全体正規空間

空空間では空の開被覆を繰り返せばよい。非空の距離空間 $(X,d)$ と開被覆 $\mathcal{U}$ を取る。$d(x,\emptyset)=+\infty$ と約束し、
$$ \lambda(x):=\sup_{U\in\mathcal{U}}\min\{1,d(x,X\setminus U)\} $$
と置く。$\mathcal{U}$ が開被覆なので $\lambda(x)>0$ である。距離関数 $x\mapsto d(x,A)$ は $1$-Lipschitz（Lipschitz連続）であり、上限を取ってもこの性質が保たれるので、$|\lambda(x)-\lambda(y)|\leq d(x,y)$ である。
$\mathcal{V}:=\{B(x,\lambda(x)/8):x\in X\}$ と置く。$p\in X$ を固定し、
$$ \min\{1,d(p,X\setminus U_p)\}>\lambda(p)/2 $$
となる $U_p\in\mathcal{U}$ を取る。$p\in B(x,\lambda(x)/8)$ なら、Lipschitz 性から
$$ \lambda(x)<\frac{8}{7}\lambda(p) $$
である。同じ球に $z$ も属するなら
$$ d(p,z)<\frac{\lambda(x)}{4}<\frac{2}{7}\lambda(p)< d(p,X\setminus U_p) $$
なので $z\in U_p$ である。したがって $p$ を含む $\mathcal{V}$ の全成員の合併は $U_p$ に含まれ、$\mathcal{V}$ は $\mathcal{U}$ の開な $\Delta$ 細分である。この同じ構成を反復すれば、$\mathcal{U}$ から正規被覆の列を得る。距離空間は $T_1$ でもあるから全体正規空間である。$\square$

$A,B$ を互いに素な閉集合とする。$\{X\setminus A,X\setminus B\}$ は開被覆なので、その正規列の最初の $\Delta$ 細分 $\mathcal{V}$ を取る。
$$ O_A:=\bigcup\{V\in\mathcal{V}:V\cap A\neq\emptyset\},\qquad O_B:=\bigcup\{V\in\mathcal{V}:V\cap B\neq\emptyset\} $$
はそれぞれ $A,B$ を含む開集合である。もし $x\in O_A\cap O_B$ なら、$x$ を含み $A$ と交わる成員と、$x$ を含み $B$ と交わる成員が $\mathcal{V}$ に存在する。したがって $\operatorname{St}(x,\mathcal{V})$ は $X\setminus A$ にも $X\setminus B$ にも含まれず、$\Delta$ 細分の条件に反する。よって $O_A\cap O_B=\emptyset$ である。全体正規空間は $T_1$ なので、これは通常の正規空間の条件を与える。$\square$

1 $\Rightarrow$ 2 は Stone の定理の難しい向きであり、本記事では証明を割愛し、直後の rem-fully-normal-space-stone に出典を示す。以下では 2 $\Rightarrow$ 1 を示す。
$X$ をパラコンパクト Hausdorff 空間とし、$\mathcal{U}$ を $X$ の開被覆とする。$X$ は正規空間である（パラコンパクト空間 の記事の命題（正則性と正規性）。SemmesTopology §8.3.6 も参照）。パラコンパクト性により $\mathcal{U}$ は局所有限な開細分 $\{V_i\}_{i\in I}$ を持つ。正規空間の局所有限な開被覆は閉集合による縮小を持つ。すなわち各 $i\in I$ について閉集合 $F_i\subset V_i$ で、$\{F_i\}_{i\in I}$ が $X$ を覆うものが取れる（縮小補題。Engelking89 Theorem 1.5.18、SemmesTopology §§8.4.1–8.4.3）。
各 $x\in X$ に対し、局所有限性により $x$ の開近傍 $N_x$ で、$V_i\cap N_x\neq\emptyset$ となる $i$ が有限個しかないものを取る。$I_x:=\{i\in I:V_i\cap N_x\neq\emptyset\}$ は有限集合であり、$x\in F_i$ なら $x\in V_i\cap N_x$ だから $i\in I_x$ である。
$$ W_x:=N_x\cap\bigcap\{V_i:i\in I_x,\ x\in F_i\}\cap\bigcap\{X\setminus F_i:i\in I_x,\ x\notin F_i\} $$
と置く。有限個の開集合の共通部分なので $W_x$ は $x$ を含む開集合であり、$\mathcal{W}:=\{W_x:x\in X\}$ は $X$ の開被覆である。
$\mathcal{W}$ が $\{V_i\}_{i\in I}$ の $\Delta$ 細分であることを示す。$p\in X$ を取り、$p\in F_j$ となる $j\in I$ を選ぶ。$p\in W_x$ とすると、$p\in N_x\cap V_j$ なので $j\in I_x$ である。もし $x\notin F_j$ なら $W_x\subset X\setminus F_j$ となって $p\in F_j$ に反する。よって $x\in F_j$ であり、$W_x\subset V_j$ である。$x$ は $p\in W_x$ を満たす任意の点だったので $\operatorname{St}(p,\mathcal{W})\subset V_j$ であり、$V_j$ はある $U\in\mathcal{U}$ に含まれる。したがって $\mathcal{W}$ は $\mathcal{U}$ の開な $\Delta$ 細分である。
$\mathcal{W}$ も $X$ の開被覆なので、同じ構成を繰り返せば $\mathcal{U}$ から始まる $\Delta$ 細分の列が得られ、$\mathcal{U}$ は正規被覆である。Hausdorff 空間は $T_1$ なので、$X$ は全体正規空間である。$\square$