局所副有限群の表現

同義語：locally profinite群の表現representations of locally profinite groups

概要

局所副有限群

局所副有限群（locally profinite group）とは、Hausdorff 位相群 $G$ で、単位元の基本近傍系をなすコンパクト開部分群をもつものをいう。

van Dantzig の定理により、これは「局所コンパクトかつ完全不連結な Hausdorff 位相群」と同値であるRen10。コンパクト開部分群は副有限群である。「局所副有限」は、各有限部分集合が有限部分群に含まれるという局所有限群とは別概念である。

基本例

離散群は $\{1\}$ をコンパクト開部分群にもつので局所副有限群である。
副有限群は自分自身がコンパクト開部分群なので局所副有限群である。
非アルキメデス局所体 $F$ の加法群・乗法群、$GL_n(F)$、より一般に $F$ 上の線形代数群の $F$-有理点は局所副有限群である。$GL_n(F)$ では $GL_n(\mathcal O_F)$ がコンパクト開部分群である。
局所体の Weil 群は惰性群をコンパクト開部分群とする位相によって局所副有限群になる。

反例：実数の加法群

$\mathbb R$ は連結で、単位元 $0$ の真の開部分群をもたない。$\mathbb R$ 自身はコンパクトでないので、コンパクト開部分群は存在しない。したがって $\mathbb R$ は局所コンパクト群ではあるが局所副有限群でない。

Smooth表現と許容表現

以下、係数体を $\mathbb C$ とし、表現空間には離散位相を入れる。

smooth表現

局所副有限群 $G$ の表現 $(\pi,V)$ が smooth 表現であるとは、すべての $v\in V$ に対し安定化群
$$ G_v:=\{g\in G:\pi(g)v=v\} $$
が開部分群であることをいう。同値に、各 $v$ はあるコンパクト開部分群 $K\subset G$ によって固定される。

これは作用 $G\times V\to V$ の連続性と同値である。$V$ が離散位相であることが重要で、Hilbert 空間上の強連続ユニタリー表現とは別の圏を定める。コンパクト開部分群 $K$ に対し
$$ V^K:=\{v\in V:\pi(k)v=v\quad(\forall k\in K)\} $$
と書けば、smooth 性は $V=\bigcup_KV^K$ と同値である。

許容表現

smooth 表現 $(\pi,V)$ が許容的（admissible）であるとは、すべてのコンパクト開部分群 $K\subset G$ に対して $\dim_{\mathbb C}V^K<\infty$ となることをいう。

一般の局所副有限群では、既約 smooth 表現が自動的に許容的とは限らない。非アルキメデス局所体上の簡約群に対する許容性定理を使う場合は、群と係数体の仮定を明記する必要があるRen10。

smooth表現の部分表現と商表現

smooth $G$-表現 $V$ の $G$-安定部分空間 $W$ と商 $V/W$ はともに smooth である。

$w\in W$ は $V$ の元でもあるので、あるコンパクト開部分群が $w$ を固定する。よって $W$ は smooth である。$\bar v=v+W\in V/W$ に対して、$v$ を固定するコンパクト開部分群 $K$ を取れば、$k\bar v=\bar v$ がすべての $k\in K$ について成り立つ。よって $V/W$ も smooth である。$\square$

コンパクト群の既約smooth表現

$G$ がコンパクトな局所副有限群なら、任意の既約 smooth 複素表現 $V$ は有限次元で、ある有限商 $G/N$ を経由する。

$0\ne v\in V$ を取る。$v$ を固定するコンパクト開部分群 $K$ が存在する。$G/K$ は有限なので、有限個の共役の共通部分
$$ N=\bigcap_{g\in G}gKg^{-1} $$
は開正規部分群であり $v$ を固定する。正規性から $N$ はすべての $\pi(g)v$ を固定する。既約性により $Gv$ の線形包は $V$ 全体なので、$N$ は $V$ に自明に作用する。したがって表現は有限群 $G/N$ を経由し、有限個の $\pi(g)v$ で生成されるから有限次元である。$\square$

Hecke代数

左 Haar 測度 $dg$ を固定する。局所定数でコンパクトな台をもつ複素数値関数全体を $\mathcal H(G):=C_c^\infty(G)$ と書く。ここで上付き $\infty$ は微分可能性でなく局所定数性を表す。

Hecke代数

$f_1,f_2\in\mathcal H(G)$ に対し
$$ (f_1*f_2)(g):=\int_G f_1(x)f_2(x^{-1}g)\,dx $$
と定める。この畳み込みを積とする結合代数 $\mathcal H(G)$ を $G$ の Hecke 代数という。

$G$ が非離散なら一点の特性関数は局所定数でないため、$\mathcal H(G)$ は一般に単位元をもたない。しかしコンパクト開部分群 $K$ に対し
$$ e_K:=\frac{1}{\operatorname{vol}(K)}1_K $$
は局所的な単位元として働く。

コンパクト開部分群の平均化冪等元

$K\subset G$ をコンパクト開部分群とする。このとき $e_K*e_K=e_K$ である。また smooth 表現 $(\pi,V)$ に
$$ \pi(f)v:=\int_G f(g)\pi(g)v\,dg $$
で $\mathcal H(G)$ を作用させると、$\pi(e_K)V=V^K$ となり、$\pi(e_K)$ は $V^K$ への射影である。

$g\in G$ に対し
$$ (1_K*1_K)(g)=\int_K1_K(x^{-1}g)\,dx. $$
$g\in K$ なら被積分関数は常に $1$、$g\notin K$ なら常に $0$ なので
$$ 1_K*1_K=\operatorname{vol}(K)1_K, $$
従って $e_K*e_K=e_K$ である。
任意の $v\in V$ について
$$ \pi(e_K)v=\frac1{\operatorname{vol}(K)}\int_K\pi(k)v\,dk. $$
smooth 性により被積分関数は有限商上の有限和として解釈できる。Haar 測度の左不変性から、任意の $k_0\in K$ に対して
$$ \pi(k_0)\pi(e_K)v =\frac1{\operatorname{vol}(K)}\int_K\pi(k_0k)v\,dk =\pi(e_K)v. $$
よって像は $V^K$ に含まれる。逆に $v\in V^K$ なら平均は $v$ に等しい。従って像は $V^K$ であり、冪等性から射影である。$\square$