Poincaréの不等式

滑らかな場合．$\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ とし、$\Omega$ の外で $0$ と延長して $\mathbb R^n$ 上の $C_c^\infty$ 関数とみなす。台は帯の中のコンパクト集合なので、$x_1\le a$ では $\varphi=0$ である。$x'$ を固定して 微積分学の基本定理 を使うと、$a< x_1< b$ について
$$ |\varphi(x_1,x')|=\Bigl|\int_a^{x_1}\partial_1\varphi(t,x')\,dt\Bigr|\le\int_a^b|\partial_1\varphi(t,x')|\,dt\le(b-a)^{1-1/p}\Bigl(\int_a^b|\partial_1\varphi(t,x')|^p\,dt\Bigr)^{1/p} $$
である（最後は Hölderの不等式。$p=1$ では $(b-a)^0=1$ と読む）。両辺を $p$ 乗して $x_1$ について $(a,b)$ 上で積分すると
$$ \int_a^b|\varphi(x_1,x')|^p\,dx_1\le(b-a)^{p}\int_a^b|\partial_1\varphi(t,x')|^p\,dt $$
となる。さらに $x'$ について積分し、Fubiniの定理 を使えば $\|\varphi\|_{L^p(\Omega)}^p\le(b-a)^p\|\partial_1\varphi\|_{L^p(\Omega)}^p$ を得る（$\varphi$ と $\partial_1\varphi$ は $\Omega$ の外で $0$）。
一般の場合．$u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ に対し、定義から $C_c^\infty(\Omega)$ の列 $\varphi_k$ で $\varphi_k\to u$、$\partial_1\varphi_k\to\partial_1u$ がともに $L^p(\Omega)$ で成り立つものがある。滑らかな場合の不等式で $k\to\infty$ とすればよい。2 番目の不等号は $|\partial_1u|\le|\nabla u|$ による。有界な $\Omega$ は $x_1$ 方向の幅 $d$ の帯に入るので、最後の主張も従う。$\square$

$W^{1,p}$ のノルムの $p$ 乗は $\|u\|_p^p+\sum_i\|\partial_iu\|_p^p$ で、各点で $|\partial_iu|\le|\nabla u|\le\sum_i|\partial_iu|$ なので、$\sum_i\|\partial_iu\|_p^p$ と $\|\nabla u\|_p^p$ は $n,p$ だけで決まる定数倍の範囲で等しい。thm-poincare-zero により $\|u\|_p^p\le(b-a)^p\|\nabla u\|_p^p$ なので、$\|\nabla u\|_p\le C_1\|u\|_{W^{1,p}}\le C_2\|\nabla u\|_p$ となる。とくに $\|\nabla u\|_p=0$ なら $u=0$ で、ノルムの残りの性質は $L^p$ ノルムから従う。$p=2$ では $\langle u,u\rangle_\nabla=\|\nabla u\|_2^2$ で、同値なノルムについて $H^1_0(\Omega)$ は完備（$W^{1,2}(\Omega)$ の閉部分空間）なので Hilbert 空間である。$\square$

$u$ を $[0,L]$ で $C^1$ 級、$u(0)=u(L)=0$ とする。$[-\pi,\pi]$ 上の関数 $f$ を
$$ f(y):=u\Bigl(\frac{Ly}\pi\Bigr)\ (0\le y\le\pi),\qquad f(y):=-u\Bigl(-\frac{Ly}\pi\Bigr)\ (-\pi\le y\le0) $$
で定める。$u(0)=0$ なので $y=0$ で 2 つの式は一致し、$f$ は連続な奇関数である。導関数は $y>0$ で $\frac L\pi u'(\frac{Ly}\pi)$、$y<0$ で $\frac L\pi u'(-\frac{Ly}\pi)$ で、$y\to0$ でともに $\frac L\pi u'(0)$ に近づくので、$f$ は $[-\pi,\pi]$ で $C^1$ 級である。さらに $f(\pi)=u(L)=0=f(-\pi)$、$f'(\pi)=\frac L\pi u'(L)=f'(-\pi)$ なので、$f$ を周期 $2\pi$ で延長した関数は $\mathbb R$ 上の $C^1$ 級関数である。$f$ は奇関数なので $\int_{-\pi}^\pi f=0$ である。
Parsevalの等式 の命題「Wirtingerの不等式」により $\int_{-\pi}^\pi f^2\le\int_{-\pi}^\pi f'^2$ である。変数変換 $x=\frac{Ly}\pi$ により
$$ \int_{-\pi}^\pi f^2=\frac{2\pi}L\int_0^Lu^2,\qquad\int_{-\pi}^\pi f'^2=2\Bigl(\frac L\pi\Bigr)^2\frac\pi L\int_0^Lu'^2 $$
なので、主張の不等式を得る。同じ命題から、等号は $f(y)=\alpha e^{iy}+\beta e^{-iy}$（$\alpha,\beta\in\mathbb C$）のときに限る。$f$ は実数値の奇関数なので $f(y)=c\sin y$ の形で、$u(x)=c\sin\frac{\pi x}L$ である。逆に $u=\sin\frac{\pi x}L$ では、左辺は $\frac L2$、右辺は $(\frac L\pi)^2\cdot(\frac\pi L)^2\cdot\frac L2=\frac L2$ で等しい。
$u\in H^1_0(0,L)$ の一般の場合は、$C_c^\infty(0,L)$ の元が上の条件を満たすので、$H^1$ のノルムでの近似で不等式が移る。$\square$

$\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ を $\Omega$ の外で $0$ と延長すると、各 $x'$ について $t\mapsto\varphi(a+t,x')$ は $[0,b-a]$ で $C^1$ 級で両端で $0$ である。thm-poincare-interval を $L=b-a$ で当てて $x'$ について積分すれば $\varphi$ について主張が成り立ち、近似で $H^1_0(\Omega)$ に移る。$\square$

軟化子 $\varphi_\varepsilon$ をとる。$B(x_0,2r)\subset\Omega$ となる球 $B:=B(x_0,r)$ を考えると、$\varepsilon< r$ なら $u_\varepsilon:=\varphi_\varepsilon*u$ は $B$ の近傍で $C^\infty$ 級で、$\partial_iu_\varepsilon(x)=\int\partial_{x_i}\varphi_\varepsilon(x-y)u(y)\,dy=\int\varphi_\varepsilon(x-y)\partial_iu(y)\,dy=0$ である（$y\mapsto\varphi_\varepsilon(x-y)$ は $\Omega$ のテスト関数なので、弱微分の定義が使える）。$B$ は連結なので $u_\varepsilon$ は $B$ 上で定数 $c_\varepsilon$ である。$\varepsilon\to0$ で $u_\varepsilon\to u$ が $L^1(B)$ で成り立つので、$c_\varepsilon$ は $\mathbb R$ の Cauchy 列で、その極限 $c$ について $u=c$ が $B$ 上ほとんど至るところ成り立つ。
$x_0\in\Omega$ を 1 つ固定し、上の $c$ を $c_0$ とする。$U$ を「ある近傍の上で $u=c_0$ がほとんど至るところ成り立つ点」の全体とすると、$U$ は開集合で $x_0\in U$ である。$x\in\Omega$ が $U$ の閉包に入るとき、$x$ の近くの球 $B$ で $u=c$（ほとんど至るところ）とすると、$B$ は $U$ の点の近傍と正の測度で交わるので $c=c_0$ であり、$x\in U$ である。よって $U$ は $\Omega$ の中で閉じている。$\Omega$ は連結なので $U=\Omega$ で、$\Omega$ は $U$ の点の近傍のうち可算個で覆える（$\mathbb R^n$ の部分集合の開被覆は可算部分被覆をもつ）ので、$u=c_0$ が $\Omega$ 上ほとんど至るところ成り立つ。$\square$

結論が成り立たないとすると、各 $k$ について $\|u_k-(u_k)_\Omega\|_p>k\|\nabla u_k\|_p$ となる $u_k\in W^{1,p}(\Omega)$ がある（ノルムはすべて $L^p(\Omega)$ のもの）。左辺は正なので
$$ v_k:=\frac{u_k-(u_k)_\Omega}{\|u_k-(u_k)_\Omega\|_p} $$
とおけて、$\|v_k\|_p=1$、$(v_k)_\Omega=0$、$\|\nabla v_k\|_p<\frac1k$ である。$(v_k)$ は $W^{1,p}(\Omega)$ で有界である。$\Omega$ は有界な $C^1$ 級の開集合なので、包含 $W^{1,p}(\Omega)\hookrightarrow L^p(\Omega)$ はコンパクトである（Rellich–Kondrachov の定理、Bre11 Theorem 9.16、p. 285。この記事では証明しない）。よって部分列に移って、$v_k\to v$ が $L^p(\Omega)$ で成り立つとしてよい。
任意の $\psi\in C_c^\infty(\Omega)$ と $i$ について、Hölder の不等式から
$$ \Bigl|\int_\Omega v\,\partial_i\psi\Bigr|=\lim_{k\to\infty}\Bigl|\int_\Omega v_k\,\partial_i\psi\Bigr|=\lim_{k\to\infty}\Bigl|\int_\Omega\partial_iv_k\,\psi\Bigr|\le\lim_{k\to\infty}\frac1k\|\psi\|_{L^{p'}(\Omega)}=0 $$
である（$p'$ は $p$ の共役指数）。よって $v$ の弱勾配は $0$ で、$\Omega$ は連結なので lem-poincare-constant により $v$ はほとんど至るところ定数 $c$ である。$\Omega$ は有界なので $L^p$ 収束から $L^1$ 収束が従い、$c=v_\Omega=\lim(v_k)_\Omega=0$ である。しかし $\|v\|_p=\lim\|v_k\|_p=1$ なので矛盾する。$\square$