群論

これは Lagrange の定理（Lagrangeの定理）である。まず、$H$ の相異なる左剰余類は互いに交わらず、それらの和集合は $G$ 全体であること、すなわち左剰余類の全体が $G$ の分割をなすことを使う。これは $a\sim b\iff a^{-1}b\in H$ が $G$ 上の同値関係であり、$a$ を含む同値類が $aH$ に一致することから従い、証明は公開記事 群 の命題「左剰余類は同値類である」に譲る。
次に、各左剰余類 $gH$ と $H$ の間に全単射があることを示す。写像 $\varphi\colon H\to gH$ を $\varphi(h):=gh$ で定める。定義から $\varphi$ は全射である。$\varphi(h)=\varphi(h')$、すなわち $gh=gh'$ ならば、両辺に左から $g^{-1}$ を掛けて結合律を使うと $h=(g^{-1}g)h=g^{-1}(gh)=g^{-1}(gh')=(g^{-1}g)h'=h'$ となるので、$\varphi$ は単射である。よって $\varphi$ は全単射であり、$|gH|=|H|$ である。
$G$ は有限集合なので左剰余類は有限個 $g_1H,\dots,g_kH$（$k=[G:H]$）であり、これらは互いに交わらず、和集合が $G$ である。したがって $|G|=\sum_{i=1}^{k}|g_iH|=k|H|=[G:H]\,|H|$ が成り立つ。
最後の主張について。$G$ は有限なので $g,g^2,g^3,\ldots$ には重複があり、$g^i=g^j$（$i< j$）から $g^{j-i}=e$ となる。よって $g$ の位数は存在する。$g$ の位数を $n$ とすると、$\langle g\rangle:=\{e,g,g^2,\dots,g^{n-1}\}$ は $G$ の部分群であり（積と逆元について閉じていることは $g^ig^j=g^{i+j}$ と $g^n=e$ から従う）、$e,g,\dots,g^{n-1}$ は相異なる（$g^i=g^j$、$0\le i< j< n$ なら $g^{j-i}=e$ となり $n$ の最小性に反する）ので $|\langle g\rangle|=n$ である。前半より $n$ は $|G|$ の約数である。$\square$

これは Cayley の定理（Cayleyの定理）である。$\mathrm{Sym}(G)$ は写像の合成を演算とし、恒等写像 $\mathrm{id}_G$ を単位元、逆写像を逆元とする群である（合成の結合律は写像一般について成り立つ）。
各 $g\in G$ に対し、写像 $\lambda_g\colon G\to G$ を $\lambda_g(x):=gx$ で定める（左移動）。結合律により、任意の $x\in G$ について $\lambda_g(\lambda_{g^{-1}}(x))=g(g^{-1}x)=(gg^{-1})x=x$ であり、同様に $\lambda_{g^{-1}}(\lambda_g(x))=x$ である。よって $\lambda_g\circ\lambda_{g^{-1}}=\lambda_{g^{-1}}\circ\lambda_g=\mathrm{id}_G$ となり、$\lambda_g$ は $\lambda_{g^{-1}}$ を逆写像にもつ全単射、すなわち $\lambda_g\in\mathrm{Sym}(G)$ である。
写像 $\Lambda\colon G\to\mathrm{Sym}(G)$ を $\Lambda(g):=\lambda_g$ で定める。任意の $g,h\in G$ と $x\in G$ について、結合律より $\lambda_{gh}(x)=(gh)x=g(hx)=\lambda_g(\lambda_h(x))$ なので $\lambda_{gh}=\lambda_g\circ\lambda_h$、すなわち $\Lambda(gh)=\Lambda(g)\Lambda(h)$ である。よって $\Lambda$ は群準同型である。
$\Lambda$ が単射であることを示す。$\Lambda(g)=\Lambda(h)$ とすると $\lambda_g=\lambda_h$ であり、とくに $x=e$ での値を比べて $g=ge=\lambda_g(e)=\lambda_h(e)=he=h$ を得る。
したがって $\Lambda$ は $G$ から $\mathrm{Sym}(G)$ への単射準同型であり、thm-group-theory-first-isomorphism により（あるいは直接に）$G\cong\Lambda(G)\le\mathrm{Sym}(G)$ である。$G$ が位数 $n$ の有限群ならば、$G$ の元に $1,\dots,n$ の番号を付けることで $\mathrm{Sym}(G)\cong S_n$ となるので、$G$ は $S_n$ の部分群と同型である。$\square$

まず $A_4$ の元を数える。$S_4$ の元は、恒等置換 1 個、互換 6 個、3 文字の巡回置換（巡回置換）$(a\,b\,c)$ 8 個、互いに素な 2 つの互換の積 $(a\,b)(c\,d)$ 3 個、4 文字の巡回置換 6 個であり、あわせて $24=4!$ 個である。3 文字の巡回置換は $(a\,b\,c)=(a\,c)(a\,b)$ と 2 個の互換の積に書けるので偶置換であり、$(a\,b)(c\,d)$ も偶置換である。互換と 4 文字の巡回置換 $(a\,b\,c\,d)=(a\,d)(a\,c)(a\,b)$ は奇置換である。よって $A_4$ は恒等置換、8 個の 3 文字の巡回置換、3 個の $(a\,b)(c\,d)$ からなり、$|A_4|=12$ である。
$A_4$ が位数 6 の部分群 $H$ をもつと仮定する。thm-group-theory-lagrange より $[A_4:H]=12/6=2$ である。指数 2 の部分群は正規部分群である。実際、$g\in H$ ならば $gH=H=Hg$ であり、$g\notin H$ ならば左剰余類は $H$ と $gH$ の 2 個で互いに交わらず和集合が $A_4$ なので $gH=A_4\setminus H$、右剰余類についても同様に $Hg=A_4\setminus H$ となり、$gH=Hg$ である。
よって剰余群 $A_4/H$ が定まり、その位数は 2 である。位数 2 の群 $\{u,x\}$（$u$ は単位元）では $x^2\in\{u,x\}$ であり、$x^2=x$ なら消去律より $x=u$ となって矛盾するので $x^2=u$ である。すなわち位数 2 の群では任意の元の 2 乗が単位元である。したがって任意の $\sigma\in A_4$ について $(\sigma H)^2=\sigma^2H=H$、すなわち $\sigma^2\in H$ である。
$\sigma$ を 3 文字の巡回置換とすると $\sigma^3$ は恒等置換なので $\sigma=\sigma^4=(\sigma^2)^2$ であり、$\sigma^2\in H$ と $H$ が積について閉じていることから $\sigma\in H$ である。ゆえに $H$ は 8 個の 3 文字の巡回置換をすべて含み、恒等置換とあわせて $|H|\ge9>6$ となって $|H|=6$ に反する。したがって $A_4$ は位数 6 の部分群をもたない。$\square$