剰余環

$n\geq1$ とし、$\mathbb{Z}$ のイデアル $n\mathbb{Z}$ による剰余環 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ を考える。任意の整数 $a$ は $a=qn+r$（$0\leq r< n$）と一意に書けるので（除法の原理）、$a+n\mathbb{Z}=r+n\mathbb{Z}$ であり、$0\leq r,s< n$ に対して $r+n\mathbb{Z}=s+n\mathbb{Z}$ なら $n\mid r-s$ かつ $|r-s|< n$ から $r=s$ である。よって
$$ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\bar0,\bar1,\dots,\overline{n-1}\}\qquad(\bar r:=r+n\mathbb{Z}) $$
はちょうど $n$ 個の元からなる。演算は「整数として計算して $n$ で割った余りをとる」ことにあたる。$n=6$ では $\bar2\cdot\bar3=\bar0$ なので $0$ でない零因子があり、$n$ が素数 $p$ なら $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ は体 $\mathbb{F}_p$ である（体）。$\bar a$ が単元であることは $a$ と $n$ が互いに素であることと同値である（環 の記事の例「整数の剰余環 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$」）。$n=1$ では $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ は零環であり、$n=0$ では $\mathbb{Z}/0\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}$ 自身と同型である。

$k$ を体とし、$f\in k[x]$ を次数 $n\geq1$ の多項式とする。$f$ の最高次の係数で割っても $(f)$ は変わらないので、$f$ はモニック多項式（最高次の係数が $1$）としてよい。prop-quotient-ring-monic により、$k[x]/(f)$ の元は $\bar x:=x+(f)$ を用いて $a_0+a_1\bar x+\cdots+a_{n-1}\bar x^{n-1}$（$a_i\in k$）と一意に書け、$k[x]/(f)$ は $k$ 上 $n$ 次元のベクトル空間である。乗法は、多項式として掛けてから $f$ で割った余りをとる計算であり、$f(\bar x)=0$ が成り立つ。

1. $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$ の元は $a+b\bar x$ と書け、$\bar x^2=-1$ である。$a+b\bar x\mapsto a+bi$ は複素数体への環同型であり、$\mathbb{R}[x]/(x^2+1)\cong\mathbb{C}$ である（証明は 環準同型 の記事の例「第1同型定理による剰余環の計算」）。
2. $\mathbb{Q}[x]/(x^2-2)$ の元は $a+b\bar x$（$a,b\in\mathbb{Q}$）と書け、$\bar x^2=2$ である。$(a,b)\neq(0,0)$ なら $a^2-2b^2\neq0$（$\sqrt2$ は無理数）であり、
   $$ (a+b\bar x)\cdot\frac{a-b\bar x}{a^2-2b^2}=\frac{a^2-b^2\bar x^2}{a^2-2b^2}=1 $$
   だから $0$ でない元はすべて単元であり、$\mathbb{Q}[x]/(x^2-2)$ は体である。これは $\mathbb{Q}(\sqrt2)=\{a+b\sqrt2\mid a,b\in\mathbb{Q}\}$ と同型である（体の拡大）。
3. $k[x]/(x^2)$ の元は $a+b\bar x$ と書け、$\bar x\neq0$ だが $\bar x^2=0$ である。この環を 双対数 の環という。$\bar x$ は $0$ でない冪零元であり、$k[x]/(x^2)$ は整域でない。
4. $k[x]/(x^2-1)$ では $(\bar x-1)(\bar x+1)=\bar x^2-1=0$ であり、$\bar x\pm1\neq0$ なので零因子がある。
   一般に、$k[x]/(f)$ が体であることと $f$ が既約多項式であることは同値であり、整域であることとも同値である（素イデアル の記事の定理「整数環と体上の多項式環の素イデアル」と、極大イデアル の記事の命題「剰余環が体であることとの同値」）。上の 2 は $x^2-2$ が $\mathbb{Q}$ 上既約であることに、3 と 4 は $x^2=x\cdot x$、$x^2-1=(x-1)(x+1)$ が既約でないことに対応する。

$A$ を可換環、$a\in A$ とする。$A[x]$ から $A$ への代入準同型 $\operatorname{ev}_a\colon g\mapsto g(a)$ は全射であり（定数多項式の像）、その核は $(x-a)$ である。実際 $x-a$ はモニックなので $g=(x-a)h+c$（$c\in A$）と書け（prop-quotient-ring-monic の証明の割り算）、$g(a)=c$ だから、$g(a)=0$ と $g\in(x-a)$ は同値である。よって準同型定理（thm-quotient-ring-homomorphism）により
$$ A[x]/(x-a)\cong A $$
である。同様に、$\mathbb{Z}[x]\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$、$g\mapsto g(0)\bmod2$ は全射でその核は $(2,x)$ なので、$\mathbb{Z}[x]/(2,x)\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である。核の計算は次のとおり：$g(0)$ が偶数であることは $g=g(0)+xh$ の定数項 $g(0)$ が $2$ の倍数であることであり、それは $g\in(2,x)$ と同値である。

$\mathbb{Z}$ は有理数体 $\mathbb{Q}$ の部分環であり、加法群 $(\mathbb{Q},+)$ の部分群だから、剰余類の集合 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ と加法 $(a+\mathbb{Z})+(b+\mathbb{Z})=(a+b)+\mathbb{Z}$ は定まる（剰余群）。しかし乗法 $(a+\mathbb{Z})(b+\mathbb{Z}):=ab+\mathbb{Z}$ は定まらない。$0+\mathbb{Z}=1+\mathbb{Z}$ だが、$b=\tfrac12$ を掛けると、代表元 $0$ からは $0+\mathbb{Z}$、代表元 $1$ からは $\tfrac12+\mathbb{Z}$ が得られ、$\tfrac12\notin\mathbb{Z}$ なので両者は異なる。原因は $\mathbb{Z}$ が $\mathbb{Q}$ のイデアルでないこと（$\tfrac12\cdot1\notin\mathbb{Z}$）にある。この例が満たす性質は「$\mathbb{Z}$ は加法部分群かつ部分環である」、満たさない性質は「$\mathbb{Z}$ はイデアルである」であり、破る含意は「加法部分群（あるいは部分環）で割れば剰余環ができる」である。

体 $k$ 上の $2$ 次正方行列の環 $M_2(k)$ で、第 2 列が $0$ の行列全体 $L$ は左イデアルだが右イデアルでない。$L$ を法とする剰余類に $(a+L)(b+L):=ab+L$ で乗法を入れようとすると、代表元の取り方に依存する。この計算は 環 の記事の例「反例：片側イデアルによる剰余」にある。破る含意は「左イデアルで割れば剰余環ができる」であり、prop-quotient-ring-well-defined で両側イデアルを仮定することが必要であることを示す。左イデアルによる剰余 $M_2(k)/L$ は環にはならないが、左 $M_2(k)$ 加群にはなる。

$\mathbb{Z}$ は整域だが、剰余環 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ は $\bar2\cdot\bar3=\bar0$ なので整域でない。同様に $k[x]$ は整域だが $k[x]/(x^2)$ は整域でない（ex-quotient-ring-polynomial の 3）。したがって「整域の剰余環は整域」という含意は成り立たない。剰余環が整域になるのは、割るイデアルが素イデアルのときに限る（prop-quotient-ring-prime-maximal）。逆向きに、整域でない環の剰余環が整域になることもある（$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ を $\bar2$ の生成するイデアルで割ると $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ と同型な体になる。thm-quotient-ring-correspondence）。