数 $\ell b$、重複度 $\ell a$ の曲線があり、$\ell b< \ell a\sqrt r$ で 2 に反する。逆に $d< m\sqrt r$ の曲線があれば $t=m/d>1/\sqrt r$ の $D_t$ の倍数が有効である。

5 ⇔ 6. 巨大な因子の倍数は有効なので、5 のもとで $t>1/\sqrt r$ の $D_t$ は巨大でない。$t<1/\sqrt r$ で巨大なことは prop-nag-count の 2 である。これで 6 が出る。逆に $t>1/\sqrt r$ の $D_t$ の倍数が有効なら、$1/\sqrt r< t'< t$ について $D_{t'}=(1-t'/t)H+(t'/t)D_t$ は、巨大な $H$ の正の倍と有効な因子の和の有理数倍なので巨大であり（巨大因子 の系「数値的同値と和」）、6 に反する。

最後の主張. $\sqrt r$ が無理数なら、$d\sqrt r=M$ となるのは $d=M=0$ のときだけである。$\square$

準備. $\Gamma=V(F)$ を滑らかな $s$ 次曲線とする。種数は $\frac{(s-1)(s-2)}2\ge1$ である。写像 $\Gamma^r\to\operatorname{Pic}^0(\Gamma)$、$(P_i)\mapsto\mathcal{N}:=\mathcal{O}_\Gamma(s)(-\sum_iP_i)$ は、$r\ge$ 種数なので全射である（Riemann–Rochの定理）。ねじれ元は可算個なので、相異なる $P_1,\dots,P_r\in\Gamma$ で、$\mathcal{N}$ が $\operatorname{Pic}^0(\Gamma)$ の位数無限の元であるものがとれる。

主張 A. 次数 $D$ の $0$ でない斉次多項式 $G$ がすべての $P_i$ で重複度 $M\ge1$ 以上なら $D\ge sM$ で、等号のとき $G=cF^M$ である。$G=F^aG'$（$F\nmid G'$）と書く。$a\ge M$ なら $D\ge as\ge sM$ で、等号なら $a=M$、$G'$ は定数である。$a< M$ なら、$G'$ は $P_i$ で重複度 $M-a$ 以上なので、Bézout の定理から $s(D-as)\ge r(M-a)=s^2(M-a)$、すなわち $D\ge sM$ である。等号なら $G'|_\Gamma$ の因子は $(M-a)\sum_iP_i$ に等しく、$\mathcal{N}^{\otimes(M-a)}$ は自明になって $\mathcal{N}$ の選び方に反する。

不等式. 非常に一般の点の組に $(d;m_1,\dots,m_r)$ の曲線があるとする。thm-nag-equiv の 2 ⇒ 1 の証明と同じく、すべての点の組に $D=rd$、$M=\sum_im_i$ の曲線 $(D;M^r)$ がある。主張 A から $s^2d\ge sM$、すなわち $ds\ge M$ である。

厳密性. $M=0$ なら明らかなので、$s\ge4$、$M\ge1$、$D=sM$ として矛盾を導く。$P_i$ のどれも通らない直線を無限遠直線にとり、$f$ を $F$ の非斉次化とする。任意の $c=(c_i)\in\mathbb{C}^r$ を固定する。$\Gamma$ は滑らかなので、$\partial_{v_i}f(P_i)=c_i$ となる $v_i\in\mathbb{C}^2$ がある。$P_i(t):=P_i+tv_i$ とおく。すべての $t\in\mathbb{C}$ で点の組 $(P_i(t))$ に $(D;M^r)$ の曲線があるので、重複度の条件の係数行列（$t$ の多項式）は $\mathbb{C}(t)$ の上で核をもつ。$t$ の冪で割って、$G(t)$ を $t$ の多項式を係数とする $D$ 次斉次多項式で $G(0)\ne0$ となるようにとる。主張 A から $G(0)=F^M$ としてよい。$G(t)=F^M+tH+O(t^2)$ の非斉次化を $f^M+th+O(t^2)$ とする。$w$ の多項式 $g_t(P_i+tv_i+w)$ は $w$ について位数 $M$ 以上で、これの $t$ の 1 次の係数をとると$$h+Mf^{M-1}\partial_{v_i}f\in\mathfrak{m}_i^M\quad\text{（$\mathfrak{m}_i$ は $P_i$ の極大イデアル）}$$である。$\partial_{v_i}f-c_i\in\mathfrak{m}_i$、$f\in\mathfrak{m}_i$ なので、$h\equiv-Mc_if^{M-1}\pmod{\mathfrak{m}_i^M}$ である。

$0\le j\le M-1$ について、$H=F^jH_j$（$H_j$ は $(M-j)s$ 次斉次）かつ $h_j\equiv-Mc_if^{M-1-j}\pmod{\mathfrak{m}_i^{M-j}}$ であることを帰納法で示す。$j=0$ は上で示した。$j\le M-2$ とする。$f$ は $\Gamma$ の上で $0$ なので、$H_j|_\Gamma$ は各 $P_i$ で位数 $M-j$ 以上で消える。$H_j|_\Gamma\ne0$ なら、次数の比較からその因子は $(M-j)\sum_iP_i$ に等しく、$\mathcal{N}^{\otimes(M-j)}$ が自明になって矛盾する。よって $F\mid H_j$ である。$H_{j+1}:=H_j/F$ とおく。$f$ は $P_i$ の正則局所環の正則パラメータ系の一員なので $(\mathfrak{m}_i^{a}:f)=\mathfrak{m}_i^{a-1}$ であり、$j+1$ の主張が出る。

$j=M-1$ として、$s$ 次斉次多項式 $H_{M-1}$ で $h_{M-1}(P_i)=-Mc_i$ となるものが得られた。$c$ は任意だったので、$s$ 次斉次多項式の $P_1,\dots,P_r$ での値を並べる写像は $\mathbb{C}^r$ への全射である。その核は $F$ を含むので $\binom{s+2}{2}-1\ge r=s^2$、すなわち $s+3\ge2s$ である。これは $s\ge4$ に反する。$\square$

$\lambda\ge3\sqrt r>9$ から $\theta>0$ である。列 $j=h-e$ には $[\theta e,\lambda e)$ の幅が $9e$ なので $9e$ 個の点があり、$\lvert S\rvert=1+9h(h+1)/2=\binom{3h+2}{2}$ である。

行 $k=0$ には $(h,0)$ だけがある。行 $k>0$ の点の $j$ は半開区間 $[\max(0,h-k/\theta),\,h-k/\lambda)$ の整数である。$k$ は $0\le k< \lambda h=rm$ を動くので $\#\{k\mid N_k\ge1\}\le rm$ である。$t\ge2$ で $N_k\ge t$ なら、区間の幅が $t-1$ より大きいので$$\frac{\theta\lambda}{9}(t-1)< k< \lambda(h-t+1)$$である（$k/\theta-k/\lambda=9k/(\theta\lambda)$ を使った）。この開区間の長さは $\lambda h-(t-1)\lambda(1+\theta/9)=rm-(t-1)\lambda^2/9$ で、$\lambda^2\ge9r$ なので $r(m-t+1)$ 以下である。整数の個数はそれ以下である。とくに $t=m+1$ で個数は $0$ なので、$N_k\le m$ である。

行を $N_k$ の大きい順に並べて lem-nag-interp を $(x,y)=(j,k)$ で使う。現れる単項式 $x^ay^b$ は $b< \#\{k\mid N_k\ge a+1\}\le r(m-a)$ をみたすので、$(a,b)\in I$ である。よって $S$ の上の任意の値が $I$ の単項式の 1 次結合でとれ、行列の階数は $\lvert S\rvert$ である。$\square$

$\theta=A/D$ を既約分数とし、$\delta:=1/(2Dh)$ として $M:=B_{9,\tau^{\theta-\delta+9/2}}$ とおく。次数 $3$ の $L:=B_{3,\tau^{(\theta-\delta+9/2)/3}}$ は $C_\tau$ を平面 3 次曲線に埋め込み、$\mathcal{O}_C(3)=L^{\otimes3}=M$ である。$M^{\otimes e}=B_{9e,\tau^{U+9e/2}}$（$U=e(\theta-\delta)$）で、$e\theta\in D^{-1}\mathbb{Z}$、$0< e\delta<1/D$ なので、$U$ は整数でなく、開区間 $(U,U+9e)$ の整数はちょうど $\theta e\le k< \lambda e$ の整数である。lem-nag-theta の基底を $\phi_{e,k}$ とすると、$\phi_{e,k}v^{h-e}$（$1\le e\le h$）と $v^h$ が $H^0(F,\mathcal{O}_F(hC_0))$ の基底で、$S$ で番号づけられる。

$\operatorname{Tot}(M)$ の被覆の枠で、局所座標 $(w,y)$ を $z=\sqrt\tau e^w$、$v=e^y$ で定める。$\tau$ が小さければ原点の固定した近傍が単射に埋め込まれる。$j=h-e$ とすると、$(j,k)$ の基底の局所表示は $\phi_{e,k}(\sqrt\tau e^w)e^{jy}$ で、$\tau\to0$ ですべての導関数とともに $e^{kw+jy}$ に収束する。$\mathcal{O}/(w^r,y)^m$ は $y^aw^b$（$(a,b)\in I$）を基底にもつので、$Z$ への制限の行列は $\partial_y^a\partial_w^b$ の原点の値で書け、その極限は $(j^ak^b)$ である。prop-nag-triangle からこの行列の階数は基底の個数に等しい。階数の条件は開なので、小さな $\tau$ で制限写像は単射である。$\square$

平面への移行. $\mathcal{Y}$ を $\mathbb{P}^2\times\mathbb{A}^1$ の $C\times\{0\}$ での爆発とする。$0$ の上のファイバーは $Q\cup F$ で、$Q\cong\mathbb{P}^2$、$Q\cap F$ は $Q$ の $C$ で $F$ の $C_\infty$ である。$t\ne0$ のファイバーは $\mathbb{P}^2$ である。可逆層 $\mathcal{A}:=\mathcal{O}(3h)(-hF)$ は $Q$ の上で自明、$F$ の上で $\mathcal{O}_F(hC_0)$ である。prop-nag-ruled の $(w,y)$ を、同じ高階のジェットをもつ代数的なパラメータに取り替える（$Z$ のイデアルは $\mathfrak{m}_x$ の高い冪を含むので変わらない）。$\mathcal{Y}\setminus Q\to\mathbb{A}^1$ は滑らかなので、底のエタール近傍の上で $x$ を切断に延ばし、パラメータも延ばすと、$Z$ は有限平坦な族 $\mathcal{Z}$ に延びる。完全列 $0\to\mathcal{I}_{\mathcal{Z}}\to\mathcal{O}_{\mathcal{Y}}\to\mathcal{O}_{\mathcal{Z}}\to0$ から $\mathcal{A}\otimes\mathcal{I}_{\mathcal{Z}}$ も底の上で平坦で、各ファイバーへの制限は、そのファイバーの $\mathcal{A}$ と $\mathcal{Z}$ のファイバーのイデアル層のテンソル積である。中心のファイバーの上の $\mathcal{A}\otimes\mathcal{I}_{\mathcal{Z}}$ の切断は、$F$ の部分が prop-nag-ruled により $0$ で、$Q$ の部分は定数で $C$ の上で $0$ なので $0$ である。半連続性（Har77 III Theorem 12.8, p. 288）により、一般のファイバーでも切断はない。すなわち、$\mathbb{P}^2$ の点の正則パラメータ $(u,v)$ で $H^0(\mathbb{P}^2,\mathcal{O}(3h)\otimes(u^r,v)^m)=0$ となるものがある。

点への分離. 相異なる $c_1,\dots,c_r$ について $P_\sigma(u):=\prod_i(u-\sigma c_i)$ とおく。商 $\mathbb{C}[\sigma,u,v]/(P_\sigma(u),v)^m$ は $u^bv^a$（$(a,b)\in I$）を基底とする $\mathbb{C}[\sigma]$ 自由加群なので、これは平坦な族である。$\sigma=0$ のファイバーは $(u^r,v)^m$ で、$\sigma\ne0$ では $(\sigma c_i,0)$ を中心とする $r$ 個の重複度 $m$ の点である。$(u,v)$ は点の近傍の正則座標なので、$\lvert\sigma\rvert$ が小さければこの族は $\mathbb{P}^2$ の中にあり、$3h$ 次斉次多項式の空間からの制限の行列は $\sigma$ の正則関数である（$v$ で展開し、$u$ について monic な $P_\sigma^{m-a}$ で割った余りの係数が $\sigma$ に正則に依存する）。$\sigma=0$ で単射なので、小さな $\sigma\ne0$ でも単射であり、ある $r$ 点の組に $(3h;m^r)$ の曲線はない。よって $V(3h;m^r)\ne(\mathbb{P}^2)^r$ である。

結論. $d,m\ge1$ が $d\le m\sqrt r$ をみたすとする。$h=d$ と重複度 $3m$ に上を使うと（$9d^2\le r(3m)^2$）、$V(3d;(3m)^r)$ は全体でない。$G$ が $(d;m^r)$ の曲線なら $G^3$ は $(3d;(3m)^r)$ の曲線なので、$V(d;m^r)\subset V(3d;(3m)^r)$ は全体でない。よって非常に一般の点の組にこの曲線はなく、すべての $p_i$ で重複度 $m$ 以上の曲線は $d>m\sqrt r$ をみたす。重複度が異なる場合は、thm-nag-equiv の 2 ⇒ 1 の証明の積の曲線に、この厳密な不等式を使えばよい。$\square$