熱方程式
概要
熱方程式（heat equation）とは、温度や濃度の拡散を表す偏微分方程式 $u_t=\Delta u$ であり、放物型の方程式の代表である。全空間の初期値問題は、有界な連続関数の初期値に対して Gauss 関数（熱核）との畳み込みで解け、正の時刻では無限回微分可能になる。有界な領域では解は放物境界で最大値をとり、Dirichlet 条件の下の解は固有関数の展開で作られて Poincaré の不等式から指数的に減衰し、初期値が滑らかでも境界の上ですべての $j$ について $\Delta^ju_0=0$ でなければ初期時刻まで滑らかにはならない。解は Brown 運動による期待値でも表せ、熱は無限の速さで伝わり、時間を逆にたどる問題はデータに連続に依存しない。
熱方程式（heat equation）は、温度や物質の濃度が空間に広がっていく様子を表す偏微分方程式
$$
u_t=\Delta u\qquad\Bigl(\Delta=\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}\Bigr)
$$
である。$u(x,t)$ は時刻 $t$、位置 $x$ での温度で、温度の高い所から低い所へ熱が流れるという Fourier の法則と熱量の保存を合わせるとこの形になる。偏微分方程式 の分類では放物型の代表であり、一般の放物型の方程式は 放物型偏微分方程式 で扱う。
熱方程式の解には、波動方程式などにない著しい性質がある。初期値がどんなに粗くても正の時刻では無限回微分でき（平滑化）、内部で新しい最大値をとらず（最大値原理）、時間を逆向きにたどる問題はデータに連続に依存しない。全空間での解は Gauss 関数（熱核）との畳み込みで与えられ、確率論では Brown運動 の分布として現れる。この記事では、熱核による Cauchy 問題の解、最大値原理と一意性、有界な領域での解の存在とエネルギーの減衰を証明し、平滑化と時間の非可逆性を確かめる。
定義
以下、関数はすべて実数値とする。$\Omega\subset\mathbb{R}^n$ を開集合、$0< T\le\infty$ とする。
$\Omega\times(0,T)$ の上の関数 $u(x,t)$ が、各点で $u_t$ と $\partial_i\partial_ju$（$1\le i,j\le n$）をもち、それらが連続で
$$
u_t(x,t)=\Delta u(x,t)\qquad((x,t)\in\Omega\times(0,T))
$$
を満たすとき、$u$ を $\Omega\times(0,T)$ での熱方程式の 古典解 という。与えられた関数 $f$ について $u_t-\Delta u=f$ を 非斉次の熱方程式 という。
熱の伝わりやすさを表す定数 $k>0$ を入れた方程式 $u_t=k\Delta u$ は、$v(x,t):=u(x,t/k)$ とおくと $v_t=\Delta v$ になるので、以下 $k=1$ とする。また $u$ が解なら、平行移動 $u(x-a,t-s)$ と、$\lambda>0$ による拡大 $u(\lambda x,\lambda^2t)$ も（定義域を合わせれば）解である。空間を $\lambda$ 倍すると時間は $\lambda^2$ 倍になる、というこの尺度の関係は、Brown 運動の命題「対称性・尺度変換・時間の平行移動」（Brown運動）の 2 と同じものである。
解くべき問題は主に次の 2 つである。
- Cauchy 問題（初期値問題）：$\Omega=\mathbb{R}^n$ で、初期値 $u(x,0)=g(x)$ を与える。
- 初期境界値問題：$\Omega$ が有界で、初期値 $u(x,0)=g(x)$（$x\in\Omega$）と境界での値、たとえば Dirichlet 条件 $u=0$（$\partial\Omega\times(0,T)$ の上）を与える。境界の温度を $0$ に保つことにあたる。
熱核と Cauchy 問題
$$
\Phi(x,t):=(4\pi t)^{-n/2}\exp\Bigl(-\frac{|x|^2}{4t}\Bigr)\qquad(x\in\mathbb{R}^n,\ t>0)
$$
を 熱核（熱方程式の基本解）という。
$\Phi(\cdot,t)$ は、各成分が独立に平均 $0$、分散 $2t$ の正規分布に従う確率ベクトルの密度である（正規分布 の定義「正規分布」で分散を $2t$ としたものの $n$ 個の積）。
- $\Phi$ は $\mathbb{R}^n\times(0,\infty)$ で $C^\infty$ 級で、$\Phi_t=\Delta\Phi$ を満たす。
- $\Phi>0$ であり、各 $t>0$ で $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(x,t)\,dx=1$ である。
- $s,t>0$ について $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(x-y,t)\,\Phi(y,s)\,dy=\Phi(x,t+s)$ である。
- 各 $\delta>0$ について $\displaystyle\lim_{t\to+0}\int_{|x|\ge\delta}\Phi(x,t)\,dx=0$ である。
1．$\log\Phi=-\frac n2\log(4\pi t)-\frac{|x|^2}{4t}$ を微分すると $\Phi_t=\bigl(-\frac n{2t}+\frac{|x|^2}{4t^2}\bigr)\Phi$、$\partial_i\Phi=-\frac{x_i}{2t}\Phi$、$\partial_i^2\Phi=\bigl(-\frac1{2t}+\frac{x_i^2}{4t^2}\bigr)\Phi$ で、$i$ について足すと $\Delta\Phi=\Phi_t$ である。
2．正値は明らかである。$\int_{\mathbb{R}}e^{-x^2/(4t)}dx=\sqrt{4\pi t}$（Gauss積分 を $x=2\sqrt t\,y$ で置換したもの）と Fubini の定理から、$n$ 次元の積分は $(4\pi t)^{-n/2}(\sqrt{4\pi t})^n=1$ である。
3．$X,Y$ を独立で、それぞれ密度 $\Phi(\cdot,t)$、$\Phi(\cdot,s)$ をもつ確率ベクトルとすると、左辺は $X+Y$ の密度である。各成分は独立に $N(0,2t)$ と $N(0,2s)$ に従うので、正規分布 の定理「独立な正規分布の和」により $X+Y$ の各成分は $N(0,2(t+s))$ に従い、成分どうしは独立である。よって $X+Y$ の密度は $\Phi(\cdot,t+s)$ である。
4．$x=2\sqrt t\,w$ と置換すると、積分は $\pi^{-n/2}\int_{|w|\ge\delta/(2\sqrt t)}e^{-|w|^2}dw$ になる。被積分関数は $e^{-|w|^2}$ で押さえられ、$t\to+0$ のとき各点で $0$ に近づくので、優収束定理 により $0$ に近づく。$\square$
$g\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ を有界な連続関数とし、
$$
u(x,t):=\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(x-y,t)\,g(y)\,dy\quad(t>0),\qquad u(x,0):=g(x)
$$
とおく。このとき $u$ は $\mathbb{R}^n\times(0,\infty)$ で $C^\infty$ 級で $u_t=\Delta u$ を満たし、$\mathbb{R}^n\times[0,\infty)$ で連続で、$\inf g\le u\le\sup g$ である。
滑らかさ、方程式、初期時刻への同時連続性は、偏微分方程式 の定理「熱方程式の Cauchy 問題の解」による。そこの仮定も、同じ熱核と、有界な連続初期値 $g$ である。上下の評価は、核が正で積分が $1$ であることから $u(x,t)-\inf g=\int\Phi(x-y,t)(g(y)-\inf g)dy\ge0$、同様に $\sup g-u(x,t)\ge0$ として得られる。$t=0$ での連続性も $u(x,0)=g(x)$ と定めれば同定理の収束と $g$ の連続性から従う。$\square$
prop-heat-kernel の 3 と Fubini の定理から、$t,s>0$ について $u(\cdot,t+s)=\Phi(\cdot,t)*u(\cdot,s)$ が成り立つ。時刻 $s$ の状態を初期値として時間 $t$ だけ解き進めても、最初から時間 $t+s$ だけ解いても同じになる（半群の性質）。
$n=1$ とする。
- $g(x)=\cos(kx)$（$k\in\mathbb{R}$）なら $u(x,t)=e^{-k^2t}\cos(kx)$ である。実際、$Y\sim N(0,2t)$ について $\int\Phi(x-y,t)\cos(ky)\,dy=E[\cos(k(x-Y))]=\cos(kx)E[\cos kY]+\sin(kx)E[\sin kY]$ で、$E[\cos kY]=e^{-k^2t}$（正規分布 の定理「積率母関数と特性関数」）、$E[\sin kY]=0$（$Y$ の分布は対称）である。振動の細かい（$|k|$ の大きい）成分ほど速く減衰する。
- $a>0$ について $g(x)=e^{-x^2/(4a)}=\sqrt{4\pi a}\,\Phi(x,a)$ なら、prop-heat-kernel の 3 により $u(x,t)=\sqrt{4\pi a}\,\Phi(x,t+a)=\sqrt{\dfrac a{a+t}}\,e^{-x^2/(4(a+t))}$ である。山の高さは $\sqrt{a/(a+t)}$ に下がり、幅は $\sqrt{a+t}$ に比例して広がる。
- 初期値が階段関数 $1_{(0,\infty)}$ のとき（連続でないので thm-heat-cauchy の外）、同じ積分は $\frac12\bigl(1+\operatorname{erf}\frac{x}{2\sqrt t}\bigr)$ になる（誤差関数 の命題「熱方程式の解」）。$t>0$ では滑らかである。
確率による表示
$n=1$ で、$(B_t)$ を標準 Brown運動 とする。$\sqrt2B_t$ は $N(0,2t)$ に従い、その密度は $\Phi(\cdot,t)$ なので、thm-heat-cauchy の解は
$$
u(x,t)=E\bigl[g(x+\sqrt2\,B_t)\bigr]
$$
と書ける。点 $x$ から出発して $\sqrt2B$ のように動く粒子が時刻 $t$ にいる場所での $g$ の値の平均が、温度 $u(x,t)$ である。$n$ 次元では、独立な $n$ 個の Brown 運動を並べたものを使えば同じ式が成り立つ。係数 $\sqrt2$ を除いた $v(x,t):=E[g(x+B_t)]$ は $v_t=\frac12v_{xx}$ を満たし、この関係は、$g$ が $C^2$ 級で $g''$ が有界なとき 伊藤の公式 から導くこともできる（その記事の系「期待値と熱方程式」）。
最大値原理と一意性
有界な開集合 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ と $T>0$ について、
$$
\Gamma_T:=\bigl(\overline\Omega\times\{0\}\bigr)\cup\bigl(\partial\Omega\times[0,T]\bigr)
$$
を柱 $\overline\Omega\times[0,T]$ の 放物境界 という。底面と側面からなり、上面の内部 $\Omega\times\{T\}$ を含まない。
$\Omega$ を有界な開集合、$T>0$ とする。$u$ は $\overline\Omega\times[0,T]$ で連続で、$\Omega\times(0,T]$ で $u_t$ と $\partial_i\partial_ju$ が存在して連続であり（$t=T$ での $u_t$ は左からの微分係数）、そこで $u_t-\Delta u\le0$ を満たすとする。このとき
$$
\max_{\overline\Omega\times[0,T]}u=\max_{\Gamma_T}u
$$
である。
$\varepsilon>0$ とし、$v:=u-\varepsilon t$ とおくと、$\Omega\times(0,T]$ で $v_t-\Delta v=u_t-\Delta u-\varepsilon\le-\varepsilon< 0$ である。$\overline\Omega\times[0,T]$ はコンパクトなので $v$ は最大値をとる。最大点 $(x_0,t_0)$ が $\Gamma_T$ に属さないとすると $x_0\in\Omega$、$0< t_0\le T$ である。$t< t_0$ では $v(x_0,t)\le v(x_0,t_0)$ なので左からの差分商は $0$ 以上で、$v_t(x_0,t_0)\ge0$ である。$x\mapsto v(x,t_0)$ は内点 $x_0$ で最大なので、楕円型偏微分方程式 の補題「内部の最大点での符号」を単位行列に当てて $\Delta v(x_0,t_0)\le0$ である。よって $(v_t-\Delta v)(x_0,t_0)\ge0$ となり矛盾する。したがって
$$
\max_{\overline\Omega\times[0,T]}u\le\max_{\overline\Omega\times[0,T]}v+\varepsilon T=\max_{\Gamma_T}v+\varepsilon T\le\max_{\Gamma_T}u+\varepsilon T
$$
であり、$\varepsilon\to+0$ として $\le$ を得る。逆向きは $\Gamma_T\subset\overline\Omega\times[0,T]$ から明らかである。$\square$
$u_1,u_2$ が thm-heat-maximum の正則性をもち、$\Omega\times(0,T]$ で熱方程式を満たすとする。$\Gamma_T$ の上で $u_1\le u_2$ なら $\overline\Omega\times[0,T]$ 全体で $u_1\le u_2$ である。とくに、初期値と境界値が一致する 2 つの解は一致する。
$w:=u_1-u_2$ は $w_t-\Delta w=0$ を満たすので、thm-heat-maximum から $\max w=\max_{\Gamma_T}w\le0$ である。一致する場合は $w$ と $-w$ に当てる。$\square$
全空間では放物境界の側面がないので、解の増大を制限して一意性を示す。
$T>0$ とする。$u$ は $\mathbb{R}^n\times[0,T]$ で連続かつ有界で、$\mathbb{R}^n\times(0,T]$ で thm-heat-maximum の正則性をもって熱方程式を満たし、$u(x,0)=0$ がすべての $x$ で成り立つとする。このとき $u\equiv0$ である。とくに、有界な連続関数 $g$ を初期値とする有界な解は thm-heat-cauchy の $u$ だけである。
$M:=\sup|u|$ とし、$R>0$ について
$$
w(x,t):=\frac M{R^2}\bigl(|x|^2+2nt\bigr)
$$
とおく。$w_t=2nM/R^2=\Delta w$ なので $w$ も熱方程式の解である。$B_R:=\{|x|< R\}$ の柱 $\overline{B_R}\times[0,T]$ で $u-w$ を考える。底面では $u=0\le w$、側面 $|x|=R$ では $u\le M\le w$ なので、放物境界の上で $u\le w$ である。cor-heat-comparison から $\overline{B_R}\times[0,T]$ で $u\le w$ となる。$(x,t)$ を固定して $R\to\infty$ とすると $u(x,t)\le0$ である。$-u$ にも同じ議論を当てて $u\equiv0$ を得る。後半は、2 つの有界な解の差に当てればよい。$\square$
有界な領域での初期境界値問題
有界区間 $(0,L)$ で両端の温度を $0$ に保つ問題は、正弦関数による級数（Fourier の方法）で解ける（変数分離法(偏微分方程式) の定理「零温度境界での熱の級数解」）。一般の有界な領域でも、$-\Delta$ の固有関数で展開して同じように解ける（$-\Delta$ を Sobolev空間 の上の自己共役な作用素として扱い、Hille–吉田の定理 を当てる方法もある）。
$\Omega\subset\mathbb{R}^n$ を境界が $C^\infty$ 級の有界な開集合とし、$u_0\in L^2(\Omega)$ とする。このとき、$u_t=\Delta u$（$\Omega\times(0,\infty)$）、$u=0$（$\partial\Omega\times(0,\infty)$）、$u(\cdot,0)=u_0$ を満たし、
$$
u\in C\bigl([0,\infty);L^2(\Omega)\bigr)\cap C\bigl((0,\infty);H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)\bigr)\cap C^1\bigl((0,\infty);L^2(\Omega)\bigr)
$$
となる $u$ がただ 1 つ存在する。さらに各 $\varepsilon>0$ について $u$ は $\overline\Omega\times[\varepsilon,\infty)$ で $C^\infty$ 級である。
要点：$-\Delta$ の Dirichlet 固有関数 $e_n$ で $u(t):=\sum_ne^{-\lambda_nt}(u_0,e_n)e_n$ とおく。正の時刻では係数が指数的に減るので、時間で何回微分した級数も任意の階数の Sobolev ノルムで収束する。一意性はエネルギーの計算による。
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段 1（固有関数と定義域）：Laplacianの固有関数 の定理「Dirichlet 条件の固有関数による展開」により、$L^2(\Omega)$ の正規直交基底 $(e_n)$ で、$e_n\in H^1_0(\Omega)$、$-\Delta e_n=\lambda_ne_n$、$0< \lambda_1\le\lambda_2\le\cdots$、$\lambda_n\to\infty$ となるものがある。$D(A):=H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$、$Av:=-\Delta v$ とおく。楕円型方程式の正則性（Bre11 Theorem 9.25、p. 298：境界が $C^{m+2}$ 級で有界なとき、$w\in H^1_0(\Omega)$ が弱い意味で $-\Delta w+w=f\in H^m(\Omega)$ を満たせば $w\in H^{m+2}(\Omega)$、$\|w\|_{H^{m+2}}\le C_m\|f\|_{H^m}$）から $e_n\in D(A)$ である。$v,w\in D(A)$ について $(Av,w)_{L^2}=(\nabla v,\nabla w)_{L^2}=(v,Aw)_{L^2}$ なので、$v\in D(A)$ の係数は $(Av,e_n)=\lambda_n(v,e_n)$ を満たす。逆に $v=\sum_nc_ne_n$ で $\sum_n\lambda_n^2c_n^2< \infty$ なら、部分和 $v_N$ について $v_N+Av_N$ は $L^2$ で収束し、上の評価（$m=0$）から $(v_N)$ は $H^2$ の Cauchy 列なので、$v\in D(A)$、$Av=\sum_n\lambda_nc_ne_n$ である。帰納法で、$v\in D(A^k)$ と $\sum_n\lambda_n^{2k}c_n^2< \infty$ は同値で、$A^jv=\sum_n\lambda_n^jc_ne_n$（$j\le k$）である。さらに $v\in D(A^k)$ なら $v+Av\in D(A^{k-1})$ なので、同じ評価を繰り返して $v\in H^{2k}(\Omega)$、$\|v\|_{H^{2k}}\le C_k\sum_{j\le k}\|A^jv\|_{L^2}$ である。
段 2（存在と滑らかさ）：$a_n:=(u_0,e_n)$ とし、$u(t):=\sum_ne^{-\lambda_nt}a_ne_n$（$t\ge0$）とおく。$|e^{-\lambda_nt}-e^{-\lambda_ns}|^2a_n^2\le4a_n^2$ と、和についての優収束定理から $u\in C([0,\infty);L^2(\Omega))$、$u(0)=u_0$ である。$\varepsilon>0$ と整数 $r,k\ge0$ を固定する。$q\ge0$ について $\sup_{\lambda\ge0}\lambda^qe^{-2\varepsilon\lambda}< \infty$ なので、$t\ge\varepsilon$ で$$\sum_{n>N}\sum_{j\le k}\lambda_n^{2j+2r}e^{-2\lambda_nt}a_n^2\le C_{\varepsilon,r,k}\sum_{n>N}a_n^2\longrightarrow0\quad(N\to\infty)$$である。よって $r$ 回微分した級数 $\sum_n(-\lambda_n)^re^{-\lambda_nt}a_ne_n$ は $[\varepsilon,\infty)$ で $D(A^k)$ のノルム $\sum_{j\le k}\|A^j\cdot\|_{L^2}$ について一様に収束し、項別に微分できる。したがって $u\in C^r([\varepsilon,\infty);D(A^k))$、$u_t=-Au=\Delta u$ であり、段 1 から $u\in C^r([\varepsilon,\infty);H^{2k}(\Omega))$ である。$k$ を十分大きくとれば $H^{2k}(\Omega)\subset C^s(\overline\Omega)$ は連続なので（Bre11 Corollary 9.15、p. 285）、$u$ の時間と空間の混合偏導関数はすべて $\overline\Omega\times[\varepsilon,\infty)$ で連続である。$u(t)\in H^1_0(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ なので、$\partial\Omega$ の上で $u=0$ である（零境界Sobolev空間 の命題「$C^1$ 級の境界での境界値」）。
段 3（一意性）：初期値 $0$ の解 $w$（同じ正則性をもつもの）について $\psi(t):=\frac12\|w(t)\|_{L^2}^2$ とおくと、$t>0$ で $\psi'(t)=(w,\Delta w)_{L^2}=-\|\nabla w\|_{L^2}^2\le0$ である（prf-heat-energy と同じ部分積分）。$\psi$ は $t=0$ で連続で $\psi(0)=0$ なので、$\psi\equiv0$ である。$\square$
thm-heat-dirichlet の解 $u$ について、すべての $T>0$ で
$$
\frac12\|u(T)\|_{L^2}^2+\int_0^T\|\nabla u(t)\|_{L^2}^2\,dt=\frac12\|u_0\|_{L^2}^2
$$
が成り立つ。さらに定数 $C_P>0$ があって $H^1_0(\Omega)$ のすべての $w$ について $\|w\|_{L^2}^2\le C_P\|\nabla w\|_{L^2}^2$ なら、
$$
\|u(t)\|_{L^2}\le e^{-t/C_P}\|u_0\|_{L^2}\qquad(t\ge0)
$$
である。
$\varphi(t):=\frac12\|u(t)\|_{L^2}^2$ は $u\in C^1((0,\infty);L^2)$ から $(0,\infty)$ で $C^1$ 級で、$\varphi'(t)=(u(t),u_t(t))_{L^2}=(u(t),\Delta u(t))_{L^2}$ である。$u(t)\in H^2\cap H^1_0$ なので、台がコンパクトな滑らかな関数 $v$ について成り立つ部分積分 $\int_\Omega\Delta u\,v=-\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v$ を、$H^1_0$ での極限で $v=u(t)$ に広げると、$\varphi'(t)=-\|\nabla u(t)\|_{L^2}^2$ である。$0< \varepsilon< T$ で積分すると $\varphi(T)-\varphi(\varepsilon)=-\int_\varepsilon^T\|\nabla u\|^2dt$ で、$\varepsilon\to+0$ のとき $\varphi(\varepsilon)\to\frac12\|u_0\|^2$（$L^2$ での連続性）、右辺は単調に収束するので等式を得る。
後半：仮定から $\varphi'(t)\le-\frac2{C_P}\varphi(t)$ なので、$(e^{2t/C_P}\varphi(t))'\le0$ である。$0< \varepsilon< t$ で $e^{2t/C_P}\varphi(t)\le e^{2\varepsilon/C_P}\varphi(\varepsilon)$ とし、$\varepsilon\to+0$ として $\varphi(t)\le e^{-2t/C_P}\varphi(0)$ を得る。平方根をとればよい。$\square$
$\Omega$ が有界なら、この定数 $C_P$ は存在する（Poincaréの不等式 の定理「幅が有限な領域でのPoincaréの不等式」）。このとき等式と合わせて $\int_0^\infty\|u(t)\|_{H^1}^2dt\le\frac{C_P+1}2\|u_0\|_{L^2}^2$ も得られる。区間 $(0,\pi)$ では最良の定数は $C_P=1$ で（同記事の定理「区間での最良の定数」）、$u=e^{-t}\sin x$ では等号 $\|u(t)\|=e^{-t}\|u_0\|$ が成り立つ。減衰の速さは、Dirichlet 条件の下での $-\Delta$ の最小の固有値で決まる。
$\Omega=(0,\infty)$ とする（境界は 1 点 $\{0\}$）。$F(x):=x(1+x^2)^{-7/8}$（$x\in\mathbb{R}$）は有界な連続関数で奇関数であり、$|x|\to\infty$ で $|F(x)|\sim|x|^{-3/4}$ なので $u_0:=F|_{(0,\infty)}$ は $L^2$ に属する。$F$ を初期値とする thm-heat-cauchy の解を $(0,\infty)$ に制限したものを $u$ とすると、$F$ が奇関数なので $u(0,t)=0$ であり、
$$
u(x,t)=\int_0^\infty\bigl(\Phi(x-y,t)-\Phi(x+y,t)\bigr)u_0(y)\,dy\qquad(x>0)
$$
である。この解について $\|u(t)\|_{L^2(0,\infty)}^2\ge c\,t^{-1/4}$（$t\ge1$、$c>0$ は定数）となり、とくに $\int_0^\infty\|u(t)\|_{L^2}^2dt=\infty$ である。$\|u(t)\|_{L^2}$ は $t^{-1/8}$ の定数倍より速くは減らず、thm-heat-energy の後半のような指数減衰は起こらない。
下からの評価を開く
$x,y>0$ なら $|x-y|\le x+y$ なので被積分関数の核は $0$ 以上で、$u_0\ge0$ である。$t\ge1$ とし、$x,y\in[2\sqrt t,3\sqrt t]$ に限ると、$(x-y)^2\le t$、$(x+y)^2\ge16t$ なので、核は $(4\pi t)^{-1/2}(e^{-1/4}-e^{-4})=:c_0t^{-1/2}$ 以上である。また $1+y^2\le10t$、$y\ge2\sqrt t$ から $u_0(y)\ge2\cdot10^{-7/8}t^{-3/8}$ である。$y$ の範囲を長さ $\sqrt t$ のこの区間に限ると、$u(x,t)\ge c_0t^{-1/2}\cdot\sqrt t\cdot2\cdot10^{-7/8}t^{-3/8}=c_1t^{-3/8}$（$c_1:=2\cdot10^{-7/8}c_0$）である。$x$ も同じ区間で積分すると $\|u(t)\|^2\ge\sqrt t\cdot c_1^2t^{-3/4}=c_1^2t^{-1/4}$ で、$\int_1^\infty t^{-1/4}dt=\infty$ である。
平滑化と時間の非可逆性
thm-heat-cauchy では $g$ は有界で連続でありさえすればよく、thm-heat-dirichlet では $u_0$ は $L^2$ の元でよい。それでも正の時刻の解は $C^\infty$ 級になる。ex-heat-explicit の 1 のとおり、振動数 $k$ の成分は $e^{-k^2t}$ 倍に減るので、細かな凹凸ほど速く消える。これが平滑化の仕組みである。
初期時刻まで積分した正則性
正の時刻で滑らかになることと、時間微分の二乗を初期時刻まで積分できることは異なる。たとえば各 $\varepsilon>0$ について $\int_\varepsilon^T\|u_t(t)\|_{L^2}^2dt$ が有限でも、その値が $\varepsilon\downarrow0$ で発散することがある。違いを固有関数の係数で確かめよう。
以下では $\Omega$ は空でない有界な $C^\infty$ 境界の領域とし、$H=L^2(\Omega)$、$V=H^1_0(\Omega)$ とおく。$-\Delta$ の Dirichlet 固有関数の正規直交基底 $(e_n)$ を固定し、固有値を $0<\lambda_1\le\lambda_2\le\cdots$、$\lambda_n\to\infty$ と並べる。この基底による表示では
$$
v=\sum_{n=1}^\infty a_ne_n\in V
\quad\Longleftrightarrow\quad
\sum_{n=1}^\infty\lambda_n|a_n|^2<\infty,
\qquad
\|\nabla v\|_{L^2}^2=\sum_{n=1}^\infty\lambda_n|a_n|^2
$$
である（Laplacianの固有関数 の系「$H^1_0$ の正規直交基底と勾配のノルム」）。これと prf-heat-dirichlet の段 1 で時間方向の条件を調べる。熱解の固有関数展開は Bre11 §10.1 Remark 3（pp. 331–332）にある。
$u_0=\sum_na_ne_n\in H$ とし、外力のない Dirichlet 熱解を $u(t)=\sum_ne^{-t\lambda_n}a_ne_n$ とする。任意の $T>0$ について
$$
\int_0^T\|u_t(t)\|_{L^2}^2\,dt
=\frac12\sum_{n=1}^\infty\lambda_n|a_n|^2(1-e^{-2T\lambda_n})
$$
が、両辺が無限大の場合も含めて成り立つ。したがって
$$
u_t\in L^2(0,T;L^2(\Omega))
\quad\Longleftrightarrow\quad u_0\in H^1_0(\Omega).
$$
ここで時間微分は $L^2(\Omega)$ に値をとる分布微分であり、境界条件は $H^1_0(\Omega)$ への所属で表す。
要点：Parseval の等式と Tonelli の定理で、時間積分を固有値ごとに計算する。
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$t\ge\varepsilon>0$ では $\lambda^2e^{-2\varepsilon\lambda}$ が $\lambda\ge0$ で有界なので、微分した級数は $H$ で局所一様に収束する。有限部分和の積分恒等式に極限を通せば、$u_t(t)=\sum_n-\lambda_ne^{-t\lambda_n}a_ne_n$ となる。Parseval の等式と非負関数に対する Tonelli の定理から
$$\int_0^T\|u_t(t)\|_{L^2}^2dt=\sum_n\lambda_n^2|a_n|^2\int_0^Te^{-2t\lambda_n}dt=\frac12\sum_n\lambda_n|a_n|^2(1-e^{-2T\lambda_n}).$$
$1-e^{-2T\lambda_1}\le1-e^{-2T\lambda_n}\le1$ で、左の定数は正である。したがって右辺の有限性は $\sum_n\lambda_n|a_n|^2< \infty$ と同値であり、前述の $V$ の特徴づけを使えばよい。なお $u_t$ が区間全体で $H$ 値の二乗可積分な分布微分をもつなら、その微分は各 $[\varepsilon,T]$ で上の級数と一致する。逆に右辺が有限なら、この級数は $L^2(0,T;H)$ に属し、初期値との積分恒等式を満たすので、区間全体でも分布微分を与える。$\square$
$\lambda_{n_j}\ge j^2$ となる狭義増加の添字列を選び、$a_{n_j}=1/j$、ほかの係数を $0$ とする。このとき
$$
\|u_0\|_{L^2}^2=\sum_{j=1}^\infty\frac1{j^2}<\infty,
\qquad
\sum_n\lambda_n|a_n|^2
=\sum_{j=1}^\infty\frac{\lambda_{n_j}}{j^2}=\infty.
$$
よって $u_0\in L^2(\Omega)\setminus H^1_0(\Omega)$ である。thm-heat-dirichlet により解はどの正時刻でも滑らかだが、prop-heat-initial-time-ltwo によりどの $T>0$ についても $u_t\notin L^2(0,T;L^2)$ である。これは「$L^2$ 初期値から正時刻に平滑化するなら、時間微分も初期時刻まで二乗可積分である」という含意への反例である。失われている条件は初期値の $H^1_0$ 正則性であり、領域や境界の滑らかさではない。
この例では、高い固有値の成分が $t=0$ の直後に急速に減るため、その時間微分の総量が発散する。ex-heat-half-line で扱った、有界でない領域における大時間の遅い減衰とは、問題となる時間域も周波数も異なる。
同じ理由で、熱方程式を時間の逆向きに解く問題はうまくいかない。thm-heat-dirichlet の解の時刻 $T$ での状態は $C^\infty$ 級なので、$C^\infty$ 級でない関数 $u_T$ を時刻 $T$ の値とする解はその枠の中にない（Bre11 §10.1 Remark 1、pp. 330–331）。解がある場合でも、次のようにデータに連続に依存しない。
$\Omega=(0,\pi)$、$k=1,2,\dots$ について $u_k(x,t):=e^{-k^2t}\sin(kx)$ は、熱方程式と境界条件 $u_k(0,t)=u_k(\pi,t)=0$ を満たす。時刻 $T>0$ での値は $\sup_x|u_k(x,T)|=e^{-k^2T}\to0$ と一様に $0$ に近づくのに、時刻 $0$ での値は $\sup_x|u_k(x,0)|=1$ のままである。時刻 $T$ の値から時刻 $0$ の値を求める問題では、データの差がいくら小さくても、答えの差は小さくならない。
$\lambda_{n_j}\ge j^2$ となる狭義増加の添字列をとり、$f:=\sum_je^{-\sqrt{\lambda_{n_j}}}e_{n_j}$ とおく。$f\in C^\infty(\overline\Omega)$ は適合条件 $\Delta^jf|_{\partial\Omega}=0$（$j\ge0$）をすべて満たすが、どの $T>0$ でも、$(0,T]$ で thm-heat-dirichlet と同じ正則性をもち $v(T)=f$ となる熱方程式の解 $v$ は存在しない。
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$\sup_{s\ge0}s^{2k}e^{-\sqrt s}< \infty$ と $\sqrt{\lambda_{n_j}}\ge j$ から $\sum_j\lambda_{n_j}^{2k}e^{-2\sqrt{\lambda_{n_j}}}\le C_k\sum_je^{-j}< \infty$ なので、prf-heat-dirichlet の段 1・段 2 により $f$ はすべての $k$ で $D(A^k)\subset H^{2k}(\Omega)$ に属し、$C^\infty(\overline\Omega)$ に属する。$\Delta^jf=(-A)^jf\in D(A)\subset H^1_0(\Omega)$ は $\overline\Omega$ で連続なので、$\partial\Omega$ の上で $0$ である（零境界Sobolev空間 の命題「$C^1$ 級の境界での境界値」）。
$v$ があったとし、$c_n(t):=(v(t),e_n)$ とおく。$(0,T)$ で $c_n'=(\Delta v,e_n)=(v,\Delta e_n)=-\lambda_nc_n$ であり、$c_n$ は $t=T$ まで連続なので $c_n(t)=e^{\lambda_n(T-t)}(f,e_n)$ である。$t=T/2$ では $c_{n_j}(T/2)=\exp\bigl(\lambda_{n_j}T/2-\sqrt{\lambda_{n_j}}\bigr)\to\infty$ となるが、$v(T/2)\in L^2(\Omega)$ の係数は Bessel の不等式により $0$ に近づかなければならない。これは矛盾である。
また、thm-heat-cauchy で $g\ge0$ が恒等的に $0$ でなければ、$g$ はある開集合で正なので、$\Phi>0$ から $t>0$ のすべての $(x,t)$ で $u(x,t)>0$ となる。熱は無限の速さで伝わり、波動方程式の有限伝播速度（偏微分方程式 の定理「d'Alembert の公式」の後の説明。多次元では 波動方程式 の定理「エネルギー保存と有限伝播速度」）と対照的である。
$u_0\in C^\infty(\overline\Omega)$ とし、$u$ を thm-heat-dirichlet の解とする。$u$ が $\overline\Omega\times[0,\infty)$ で $C^\infty$ 級である（混合偏導関数がすべて $\overline\Omega\times[0,\infty)$ まで連続に延びる）ための必要十分条件は、すべての $j\ge0$ について $\partial\Omega$ の上で $\Delta^ju_0=0$ となること（適合条件）である。
要点：必要性は境界の上で $u=0$ を時間で微分して $\partial_t^ju=\Delta^ju$ と比べ、十分性は $u_0$ が $-\Delta$ の全ての冪の定義域に入ることを使う。
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必要性：$x\in\partial\Omega$ を固定すると、$t>0$ で $u(x,t)=0$ である。$\Omega$ の点 $x_k\to x$ について、$u(x_k,\cdot)$ とその時間導関数は延長した導関数の値に広義一様に近づくので、延長した $\partial_t^ju(x,t)$ は関数 $t\mapsto u(x,t)\equiv0$ の導関数であり、$0$ である。$\Omega\times(0,\infty)$ では $\partial_t^ju=\Delta^ju$ で、両辺は $\overline\Omega\times[0,\infty)$ まで連続なので、$\partial\Omega$ の上で $\Delta^ju_0=\partial_t^ju(\cdot,0)=0$ である。
十分性：$\Delta^ju_0\in C^\infty(\overline\Omega)\subset H^1(\Omega)$ は $\partial\Omega$ の上で $0$ なので $H^1_0(\Omega)$ に属する（零境界Sobolev空間 の定理「境界で $0$ になる連続関数」の 1）。よって $u_0\in H^2\cap H^1_0=D(A)$ で、$Au_0=-\Delta u_0$ も同じ条件を満たすので、帰納法により $u_0$ はすべての $k$ で $D(A^k)$ に属し、$a_n:=(u_0,e_n)$ について $\sum_n\lambda_n^{2k}a_n^2< \infty$ である（prf-heat-dirichlet の段 1）。すると同じ証明の段 2 の評価で $e^{-2\lambda_nt}\le1$ とでき、$r$ 回微分した級数は $[0,\infty)$ の全体で $D(A^k)$ のノルムについて一様に収束する。段 2 と同じく $u\in C^r([0,\infty);H^{2k}(\Omega))$ がすべての $r,k$ で成り立ち、$u$ は $\overline\Omega\times[0,\infty)$ で $C^\infty$ 級である。
例：$\Omega=(0,\pi)$、$u_0(x)=x(\pi-x)$ は滑らかで端点で $0$ だが、$u_0''=-2$ は端点で $0$ でない。よってこの解は正の時刻ではどこでも滑らかだが、$\overline\Omega\times[0,\infty)$ では $C^\infty$ 級でない。$\square$
条件を外したときの反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| thm-heat-maximum の $u_t-\Delta u\le0$ | $\Omega=(0,\pi)$、$u=t\,x(\pi-x)$ | 最大値が放物境界でとられること |
| 放物境界の側面（底面だけで比べる） | $\Omega=(0,\pi)$、$u=t+\frac{x^2}2$ | $\max u=\max_{\overline\Omega\times\{0\}}u$ |
| thm-heat-energy での $\Omega$ の有界性 | ex-heat-half-line の $\Omega=(0,\infty)$ と $u_0$ | 指数減衰と $\int_0^\infty\Vert u(t)\Vert^2dt< \infty$ |
| 時間の向き（前向きに解く） | ex-heat-backward の $u_k$ を時刻 $T$ から逆にたどる | データへの連続な依存 |
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1 行目：$u_t-u_{xx}=x(\pi-x)+2t>0$ である。放物境界では $t=0$ か $x\in\{0,\pi\}$ なので $u=0$ だが、$u(\pi/2,T)=T\pi^2/4>0$ である。2 行目：$u_t=1=u_{xx}$ で熱方程式を満たす。底面での最大値は $x=\pi$ での $\pi^2/2$ だが、全体の最大値は側面の点 $(\pi,T)$ での $\pi^2/2+T$ である。3・4 行目は各例で確かめた。
補足
- 文献：有界な領域での存在・一意性・平滑化とエネルギー等式は Bre11 §10.1（Theorem 10.1、pp. 326–328）、固有関数展開による解法は同 Remark 3（pp. 331–332）、放物境界での最大値原理は §10.2 Theorem 10.6（p. 334）、全空間での熱核による表示は同書の第 10 章の注（p. 343、式 (45)）にある。
- 一般化：係数が場所や時刻による拡散 $u_t=\sum_{i,j}\partial_j(a^{ij}\partial_iu)$ や、移流・吸収の項を加えた方程式は 放物型偏微分方程式 で扱う。
関連項目
- 前提: 偏微分方程式, 畳み込み, 正規分布
- 比較: 楕円型偏微分方程式, 調和関数, 波動方程式と弦の振動, 波動方程式, Laplace方程式とPoisson方程式
- 理論: Hille–吉田の定理, Sobolev空間, Poincaréの不等式, 変数分離法(偏微分方程式)
- 発展: 放物型偏微分方程式, Brown運動, 伊藤の公式, Fourier変換
参考文献
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