逆関数の微分

$f(x)=x^2$ を $x>0$ の範囲で考える。$y=x^2$ を $x$ について解くと $x=\sqrt y$ なので、逆関数は $g(y)=\sqrt y$（$y>0$）である。
$x=3$、$y=9$ の点で比べる。

• $f'(x)=2x$ なので、$f'(3)=6$ である。
• 公式によると、$g'(9)=\dfrac1{f'(3)}=\dfrac16$ である。
• 直接計算すると、$g(y)=y^{\frac12}$ なので $g'(y)=\dfrac12y^{-\frac12}=\dfrac1{2\sqrt y}$ で、$g'(9)=\dfrac1{2\cdot3}=\dfrac16$ である。
  2 つの結果は一致する。差分商でも確かめると、$\dfrac{\sqrt{9.001}-3}{0.001}=0.166662\ldots$ で、$\dfrac16=0.166666\ldots$ に近い。

$f(x)=e^x$ の逆関数は $g(y)=\log y$（$y>0$）である。$\log$ は自然対数である。

• $f'(x)=e^x$ なので、点 $(1,\,e)$ での $y=e^x$ の接線の傾きは $e=2.71828\ldots$ である。
• $y=\log x$ のグラフの点 $(e,\,1)$ での接線の傾きは、$(\log x)'=\dfrac1x$ から $\dfrac1e=0.36787\ldots$ である。
  2 つの傾きは互いに逆数である（図1）。点 $(1,\,e)$ と点 $(e,\,1)$ は、直線 $y=x$ について対称な位置にある。

点 $(p,\,q)$ を通る傾き $m$（$m\ne0$）の直線 $y-q=m(x-p)$ を、直線 $y=x$ で折り返す。折り返すと、点 $(x,\,y)$ は点 $(y,\,x)$ に移るので、折り返した直線の式は $x$ と $y$ を入れ替えた
$$ x-q=m(y-p) $$
である。これを $y$ について解くと $y-p=\dfrac1m(x-q)$ で、点 $(q,\,p)$ を通る傾き $\dfrac1m$ の直線である。
たとえば、傾き $2$ の直線 $y=2x+1$ を折り返すと $x=2y+1$、つまり $y=\dfrac12x-\dfrac12$ で、傾きは $\dfrac12$ になる。
$m=0$（水平な直線 $y=q$）を折り返すと $x=q$ で、垂直な直線になる。垂直な直線には傾きがない。

1. $f(x)=x^2$ は区間 $x\ge0$ で増加する（$0\le x_1< x_2$ なら $x_2^2-x_1^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1)>0$）。逆関数は $g(y)=\sqrt y$（$y\ge0$）である。$g(f(3))=\sqrt9=3$ となる。
2. $f(x)=e^x$ は実数全体で増加し、値全体は $J=\{y\mid y>0\}$ である。逆関数は $g(y)=\log y$ で、$g(f(2))=\log e^2=2$ となる。
3. $f(x)=x^3+x$ は実数全体で増加する。$x_1< x_2$ なら
   $$ f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)(x_2^2+x_2x_1+x_1^2+1) $$
   で、$x_2^2+x_2x_1+x_1^2=\left(x_2+\dfrac{x_1}2\right)^2+\dfrac34x_1^2\ge0$ なので、2 つ目の因数は $1$ 以上で、差は正である。逆関数 $g$ はあるが、$y=x^3+x$ を $x$ について解いた式を根号などで簡単に書くことはできない（3 次方程式の解の公式を使えば書けるが、複雑である）。それでも、$f(1)=2$ なので $g(2)=1$ である。

ex-dinv-inverse-examples の 3 の $f(x)=x^3+x$ で、$a=1$、$b=f(1)=2$ とする。

1. $\varepsilon=0.1$ とすると、$f(0.9)=0.729+0.9=1.629$、$f(1.1)=1.331+1.1=2.431$ である。$\delta=\min\{2-1.629,\ 2.431-2\}=\min\{0.371,\ 0.431\}=0.371$ で、$|y-2|<0.371$ なら $0.9< g(y)<1.1$ である。
2. 数値計算では、$g(2.001)=1.000249\ldots$ で、$g(2)=1$ にたしかに近い。

ex-dinv-inverse-examples の 3 の $f(x)=x^3+x$ の逆関数 $g$ を考える。$f$ は実数全体で連続で増加し、$f'(x)=3x^2+1>0$ である。

1. $g(2)=1$ なので、thm-dinv-derivative により
   $$ g'(2)=\frac1{f'(1)}=\frac1{3+1}=\frac14 $$
   である。数値計算では、$\dfrac{g(2.001)-g(2)}{0.001}=0.249953\ldots$、$\dfrac{g(2.0001)-g(2)}{0.0001}=0.249995\ldots$ で、$0.25$ に近づく。
2. $g(0)=0$ なので、$g'(0)=\dfrac1{f'(0)}=\dfrac11=1$ である。$g(10)=2$（$8+2=10$）なので、$g'(10)=\dfrac1{f'(2)}=\dfrac1{13}$ である。
   $g(y)$ を式で書けなくても、$f(x)=y$ となる $x$ が分かる点では、$g'(y)$ が $f'(x)$ から求まる。

$f(x)=x^3$ は実数全体で増加し（$x_1< x_2$ なら $x_2^3-x_1^3=(x_2-x_1)\{(x_2+\frac{x_1}2)^2+\frac34x_1^2\}$ で、$x_1$ と $x_2$ が両方 $0$ になることはないので 2 つ目の因数は正）、逆関数は $g(y)=\sqrt[3]{y}$ である（負の $y$ にも実数の 3 乗根を考える）。

1. $a=0$ では $f'(0)=0$ なので、prop-dinv-zero により $g$ は $b=0$ で微分可能でない。実際、差分商は $\dfrac{\sqrt[3]{k}}{k}$ で、$k=0.001$ なら $\dfrac{0.1}{0.001}=100$、$k=0.000001$ なら $\dfrac{0.01}{0.000001}=10000$ と、限りなく大きくなる（微分係数と導関数の定義（高校数学） の反例と同じ計算）。
2. $a=1$ では $f'(1)=3\ne0$ なので、thm-dinv-derivative により $g'(1)=\dfrac13$ である。$a=2$ では $g'(8)=\dfrac1{f'(2)}=\dfrac1{12}$ で、差分商 $\dfrac{\sqrt[3]{8.001}-2}{0.001}=0.0833298\ldots$ と近い。
   グラフで見ると、$y=x^3$ は原点で水平な接線をもち、それを $y=x$ で折り返した $y=\sqrt[3]{x}$ は原点で垂直な接線をもつ（図2）。ex-dinv-reflect で見たとおり、水平な直線を折り返すと垂直な直線になり、垂直な直線には傾きがない。

$f(x)=e^x$ は実数全体で連続で増加し、$f'(x)=e^x>0$ である（$(e^x)'=e^x$ は 指数関数の微分 で示す）。逆関数は $g(y)=\log y$（$y>0$）である。
thm-dinv-derivative により、$y>0$ で
$$ (\log y)'=\frac1{f'(g(y))}=\frac1{e^{\log y}}=\frac1y $$
である。$y=2$ では $\frac12$ で、差分商 $\dfrac{\log2.001-\log2}{0.001}=0.499875\ldots$ と近い。
指数関数の微分 では、$(\log x)'=\frac1x$ を、$u=\log(x+h)-\log x$ とおいて指数関数の極限に帰着させて示している。その $u$ は、thm-dinv-derivative の証明の $h$（$x$ の変化）にあたり、2 つの証明は同じ考え方である。

$n$ を 2 以上の整数とする。$f(x)=x^n$ は $x>0$ で連続で増加し（ex-dinv-inverse-examples の 1 と同じく、$x_2^n-x_1^n$ を $x_2-x_1$ でくくると、残りの因数は正の項の和である）、$f'(x)=nx^{n-1}>0$ である。逆関数は $g(y)=\sqrt[n]{y}$（$y>0$）である。
thm-dinv-derivative により
$$ (\sqrt[n]{y})'=\frac1{n(\sqrt[n]{y})^{n-1}}=\frac1n\,y^{-\frac{n-1}n}=\frac1n\,y^{\frac1n-1} $$
である。これは 連鎖律（高校数学） の実数乗の公式 $(x^r)'=rx^{r-1}$ の $r=\frac1n$ の場合と一致する。

1. $n=2$、$y=9$：$\dfrac1{2\cdot3}=\dfrac16$ で、ex-dinv-square と同じである。
2. $n=3$、$y=8$：$\dfrac1{3\cdot2^2}=\dfrac1{12}$ で、ex-dinv-cube の 2 と同じである。

1. $f(x)=\sin x$ を閉区間 $-\dfrac\pi2\le x\le\dfrac\pi2$ で考える。$-\dfrac\pi2< x<\dfrac\pi2$ で $f'(x)=\cos x>0$ なので、$f$ はこの区間で増加し（rem-dinv-premises の 4）、値全体は $-1\le y\le1$ である。逆関数を $\arcsin y$ と書く（定義と、区間の選び方については 逆三角関数（高校数学） で扱う）。$-1< y<1$ のとき、$x=\arcsin y$ は $-\dfrac\pi2< x<\dfrac\pi2$ にあり、そこで $\cos x>0$ なので
   $$ \cos x=\sqrt{1-\sin^2x}=\sqrt{1-y^2} $$
   である（$\cos x=-\sqrt{1-y^2}$ ではない）。thm-dinv-derivative（開区間 $-\frac\pi2< x<\frac\pi2$ に使う）により
   $$ (\arcsin y)'=\frac1{\cos x}=\frac1{\sqrt{1-y^2}}\qquad(-1< y<1) $$
   である。$y=\dfrac12$ では $x=\dfrac\pi6$ で、$\dfrac1{\cos\frac\pi6}=\dfrac2{\sqrt3}=1.15470\ldots$ である。差分商 $\dfrac{\arcsin0.501-\arcsin0.5}{0.001}=1.15508\ldots$ と近い。
2. $f(x)=\tan x$ は $-\dfrac\pi2< x<\dfrac\pi2$ で連続で、$f'(x)=\dfrac1{\cos^2x}>0$ なので増加し、値は実数全体である。逆関数を $\arctan y$ と書く。$1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}$ なので
   $$ (\arctan y)'=\cos^2x=\frac1{1+\tan^2x}=\frac1{1+y^2} $$
   である。$y=1$ では $\dfrac12$ で、差分商 $\dfrac{\arctan1.001-\arctan1}{0.001}=0.499750\ldots$ と近い。$\dfrac1{1+y^2}$ の原始関数が $\arctan y$ であることは、有理関数の積分で使う（有理関数の積分）。

$y=1$ で、左側の差分商 $\dfrac{\arcsin1-\arcsin(1-k)}{k}$（$0< k<1$）を調べる。$\arcsin1=\dfrac\pi2$ である。
段 1（置き換え）。$t=\dfrac\pi2-\arcsin(1-k)$ とおく。$\arcsin(1-k)$ は $0$ と $\frac\pi2$ の間にあるので $0< t<\dfrac\pi2$ で、$1-k=\sin\left(\dfrac\pi2-t\right)=\cos t$、つまり $k=1-\cos t$ である。
段 2（$k$ を上から押さえる）。半角の公式から $1-\cos t=2\sin^2\dfrac t2$ である。$0< s<\dfrac\pi2$ で $\sin s< s$ であり（sin x/xの極限）、$s=\dfrac t2$ はこの範囲にあるので、$k=2\sin^2\dfrac t2<2\left(\dfrac t2\right)^2=\dfrac{t^2}2$ である。
段 3（$k\to0$ のとき $t\to0$ を示す）。lem-dinv-continuous は区間の内部の点での連続性しか述べていないので、ここでは使わずに直接示す。$k$ を下から押さえる。$0< s<\dfrac\pi2$ で $\tan s>s$ であり（sin x/xの極限）、両辺に $\cos s>0$ を掛けると $\sin s>s\cos s$ である。$0< s<\dfrac\pi4$ では $\cos s>\cos\dfrac\pi4=\dfrac1{\sqrt2}$ なので、$\sin s>\dfrac{s}{\sqrt2}$ である。$0< t<\dfrac\pi2$ から $s=\dfrac t2$ は $0< s<\dfrac\pi4$ にあるので、
$$ k=2\sin^2\frac t2>2\cdot\frac12\left(\frac t2\right)^2=\frac{t^2}4 $$
である。つまり $0< t<2\sqrt k$ で、$k\to0$ のとき $2\sqrt k\to0$ なので、はさみうちで $t\to0$ である。
段 4（差分商を下から押さえる）。差分商は $\dfrac tk$ で、段 2 から $\dfrac tk>\dfrac t{t^2/2}=\dfrac2t$ である。段 3 から $k\to0$ のとき $t\to0$ なので、$\dfrac2t$ は限りなく大きくなり、差分商も限りなく大きくなる。
数値では、$k=0.01$ で差分商は $14.15\ldots$、$k=0.0001$ で $141.42\ldots$ である（どちらも $\sqrt{2/k}$ に近い）。$\arcsin$ は $y=1$ で左側の微分係数をもたない。$y=-1$ でも、$\arcsin(-y)=-\arcsin y$ を使って同様である。

$f$ が区間で 2 回微分可能で $f'(x)\ne0$ のとき、$g'(y)=\dfrac1{f'(g(y))}$ の両辺を $y$ で微分する。右辺は $\dfrac1u$ と $u=f'(g(y))$ の合成なので、連鎖律（高校数学） を 2 回使うと
$$ g''(y)=-\frac{1}{f'(g(y))^2}\cdot f''(g(y))\,g'(y)=-\frac{f''(g(y))}{f'(g(y))^3} $$
である（最後に $g'(y)=\frac1{f'(g(y))}$ を代入した）。

1. $f(x)=e^x$、$g(y)=\log y$：$f''=f'=e^x$ なので $g''(y)=-\dfrac{e^x}{e^{3x}}=-e^{-2x}=-\dfrac1{y^2}$ である（$x=\log y$）。$(\log y)'=\frac1y$ をもう一度微分した $-\frac1{y^2}$ と一致する。
2. $f(x)=x^3+x$：$y=2$ では $x=1$、$f'(1)=4$、$f''(1)=6$ なので、$g''(2)=-\dfrac6{4^3}=-\dfrac3{32}=-0.09375$ である。数値微分の値も $-0.09375$ になる。
   $f$ が増加（$f'>0$）なら、$g''$ の符号は $f''$ の符号の反対である。下に凸な $e^x$ の逆関数 $\log x$ が上に凸になるのは、このためである（凹凸については 接線・法線と曲線の凹凸）。

$f(x)=x^2$ を実数全体で考えると、$f(2)=f(-2)=4$ で、1 対 1 でない。$y=4$ に対して $f(x)=4$ となる $x$ が $2$ と $-2$ の 2 つあり、逆関数は 1 つに決まらない。
定義域を分けると、それぞれで逆関数が決まる。

1. $x>0$ に制限すると、逆関数は $g_1(y)=\sqrt y$ で、$g_1'(4)=\dfrac1{f'(2)}=\dfrac14$ である。
2. $x<0$ に制限すると、逆関数は $g_2(y)=-\sqrt y$ で、$g_2'(4)=\dfrac1{f'(-2)}=-\dfrac14$ である。
   同じ $y=4$ でも、どちらの逆関数を考えるかで微分係数の符号が変わる。$\arcsin$ で $-\frac\pi2\le x\le\frac\pi2$ を選んだ（ex-dinv-arcsin）のも、1 対 1 になる範囲を 1 つ選ぶためである。

$$ f(x)=\begin{cases}x+2x^2\sin\dfrac1x&(x\ne0)\\ 0&(x=0)\end{cases} $$
とする（Leb26 Exercise 4.4.6、p. 179）。
段 1（$f'(0)=1$）。$h\ne0$ で $\dfrac{f(h)-f(0)}h=1+2h\sin\dfrac1h$ であり、$\left|2h\sin\dfrac1h\right|\le2|h|$ なので、はさみうちの原理により $h\to0$ で $1$ に近づく。よって $f'(0)=1>0$ である。
段 2（2 つの点を選ぶ）。正の整数 $n$ について
$$ x_n=\frac1{2n\pi+\frac\pi2},\qquad x_n'=\frac1{2n\pi-\frac\pi2} $$
とおく。$0< x_n< x_n'$ で、$n$ を大きくすると 2 つとも $0$ に近づく。$\sin\left(2n\pi+\frac\pi2\right)=1$、$\sin\left(2n\pi-\frac\pi2\right)=-1$ なので
$$ f(x_n)=x_n+2x_n^2,\qquad f(x_n')=x_n'-2x_n'^2 $$
である。
段 3（$f(x_n)>f(x_n')$）。$u=2n\pi$ とおくと、$x_n'-x_n=\dfrac{\pi}{u^2-\frac{\pi^2}4}$、$x_n^2+x_n'^2=\dfrac{2u^2+\frac{\pi^2}2}{\left(u^2-\frac{\pi^2}4\right)^2}$ である。$f(x_n)-f(x_n')=2(x_n^2+x_n'^2)-(x_n'-x_n)$ に正の数 $\left(u^2-\frac{\pi^2}4\right)^2$ を掛けると
$$ 2\left(2u^2+\frac{\pi^2}2\right)-\pi\left(u^2-\frac{\pi^2}4\right)=(4-\pi)u^2+\pi^2+\frac{\pi^3}4>0 $$
となる（$4-\pi>0$）。よって $f(x_n)>f(x_n')$ で、$x_n< x_n'$ なのに値は小さくなっている。$n=1$ では $x_1=0.1273\ldots$、$x_1'=0.2122\ldots$、$f(x_1)=0.1597\ldots$、$f(x_1')=0.1221\ldots$ である（図3）。
段 4（1 対 1 でない）。$0< x<\frac12$ では $f(x)\ge x-2x^2=x(1-2x)>0$ なので、$f(x_n')>0=f(0)$ である。$f$ は閉区間 $[0,\,x_n]$ で連続で、$f(0)=0< f(x_n')< f(x_n)$ なので、中間値の定理により $f(c)=f(x_n')$ となる $c$ が $0< c< x_n$ にある。$c< x_n< x_n'$ なので $c\ne x_n'$ で、$f(c)=f(x_n')$ である。
段 5（まとめ）。$0$ を含むどんな開区間も、$n$ を大きくとれば $0,\,c,\,x_n'$ を含むので、その区間で $f$ は 1 対 1 でない。$f'(0)=1\ne0$ なのに、$0$ の近くで逆関数はない。原因は、$f'(x)=1+4x\sin\dfrac1x-2\cos\dfrac1x$（$x\ne0$）が $x=0$ で連続でないことにある。実際 $x=\dfrac1{2n\pi}$ では $f'(x)=1+0-2=-1$ で、$0$ のいくらでも近くに $f'<0$ の点がある。

平面の点を極座標で $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$（$r>0$）と表す。$(r,\,\theta)$ から $(x,\,y)$ への対応の偏微分を並べた行列（Jacobi 行列）は
$$ A=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial r}&\dfrac{\partial x}{\partial\theta}\\ \dfrac{\partial y}{\partial r}&\dfrac{\partial y}{\partial\theta}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\ \sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix} $$
で、行列式は $r\cos^2\theta+r\sin^2\theta=r>0$ である。逆行列は
$$ A^{-1}=\frac1r\begin{pmatrix}r\cos\theta&r\sin\theta\\ -\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\ -\dfrac{\sin\theta}r&\dfrac{\cos\theta}r\end{pmatrix} $$
である。
逆向きの対応は、$x>0$ の範囲では $r=\sqrt{x^2+y^2}$、$\theta=\arctan\dfrac yx$ で、その偏微分を直接計算すると
$$ \frac{\partial r}{\partial x}=\frac xr=\cos\theta,\quad \frac{\partial r}{\partial y}=\frac yr=\sin\theta,\quad \frac{\partial\theta}{\partial x}=-\frac{y}{x^2+y^2}=-\frac{\sin\theta}r,\quad \frac{\partial\theta}{\partial y}=\frac{x}{x^2+y^2}=\frac{\cos\theta}r $$
である（$\theta$ の偏微分では ex-dinv-arcsin の 2 の $(\arctan u)'=\frac1{1+u^2}$ と連鎖律を使う）。これは $A^{-1}$ の成分と一致する。たとえば $(r,\,\theta)=\left(2,\,\dfrac\pi3\right)$、つまり $(x,\,y)=(1,\,\sqrt3)$ では、4 つの値は $\dfrac12$、$\dfrac{\sqrt3}2$、$-\dfrac{\sqrt3}4$、$\dfrac14$ である。