Rademacherの定理

$g(x):=Lx-f(x)$ とおくと、$x < y$ について $g(y)-g(x)=L(y-x)-\bigl(f(y)-f(x)\bigr)\ge0$ なので $g$ は単調非減少である。$f(x)=Lx-g(x)$ は 2 つの単調関数の差であり、単調関数 の定理「Lebesgue の単調関数の微分定理（この記事では証明しない）」（Tao11 Theorem 1.6.25）により、$Lx$ と $g$ はどちらも $I$ のほとんどすべての点で微分可能である。両方が微分可能な点で $f$ は微分可能である。そこでは差分商 $\bigl(f(x+t)-f(x)\bigr)/t$ の絶対値が $L$ 以下なので、極限 $f'(x)$ も $|f'(x)|\le L$ を満たす。$\square$

$q_t(x):=\bigl(f(x+tv)-f(x)\bigr)/t$（$t\ne0$）とおく。$|q_t(x)|\le L|v|$ であり、$q_t(x)$ は $(x,t)$ について連続である。
可測性：$t$ について連続なので、$t\to0$ の極限が存在することは、$t$ を $0$ でない有理数に制限した極限が存在することと同値である。$S(x):=\lim_{k\to\infty}\sup\{q_t(x)\mid t\in\mathbb{Q},\ 0 < |t| < 1/k\}$、$I(x)$ を同じ形の下限の極限とおくと、可算個の連続関数の上限・下限とその単調な極限なので Borel 可測で、$E_v=\{S>I\}$ は Borel 集合である（可測関数 の定理「上限・下限・極限」）。$x\notin E_v$ では $D_vf(x)=S(x)$ なので、2 の可測性と評価も従う。
零集合であること：$v=0$ なら $E_v=\emptyset$ である。$v\ne0$ とし、$v$ を最後の元とする $\mathbb{R}^n$ の基底を並べた可逆な行列 $T$（$Te_n=v$）をとる。$g:=f\circ T$ は Lipschitz であり、$f(Tz+tv)=g(z+te_n)$ なので $E_v=T(E'_{e_n})$ である。ここで $E'_{e_n}$ は $g$ の $e_n$ 方向の微分が存在しない点の全体で、上と同じ理由で Borel 集合である。$z=(y,s)\in\mathbb{R}^{n-1}\times\mathbb{R}$ と書くと、$y$ を固定した切り口 $\{s\mid(y,s)\in E'_{e_n}\}$ は、Lipschitz 関数 $s\mapsto g(y,s)$ が微分可能でない点の集合なので、prop-rdm-one により測度 $0$ である。Fubiniの定理 の系「Euclid空間の零集合と切り口」により $\lambda_n(E'_{e_n})=0$ であり（$n=1$ なら prop-rdm-one そのもの）、線形写像による像の測度は $|\det T|$ 倍なので（Lebesgue測度 の注意「$\mathbb{R}^n$ の Lebesgue 測度の性質」）、$\lambda_n(E_v)=0$ である。$\square$

$\varphi$ の台を含む閉球 $K$ と、$0 < |t|\le1$ をとる。Lebesgue 測度の平行移動不変性から
$$ \int q_t(x)\varphi(x)\,dx=\int f(y)\,\frac{\varphi(y-tv)-\varphi(y)}{t}\,dy $$
である。$t\to0$（$0$ に収束する任意の列に沿って）とする。左辺の被積分関数は $E_v$ の外で $\Delta_vf\,\varphi$ に収束し（lem-rdm-directional の 1 により $E_v$ は零集合）、$L|v|\,|\varphi|$ で抑えられる。右辺の被積分関数は各点で $-f\,\partial_v\varphi$ に収束し、平均値の定理から $|f|\cdot|v|\sup|\nabla\varphi|$ で抑えられ、$K$ を $|v|$ だけ広げたコンパクト集合の外では $0$ である。連続関数 $f$ はそのコンパクト集合の上で有界なので、両辺に Lebesgue積分 の定理「優収束定理」が使える。$\square$

要点：$C_c^1$ の関数で半開直方体の指示関数を各点近似し、$g$ の積分がすべての半開直方体で $0$ であることを出してから、測度の一意性を使う。

段 1（$f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ が $L$-Lipschitz の場合の方向微分の線形性）．$v\in\mathbb{R}^n$ と $\varphi\in C_c^1(\mathbb{R}^n)$ について、lem-rdm-parts を $v$ と $e_1,\ldots,e_n$ に使うと
$$ \int\Delta_vf\,\varphi\,dx=-\int f\,\partial_v\varphi\,dx=-\sum_{i=1}^nv_i\int f\,\partial_i\varphi\,dx=\sum_{i=1}^nv_i\int\Delta_{e_i}f\,\varphi\,dx $$
である。有界な Borel 関数 $g_v:=\Delta_vf-\sum_iv_i\Delta_{e_i}f$ に lem-rdm-vanish を使うと、ほとんどいたるところ $g_v=0$ である。
$\mathbb{Q}^n\setminus\{0\}$ の元 $q$ を $q/|q|$ と正規化したものの全体を $\mathcal{D}$ とする。$\mathcal{D}$ は可算で、単位球面 $S:=\{u\in\mathbb{R}^n\mid|u|=1\}$ の中で稠密である。
$$ G:=\mathbb{R}^n\setminus\Bigl(\bigcup_{i=1}^nE_{e_i}\cup\bigcup_{v\in\mathcal{D}}\bigl(E_v\cup\{g_v\ne0\}\bigr)\Bigr) $$
とおくと、可算個の零集合の和集合を除いたものなので、$\lambda_n(\mathbb{R}^n\setminus G)=0$ である。$x\in G$ では $\nabla f(x)$ が存在し、すべての $v\in\mathcal{D}$ で $D_vf(x)=\nabla f(x)\cdot v$ である。
段 2（$x\in G$ での微分可能性）．$x\in G$ を固定し、$a:=\nabla f(x)$ とおく。各成分は $|D_{e_i}f(x)|\le L$ なので $|a|\le\sqrt nL$ である。$u\in S$、$t\ne0$ について
$$ Q(u,t):=\frac{f(x+tu)-f(x)}{t}-a\cdot u $$
とおくと、$f$ の Lipschitz 性と Cauchy–Schwarz の不等式から、$u,w\in S$ について
$$ |Q(u,t)-Q(w,t)|\le\frac{|f(x+tu)-f(x+tw)|}{|t|}+|a\cdot(u-w)|\le(1+\sqrt n)L\,|u-w| $$
である。$\varepsilon>0$ をとり、$r:=\varepsilon/\bigl(2(1+\sqrt n)L+1\bigr)$ とおく。$\mathcal{D}$ は $S$ で稠密なので、$w\in\mathcal{D}$ を中心とする半径 $r$ の開球の全体は $S$ を覆い、$S$ はコンパクトなので、有限個の $w_1,\ldots,w_N\in\mathcal{D}$ で覆える。$x\in G$ なので各 $j$ で $Q(w_j,t)\to0$（$t\to0$）であり、$\delta>0$ を、$0 < |t| < \delta$ ならすべての $j$ で $|Q(w_j,t)| < \varepsilon/2$ となるようにとれる。任意の $u\in S$ は $|u-w_j| < r$ となる $w_j$ をもつので、$0 < |t| < \delta$ で
$$ |Q(u,t)|\le|Q(w_j,t)|+(1+\sqrt n)L\,r < \varepsilon $$
である。$0 < |h| < \delta$ なら $u:=h/|h|$、$t:=|h|$ として
$$ |f(x+h)-f(x)-a\cdot h|=|h|\,|Q(u,|h|)| < \varepsilon|h| $$
である。よって $f$ は $x$ で微分可能で、$Df(x)h=a\cdot h$ である。
段 3（一般の場合）．$f\colon U\to\mathbb{R}^m$ を局所 Lipschitz とする。中心の座標と半径が有理数の開球 $B$ で、$B\subset U$ かつ $f$ が $B$ 上で Lipschitz となるものは可算個しかなく、局所 Lipschitz 性から（各点のまわりの開球の中に、その点を含むこのような開球がとれるので）$U$ を覆う。各 $B$ と各成分 $f_k$ について、Lipschitz連続 の定理「McShaneの延長定理」により、$f_k|_B$ を延長する Lipschitz 関数 $\tilde f_k\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ がある。段 1・2 により $\tilde f_k$ はある零集合 $N_{B,k}$ の外で微分可能である。$B$ は開集合なので、$x\in B\setminus N_{B,k}$ の近くで $f_k=\tilde f_k$ であり、$f_k$ は $x$ で微分可能である。すべての成分が微分可能な点では $f$ は微分可能である（$Df(x)$ は各成分の微分を行に並べた行列）。よって $f$ は可算個の零集合 $N_{B,k}$ の和集合の外で微分可能である。
最後に、$f$ が $U$ 上で $L$-Lipschitz で $x$ で微分可能なら、$|Df(x)v|=\lim_{t\to+0}|f(x+tv)-f(x)|/t\le L|v|$ である。$\square$