準トポス

1：$m$ を $g,h\colon B\to C$ の等化子とし、エピ射 $e$ と $m\circ u=v\circ e$ をとる。$g\circ v\circ e=g\circ m\circ u=h\circ m\circ u=h\circ v\circ e$ で $e$ はエピ射なので $g\circ v=h\circ v$ であり、$v=m\circ d$ となる $d$ がある。$m\circ d\circ e=v\circ e=m\circ u$ と $m$ がモノ射であることから $d\circ e=u$。
2：$m\colon A\rightarrowtail B$、$m'\colon B\rightarrowtail C$ を強いモノ射、$m'\circ m\circ u=v\circ e$ とする。$m'$ が強いので $d'\circ e=m\circ u$、$m'\circ d'=v$ となる $d'\colon Y\to B$ があり、$m$ が強いので $d\circ e=u$、$m\circ d=d'$ となる $d$ がある。$m'\circ m\circ d=v$ である。
3：1 により正則なら強い。$m\colon A\rightarrowtail B$ が強いとし、$\chi$ をその分類射とする。$x\colon X\to B$ について、$\chi\circ x=t\circ!_B\circ x$ であることは $\chi\circ x$ が $t$ を経由することと同値であり（$X\to1$ はただ 1 つ）、引き戻しの性質からそれは $x$ が $m$ を経由することと同値である。よって $m$ は $\chi$ と $t\circ!_B$ の等化子である。$\square$

$f$ と $f$ の押し出しを $p,q\colon B\to B'$ とし（有限余極限による）、$r\colon I\rightarrowtail B$ を $p,q$ の等化子とする。$p\circ f=q\circ f$ なので $f=r\circ e$ となる $e\colon A\to I$ がある。
$e$ がエピ射であることを示す。$u,v\colon I\to C$ が $u\circ e=v\circ e$ をみたすとし、$k\colon K\rightarrowtail I$ を $u,v$ の等化子とすると、$e=k\circ e'$ となる $e'$ がある。$r\circ k$ は正則モノ射の合成なので、prop-qt-strong-regular の 1・2・3 により正則であり、ある $g,h\colon B\to D$ の等化子である。$g\circ f=g\circ r\circ k\circ e'=h\circ r\circ k\circ e'=h\circ f$ なので、押し出しの普遍性により $w\circ p=g$、$w\circ q=h$ となる $w$ がある。すると $g\circ r=w\circ p\circ r=w\circ q\circ r=h\circ r$ であり、$r=r\circ k\circ s$ となる $s\colon I\to K$ がある。$r$ はモノ射なので $k\circ s=\mathrm{id}_I$、さらに $k\circ s\circ k=k$ と $k$ がモノ射であることから $s\circ k=\mathrm{id}_K$ で、$k$ は同型である。よって $u=v$ である。$\square$

1：初等トポスは有限余極限をもち（MM92 IV.5 Corollary 4、p. 182）、各スライス圏は再びトポスなので Cartesian 閉である（同 IV.7 Theorem 1、p. 190）。トポスではすべてのモノ射が等化子である（同 IV.1 Proposition 2、p. 167）から、prop-qt-strong-regular の 1 によりすべてのモノ射が強く、部分対象分類子 $\mathrm{true}\colon1\to\Omega$ が強い部分対象の分類子になる。
2：トポスが平衡であることは MM92 IV.1 Proposition 2（p. 167）である。逆に $\mathcal C$ を平衡な準トポスとし、モノ射 $m$ を lem-qt-factorization で $m=r\circ e$ と分解する。$m$ がモノ射なので $e$ もモノ射で、エピ射でもあるから平衡性より同型であり、$m$ は正則、したがって強い。よって強い部分対象の分類子はすべての部分対象を分類する部分対象分類子である。$\mathcal C$ は有限極限をもち Cartesian 閉なので、初等トポス（トポス の定義「初等トポス」）である。$\square$

1：$n\colon F'\rightarrowtail F$ がモノ射で $u,v\colon E\to F'$ が稠密な $A$ 上で一致すれば、$n\circ u$ と $n\circ v$ も一致し、$F$ が分離的なので $n\circ u=n\circ v$、$u=v$ である。$\operatorname{Hom}(E,1)$ は 1 元集合である。直積への射は成分で決まる。等化子は直積の部分対象なので分離的である。3：分離性の定義そのものである。
2：$u,v\colon E\to\Omega_j$ が稠密な $a\colon A\rightarrowtail E$ 上で一致するとし、$\Omega_j\rightarrowtail\Omega$ と合成して得られる閉部分対象を $U,V\rightarrowtail E$ とする（同記事の命題「閉包の基本性質」の 2）。$u\circ a=v\circ a$ から $U\wedge A=V\wedge A$ である。$i\colon U\rightarrowtail E$ について $i^*(U\wedge A)=i^*A$ は稠密な $A$ の引き戻しなので $U$ の中で稠密であり、閉包と引き戻しの可換性から $i^*\overline{U\wedge A}=U$、すなわち $U\le\overline{U\wedge A}$。一方 $\overline{U\wedge A}\le\overline U=U$ なので $\overline{U\wedge A}=U$ である。同様に $\overline{V\wedge A}=V$ で、$U=V$、$u=v$ を得る。$\square$

対角線 $\Delta\rightarrowtail X\times X$ の閉包を $R=\overline\Delta$ とする。$(x,y)\colon T\to X\times X$ について $(x,y)^*\Delta$ は $x,y$ の等化子 $\operatorname{Eq}(x,y)\rightarrowtail T$ であり、閉包と引き戻しの可換性から $(x,y)^*R=\overline{\operatorname{Eq}(x,y)}$ である。よって
$$ (x,y)\in_TR\iff\operatorname{Eq}(x,y)\text{ は }T\text{ の中で稠密} $$
である（記号 $\in_T$ は 内部同値関係 の定義「関係」）。$\operatorname{Eq}(x,x)=T$、$\operatorname{Eq}(x,y)=\operatorname{Eq}(y,x)$ であり、$\operatorname{Eq}(x,y)\wedge\operatorname{Eq}(y,z)\le\operatorname{Eq}(x,z)$ と、閉包が交わりを保ち単調であることから、稠密な 2 つの交わりは稠密で $\operatorname{Eq}(x,z)$ も稠密である。内部同値関係 の定理「一般化された元による特徴づけ」により $R$ は内部同値関係であり、同記事の定理「トポスの同値関係は有効」と命題「有効な同値関係は商の核対」により、$R$ の 2 つの射影の余等化子 $c\colon X\to LX$ の核対は $R$ である。余等化子なので $c$ はエピ射である。
普遍性：$f\colon X\to F$ で $F$ が分離的なら、$(x,y)\in_TR$ のとき $f\circ x$ と $f\circ y$ は稠密な $\operatorname{Eq}(x,y)$ 上で一致するので $f\circ x=f\circ y$ である。とくに $f$ は $R$ の射影を余等化し、$c$ をただ一通りに経由する。
$LX$ が分離的であること：$u,v\colon E\to LX$ が稠密な $a\colon A\rightarrowtail E$ 上で一致するとする。$c\times c$ はエピ射であり（MM92 IV.7 Proposition 7、p. 196）、その $(u,v)$ に沿った引き戻しを $e\colon P\to E$、$(x,y)\colon P\to X\times X$ とすると、$e$ はエピ射で（同 Proposition 3、p. 194）、$c\circ x=u\circ e$、$c\circ y=v\circ e$ である。$A'=e^*A$ は $P$ の中で稠密で、$A'$ の上では $c\circ x=c\circ y$ なので、$R$ が $c$ の核対であることから $A'\le(x,y)^*R$ となる。$(x,y)^*R$ は閉部分対象 $R$ の引き戻しなので閉であり、$P=\overline{A'}\le(x,y)^*R$。よって $(x,y)\in_PR$、$c\circ x=c\circ y$、$u\circ e=v\circ e$ で、$e$ がエピ射なので $u=v$ である。$\square$

有限極限・有限余極限。 有限極限は lem-qt-separated-basic の 1 による。$\mathcal E$ は有限余極限をもつ（MM92 IV.5 Corollary 4、p. 182）。$\operatorname{Sep}_j(\mathcal E)$ の有限図式の $\mathcal E$ での余極限 $X$ に lem-qt-reflection の $L$ を施した $LX$ は、分離的な $F$ への射が $X$ からの射、すなわち $F$ への余錐と 1 対 1 に対応するので、$\operatorname{Sep}_j(\mathcal E)$ での余極限である。
局所デカルト閉。 $B$ を分離的な対象とする。$\operatorname{Sep}_j(\mathcal E)/B$ は $\mathcal E/B$ の充満部分圏で、その直積 $F\times_BG$ は $\mathcal E/B$ の直積と同じである。$\mathcal E/B$ はトポスなので（MM92 IV.7 Theorem 1、p. 190）、分離的な $p\colon F\to B$、$q\colon G\to B$ の $\mathcal E/B$ での指数対象 $h\colon H\to B$ がある。$H$ が分離的であることを示せば、$H$ は $\operatorname{Sep}_j(\mathcal E)/B$ の指数対象になり、スライス圏は Cartesian 閉である。$u,v\colon E\to H$ が稠密な $a\colon A\rightarrowtail E$ 上で一致するとする。$h\circ u$ と $h\circ v$ は $A$ 上で一致し、$B$ が分離的なので等しい。これを $s$ とおくと、$u,v$ は $\mathcal E/B$ の射 $(E,s)\to(H,h)$ であり、その転置 $E\times_BF\to G$ は、稠密な $A\times_BF$（$A$ の射影 $E\times_BF\to E$ に沿った引き戻し）の上で一致する。$G$ が分離的なので転置は等しく、$u=v$ である。
強いモノ射。 $\operatorname{Sep}_j(\mathcal E)$ のモノ射は、核対（$\mathcal E$ で計算される）の 2 つの射影が等しい射（正則圏 の補題「モノ射の核対による特徴づけ」）なので、$\mathcal E$ のモノ射でもある。$m\colon A\rightarrowtail F$ を分離的な対象の間のモノ射とする。$m$ が閉なら、その分類射は $\Omega_j$ を経由し（Lawvere–Tierney位相 の命題「閉包の基本性質」の 2）、その射を $\chi'\colon F\to\Omega_j$ とすると $m$ は $\chi'$ と $\mathrm{true}_j\circ!_F$ の等化子である（prop-qt-strong-regular の 3 の証明と同じ）。$\Omega_j$ と $1$ は分離的なので、$m$ は $\operatorname{Sep}_j(\mathcal E)$ の正則モノ射であり、強い。逆に $m$ が強いとする。$k\colon\overline A\rightarrowtail F$ を閉包、$i\colon A\rightarrowtail\overline A$ を包含とすると、$\overline A$ は分離的で（lem-qt-separated-basic の 1）、$i$ は稠密（同記事の命題「閉包の基本性質」の 1）なので $\operatorname{Sep}_j(\mathcal E)$ のエピ射である。$m\circ\mathrm{id}_A=k\circ i$ に強さを当てると $m\circ d=k$ となる $d$ があり、$\overline A\le A$、すなわち $A$ は閉である。
分類子。 強い $m$ は閉なので、上の $\chi'$ について、$\mathrm{true}=(\Omega_j\rightarrowtail\Omega)\circ\mathrm{true}_j$ から $m$ は $\mathrm{true}_j$ の $\chi'$ に沿った引き戻しである。$\chi''$ でも引き戻しになれば、$\Omega_j\rightarrowtail\Omega$ と合成した射はどちらも $m$ の分類射で、等しい。$\Omega_j\rightarrowtail\Omega$ はモノ射なので $\chi''=\chi'$ である。$\square$

平行な射は等しいので、すべての射はモノ射かつエピ射である。$m\colon a\to b$ が強いとし、エピ射 $e=m$、$u=\mathrm{id}_a$、$v=\mathrm{id}_b$ に強さを当てると射 $b\to a$ があり、$a=b$ である。終対象は $\top$、引き戻しは交わりで、$\mathrm{id}_\top$ の $a\to\top$ に沿った引き戻しは $a\wedge\top=a$ の恒等射である。$a\to\top$ はただ 1 つなので分類射は一意であり、$\mathrm{id}_\top$ の引き戻しは恒等射なので強い。$\square$