柏原の結晶基底

$1\le k\le l$ では $[l-k+1]\ne0$ なので $eu_k\ne0$ である。$e$ はウェイト空間 $Ku_k$ を $Ku_{k-1}$ に送るので、$\operatorname{Ker}e$ はウェイト $l$ の空間 $Ku_0$ に一致する。よって分解は $V(l)=\bigoplus_{0\le n\le l}Kf^{(n)}u_0$ で、$f^{(n)}u_0=u_n$ である。定義から $\tilde fu_n=\tilde f(f^{(n)}u_0)=f^{(n+1)}u_0=u_{n+1}$（$n=l$ では $f^{(l+1)}u_0=0$）、$\tilde eu_n=f^{(n-1)}u_0=u_{n-1}$ である。$\square$

1：$u_0,\dots,u_l$ は $V(l)$ の $K$ 基底なので、$L(l)$ は階数 $l+1$ の自由 $A$ 加群で $K\otimes_AL(l)\cong V(l)$ である。2：$L(l)/qL(l)=\bigoplus\mathbb{Q}b_k$ なので $\{b_k\}$ は基底である。3・4：lem-cb-vl により $\tilde eu_k=u_{k-1}$、$\tilde fu_k=u_{k+1}$ はどちらも $L(l)$ に入り、像は $b_{k\mp1}$ か $0$ である。5：$u_k$ は $t$ の固有値 $q^{l-2k}$（ウェイト $l-2k$）の固有ベクトルなので、$L(l)_{l-2k}=Au_k$ である。6：$\tilde fb_k=b_{k+1}$ と $\tilde eb_{k+1}=b_k$（$0\le k< l$）がちょうど対応し、ほかの組では両辺とも成り立たない。$\varepsilon,\varphi$ の値は鎖の上の位置から読める。$\square$

$V(1)$ では $tu_0=qu_0$、$tu_1=q^{-1}u_1$、$eu_1=u_0$、$fu_0=u_1$、$eu_0=fu_1=0$ である。余積から $e(x\otimes y)=ex\otimes t^{-1}y+x\otimes ey$、$f(x\otimes y)=fx\otimes y+tx\otimes fy$ である。

$v=u_0\otimes u_0$ はウェイト $2$ で $ev=0$ である。$f^{(1)}v=fv=u_1\otimes u_0+q\,u_0\otimes u_1$、$f(f^{(1)}v)=q^{-1}u_1\otimes u_1+q\,u_1\otimes u_1=[2]\,u_1\otimes u_1$ なので $f^{(2)}v=u_1\otimes u_1$ である。ウェイト $0$ の空間で $e(u_0\otimes u_1)=u_0\otimes u_0$、$e(u_1\otimes u_0)=q^{-1}u_0\otimes u_0$ なので、$w=u_0\otimes u_1-q\,u_1\otimes u_0$ は $ew=0$ を満たし、$\operatorname{Ker}e$ のウェイト $0$ の部分を張る。

分解は $V(1)\otimes V(1)=Kv\oplus Kf^{(1)}v\oplus Kf^{(2)}v\oplus Kw$ で、柏原作用素は $\tilde fv=f^{(1)}v$、$\tilde f(f^{(1)}v)=f^{(2)}v$、$\tilde f(f^{(2)}v)=0$、$\tilde e(f^{(1)}v)=v$、$\tilde e(f^{(2)}v)=f^{(1)}v$、$\tilde ev=0$、$\tilde ew=\tilde fw=0$（$\langle h,0\rangle=0$）と働く。直接の計算で $u_0\otimes u_1=\frac{1}{1+q^2}\bigl(q\,f^{(1)}v+w\bigr)$、$u_1\otimes u_0=\frac{1}{1+q^2}\bigl(f^{(1)}v-q\,w\bigr)$ である。したがって $\tilde f(u_0\otimes u_1)=\frac{q}{1+q^2}u_1\otimes u_1\in qL$、$\tilde f(u_1\otimes u_0)=\frac{1}{1+q^2}u_1\otimes u_1\equiv u_1\otimes u_1$、$\tilde e(u_0\otimes u_1)=\frac{q}{1+q^2}v\in qL$、$\tilde e(u_1\otimes u_0)=\frac{1}{1+q^2}v\equiv v$ である。さらに $\tilde fv=u_1\otimes u_0+q\,u_0\otimes u_1\equiv u_1\otimes u_0$、$\tilde e(u_1\otimes u_1)=f^{(1)}v\equiv u_1\otimes u_0$ である。$\frac{1}{1+q^2}\in A$ なので、どの像も $L$ に入る。

こうして def-cb-main の条件 1〜5 が成り立ち、上の表から条件 6 も読める（$b_0\otimes b_0\to b_1\otimes b_0\to b_1\otimes b_1$ が 1 本の鎖、$b_0\otimes b_1$ は孤立点）。規則 2 との一致：$V(1)$ では $\varepsilon(b_0)=0$、$\varphi(b_0)=1$、$\varepsilon(b_1)=1$、$\varphi(b_1)=0$ である。$\tilde f(b_0\otimes b_0)$ は $\varphi(b_0)=1>0=\varepsilon(b_0)$ なので $\tilde fb_0\otimes b_0=b_1\otimes b_0$、$\tilde f(b_1\otimes b_0)$ は $0\le0$ なので $b_1\otimes\tilde fb_0=b_1\otimes b_1$、$\tilde f(b_0\otimes b_1)$ は $1\le1$ なので $b_0\otimes\tilde fb_1=0$ である。$\tilde e$ についても、$\tilde e(b_0\otimes b_1)=\tilde eb_0\otimes b_1=0$（$1\ge1$）、$\tilde e(b_1\otimes b_0)=\tilde eb_1\otimes b_0=b_0\otimes b_0$（$0\ge0$）、$\tilde e(b_1\otimes b_1)=b_1\otimes\tilde eb_1=b_1\otimes b_0$（$0<1$）で一致する。$\square$

1：$b\in B(\lambda)$ は $b=\tilde f_{i_1}\cdots\tilde f_{i_l}u_\lambda$ と書けるので、$u_\lambda$ と矢印でつながり、$B(\lambda)$ は連結である。$V(\lambda)_{\lambda+\alpha_i}=0$ なので $\tilde e_iu_\lambda=0$ で、$u_\lambda$ は最高ウェイト元である。$b\ne u_\lambda$ ならウェイトを比べて $l\ge1$ であり、$b'=\tilde f_{i_2}\cdots\tilde f_{i_l}u_\lambda\in B(\lambda)$ について $b=\tilde f_{i_1}b'$ なので、def-cb-main の条件 6 から $\tilde e_{i_1}b=b'\ne0$ である。

2：thm-cb-uniqueness の同型で $B$ は $\bigsqcup_jB(\lambda_j)$ と同型な色つきグラフになる。1 により各 $B(\lambda_j)$ は 1 つの連結成分で、最高ウェイト元をちょうど 1 つ（ウェイト $\lambda_j$）もつ。$\square$

$\varphi_i(b_1)<\varepsilon_i(b_2)$ なら $\varepsilon_i(b_2)\ge1$ なので $\tilde e_ib_2\ne0$ で、$\tilde e_i(b_1\otimes b_2)=b_1\otimes\tilde e_ib_2\ne0$ である。$\varphi_i(b_1)\ge\varepsilon_i(b_2)$ なら $\tilde e_i(b_1\otimes b_2)=\tilde e_ib_1\otimes b_2$ で、これが $0$ であることは $\tilde e_ib_1=0$ と同値である。$\square$

$V(\lambda)\otimes V(\mu)$ は $\mathcal{O}_{\mathrm{int}}$ の対象である（ウェイトは $\lambda+\mu$ から単純ルートの非負整数結合を引いた形で、$\Delta(e_i),\Delta(f_i),\Delta(t_i)$ は $U_q(\mathfrak{g})_i\otimes U_q(\mathfrak{g})_i$ に入るので、有限次元の $U_q(\mathfrak{g})_i$ 部分表現のテンソル積はまた有限次元の部分表現である）。thm-cb-existence と thm-cb-tensor により $(L(\lambda)\otimes L(\mu),B(\lambda)\otimes B(\mu))$ はその結晶基底である。lem-cb-hw により $b_1\otimes b$ が最高ウェイト元であることは、すべての $i$ で $\tilde e_ib_1=0$ かつ $\varepsilon_i(b)\le\varphi_i(b_1)$ であることと同値である。cor-cb-components の 1 から前半は $b_1=u_\lambda$ と同値で、このとき $\varphi_i(u_\lambda)=\varepsilon_i(u_\lambda)+\langle h_i,\lambda\rangle=\langle h_i,\lambda\rangle$ である。ウェイトは $\lambda+\mathrm{wt}(b)$ なので、cor-cb-components の 2 から主張が従う。$\square$

$B(1)^{\otimes N}=B(1)^{\otimes(N-1)}\otimes B(1)$ とみる（結合性による）。$N=1$ は prop-cb-vl で $l=1$ とした場合である。$c$ について主張が正しく、$c$ の残りが「）」$s$ 個と「（」$r$ 個とする。$\langle h,\mathrm{wt}(c)\rangle=r-s$ である。

$x=b_0$（$\varepsilon=0$、$\varphi=1$）の場合：右端に「（」を足しても組は増えないので、残りは $s$ 個と $r+1$ 個である。$\varepsilon(b)=\max(s,0-(r-s))=s$、$\varphi(b)=\max(r+1,1)=r+1$ である。$\tilde f$：$r>0$ なら $\varphi(c)>\varepsilon(x)$ で $\tilde fc\otimes x$、すなわち $c$ の残った最も左の「（」を替える。$r=0$ なら $c\otimes\tilde fx$ で、残った最も左の「（」は $x$ 自身である。$\tilde e$：常に $\varphi(c)\ge0=\varepsilon(x)$ なので $\tilde ec\otimes x$ で、残った「）」はすべて $c$ の中にある。

$x=b_1$（$\varepsilon=1$、$\varphi=0$）の場合：$r\ge1$ なら $x$ は $c$ の残った最も右の「（」と組になり、残りは $s$ 個と $r-1$ 個である。$r=0$ なら $x$ は残り、$s+1$ 個と $0$ 個である。$\varepsilon(b)=\max(s,1-(r-s))$ は $r\ge1$ で $s$、$r=0$ で $s+1$、$\varphi(b)=\max(r-1,0)$ で、どちらも主張と一致する。$\tilde f$：$r\ge2$ なら $\tilde fc\otimes x$ で、残った最も左の「（」は $c$ のものと同じである。$r\le1$ なら $c\otimes\tilde fx=0$ で、実際 $b$ に「（」は残らない。$\tilde e$：$r\ge1$ なら $\tilde ec\otimes x$ で、$x$ は組になっているので残った「）」は $c$ のものだけである。$r=0$ なら $c\otimes\tilde ex$ で、残った最も右の「）」は $x$ である。$\square$

thm-cb-tensor を繰り返し使うと $B(1)^{\otimes N}$ は $V(1)^{\otimes N}$ の結晶基底の結晶であり、ウェイト $N-2k$ の元は「）」を $k$ 個含む列である。prop-cb-bracket により $\tilde eb=0$ は $s=0$、すなわちすべての「）」が組になることと同値である。

列の先頭 $j$ 文字の「（」の数から「）」の数を引いたものを $h(j)$ とする。ある $j$ で $h(j)<0$ なら、先頭 $j$ 文字の中の「）」は左側の「（」としか組にならないので、組にならない「）」がある。逆に $j$ 文字目の「）」が組にならなければ、それより左の「（」はすべてそれより左の「）」と組になっているので $h(j)<0$ である。

「）」が $k$ 個で、ある $j$ で $h(j)<0$ となる列について、$h(j)=-1$ となる最初の $j$ までの文字の「（」と「）」を入れ替える。先頭 $j$ 文字は「）」が「（」より 1 個多かったので、入れ替えた後の「）」は $k-1$ 個になる。逆に「）」が $k-1$ 個の任意の列では $h(N)=N-2k+2\ge2$ なので $h(j)=1$ となる最初の $j$ があり、そこまでを入れ替えると元に戻る。よって組にならない「）」をもつ列は $\binom N{k-1}$ 個で、求める個数は $\binom Nk-\binom N{k-1}$ である。$\square$