Poincaréの不等式
概要
Poincaréの不等式（Poincaré inequality）とは、領域 $\Omega\subset\mathbb R^n$ 上の関数の $L^p$ ノルム（$1\le p<\infty$）を勾配の $L^p$ ノルムの定数倍で押さえる不等式で、定数関数を除くために零境界値か平均 $0$ を課す。零境界値の形は $W^{1,p}_0(\Omega)$ の元について $\Omega$ がある方向に幅が有限なら成り立ち、区間 $(0,L)$ の $p=2$ では最良の定数が $L/\pi$ である。平均値の形は有界で連結な $C^1$ 級の領域で成り立ち、連結性・有界性・境界の正則性のどれを外しても成り立たなくなりうる。Dirichlet 問題の弱解の存在を示す基本的な道具である。
前提知識: Sobolev空間の基本事項, Lp空間, Hölderの不等式, Fubiniの定理
Poincaréの不等式（Poincaré inequality）は、領域 $\Omega\subset\mathbb R^n$ 上の関数 $u$ の大きさを、その勾配の大きさだけで上から押さえる不等式である。勾配が $0$ の関数（定数関数）は勾配では測れないので、定数を除く条件が要る。よく使われるのは次の 2 つの形である。
- 零境界値の形：境界で $0$ になる関数（$W^{1,p}_0(\Omega)$ の元）について $\|u\|_{L^p(\Omega)}\le C\|\nabla u\|_{L^p(\Omega)}$。
- 平均値の形：平均 $u_\Omega$ を引いた関数について $\|u-u_\Omega\|_{L^p(\Omega)}\le C\|\nabla u\|_{L^p(\Omega)}$。Poincaré–Wirtingerの不等式 とも呼ばれる。
どちらの形も、定数 $C$ が領域で決まり、$u$ によらないことが要点である。零境界値の形は、$\|\nabla u\|_{L^p}$ が $W_0^{1,p}(\Omega)$ のノルムになることを意味し、Dirichlet 問題を Lax–Milgramの定理 で解くときの強圧性の根拠になる。
この記事では、零境界値の形を「ある方向に幅が有限な領域」と「測度が有限な領域」で完全に証明し、区間での最良の定数 $\frac L\pi$ を求める。平均値の形は、有界で連結な $C^1$ 級の領域で成り立つという主張を述べ、証明と最良の定数は Poincaré–Wirtingerの不等式 に譲る。仮定を外したときの反例として、境界の悪い有界な連結領域で平均値の形が壊れる例を作る。
記号
$\Omega\subset\mathbb R^n$ は開集合、関数は実数値とし、$1\le p<\infty$ とする。$W^{1,p}(\Omega)$ は $u$ と弱勾配 $\nabla u$ がともに $L^p(\Omega)$ に属する関数の空間、$W^{1,p}_0(\Omega)$ は $C_c^\infty(\Omega)$ の $W^{1,p}(\Omega)$ のノルムでの閉包である（Sobolev空間の基本事項 の定義「Sobolev空間」「零境界値Sobolev空間」）。$|\nabla u|$ は勾配の Euclid ノルムで、$\|\nabla u\|_{L^p(\Omega)}:=\bigl\||\nabla u|\bigr\|_{L^p(\Omega)}$ と書く。$\Omega$ の Lebesgue 測度 $|\Omega|$ が有限のとき、平均を $u_\Omega:=\frac1{|\Omega|}\int_\Omega u\,dx$ と書く。$H^1_0(\Omega):=W^{1,2}_0(\Omega)$ である。
零境界値の形
$\mathbb R^n$ の点を $x=(x_1,x')$（$x'\in\mathbb R^{n-1}$）と書く。
$a< b$ とし、開集合 $\Omega\subset\mathbb R^n$ が帯 $\{x:a< x_1< b\}$ に含まれるとする。$1\le p<\infty$ とする。このとき任意の $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$
\|u\|_{L^p(\Omega)}\le(b-a)\,\|\partial_1u\|_{L^p(\Omega)}\le(b-a)\,\|\nabla u\|_{L^p(\Omega)}
$$
が成り立つ。とくに $\Omega$ が有界なら、$\Omega$ の $x_1$ 方向の幅を $d$ として $\|u\|_{L^p(\Omega)}\le d\,\|\nabla u\|_{L^p(\Omega)}$ である。
滑らかな場合．$\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ とし、$\Omega$ の外で $0$ と延長して $\mathbb R^n$ 上の $C_c^\infty$ 関数とみなす。台は帯の中のコンパクト集合なので、$x_1\le a$ では $\varphi=0$ である。$x'$ を固定して 微積分学の基本定理 を使うと、$a< x_1< b$ について
$$
|\varphi(x_1,x')|=\Bigl|\int_a^{x_1}\partial_1\varphi(t,x')\,dt\Bigr|\le\int_a^b|\partial_1\varphi(t,x')|\,dt\le(b-a)^{1-1/p}\Bigl(\int_a^b|\partial_1\varphi(t,x')|^p\,dt\Bigr)^{1/p}
$$
である（最後は Hölderの不等式。$p=1$ では $(b-a)^0=1$ と読む）。両辺を $p$ 乗して $x_1$ について $(a,b)$ 上で積分すると
$$
\int_a^b|\varphi(x_1,x')|^p\,dx_1\le(b-a)^{p}\int_a^b|\partial_1\varphi(t,x')|^p\,dt
$$
となる。さらに $x'$ について積分し、Fubiniの定理 を使えば $\|\varphi\|_{L^p(\Omega)}^p\le(b-a)^p\|\partial_1\varphi\|_{L^p(\Omega)}^p$ を得る（$\varphi$ と $\partial_1\varphi$ は $\Omega$ の外で $0$）。
一般の場合．$u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ に対し、定義から $C_c^\infty(\Omega)$ の列 $\varphi_k$ で $\varphi_k\to u$、$\partial_1\varphi_k\to\partial_1u$ がともに $L^p(\Omega)$ で成り立つものがある。滑らかな場合の不等式で $k\to\infty$ とすればよい。2 番目の不等号は $|\partial_1u|\le|\nabla u|$ による。有界な $\Omega$ は $x_1$ 方向の幅 $d$ の帯に入るので、最後の主張も従う。$\square$
$\Omega$ は帯に入りさえすればよく、有界である必要はない。座標を回転すれば、ある方向について幅が有限であればよい（回転は $W^{1,p}_0$ とノルムを保つ）。幅の代わりに測度が有限であることを仮定しても、同じ形の不等式が成り立つ（Bre11 Remark 21、p. 290）。
開集合 $\Omega\subset\mathbb R^n$ が $|\Omega|<\infty$ をみたすとし、$1\le p<\infty$ とする。このとき任意の $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について $\|u\|_{L^p(\Omega)}\le C\|\nabla u\|_{L^p(\Omega)}$ が成り立つ。定数は
$$
C=\begin{cases}\dfrac{p(n-1)}{n-p}\,|\Omega|^{1/n}&(n\ge2,\ p< n),\\[2mm]\dfrac{p(n-1)}{n}\,|\Omega|^{1/n}&(n\ge2,\ p\ge n),\\[2mm]\dfrac{|\Omega|}2&(n=1)\end{cases}
$$
でとれる。
要点：$p< n$ では Sobolev の不等式 $\|\varphi\|_{p^*}\le C\|\nabla\varphi\|_p$ に Hölder の不等式を合わせる。$p\ge n$ では $r^*=p$ となる低い指数 $r$ の Sobolev の不等式を使い、$\|\nabla\varphi\|_r$ を Hölder の不等式で $\|\nabla\varphi\|_p$ に戻す。$n=1$ は微積分学の基本定理を両側から使う。
証明を開く
prf-poincare-zero の「一般の場合」と同じく、$\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ について示せば、$C_c^\infty(\Omega)$ の近似列の極限で一般の $u$ に移る。$\varphi$ は $\Omega$ の外で $0$ と延ばして $C_c^\infty(\mathbb R^n)$ の関数とみなす。$\varphi$ と $\nabla\varphi$ は $\Omega$ の外で $0$ なので、Hölderの不等式 から $1\le r\le s\le\infty$ について $\|\varphi\|_r\le|\Omega|^{1/r-1/s}\|\varphi\|_s$、$\|\nabla\varphi\|_r\le|\Omega|^{1/r-1/s}\|\nabla\varphi\|_s$ である。
$n\ge2$、$p< n$．$p^*:=np/(n-p)$ とする。Sobolevの埋め込み定理 の定理「Sobolev の埋め込み定理（$\mathbb R^n$、1 階）」の 1 から $\|\varphi\|_{p^*}\le\frac{p(n-1)}{n-p}\|\nabla\varphi\|_p$ であり、$1/p-1/p^*=1/n$ なので $\|\varphi\|_p\le|\Omega|^{1/n}\|\varphi\|_{p^*}$ である。
$n\ge2$、$p\ge n$．$r:=np/(n+p)$ とおく。$1/r=1/p+1/n$ なので $r< n$ で、$r$ の Sobolev 共役指数は $r^*=p$ である。また $(n-1)(p-1)\ge1$ から $np\ge n+p$、すなわち $r\ge1$ である。同じ定理を指数 $r$ で使うと$$\|\varphi\|_p=\|\varphi\|_{r^*}\le\frac{r(n-1)}{n-r}\|\nabla\varphi\|_r\le\frac{r(n-1)}{n-r}|\Omega|^{1/r-1/p}\|\nabla\varphi\|_p=\frac{p(n-1)}{n}|\Omega|^{1/n}\|\nabla\varphi\|_p$$である（$n-r=n^2/(n+p)$ から $r(n-1)/(n-r)=p(n-1)/n$）。
$n=1$．微積分学の基本定理 から $\varphi(x)=\int_{-\infty}^x\varphi'=-\int_x^\infty\varphi'$ なので、$2\lvert\varphi(x)\rvert\le\int_{\mathbb R}\lvert\varphi'\rvert\le|\Omega|^{1-1/p}\|\varphi'\|_p$ である。よって $\|\varphi\|_p\le|\Omega|^{1/p}\sup\lvert\varphi\rvert\le\frac{|\Omega|}2\|\varphi'\|_p$ である。$\square$
thm-poincare-zero と prop-poincare-finite-measure の仮定は、どちらも他方を含まない。帯 $\{0< x_1<1\}$ は幅が有限だが測度は無限であり、平面の開集合 $\bigcup_{k\ge1}\bigl(B(k\mathbf e_1,2^{-k})\cup B(k\mathbf e_2,2^{-k})\bigr)$（$\mathbf e_1,\mathbf e_2$ は座標の単位ベクトル）は測度が有限だが、どの方向についても幅が有限な帯に入らない（単位ベクトル $\nu$ は $\mathbf e_1$ と $\mathbf e_2$ の両方に直交することはないので、$\nu$ 方向の座標 $k\,\nu\cdot\mathbf e_1$ または $k\,\nu\cdot\mathbf e_2$ が有界でない）。
$\Omega$ が thm-poincare-zero の仮定を満たすとき、$\|\nabla u\|_{L^p(\Omega)}$ は $W^{1,p}_0(\Omega)$ 上のノルムで、$W^{1,p}(\Omega)$ のノルムと同値である。とくに $H^1_0(\Omega)$ 上の双線形形式
$$
\langle u,v\rangle_\nabla:=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,dx
$$
は内積で、$H^1_0(\Omega)$ はこの内積について Hilbert 空間になる。
$W^{1,p}$ のノルムの $p$ 乗は $\|u\|_p^p+\sum_i\|\partial_iu\|_p^p$ で、各点で $|\partial_iu|\le|\nabla u|\le\sum_i|\partial_iu|$ なので、$\sum_i\|\partial_iu\|_p^p$ と $\|\nabla u\|_p^p$ は $n,p$ だけで決まる定数倍の範囲で等しい。thm-poincare-zero により $\|u\|_p^p\le(b-a)^p\|\nabla u\|_p^p$ なので、$\|\nabla u\|_p\le C_1\|u\|_{W^{1,p}}\le C_2\|\nabla u\|_p$ となる。とくに $\|\nabla u\|_p=0$ なら $u=0$ で、ノルムの残りの性質は $L^p$ ノルムから従う。$p=2$ では $\langle u,u\rangle_\nabla=\|\nabla u\|_2^2$ で、同値なノルムについて $H^1_0(\Omega)$ は完備（$W^{1,2}(\Omega)$ の閉部分空間）なので Hilbert 空間である。$\square$
この系は、有界な $\Omega$ で Dirichlet 問題 $-\Delta u=f$、$u|_{\partial\Omega}=0$ を弱い意味で解くときに使われる。$f\in L^2(\Omega)$ に対して $v\mapsto\int_\Omega fv$ は $H^1_0(\Omega)$ 上の有界線形汎関数で（Cauchy–Schwarz の不等式と thm-poincare-zero による）、$\langle\cdot,\cdot\rangle_\nabla$ は内積そのものなので、Lax–Milgramの定理（この場合は Riesz の表現定理）により、すべての $v\in H^1_0(\Omega)$ について $\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v=\int_\Omega fv$ を満たす $u\in H^1_0(\Omega)$ がただ 1 つ存在する。詳しくは Dirichlet問題 を参照。
区間での最良の定数
thm-poincare-zero の定数 $b-a$ は最良ではない。$p=2$ の区間では、Fourier 級数を使って最良の定数が求まる。
$L>0$ とする。$u\in H^1_0(0,L)$ について
$$
\int_0^Lu(x)^2\,dx\le\Bigl(\frac L\pi\Bigr)^2\int_0^Lu'(x)^2\,dx
$$
が成り立つ。定数 $\bigl(\frac L\pi\bigr)^2$ は最良で、$u(x)=\sin\frac{\pi x}L$ で等号が成り立つ。$[0,L]$ で $C^1$ 級かつ $u(0)=u(L)=0$ の $u$ について等号が成り立つのは、$u=c\sin\frac{\pi x}L$（$c\in\mathbb R$）のときに限る。
$u$ を $[0,L]$ で $C^1$ 級、$u(0)=u(L)=0$ とする。$[-\pi,\pi]$ 上の関数 $f$ を
$$
f(y):=u\Bigl(\frac{Ly}\pi\Bigr)\ (0\le y\le\pi),\qquad f(y):=-u\Bigl(-\frac{Ly}\pi\Bigr)\ (-\pi\le y\le0)
$$
で定める。$u(0)=0$ なので $y=0$ で 2 つの式は一致し、$f$ は連続な奇関数である。導関数は $y>0$ で $\frac L\pi u'(\frac{Ly}\pi)$、$y<0$ で $\frac L\pi u'(-\frac{Ly}\pi)$ で、$y\to0$ でともに $\frac L\pi u'(0)$ に近づくので、$f$ は $[-\pi,\pi]$ で $C^1$ 級である。さらに $f(\pi)=u(L)=0=f(-\pi)$、$f'(\pi)=\frac L\pi u'(L)=f'(-\pi)$ なので、$f$ を周期 $2\pi$ で延長した関数は $\mathbb R$ 上の $C^1$ 級関数である。$f$ は奇関数なので $\int_{-\pi}^\pi f=0$ である。
Parsevalの等式 の命題「Wirtingerの不等式」（Wirtingerの不等式(周期関数) の定理「周期関数の Wirtinger の不等式」）により $\int_{-\pi}^\pi f^2\le\int_{-\pi}^\pi f'^2$ である。変数変換 $x=\frac{Ly}\pi$ により
$$
\int_{-\pi}^\pi f^2=\frac{2\pi}L\int_0^Lu^2,\qquad\int_{-\pi}^\pi f'^2=2\Bigl(\frac L\pi\Bigr)^2\frac\pi L\int_0^Lu'^2
$$
なので、主張の不等式を得る。同じ命題から、等号は $f(y)=\alpha e^{iy}+\beta e^{-iy}$（$\alpha,\beta\in\mathbb C$）のときに限る。$f$ は実数値の奇関数なので $f(y)=c\sin y$ の形で、$u(x)=c\sin\frac{\pi x}L$ である。逆に $u=\sin\frac{\pi x}L$ では、左辺は $\frac L2$、右辺は $(\frac L\pi)^2\cdot(\frac\pi L)^2\cdot\frac L2=\frac L2$ で等しい。
$u\in H^1_0(0,L)$ の一般の場合は、$C_c^\infty(0,L)$ の元が上の条件を満たすので、$H^1$ のノルムでの近似で不等式が移る。$\square$
$\sin\frac{\pi x}L$ は、$-u''=\lambda u$、$u(0)=u(L)=0$ を満たす $0$ でない $u$ が存在する $\lambda$ のうち最小のもの $\lambda=\bigl(\frac\pi L\bigr)^2$ に対応する関数である。最良の定数の 2 乗の逆数が、この最小の $\lambda$ に一致している。
thm-poincare-zero の仮定の下で、$u\in H^1_0(\Omega)$ について $\|u\|_{L^2(\Omega)}\le\frac{b-a}\pi\|\partial_1u\|_{L^2(\Omega)}$ が成り立つ。
$\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ を $\Omega$ の外で $0$ と延長すると、各 $x'$ について $t\mapsto\varphi(a+t,x')$ は $[0,b-a]$ で $C^1$ 級で両端で $0$ である。thm-poincare-interval を $L=b-a$ で当てて $x'$ について積分すれば $\varphi$ について主張が成り立ち、近似で $H^1_0(\Omega)$ に移る。$\square$
平均値の形
平均値の形では境界の値を仮定しないので、定数関数を除くために平均を引く。
$\Omega\subset\mathbb R^n$ を有界で連結な $C^1$ 級の開集合とし、$1\le p<\infty$ とする。このとき $\Omega$ と $p$ で決まる定数 $C$ があり、任意の $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$
\|u-u_\Omega\|_{L^p(\Omega)}\le C\,\|\nabla u\|_{L^p(\Omega)}
$$
が成り立つ。
$n\ge2$ の場合の証明は Poincaré–Wirtingerの不等式 の定理「有界で連結な $C^1$ 級の領域でのPoincaré–Wirtingerの不等式」にある（コンパクト埋め込みを使う背理法で、定数の値は与えない）。$n=1$ では $\Omega$ は有界な開区間で、同じ記事の命題「一様ノルムでの評価」により $C=|\Omega|$ とできる。$p=2$ の最良の定数は、$n\ge2$ では同じ記事の定理「$p=2$ の最良の定数」で Neumann 条件の Laplacian の最小の正の固有値から決まり、$n=1$ の区間 $(0,L)$ では Poincaré–Wirtingerの不等式 の定理「区間での最良の定数」により $L/\pi$ である。
定数は領域の形で決まり、領域が細い通路でつながった部分をもつと大きくなる（下の ex-poincare-rooms）。有界で連結な Lipschitz 領域でも同じ形が成り立つことが知られている（この記事では Lipschitz 領域の場合を扱わない）。$\Omega=\mathbb R^n$ では平均 $u_\Omega$ が定義されず、平均が $0$ の関数に限っても成り立たない。
例と反例
$\mathbb R^2$ で、$k\ge1$ について $s_k:=2^{-k-2}$、$c_k:=2^{-k}$、$\varepsilon_k:=s_k^{\,k+2}$ とおき、
$$
B:=(0,1)\times(-1,0),\quad V_k:=(c_k,c_k+\varepsilon_k)\times\Bigl(-\frac12,\frac{3s_k}2\Bigr),\quad Q_k:=(c_k,c_k+s_k)\times(s_k,2s_k)
$$
として $\Omega:=B\cup\bigcup_{k\ge1}(V_k\cup Q_k)$ とする。$\Omega$ は有界で連結な開集合（下の箱 $B$ に、細い通路 $V_k$ で部屋 $Q_k$ をつないだもの）だが、どの $1\le p<\infty$ についても平均値の形の Poincaré の不等式は成り立たない。$\Omega$ の境界は角をもつので $C^1$ 級でなく、部屋と通路は原点の近くに無限個集まっている。
詳細
部屋の $x_1$ 方向の範囲 $(2^{-k},2^{-k}+2^{-k-2})$ は $k$ ごとに交わらず、$\varepsilon_k< s_k$ なので $V_k$ もこの範囲に入る。$V_k$ は $B$ と $Q_k$ の両方と開集合で重なるので $\Omega$ は連結な開集合で、$(0,1)\times(-1,1)$ に含まれる。$h_k(y):=\min(\max(y/s_k,0),1)$ とし、$u_k:=h_k(x_2)$（$V_k\cup Q_k$ の上）、$u_k:=0$（それ以外）とおく。$V_k\cap B$ では $h_k=0$、$V_k\cap Q_k$ では $h_k=1$ で、$V_k\cup Q_k$ とほかの部分は $x_2>0$ の側で接しないので、$u_k$ は $\Omega$ 上で局所的に $x_2$ だけの Lipschitz 関数か $0$ であり、$u_k\in W^{1,p}(\Omega)$、$|\nabla u_k|$ は $V_k\cap\{0< x_2< s_k\}$（面積 $\varepsilon_ks_k$）で $\frac1{s_k}$、ほかで $0$ である。よって $\|\nabla u_k\|_p^p=\varepsilon_ks_k^{\,1-p}$ である。一方 $|\Omega|\ge1$ で $0\le u_k\le1$ の台の面積は $s_k^2+2\varepsilon_k\le2s_k^2$ 以下なので、平均 $m_k$ は $2s_k^2\le\frac12$ 以下であり、$\|u_k-m_k\|_p^p\ge\int_{Q_k}(1-m_k)^p\ge2^{-p}s_k^2$ である。比は $\|u_k-m_k\|_p^p/\|\nabla u_k\|_p^p\ge2^{-p}s_k^{\,p+1}/\varepsilon_k=2^{-p}s_k^{\,p-k-1}$ で、$s_k\to0$ なので $k>p+1$ から先は $k\to\infty$ で発散する。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 零境界値の形で、帯に入ること | $\Omega=\mathbb R^n$、$0\ne\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R^n)$、$u_R(x):=\varphi(x/R)$ | $\Vert u_R\Vert_p/\Vert\nabla u_R\Vert_p=R\,\Vert\varphi\Vert_p/\Vert\nabla\varphi\Vert_p\to\infty$ |
| 零境界値（$W^{1,p}_0$ を $W^{1,p}$ に替える） | 有界な $\Omega$ 上の $u=1$ | $\Vert u\Vert_p=\lvert\Omega\rvert^{1/p}>0$ だが $\nabla u=0$ |
| 平均値の形で、連結性・有界性 | Poincaré–Wirtingerの不等式 の節「仮定を外すと成り立たなくなること」 | 非連結なら勾配が $0$ でも平均からずれる関数があり、$\Omega=\mathbb R^n$ では平均が $0$ の関数に限っても比 $\Vert u\Vert_p/\Vert\nabla u\Vert_p$ が上に有界でない |
| 平均値の形で、境界の正則性 | ex-poincare-rooms | 有界で連結でも、比 $\Vert u-u_\Omega\Vert_p/\Vert\nabla u\Vert_p$ が発散する |
1 行目は拡大の計算である。$\nabla(\varphi(x/R))=R^{-1}(\nabla\varphi)(x/R)$ なので、$\Vert\varphi(\cdot/R)\Vert_p=R^{n/p}\Vert\varphi\Vert_p$、$\Vert\nabla\varphi(\cdot/R)\Vert_p=R^{n/p-1}\Vert\nabla\varphi\Vert_p$ である。$\varphi\ne0$ は台がコンパクトなので定数でなく、$\Vert\nabla\varphi\Vert_p>0$ である。
関連項目
参考文献
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