局所副有限群の表現

まず必要な位相的事実を示す。コンパクトHausdorff空間 $C$ の点 $x$ に対し、$x$ を含むすべての開かつ閉の集合の共通部分を $Q$ とする。$Q$ は閉なのでコンパクトであり、連結である。もし非連結なら $Q=A\sqcup B$ と非空の閉集合に分けられ、$x\in A$ としてよい。$A,B$ は $C$ の閉集合でもあり、正規空間 の定理「コンパクト Hausdorff 空間は正規」により、互いに交わらない開集合 $U,V$ でそれぞれを囲める。コンパクト集合 $C\setminus(U\cup V)$ の各点 $y$ は $Q$ に属さないから、$x$ を含み $y$ を含まない開かつ閉の集合 $N_y$ が存在する。補集合の有限部分被覆を選ぶと、それらの $N_y$ の有限共通部分 $N$ は開かつ閉で、$Q\subseteq N\subseteq U\cup V$ となる。$N\cap U$ は $N$ 内で開かつ閉、従って $C$ 内でも開かつ閉である。しかしこれは $x$ を含み $B$ を含まず、$Q$ の定義に矛盾する。よって $Q$ は連結である。
従って $C$ が完全不連結なら $Q=\{x\}$ である。$x$ の任意の開近傍 $O$ に対し、同じ有限部分被覆の議論を $C\setminus O$ へ使えば、$x$ を含み $O$ に入る開かつ閉の集合が得られる。
$G$ を局所コンパクトかつ完全不連結とする。単位元の任意の近傍 $O$ を取り、その中にコンパクトな閉近傍 $C$ を選ぶ。ここでは 局所コンパクト空間 の定理「コンパクト近傍の同値な形」の条件4を用いる。$C$ は完全不連結なコンパクトHausdorff空間だから、先の結果により、$1$ を含む $C$ 内の開かつ閉の集合 $U\subseteq\operatorname{int}_G C$ を選べる。$U$ はコンパクトで、$G$ 内でも開であり、$U\subseteq O$ である。
各 $u\in U$ について積の連続性により、単位元の開近傍 $V_u$ と $u$ の開近傍 $W_u$ を $V_uW_u\subseteq U$ となるよう取る。有限個の $W_u$ が $U$ を覆うので、対応する $V_u$ の有限共通部分とその逆集合を交わらせれば、対称な開近傍 $V$ が得られ、$VU\subseteq U$ となる。$v\in V$ なら $vU\subseteq U$ と $v^{-1}U\subseteq U$ の両方が成り立つため、$vU=U$ である。
そこで $H=\{g\in G:gU=U\}$ と置く。集合を保つ平行移動の安定化群なので $H$ は部分群であり、$V\subseteq H$ だから開である。さらに $1\in U$ より $H\subseteq U$ となる。開部分群の補集合は他の左剰余類の和なので開であり、$H$ は閉でもある。従ってコンパクトな $U$ の閉部分集合 $H$ はコンパクトである。$H\subseteq O$ なので、任意の近傍の中にコンパクト開部分群が得られた。
逆にコンパクト開部分群が基本近傍系をなすなら、コンパクト近傍があるので局所コンパクトである。単位元を含む連結部分集合 $A$ と任意の開部分群 $H$ を取ると、離散空間 $G/H$ への商写像は連続で、その像は連結だから一点である。従って $A\subseteq H$ である。Hausdorff性と近傍系の性質よりすべての $H$ の共通部分は $\{1\}$ なので $A=\{1\}$ となる。平行移動により各点の連結成分が一点であり、$G$ は完全不連結である。$\square$

$w\in W$ は $V$ の元でもあるので、あるコンパクト開部分群が $w$ を固定する。よって $W$ は smooth である。$\bar v=v+W\in V/W$ に対して、$v$ を固定するコンパクト開部分群 $K$ を取れば、$k\bar v=\bar v$ がすべての $k\in K$ について成り立つ。よって $V/W$ も smooth である。$\square$

$0\ne v\in V$ を取る。$v$ を固定するコンパクト開部分群 $K$ が存在する。$G/K$ は有限なので、有限個の共役の共通部分
$$ N=\bigcap_{g\in G}gKg^{-1} $$
は開正規部分群であり $v$ を固定する。正規性から $N$ はすべての $\pi(g)v$ を固定する。既約性により $Gv$ の線形包は $V$ 全体なので、$N$ は $V$ に自明に作用する。したがって表現は有限群 $G/N$ を経由し、有限個の $\pi(g)v$ で生成されるから有限次元である。$\square$

$g\in G$ に対し
$$ (1_K*1_K)(g)=\int_K1_K(x^{-1}g)\,dx. $$
$g\in K$ なら被積分関数は常に $1$、$g\notin K$ なら常に $0$ なので
$$ 1_K*1_K=\operatorname{vol}(K)1_K, $$
従って $e_K*e_K=e_K$ である。
任意の $v\in V$ について
$$ \pi(e_K)v=\frac1{\operatorname{vol}(K)}\int_K\pi(k)v\,dk. $$
smooth 性により被積分関数は有限商上の有限和として解釈できる。Haar 測度の左不変性から、任意の $k_0\in K$ に対して
$$ \pi(k_0)\pi(e_K)v =\frac1{\operatorname{vol}(K)}\int_K\pi(k_0k)v\,dk =\pi(e_K)v. $$
よって像は $V^K$ に含まれる。逆に $v\in V^K$ なら平均は $v$ に等しい。従って像は $V^K$ であり、冪等性から射影である。$\square$

局所定数関数 $f$ の台はコンパクトである。台の各点の周りに $f$ が一定な開集合を取り、コンパクト開部分群の剰余類でその点を覆う。有限部分被覆を取り、使った有限個の部分群の共通部分を取れば、$f$ はあるコンパクト開部分群の右作用に不変になる。実際、選んだ各左剰余類はその部分群の右作用で保たれるので、台の内外で値が変わらない。右剰余類についても同じ議論を行い、さらに共通部分を取ることで、$f$ を左右とも $K$ 不変にできる。有限個の $f_i$ についてもう一度共通部分を取る。
左 $K$ 不変性から $(e_K*f_i)(g)=f_i(g)$ となる。右側も、$x^{-1}g\in K$ となる $x$ は $gK$ に属するので
$$ (f_i*e_K)(g)=\frac1{\operatorname{vol}(K)}\int_{gK}f_i(x)\,dx=f_i(g) $$
となる。ここでは左 Haar 測度により $\operatorname{vol}(gK)=\operatorname{vol}(K)$ である。
$\mathcal H(G)M=M$ なら $v=\sum_i f_i v_i$ と有限和で書ける。上で得た共通の $K$ に対し $e_Kv=\sum_i(e_K*f_i)v_i=v$ である。$\square$

定理「smooth表現とHecke加群」の逆方向を構成する。左平行移動を $(L_g f)(x)=f(g^{-1}x)$ と書く。非退化 Hecke 加群 $M$ の $v$ に対し $e_Kv=v$ となる $K$ を選び、
$$ \pi(g)v:=(L_ge_K)v $$
と定める。選択に依存しないことを示す。$L\subseteq K$ がコンパクト開なら、直接平均を計算して $e_K*e_L=e_K=e_L*e_K$ となる。従って $e_Lv=e_L e_Kv=e_Kv=v$ であり、
$$ (L_ge_L)v=(L_ge_L)e_Kv=L_g(e_L*e_K)v=(L_ge_K)v. $$
二つの選択 $K,K'$ には共通の下位部分群 $L=K\cap K'$ を使えばよい。複数のベクトルにも共通の $L$ を使えるので、この作用は線型である。
次に群の積との両立を確認する。$w=\pi(h)v$ は $hKh^{-1}$ で固定されるという Hecke 加群の式 $e_{hKh^{-1}}w=w$ を満たす。実際 $L_he_K$ は左 $hKh^{-1}$ 不変で、その左平均は自身である。従って
$$ \pi(g)\pi(h)v=(L_ge_{hKh^{-1}})*(L_he_K)v =L_g\bigl(e_{hKh^{-1}}*(L_he_K)\bigr)v =(L_{gh}e_K)v=\pi(gh)v. $$
また $\pi(1)v=e_Kv=v$ である。$k\in K$ なら $L_ke_K=e_K$ なので $\pi(k)v=v$ であり、この表現は smooth である。
復元した群作用から積分で作る Hecke 作用が元の作用と一致することも示せる。$e_Kv=v$ とし、$f\in\mathcal H(G)$ を取る。関数 $f*e_K$ は右 $K$ 不変でコンパクトな台を持つため、有限個の左剰余類 $g_iK$ 上の定数 $c_i$ を使って $f*e_K=\sum_i c_i1_{g_iK}$ と書ける。従って
$$ fv=(f*e_K)v=\sum_i c_i\operatorname{vol}(K)\pi(g_i)v. $$
一方、$\pi(g)v$ は各左剰余類上一定であり、$f*e_K$ の値はその剰余類での $f$ の平均であるため、この和は $\int_G f(g)\pi(g)v\,dg$ に等しい。
元の smooth 群作用から始めた場合は、$e_Kv=v$ に対して $(L_ge_K)v=\pi(g)e_Kv=\pi(g)v$ となり、群作用が復元される。群作用と可換する線型写像は積分作用とも可換し、Hecke 作用と可換する線型写像は復元式とも可換する。従って対象だけでなく射についても互いに逆な対応が得られる。$\square$

$i$ は単射なので制限も単射である。$v\in V^K$ が $p(v)=0$ を満たせば、$v=i(u)$ となる $u$ が一意にある。各 $k\in K$ に対し $i(ku-u)=kv-v=0$ だから $ku=u$ で、$u\in U^K$ となる。よって中央で完全である。
全射性には平均化を使う。$w\in W^K$ を取り、$p(v)=w$ となる $v\in V$ を選ぶ。平均化射影で $v'=\pi_V(e_K)v\in V^K$ とおけば、$p$ は群作用と可換するため
$$ p(v')=\pi_W(e_K)p(v)=\pi_W(e_K)w=w. $$
従って制限 $V^K\to W^K$ も全射である。$\square$