正規閉包

正規性により $E[x]$ で $m_{\alpha,K}=\prod_{k}(x-a_k)$（$a_k\in E$）と書ける。$\beta\in\Omega$ が $m_{\alpha,K}$ の根なら $\prod_k(\beta-a_k)=0$ であり、$\Omega$ は体なのである $k$ で $\beta=a_k\in E$ である。$\square$

1：$S\subset R_S$ なので $L=K(S)\subset N_S$ である。$N_S$ は $K$ 上代数的な元で生成されるので、$N_S/K$ は代数拡大である（体の拡大 の記事の系「代数的な元のなす部分体と推移性」）。
$N_S/K$ が正規であることを示す。$\beta\in N_S$ をとる。$K(R_S)$ は、$R_S$ の有限部分集合 $R_0$ についての $K(R_0)$ 全体の合併である（これらの合併は部分体であり、$K\cup R_S$ を含む）。よって $\beta\in K(R_0)$ となる有限集合 $R_0\subset R_S$ があり、$R_0$ の元がそれぞれ $m_{\alpha_1,K},\dots,m_{\alpha_k,K}$（$\alpha_j\in S$）のどれかの根になるように $\alpha_1,\dots,\alpha_k$ を選べる。$f:=\prod_{j=1}^km_{\alpha_j,K}$ とおく。各 $m_{\alpha_j,K}$ は $\Omega$ に根 $\alpha_j$ をもつので、$\Omega/K$ の正規性により $\Omega$ で分解し、$f$ も $\Omega$ で分解する。$f$ の $\Omega$ における根全体で $K$ 上生成される体を $F$ とすると、$F$ は $f$ の $K$ 上の分解体であり、$R_0\subset F\subset N_S$ である。$F/K$ は有限個の代数的な元で生成されるので有限次であり、正規拡大 の記事の定理「有限次正規拡大と多項式の分解体」により正規である。$\beta\in F$ なので、lem-normal-closure-roots により $m_{\beta,K}$ の $\Omega$ における根はすべて $F\subset N_S$ に属する。$m_{\beta,K}$ は $\beta\in\Omega$ を根にもつので $\Omega$ で分解し、その $1$ 次因子はすべて $N_S[x]$ に属する。よって $m_{\beta,K}$ は $N_S$ で分解し、$N_S/K$ は正規拡大である。
$L\subset E\subset\Omega$、$E/K$ 正規とする。$\alpha\in S$ は $E$ に属するので、lem-normal-closure-roots により $m_{\alpha,K}$ の $\Omega$ における根はすべて $E$ に属する。よって $R_S\subset E$、$N_S\subset E$ である。
2：まず $N_S$ は $L/K$ の正規閉包である。実際 1 により $N_S/K$ は正規で $L$ を含み、$L\subset E\subset N_S$、$E/K$ 正規なら 1 により $N_S\subset E$、すなわち $E=N_S$ である。次に $N'\subset\Omega$ を $L/K$ の任意の正規閉包とすると、1 により $N_S\subset N'$ であり、$N_S/K$ は正規で $L\subset N_S\subset N'$ なので、正規閉包の定義の 2 により $N_S=N'$ である。とくに $S$ を別の生成系 $S'$ に替えても $N_{S'}=N_S$ である。最後に、$N_S$ は $L\subset E\subset\Omega$、$E/K$ 正規となる $E$ の 1 つであり、1 によりそのすべてに含まれるので、それらの共通部分に等しい。$\square$

$\overline{L}$ を $L$ の代数閉包とすると、定義の節で見たとおり $\overline{L}/K$ は正規拡大である。
1：thm-normal-closure-conjugates を $\Omega=\overline{L}$ に適用すればよい。
2：$N$ を $L/K$ の正規閉包とする。$N/L$ は代数拡大（$N/K$ が代数拡大なので）であり、$\overline{L}$ は代数閉体なので、包含写像 $L\to\overline{L}$ は体の準同型 $\tau\colon N\to\overline{L}$ に延長できる（Lan02 Chapter V §2 の、代数拡大から代数閉体への準同型の延長定理）。$\tau$ は $L$ の元、とくに $K$ の元を動かさない単射である。$y=\tau(x)\in\tau(N)$ について、$\tau$ は $K$ 係数の多項式の値を保つので $m_{y,K}=m_{x,K}$ であり、$m_{x,K}$ の $N[x]$ での $1$ 次式への分解を $\tau$ で移すと $\tau(N)[x]$ での分解になる。よって $\tau(N)/K$ は正規である。$L\subset E\subset\tau(N)$、$E/K$ 正規なら、同じ理由で $\tau^{-1}(E)/K$ は正規で $L\subset\tau^{-1}(E)\subset N$ なので、$\tau^{-1}(E)=N$、$E=\tau(N)$ である。したがって $\tau(N)$ は $\overline{L}$ に含まれる $L/K$ の正規閉包であり、thm-normal-closure-conjugates の 2 により $\tau(N)=N_{\overline{L}}(L/K)$ である。$N=N_1,N_2$ に適用して得られる $L$ 上の同型 $\tau_i\colon N_i\to N_{\overline{L}}(L/K)$ について、$\tau_2^{-1}\circ\tau_1\colon N_1\to N_2$ が求める同型である。
3：$L=K(\alpha_1,\dots,\alpha_s)$ と有限個の元で書ける。2 により正規閉包は $N_{\overline{L}}(L/K)$ と同型であり、thm-normal-closure-conjugates によりこれは $\prod_jm_{\alpha_j,K}$ の有限個の根で $K$ 上生成されるので、有限次である。$\square$

$L=K(\alpha_1,\dots,\alpha_s)$ と書く。埋め込み $\sigma$ は $\alpha_j$ での値で決まり、$\sigma(\alpha_j)$ は $m_{\alpha_j,K}$ の $\Omega$ における根（有限個）なので、埋め込みは有限個である。$N:=N_\Omega(L/K)$、$C$ を $\sigma(L)$ 全体の合成体とする。
$C\subset N$：$\alpha\in L$ と埋め込み $\sigma$ について、$m_{\alpha,K}(\sigma(\alpha))=\sigma(m_{\alpha,K}(\alpha))=0$ なので、$\sigma(\alpha)$ は $m_{\alpha,K}$ の $\Omega$ における根であり、thm-normal-closure-conjugates（$S=L$ の場合）により $N$ に属する。よって各 $\sigma(L)\subset N$ であり、$C\subset N$ である。
$N\subset C$：thm-normal-closure-conjugates により、$\alpha\in L$ と $m_{\alpha,K}$ の $\Omega$ における根 $\beta$ について $\beta\in C$ を示せばよい。$S:=\{\alpha,\alpha_1,\dots,\alpha_s\}$、$f:=m_{\alpha,K}\prod_jm_{\alpha_j,K}$ とおくと、thm-normal-closure-conjugates により $N=N_S$ は $f$ の $\Omega$ における根で $K$ 上生成され、$f$ の $K$ 上の分解体である。$N$ は $f$ の根で $K(\alpha)$ 上にも $K(\beta)$ 上にも生成されるので、$f$ の $K(\alpha)$ 上の分解体でも $K(\beta)$ 上の分解体でもある。Galois拡大 の記事の補題「単純拡大への同型の延長」により、$\alpha$ を $\beta$ に送る $K$ 上の同型 $\sigma_1\colon K(\alpha)\to K(\beta)$ がある。$f$ の係数は $K$ に属するので $\sigma_1$ で動かず、分解体 の記事の定理「分解体の同型の延長」により $\sigma_1$ は同型 $\tau\colon N\to N$ に延長される。$\sigma:=\tau|_L$ は $L$ の $K$ 上の埋め込みで $\sigma(\alpha)=\beta$ なので、$\beta\in\sigma(L)\subset C$ である。$\square$

1：原始元定理により $L=K(\theta)$ となる $\theta\in L$ がある。thm-normal-closure-conjugates を $S=\{\theta\}$ に適用すると、$N$ は $m_{\theta,K}$ の $\Omega$ における根で $K$ 上生成され、$m_{\theta,K}$ は $\Omega$ で分解するので、$N$ は $m_{\theta,K}$ の $K$ 上の分解体である。$L/K$ は分離的なので $\theta$ は分離的であり、$m_{\theta,K}$ は重根をもたない（分離多項式）。したがって $N$ は分離多項式の分解体であり、Galois拡大 の記事の定理「有限次Galois拡大の特徴づけ」の 4 ⇒ 1 により $N/K$ は有限次 Galois 拡大である。$\deg m_{\theta,K}=[K(\theta):K]=n$ で、根 $\theta_1,\dots,\theta_n$ は相異なる。
2：$\sigma\in\operatorname{Gal}(N/K)$ について $m_{\theta,K}(\sigma(\theta_i))=\sigma(m_{\theta,K}(\theta_i))=0$ なので $\sigma(\theta_i)$ はある $\theta_j$ に等しい。$\sigma$ は単射なので根の集合 $\{\theta_1,\dots,\theta_n\}$ の置換を引き起こし、$\sigma$ にこの置換を対応させる写像 $\operatorname{Gal}(N/K)\to S_n$ は群準同型である。$N=K(\theta_1,\dots,\theta_n)$ なので $\sigma$ は根での値で決まり、この準同型は単射である。よって $\operatorname{Gal}(N/K)$ は $S_n$ の部分群と同型であり、同じ特徴づけにより $|\operatorname{Gal}(N/K)|=[N:K]$ なので、Lagrangeの定理により $[N:K]$ は $|S_n|=n!$ を割り切る。
3：$N/K$ は有限次正規拡大で、$\theta_i,\theta_j$ は同じ既約多項式 $m_{\theta,K}$ の $N$ における根なので、正規拡大 の記事の命題「共役への自己同型の存在」により $\sigma(\theta_i)=\theta_j$ となる $\sigma\in\operatorname{Gal}(N/K)$ がある。$\square$

$M/K$ は正規なので、thm-normal-closure-embeddings を $\Omega=M$ に適用できる。$L$ の $K$ 上の埋め込み $\sigma\colon L\to M$ は $G$ の元の制限である。実際、正規拡大 の記事の定理「有限次正規拡大と多項式の分解体」により $M$ はある $f\in K[x]$ の $K$ 上の分解体であり、$M$ は $f$ の根で $L$ 上にも $\sigma(L)$ 上にも生成されるので、$f$ の $L$ 上の分解体でも $\sigma(L)$ 上の分解体でもある。分解体 の記事の定理「分解体の同型の延長」を同型 $\sigma\colon L\to\sigma(L)$ と $f$ に適用すると、$\sigma$ は同型 $g\colon M\to M$ に延び、$g$ は $K$ を動かさないので $g\in G$ である。逆に $g\in G$ の $L$ への制限は埋め込みである。よって $N$ は $g(L)$（$g\in G$）全体の合成体である。
Galois理論 の記事の定理「Galois理論の基本定理」の 3 により $\operatorname{Gal}(M/g(L))=gHg^{-1}$ である。$\tau\in G$ が有限個の中間体 $g(L)$ の合成体の元をすべて固定することは、各 $g(L)$ の元をすべて固定することと同値である（$\tau$ が固定する元全体は部分体である）。したがって $\operatorname{Gal}(M/N)=\bigcap_{g}gHg^{-1}=C$ であり、基本定理の 1 により $N=M^{\operatorname{Gal}(M/N)}=M^C$ である。
$C\subset H$ は明らかである（$g=e$ の項）。$h\in G$ について $hCh^{-1}=\bigcap_g(hg)H(hg)^{-1}=C$（$g\mapsto hg$ は $G$ の全単射）なので $C$ は正規部分群である。$C'\subset H$ が $G$ の正規部分群なら、すべての $g$ で $C'=gC'g^{-1}\subset gHg^{-1}$ なので $C'\subset C$ である。$N/K$ は正規で、Galois 拡大 $M/K$ の中間体なので分離的でもあり、Galois 拡大である。基本定理の 4 により制限写像は同型 $G/\operatorname{Gal}(M/N)\cong\operatorname{Gal}(N/K)$、すなわち $G/C\cong\operatorname{Gal}(N/K)$ を与える。$\square$