Chern–Gauss–Bonnetの定理

$\mathcal R$ 係数の外積代数 $\mathcal R\otimes\Lambda(\mathbb{R}^{2n})$ で計算する（$\mathcal R$ の元はすべてと可換）。1 次の元 $\varphi_1,\dots,\varphi_{2n}$ と $\omega:=\frac12\sum_{k,l}A_{kl}\varphi_k\wedge\varphi_l$ について

$$\omega^n=\frac1{2^n}\sum_{k_1,l_1,\dots,k_n,l_n}A_{k_1l_1}\cdots A_{k_nl_n}\,\varphi_{k_1}\wedge\varphi_{l_1}\wedge\cdots\wedge\varphi_{k_n}\wedge\varphi_{l_n}$$

であり、添字の列 $(k_1,l_1,\dots,k_n,l_n)$ が置換 $\sigma$ の値の列でなければ外積は $0$、置換なら $\operatorname{sgn}\sigma\,\varphi_1\wedge\cdots\wedge\varphi_{2n}$ である。よって $\omega^n=n!\,\mathrm{Pf}(A)\,\varphi_1\wedge\cdots\wedge\varphi_{2n}$ である（★）。

1：$\varphi_k:=\sum_iB_{ki}\varepsilon_i$ とおくと $\frac12\sum_{k,l}A_{kl}\varphi_k\wedge\varphi_l=\frac12\sum_{i,j}(B^{\mathsf T}AB)_{ij}\varepsilon_i\wedge\varepsilon_j=\omega_{B^{\mathsf T}AB}$ であり、$\varphi_1\wedge\cdots\wedge\varphi_{2n}=\det(B)\,\varepsilon_1\wedge\cdots\wedge\varepsilon_{2n}$ である。★を $\varphi$ と $\varepsilon$ の両方に当てて比べると $\mathrm{Pf}(B^{\mathsf T}AB)=\det(B)\mathrm{Pf}(A)$ である。$B\in\mathrm{SO}(2n)$ なら $B^{\mathsf T}=B^{-1}$、$\det B=1$ である。

2：$\omega_A=\omega_1+\omega_2$ で、$\omega_1$ は $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{2p}$ だけ、$\omega_2$ は残りだけを含む 2 次の元なので可換で、$\omega_1^{p+1}=0$、$\omega_2^{q+1}=0$ である。二項展開で残るのは $\binom np\omega_1^p\omega_2^q$ だけなので、★から $n!\,\mathrm{Pf}(A)=\binom np\,p!\,q!\,\mathrm{Pf}(A_1)\mathrm{Pf}(A_2)$ となる。$\square$

段 1（1 の証明）。接ベクトル場 $X,Y$ について $h(X,Y):=\langle D_XY,\nu\rangle=-\langle Y,d\nu(X)\rangle$（$D$ は $\mathbb{R}^{2n+1}$ の通常の微分、右の等式は $\langle Y,\nu\rangle=0$ を微分して得る）とおく。Gauss の方程式（Gauss–Codazzi方程式 の系「超曲面の Gauss–Codazzi 方程式」で周りの空間が $\mathbb{R}^{2n+1}$ の場合。Lee18 Theorem 8.5、p. 230）は

$$\langle R(X,Y)Z,W\rangle=h(X,W)h(Y,Z)-h(X,Z)h(Y,W)$$

である。$\theta_i(X):=h(X,e_i)$ とおくと $\Omega_{ij}(X,Y)=\theta_i(X)\theta_j(Y)-\theta_j(X)\theta_i(Y)=(\theta_i\wedge\theta_j)(X,Y)$ である。1 形式どうしは反可換なので

$$\mathrm{Pf}(\Omega)=\frac{1}{2^nn!}\sum_{\sigma}\operatorname{sgn}\sigma\,\theta_{\sigma(1)}\wedge\cdots\wedge\theta_{\sigma(2n)}=\frac{(2n)!}{2^nn!}\,\theta_1\wedge\cdots\wedge\theta_{2n}$$

であり、$(2n)!/(2^nn!)=(2n-1)!!$ である。$\theta_i(e_a)=-\langle e_i,d\nu(e_a)\rangle$ は $-d\nu_p$ の行列の成分なので、$\theta_1\wedge\cdots\wedge\theta_{2n}=\det(-d\nu_p)\,dV=K\,dV$ である。

段 2（$\nu^*dV_S=K\,dV$）。$S:=S^{2n}$ の点 $y$ での向きは $(y,w_1,\dots,w_{2n})$ が正の基底となる $(w_i)$ を正とするものなので、$y=\nu(p)$ では $T_pM$ と $T_yS$ は同じ部分空間に同じ向きが入っている。よって正の正規直交基底 $e_a$ について $(\nu^*dV_S)(e_1,\dots,e_{2n})=dV_S(d\nu e_1,\dots,d\nu e_{2n})=\det d\nu_p$ であり、$\nu^*dV_S=K\,dV$ である。とくに正則点 $p$ での $\nu$ の局所的な符号は $\operatorname{sign}K(p)$ である。

段 3（2 の証明）。Sardの定理 により $\nu$ の臨界値の集合 $C$ は測度 $0$ なので、$a\in S\setminus(C\cup(-C))$ がとれる。$a$ と $-a$ はともに正則値である。$v(q):=a-\langle a,\nu(q)\rangle\nu(q)$ は $a$ の $T_qM$ への射影で、$M$ の上の滑らかなベクトル場である。$v(q)=0$ は $a$ が $\nu(q)$ の実数倍であること、すなわち $\nu(q)=\pm a$ と同値である。正則値の逆像は離散的でコンパクトな $M$ の中で有限なので、零点は有限個である。$\nu(p)=\varepsilon a$（$\varepsilon=\pm1$）となる零点 $p$ で、$v$ を $\mathbb{R}^{2n+1}$ に値をとる写像とみて微分すると、$\langle a,d\nu_pX\rangle=\varepsilon\langle\nu(p),d\nu_pX\rangle=0$（$\lvert\nu\rvert=1$ の微分）より $dv_p=-\varepsilon\,d\nu_p$ である。$p$ のまわりの局所的なパラメータ表示 $\psi$（$\psi(0)=p$）で $v$ を座標で表した写像を $f$ とすると $v\circ\psi=D\psi\cdot f$ で、$f(0)=0$ だから微分して $D\psi_0\,df_0=dv_p\,D\psi_0$ となり、$df_0$ は $-\varepsilon\,d\nu_p$ と相似で正則である。Poincaré–Hopfの定理 の補題「非退化な零点の指数」により $\operatorname{ind}_pv=\operatorname{sign}\det(-\varepsilon\,d\nu_p)=\operatorname{sign}K(p)$ である（次元が偶数）。同記事の定理「Poincaré–Hopf の定理」と、正則値での符号つきの数え上げ（固有写像の写像度 の定理「正則値での符号つきの数え上げ」）により

$$\chi(M)=\sum_{\nu(p)=a}\operatorname{sign}K(p)+\sum_{\nu(p)=-a}\operatorname{sign}K(p)=\deg\nu+\deg\nu$$

である。

段 4（3 の証明）。写像度の積分公式（Lee13 Theorem 17.35、pp. 457–458）と段 2 により $\int_MK\,dV=\int_M\nu^*dV_S=\deg\nu\cdot\lvert S^{2n}\rvert$ である。n次元球面の体積 の定理により $\lvert S^{2n}\rvert=2\pi^{n+1/2}/\Gamma(n+\frac12)$ で、$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$ と $\Gamma(\frac12)=\sqrt\pi$（ガンマ関数）から $\Gamma(n+\frac12)=(2n-1)!!\sqrt\pi/2^n$、したがって $\lvert S^{2n}\rvert=2^{n+1}\pi^n/(2n-1)!!$ である。1 と 2 を合わせると

$$\int_M\mathrm{Pf}\Bigl(\frac\Omega{2\pi}\Bigr)=\frac{(2n-1)!!}{(2\pi)^n}\deg\nu\cdot\frac{2^{n+1}\pi^n}{(2n-1)!!}=2\deg\nu=\chi(M)$$

である。$\square$

$g_1(X,Y)=g_0(GX,Y)$ で $g_0$ について自己随伴で正定値な束の自己準同型 $G$ を定め、その正の平方根 $\Phi:=G^{1/2}$ をとる（$G$ は滑らかで固有値が正なので、$\Phi$ も滑らかである）。すると $g_1(X,Y)=g_0(\Phi X,\Phi Y)$ であり、$\Phi$ は $(TM,g_1)$ から $(TM,g_0)$ への計量を保つ束の同型で、$\det\Phi>0$ なので向きを保つ。$\nabla':=\Phi\circ\nabla^{(1)}\circ\Phi^{-1}$ は $TM$ の接続で、$g_0$ と両立する。$e_1,\dots,e_{2n}$ を $g_1$ の向きと合う正規直交枠とすると $\Phi e_1,\dots,\Phi e_{2n}$ は $g_0$ の向きと合う正規直交枠で、$\nabla'$ のこの枠での接続行列と曲率行列は $\nabla^{(1)}$ の $e$ での接続行列と曲率行列に等しい。よって $\nabla'$ の Pfaffian 形式は $\mathrm{Pf}(\Omega^{(1)})$ に等しい。

$g_0$ と両立する接続は、向きと合う正規直交枠での接続行列が $\mathfrak{so}(2n)$ に値をとり、枠の取り替えで Chern–Weil理論 の変換則を満たすので、$g_0$ の向きと合う正規直交枠の主 $\mathrm{SO}(2n)$ 束の接続を定める。$\mathrm{Pf}$ は $\mathrm{SO}(2n)$ の不変多項式である（同記事の例「代表的な不変多項式」の 2、lem-cgb-pfaffian の 1）。同記事の定理「Chern–Weil の基本定理」の 1・2 により、Levi-Civita 接続 $\nabla^{(0)}$ と $\nabla'$ の Pfaffian 形式はどちらも閉形式で、差は完全形式 $d\eta$ である。Stokes の定理により閉多様体の上で $\int_Md\eta=0$ なので、2 つの積分は等しい。$\square$

prop-cgb-global の後の式で $n=2$ とすると、$\sigma,\tau\in S_4$ の和は $\varepsilon$ による和に書き直せて $\mathfrak p=\frac1{32}T$ である。$x=(x_1,x_2,x_3,x_4):=(i,j,k,l)$ とすると、行列式の展開により $\varepsilon_{ijkl}\varepsilon_{abcd}=\sum_{\pi\in S_4}\operatorname{sgn}\pi\,\delta_{a x_{\pi(1)}}\delta_{b x_{\pi(2)}}\delta_{c x_{\pi(3)}}\delta_{d x_{\pi(4)}}$ が（$i,j,k,l$ に重複がある場合も両辺 $0$ として）成り立つので

$$T=\sum_{i,j,k,l}\sum_{\pi\in S_4}\operatorname{sgn}\pi\,R_{ij\,x_{\pi(1)}x_{\pi(2)}}R_{kl\,x_{\pi(3)}x_{\pi(4)}}$$

である。$\pi(1)$ と $\pi(2)$ を入れ替えると符号も $R$ の後の 2 つの添字の順序も変わるので項は変わらず、$\pi(3)$ と $\pi(4)$ も同じである。よって $\{\pi(1),\pi(2)\}=\{p< q\}$、$\{\pi(3),\pi(4)\}=\{r< s\}$ の 6 通りについて $4\operatorname{sgn}(p,q,r,s)R_{ij x_px_q}R_{kl x_rx_s}$ を足せばよい。$\mathrm{Ric}_{jk}=\sum_iR_{ijik}$ と対称性 $R_{ijab}=-R_{jiab}=-R_{ijba}=R_{abij}$ を使うと、$i,j,k,l$ について和をとったものは次のとおりである。

$\{1,2\}$：$+R_{ijij}R_{klkl}$ で $S^2$。$\{3,4\}$：$+R_{ijkl}R_{klij}=R_{ijkl}^2$ で $\lvert\mathrm{Rm}\rvert^2$。$\{1,3\}$：$-R_{ijik}R_{kljl}$ で、$\sum_iR_{ijik}=\mathrm{Ric}_{jk}$、$\sum_lR_{kljl}=\sum_lR_{lklj}=\mathrm{Ric}_{kj}$ より $-\lvert\mathrm{Ric}\rvert^2$。$\{1,4\}$：$+R_{ijil}R_{kljk}$ で、$\sum_kR_{kljk}=-\mathrm{Ric}_{lj}$ より $-\lvert\mathrm{Ric}\rvert^2$。$\{2,3\}$：$+R_{ijjk}R_{klil}$ で、$\sum_jR_{ijjk}=-\mathrm{Ric}_{ik}$、$\sum_lR_{klil}=\mathrm{Ric}_{ki}$ より $-\lvert\mathrm{Ric}\rvert^2$。$\{2,4\}$：$-R_{ijjl}R_{klik}$ で、$\sum_jR_{ijjl}=-\mathrm{Ric}_{il}$、$\sum_kR_{klik}=-\mathrm{Ric}_{li}$ より $-\lvert\mathrm{Ric}\rvert^2$。

ここで $\mathrm{Ric}$ が対称であること（$\mathrm{Ric}_{jk}=\sum_iR_{ijik}=\sum_iR_{ikij}=\mathrm{Ric}_{kj}$、対の入れ替えの対称性）を使った。合計して $T=4(S^2+\lvert\mathrm{Rm}\rvert^2-4\lvert\mathrm{Ric}\rvert^2)$、$\mathfrak p=\frac18(\lvert\mathrm{Rm}\rvert^2-4\lvert\mathrm{Ric}\rvert^2+S^2)$ である。$\square$