Hodge構造

$T=V/\Lambda$ から始める。$V$ は可縮なので $H_1(T,\mathbb{Z})=\pi_1(T)=\Lambda$ であり（基本群）、$\Lambda\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{R}=V$ から $\Lambda\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{C}=V\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$ である。$\varphi$ は $\mathbb{C}$ 線型で全射（$v\otimes1\mapsto v$）なので $\dim_{\mathbb{C}}\ker\varphi=2g-g=g$ である。$\sigma(v\otimes z):=v\otimes\bar z$ を第2因子の共役から定まる反線型な対合とし、$\psi:=\varphi\circ\sigma$、すなわち $\psi(v\otimes z)=\bar z v$ とおくと $\ker\psi=\sigma(\ker\varphi)$ である。$x=\sum_jv_j\otimes z_j\in\ker\varphi\cap\ker\psi$ をとり $z_j=a_j+ib_j$（$a_j,b_j\in\mathbb{R}$）と書くと、$\sum_jz_jv_j=0$ と $\sum_j\bar{z}_jv_j=0$ の和と差から $\sum_ja_jv_j=0$、$\sum_jb_jv_j=0$ であり、$\otimes_{\mathbb{R}}$ の双線型性から $x=\Big(\sum_ja_jv_j\Big)\otimes1+\Big(\sum_jb_jv_j\Big)\otimes i=0$ となる。よって次元を数えて $H_1(T,\mathbb{C})=\ker\psi\oplus\ker\varphi$ であり、$H^{-1,0}:=\ker\psi$、$H^{0,-1}:=\ker\varphi$ は Hodge 対称性を満たす重さ $-1$ の Hodge 構造を与える。$\varphi$ が同型 $H_1(T,\mathbb{C})/H^{0,-1}\cong V$ を誘導することは全射性と核の定義による。

逆に $H$ から始める。$x\in H_{\mathbb{R}}\cap H^{0,-1}$ なら $x=\bar{x}\in H^{-1,0}\cap H^{0,-1}=0$ なので $\iota$ は単射であり、$g:=h^{-1,0}=h^{0,-1}$ とおくと $\dim_{\mathbb{R}}H_{\mathbb{R}}=\operatorname{rank}H_{\mathbb{Z}}=2g=2\dim_{\mathbb{C}}H^{-1,0}=\dim_{\mathbb{R}}V_H$ なので $\iota$ は $\mathbb{R}$ 線型同型で、$\iota(H_{\mathbb{Z}})$ は $V_H$ を $\mathbb{R}$ 上張る階数 $2g$ の離散部分群、すなわち格子である。

2 つの構成が互いに逆であること：$T=V/\Lambda$ から作った Hodge 構造では $\varphi$ が $V_H=H_1(T,\mathbb{C})/H^{0,-1}\cong V$ を与え、この同型のもとで $\iota$ は包含 $\Lambda\otimes\mathbb{R}=V$ に一致するので $T_H\cong T$ である。逆に $H$ から作った $T_H$ に対し、$\iota$ による同一視 $H_{\mathbb{C}}=V_H\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$ のもとで $\varphi(y\otimes1+w\otimes i)=\iota(y)+i\iota(w)$（$y,w\in H_{\mathbb{R}}$）は、$\mathbb{C}$ 線型な商写像 $H_{\mathbb{C}}\to H_{\mathbb{C}}/H^{0,-1}=V_H$ に一致する。したがって $\ker\varphi=H^{0,-1}$ であり、もとの Hodge 構造に戻る。

射について。複素トーラスの正則な群準同型 $f\colon V/\Lambda\to V'/\Lambda'$ は、$F(\Lambda)\subset\Lambda'$ を満たす $\mathbb{C}$ 線型写像 $F\colon V\to V'$ にただ 1 通りに持ち上がる（BL04 Proposition 1.2.1）。$\varphi'\circ(F\otimes\mathrm{id}_{\mathbb{C}})=F\circ\varphi$ から $F\otimes\mathrm{id}$ は $\ker\varphi$ を $\ker\varphi'$ に写し、複素共役をとって $\ker\psi$ を $\ker\psi'$ に写すので、$F|_{\Lambda}\colon\Lambda\to\Lambda'$ は Hodge 構造の射である。逆に Hodge 構造の射 $u\colon H_{\mathbb{Z}}\to H'_{\mathbb{Z}}$ は $u_{\mathbb{C}}(H^{0,-1})\subset H'^{0,-1}$ を満たすので $\mathbb{C}$ 線型写像 $V_H\to V_{H'}$ を誘導し、それは $\iota(H_{\mathbb{Z}})$ を $\iota'(H'_{\mathbb{Z}})$ に写すから複素トーラスの準同型 $T_H\to T_{H'}$ を定める。2 つの対応は互いに逆なので関手は充満忠実であり、上で示した本質的全射性と合わせて圏同値である。

射の合成は射であり、$\operatorname{Hom}(H,H')$ は $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(H_{\mathbb{Z}},H'_{\mathbb{Z}})$ の部分群で合成は双線型、零対象は $H_{\mathbb{Z}}=0$、直和 $H\oplus H'$ は $(H\oplus H')_{\mathbb{Z}}=H_{\mathbb{Z}}\oplus H'_{\mathbb{Z}}$、$(H\oplus H')^{p,q}=H^{p,q}\oplus H'^{p,q}$ で定まる双積である。よって $\mathrm{HS}_{\mathbb{Z}}$ は加法圏である。

$f\colon H\to H'$ を射とする。$f_{\mathbb{C}}$ は $H^{p,q}$ を $H'^{p,q}$ に写すので、制限 $f^{p,q}\colon H^{p,q}\to H'^{p,q}$ により $f_{\mathbb{C}}=\bigoplus_{p,q}f^{p,q}$ と直和に分解し、また $f_{\mathbb{C}}=f\otimes\mathrm{id}$ は複素共役と可換である。

核：$K_{\mathbb{Z}}:=\ker f$ とおく。$\mathbb{C}$ は $\mathbb{Z}$ 上平坦（平坦加群）なので $K_{\mathbb{Z}}\otimes\mathbb{C}=\ker f_{\mathbb{C}}=\bigoplus_{p,q}\ker f^{p,q}$ であり、$K^{p,q}:=\ker f^{p,q}$ とおくと、$f_{\mathbb{C}}$ が複素共役と可換なことから $\overline{K^{p,q}}=K^{q,p}$ である（重さごとの部分が $\mathbb{Q}$ 上定義されることは、$f_{\mathbb{Q}}$ が各 $W_n$ を $W'_n$ に写すことから同様に従う）。よって $K$ は $H$ の部分 Hodge 構造であり、$g\colon H''\to H$ が $f\circ g=0$ を満たせば $g$ は群として $K_{\mathbb{Z}}$ を通り、$g_{\mathbb{C}}$ が型を保つので $K$ への射になる。すなわち包含 $K\to H$ は圏論的な核である。

余核：$C_{\mathbb{Z}}:=H'_{\mathbb{Z}}/f(H_{\mathbb{Z}})$ とおくと、テンソル積の右完全性から $C_{\mathbb{Z}}\otimes\mathbb{C}=H'_{\mathbb{C}}/f_{\mathbb{C}}(H_{\mathbb{C}})=\bigoplus_{p,q}H'^{p,q}/f^{p,q}(H^{p,q})$ であり、$C^{p,q}:=H'^{p,q}/f^{p,q}(H^{p,q})$ が Hodge 対称性と重さの条件を満たすことは核の場合と同様である。商写像 $H'\to C$ が圏論的な余核であることも同様に確かめられる。

像と余像：$f(H_{\mathbb{Z}})\subset H'_{\mathbb{Z}}$ は $f(H_{\mathbb{Z}})\otimes\mathbb{C}=f_{\mathbb{C}}(H_{\mathbb{C}})=\bigoplus f^{p,q}(H^{p,q})$（平坦性）により $H'$ の部分 Hodge 構造であり、$H_{\mathbb{Z}}/K_{\mathbb{Z}}$ は $K\to H$ の余核である。群の準同型定理による全単射 $u\colon H_{\mathbb{Z}}/K_{\mathbb{Z}}\to f(H_{\mathbb{Z}})$ は型を保つ射で、$(u^{-1})_{\mathbb{C}}=(u_{\mathbb{C}})^{-1}=\bigoplus(u^{p,q})^{-1}$ も型を保つので $u^{-1}$ も射である。よって余像から像への標準的な射は同型であり、$\mathrm{HS}_{\mathbb{Z}}$ はアーベル圏である。

強さ：$f^{p,q}(H^{p,q})\subset H'^{p,q}$ なので $f_{\mathbb{C}}(H_{\mathbb{C}})\cap H'^{p,q}=f^{p,q}(H^{p,q})$ であり、 $F^pH'_{\mathbb{C}}\cap f_{\mathbb{C}}(H_{\mathbb{C}})=\bigoplus_{p'\ge p}f^{p',q'}(H^{p',q'})=f_{\mathbb{C}}\Big(\bigoplus_{p'\ge p}H^{p',q'}\Big)=f_{\mathbb{C}}(F^pH_{\mathbb{C}})$ である。$\mathrm{HS}_{\mathbb{Q}}$ の場合は $\mathbb{Z}$ を $\mathbb{Q}$ に置き換えれば同じ議論が通る。

1. $(H_{\mathbb{Z}}\otimes_{\mathbb{Z}}H'_{\mathbb{Z}})\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{C}\cong H_{\mathbb{C}}\otimes_{\mathbb{C}}H'_{\mathbb{C}}$ であり、この同一視のもとで複素共役は $x\otimes y\mapsto\bar{x}\otimes\bar{y}$ である（両辺とも $(a\otimes b)\otimes z\mapsto(a\otimes b)\otimes\bar{z}$ を与える）。テンソル積は直和と交換するので $H_{\mathbb{C}}\otimes H'_{\mathbb{C}}=\bigoplus_{p_1,q_1,p_2,q_2}H^{p_1,q_1}\otimes H'^{p_2,q_2}$ であり、これを $(p,q)=(p_1+p_2,q_1+q_2)$ でまとめたものが定義の分解である。$p_1+q_1=n$、$p_2+q_2=m$ から $p+q=n+m$ である。Hodge 対称性は $\overline{H^{p_1,q_1}\otimes H'^{p_2,q_2}}=H^{q_1,p_1}\otimes H'^{q_2,p_2}$ から従う。

2. $H_{\mathbb{Z}}$ の捩れ部分を $T$ とすると $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(H_{\mathbb{Z}},\mathbb{Z})=\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(H_{\mathbb{Z}}/T,\mathbb{Z})$ で $H_{\mathbb{Z}}/T$ は有限階数の自由アーベル群、$H_{\mathbb{C}}=(H_{\mathbb{Z}}/T)\otimes\mathbb{C}$ なので $(H^\vee)_{\mathbb{C}}=\operatorname{Hom}_{\mathbb{C}}(H_{\mathbb{C}},\mathbb{C})$ であり、複素共役は $\bar{\lambda}(x)=\overline{\lambda(\bar{x})}$ である。直和の双対は双対の直和なので $\operatorname{Hom}_{\mathbb{C}}(H_{\mathbb{C}},\mathbb{C})=\bigoplus_{p,q}(H^\vee)^{p,q}$ であり、$(H^\vee)^{p,q}\cong(H^{-p,-q})^*$ が $0$ でないのは $-p-q=n$ のときだけなので重さは $-n$ である。$\lambda\in(H^\vee)^{p,q}$ なら、$\bar{\lambda}$ が $H^{p',q'}$ 上で $0$ でないのは $\overline{H^{p',q'}}=H^{q',p'}$ が $H^{-p,-q}$ のとき、すなわち $(p',q')=(-q,-p)$ のときに限るので $\bar{\lambda}\in(H^\vee)^{q,p}$ であり、Hodge 対称性が成り立つ。

3. 重さは 1 と 2 から $m-n$ である。$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(H_{\mathbb{Z}},H'_{\mathbb{Z}})\otimes\mathbb{C}=\operatorname{Hom}_{\mathbb{C}}(H_{\mathbb{C}},H'_{\mathbb{C}})=(H^\vee\otimes H')_{\mathbb{C}}$ の型 $(0,0)$ の成分は、1 と 2 により $\bigoplus_{p,q}\operatorname{Hom}_{\mathbb{C}}(H^{p,q},H'^{p,q})$、すなわち型を保つ線型写像の全体である。よって $f\in\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(H_{\mathbb{Z}},H'_{\mathbb{Z}})$ が型 $(0,0)$ であることと $f$ が射であることは同値である。Tate 構造については、$(2\pi i)^n\mathbb{Z}\otimes(2\pi i)^m\mathbb{Z}\to(2\pi i)^{n+m}\mathbb{Z}$、$x\otimes y\mapsto xy$ が格子の同型で、型 $(-n,-n)\otimes(-m,-m)=(-n-m,-n-m)$ であり、$\operatorname{Hom}((2\pi i)^n\mathbb{Z},\mathbb{Z})\cong(2\pi i)^{-n}\mathbb{Z}$（$\lambda\mapsto\lambda((2\pi i)^n)(2\pi i)^{-n}$）が型 $(n,n)$ であることから従う。

$C$ を Weil 作用素とし、$x\in H_{\mathbb{C}}$ を $x=\sum x^{p,q}$ と分解する。条件 1 から $Q(Cx,\bar{x})=\sum_{p,q}i^{p-q}Q(x^{p,q},\overline{x^{p,q}})$ であり（$\overline{x^{p',q'}}\in H^{q',p'}$ と $x^{p,q}$ の組は $(q',p')=(q,p)$ のときだけ寄与する）、条件 2 から $x\ne0$ なら $Q(Cx,\bar{x})>0$ である。

$W^\perp$ が部分 Hodge 構造であること：$W_{\mathbb{Q}}$ の基底を選ぶと $W^\perp$ は $H_{\mathbb{Q}}\to\mathbb{Q}^m$ の核なので、$(W^\perp)_{\mathbb{C}}=\{y\in H_{\mathbb{C}}\mid Q(W_{\mathbb{C}},y)=0\}$ である。$W_{\mathbb{C}}=\bigoplus W^{p,q}$（$W^{p,q}=W_{\mathbb{C}}\cap H^{p,q}$）なので、$y=\sum y^{p',q'}$ が $(W^\perp)_{\mathbb{C}}$ に属することは、すべての $(p,q)$ について $Q(W^{p,q},y)=0$ となることと同値であり、条件 1 により $Q(W^{p,q},y)=Q(W^{p,q},y^{q,p})$ である。一方、条件 1 により $Q(W^{p',q'},y^{q,p})=0$ が $(p',q')\ne(p,q)$ について自動的に成り立つので、$y\in(W^\perp)_{\mathbb{C}}$ ならば各成分 $y^{q,p}$ も $(W^\perp)_{\mathbb{C}}$ に属する。よって $(W^\perp)_{\mathbb{C}}=\bigoplus_{p,q}((W^\perp)_{\mathbb{C}}\cap H^{p,q})$ である。

$W\cap W^\perp=0$ であること：$x\in W_{\mathbb{C}}\cap(W^\perp)_{\mathbb{C}}$ とする。$W_{\mathbb{C}}$ と $(W^\perp)_{\mathbb{C}}$ は $\mathbb{Q}$ 上定義されるので複素共役で保たれ、Hodge 成分の直和なので $C$ で保たれる。よって $Cx\in W_{\mathbb{C}}$、$\bar{x}\in(W^\perp)_{\mathbb{C}}$ であり、$Q(Cx,\bar{x})=0$ である。上の正値性から $x=0$ である。

直和であること：$W^\perp$ は $H_{\mathbb{Q}}\to\operatorname{Hom}(W_{\mathbb{Q}},\mathbb{Q})$ の核なので $\dim W^\perp\ge\dim H_{\mathbb{Q}}-\dim W_{\mathbb{Q}}$ であり、$W\cap W^\perp=0$ と合わせて $H_{\mathbb{Q}}=W_{\mathbb{Q}}\oplus(W^\perp)_{\mathbb{Q}}$ である。両者は部分 Hodge 構造なので $W^{p,q}\oplus(W^\perp)^{p,q}\subset H^{p,q}$ であり、すべての $(p,q)$ について和をとると $H_{\mathbb{C}}$ 全体になるから、次元を比べて各 $(p,q)$ で等号が成り立ち、$H=W\oplus W^\perp$ は Hodge 構造の直和である。$Q$ を $W$、$W^\perp$ に制限したものは再び偏極である（条件 1・2 は部分空間に遺伝する）。

半単純性：$\dim H_{\mathbb{Q}}$ に関する帰納法で、偏極可能な $H\ne0$ が単純対象の有限直和であることを示す。$H$ が $0$ と $H$ 以外の部分 Hodge 構造をもたなければ $H$ は単純である。そうでなければ $0\ne W\ne H$ をとり、$H=W\oplus W^\perp$ で両者は次元がより小さい偏極可能な Hodge 構造なので帰納法の仮定が使える。また、偏極可能な Hodge 構造の部分 Hodge 構造と商（直和因子に同型）は偏極可能なので、この充満部分圏は核と余核で閉じたアーベル圏である。