Hilbertの第17問題

$C[a]$ が和と積で閉じ、平方を含むことは、$C$ がそうであることと $a^2=a^2\cdot1$、$(x+ay)(x'+ay')=(xx'+a^2yy')+a(xy'+x'y)$ から分かる（$a^2\in C$ を使う）。$x=x+a\cdot0$、$a=0+a\cdot1$ なので $C\cup\{a\}\subset C[a]$ である。$-1=x+ay$（$x,y\in C$）とする。$y=0$ なら $-1=x\in C$ となり、$C$ が真であることに反する。$y\ne0$ なら
$$ -a=\frac{1+x}{y}=(1+x)\,y\,\Bigl(\frac1y\Bigr)^2\in C $$
となって仮定に反する。よって $-1\notin C[a]$ である。$\square$

$a\notin\Sigma F^2$ なので、lem-hilbert17-cone-extension を $C=\Sigma F^2$ と $-a$ に使うと、$C_0:=\Sigma F^2[-a]$ は $-a$ を含む真の錐である。$C_0$ を含む真の錐の全体を包含で順序づける。空でない鎖の和集合はまた $C_0$ を含む真の錐であり（和・積・$-1\notin$ は、有限個の元が鎖の 1 つの元にそろって入ることから確かめられる）、空の鎖は $C_0$ を上界にもつので、Zornの補題 により極大な元 $P$ がある。
$P\cup(-P)=F$ である。実際 $b\in F$ で $-b\notin P$ なら、lem-hilbert17-cone-extension により $P[b]$ は $P$ を含む真の錐なので、極大性から $P[b]=P$ であり、$b\in P$ である。$P\cap(-P)=\{0\}$ である。実際 $0\ne c\in P\cap(-P)$ なら $-1=(-c)\cdot c\cdot(1/c)^2\in P$ となる。
そこで $P^{+}:=P\setminus\{0\}$ とおくと、$F$ の各元はちょうど 1 つの $P^{+}$、$\{0\}$、$-P^{+}$ に属する。$P^{+}$ は和と積で閉じる。$u,v\in P^{+}$ なら $u+v\in P$ で、$u+v=0$ なら $u=-v\in P\cap(-P)$ となるので $u+v\in P^{+}$ である。$uv\in P$ で、体には零因子がないので $uv\ne0$ である。よって $P^{+}$ は順序体 の定義「正の元の集合」の正錐であり、同記事の命題「順序と正錐の対応」により、$P^{+}$ を正の元の全体とする順序 $\le$ が $F$ を順序体にする。$-a\in C_0\subset P$ であり、$a\ne0$（$0$ は平方の和）なので $-a\in P^{+}$、すなわち $a<0$ である。$\square$

$F:=R(X)$ とおく。
$F$ は実体である。 $-1=\sum_ig_i^2$（$g_i\in F$）とし、共通の分母 $h\ne0$ を掛けて $-h^2=\sum_ih_i^2$（$h_i\in R[X]$）とする。$R$ は無限体なので、$0$ でない多項式 $h$ について $h(a)\ne0$ となる $a\in R^n$ がある（変数の個数についての帰納法で、1 変数の多項式の根が有限個であることから分かる）。代入すると $-h(a)^2=\sum_ih_i(a)^2$ の左辺は負、右辺は $0$ 以上で矛盾する。
背理法。 $f$ が平方の和でないとする。$0$ は平方の和なので $f\ne0$ である。thm-hilbert17-artin-schreier により、$F$ の順序 $\le$ で $f<0$ となるものがある。$f=p/q$（$p,q\in R[X]$、$q\ne0$）と書くと、$F$ で $q^2>0$ なので $pq=fq^2<0$ である。
$(F,\le)$ の実閉包 $R'$ をとる。$R$ の正の元は $R$ の $0$ でない平方なので、$F$ でも $R'$ でも正である。よって $R$ の順序は $R'$ の順序の制限であり、$R\subset R'$ は実閉体の拡大である。$R$ の元を係数とする文
$$ \Phi:\quad(\exists Y_1)\cdots(\exists Y_n)\ \Bigl(\neg\bigl(q(Y)=0\bigr)\wedge\bigl(-p(Y)q(Y)>0\bigr)\Bigr) $$
を考える。$R'$ では $Y_i=X_i\in F\subset R'$ とおくと、$q(X)=q\ne0$、$-p(X)q(X)=-pq>0$ なので、$\Phi$ は $R'$ で成り立つ。Tarski–Seidenberg の原理により、$\Phi$ は $R$ でも成り立つ。すなわち $q(a)\ne0$、$p(a)q(a)<0$ となる $a\in R^n$ がある。$f$ は $a$ で定義され、
$$ f(a)=\frac{p(a)}{q(a)}=\frac{p(a)q(a)}{q(a)^2}<0 $$
となって、$f$ が非負であることに反する。$\square$

$f=0$ なら $g=h=0$ でよいので、$f\ne0$ とする。実閉体 の命題「多項式の中間値の定理」の証明にあるとおり、$R[x]$ の既約多項式は 1 次式と、判別式の負のモニックな 2 次式の定数倍であり、
$$ f=u\prod_j(x-r_j)^{m_j}\prod_kq_k(x)\qquad(u\in R,\ u\ne0,\ r_j\in R\text{ は相異なる}) $$
と書ける。ここで $q_k(x)=x^2+\beta_kx+\gamma_k$、$\delta_k:=\gamma_k-\beta_k^2/4>0$ である。
重複度は偶数である。 ある $m:=m_j$ が奇数だとし、$r:=r_j$、$f=(x-r)^mg$（$g(r)\ne0$）とおく。$g$ の根は有限個なので、$\varepsilon>0$ を $[r-\varepsilon,r+\varepsilon]$ に $g$ の根がないようにとる。$g(r-\varepsilon)$ と $g(r+\varepsilon)$ の符号が違えば、同じ命題により間に $g$ の根があるので、両者の符号は等しい。一方 $m$ が奇数なので $(-\varepsilon)^m<0<\varepsilon^m$ であり、$f(r-\varepsilon)$ と $f(r+\varepsilon)$ は $0$ でなく符号が違う。これは $f\ge0$ に反する。
定数は正である。 $s:=\prod_j(x-r_j)^{m_j/2}$ とおくと $f=u\,s^2\prod_kq_k$ である。$f$ の根でない $a$ では $s(a)^2>0$、$q_k(a)=(a+\beta_k/2)^2+\delta_k>0$、$f(a)>0$ なので $u>0$ である。
平方 2 つの和にまとめる。 $u=(\sqrt u)^2+0^2$、$s^2=s^2+0^2$、$q_k=(x+\beta_k/2)^2+(\sqrt{\delta_k})^2$ はどれも $R[x]$ の元 2 つの平方の和である（実閉体の正の元は平方根をもつ）。2 つの平方の和の積は
$$ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 $$
により 2 つの平方の和なので、$f$ も $R[x]$ の 2 つの平方の和である。$\square$

1：両辺を展開して比べればよい。

• $x^6$：$s+t,s'+t'\le3$ で和が $(6,0)$ になるのは $(3,0)+(3,0)$ だけなので、$\sum_ih_i[3,0]^2=0$、すなわち $h_i[3,0]=0$ である。同様に $y^6$ から $h_i[0,3]=0$。
• $x^4$：和が $(4,0)$ になる組は $(2,0)+(2,0)$、$(3,0)+(1,0)$、$(1,0)+(3,0)$ だけで（$(4,0)$ は次数が $3$ を超える）、後の 2 つの係数は $0$ なので、$\sum_ih_i[2,0]^2=0$ から $h_i[2,0]=0$。同様に $h_i[0,2]=0$。
• $x^2$：和が $(2,0)$ になる組は $(1,0)+(1,0)$、$(2,0)+(0,0)$、$(0,0)+(2,0)$ で、後の 2 つは $0$ なので $h_i[1,0]=0$。同様に $h_i[0,1]=0$。
  よって各 $h_i$ は $1,xy,x^2y,xy^2$ の 1 次結合である。この 4 つの単項式のうち 2 つ（同じものでもよい）の指数の和が $(2,2)$ になるのは $(1,1)+(1,1)$ だけなので、$\sum_ih_i^2$ の $x^2y^2$ の係数は $\sum_ih_i[1,1]^2\ge0$ である。これは $M$ の $x^2y^2$ の係数 $-3$ に反する。$\square$