斉次多項式
概要
斉次多項式（homogeneous polynomial）とは、現れるすべての単項式の全次数が同じ $d$ である多項式のことで、次数 $d$ の形式ともいう。多項式 $f$ が次数 $d$ の斉次多項式であることは、新しい変数 $t$ について $f(tx_0,\dots,tx_n)=t^df(x_0,\dots,x_n)$ が成り立つことと同値であり、そのため斉次多項式が射影空間の点で消えるかどうかは斉次座標の選び方によらない。多項式環は斉次多項式の空間 $S_d$ の直和に分かれ、$n+1$ 変数では $\dim S_d=\binom{n+d}{d}$ である。2 次形式・基本対称式・行列式が代表例で、射影空間の図形を方程式で表すときの基本の道具になる。
$x^2+y^2-z^2$ の各項はどれも 2 次であり、$x+y^2$ は 1 次の項と 2 次の項が混ざっている。前者のように、すべての項の全次数がそろった多項式を斉次多項式という。斉次多項式 $F$ は変数をまとめて $t$ 倍すると値が $t^d$ 倍になり、そのため $F=0$ という方程式は原点を通る直線（比 $[x_0:\dots:x_n]$）ごとに成り立つか成り立たないかが決まる。これが射影空間の図形を方程式で表すときに斉次多項式が使われる理由である。2 次形式・基本対称式・行列式など、代数学に現れる多くの多項式は斉次であり、多項式環の元はつねに斉次多項式の和にただ一通りに分けられ、この分解が多項式環を次数付き環にする。
定義
以下、$A$ は可換環、$S:=A[x_0,\dots,x_n]$ は $n+1$ 変数の多項式環とする（変数の個数は何個でもよいが、射影空間との対応が見やすいように $x_0,\dots,x_n$ と番号を付ける）。多重指数 $\alpha=(\alpha_0,\dots,\alpha_n)\in\mathbb{N}^{n+1}$ に対し、単項式 $x^\alpha:=x_0^{\alpha_0}\cdots x_n^{\alpha_n}$ の全次数を $\lvert\alpha\rvert:=\alpha_0+\dots+\alpha_n$ と書く（多項式環の定義「多変数の多項式環」）。$S$ の元は $f=\sum_\alpha c_\alpha x^\alpha$（$c_\alpha\in A$、有限個を除いて $0$）とただ一通りに書ける。
$d\in\mathbb{N}$ とする。多項式 $f=\sum_\alpha c_\alpha x^\alpha\in S$ が 次数 $d$ の斉次多項式（homogeneous polynomial of degree $d$）であるとは、$c_\alpha\neq0$ となるすべての $\alpha$ について $\lvert\alpha\rvert=d$ であることをいう。次数 $d$ の斉次多項式全体（$0$ を含む）を
$$
S_d:=\Bigl\{\sum_{\lvert\alpha\rvert=d}c_\alpha x^\alpha\ \Big|\ c_\alpha\in A\Bigr\}
$$
と書く。ある $d$ について $f\in S_d$ となるとき、$f$ を単に斉次多項式、または斉次式という。次数 $d$ の斉次多項式を次数 $d$ の形式（form）ともいい、$d=1,2,3$ のときそれぞれ 1 次形式・2 次形式・3 次形式という。
$0$ はすべての $d$ について $S_d$ に属する。$0$ でない斉次多項式の次数は、多項式としての全次数に等しい。同次多項式という呼び方もある。
$f=\sum_\alpha c_\alpha x^\alpha\in S$ と $e\in\mathbb{N}$ に対し
$$
f_e:=\sum_{\lvert\alpha\rvert=e}c_\alpha x^\alpha\in S_e
$$
を $f$ の $e$ 次の斉次成分 という。$f$ は有限和 $f=\sum_{e\ge0}f_e$ に等しい。
- 各 $S_d$ は $S$ の $A$-部分加群で、$S=\bigoplus_{d\ge0}S_d$ である。すなわち $S$ の元は、各 $d$ について $S_d$ の元 $f_d$（有限個を除いて $0$）の和 $\sum_df_d$ にただ一通りに書ける。
- $S_d\cdot S_e\subset S_{d+e}$ である。
条件 (i)：$S_d$ は全次数 $d$ の単項式で張られる $A$-部分加群である。単項式全体は $S$ の $A$-基底であり、全次数によって互いに交わらない組に分かれるから、$S$ はそれぞれの組が張る部分加群の直和である。和への分解 $f=\sum_df_d$ の $f_d$ は $f$ の $d$ 次の斉次成分にほかならない。
条件 (ii)：$f=\sum_{\lvert\alpha\rvert=d}c_\alpha x^\alpha\in S_d$、$g=\sum_{\lvert\beta\rvert=e}c'_\beta x^\beta\in S_e$ とすると、$fg=\sum_{\alpha,\beta}c_\alpha c'_\beta x^{\alpha+\beta}$ であり、現れる単項式の全次数はすべて $\lvert\alpha+\beta\rvert=d+e$ である。よって $fg\in S_{d+e}$ である。$\square$
この 2 つの性質をもつ分解 $S=\bigoplus_dS_d$ を、多項式環の次数分解という。一般に、環 $R$ が加法部分群の直和 $R=\bigoplus_{d\ge0}R_d$ に分かれ $R_dR_e\subset R_{d+e}$ を満たすとき $R$ を次数付き環といい、$R_d$ の元を次数 $d$ の斉次元という（Vak25 4.5.5・4.5.6）。多項式環はその基本的な例であり、上の定義はこの一般的な言葉づかいと一致する。
例
$f=1+x+xy+y^2+x^3\in A[x,y]$ の斉次成分は
$$
f_0=1,\qquad f_1=x,\qquad f_2=xy+y^2,\qquad f_3=x^3
$$
で、$e\ge4$ では $f_e=0$ である。$f$ 自身は斉次でない。一方 $f_2=xy+y^2=y(x+y)$ は次数 $2$ の斉次多項式である。
$n+1$ 変数の次数 $2$ の斉次多項式 $q=\sum_{0\le i\le j\le n}c_{ij}x_ix_j$ は 二次形式 にほかならない。たとえば $\mathbb{R}^3$ 上の $q=x^2+y^2-z^2$ の零点集合 $\{x^2+y^2=z^2\}$ は原点を頂点とする円錐であり、点 $p$ を含めば $p$ と原点を結ぶ直線全体を含む（$q(tp)=t^2q(p)$ だから）。射影平面の中で見ると、この円錐は 1 本の曲線（円錐曲線）$\{[x:y:z]\mid x^2+y^2=z^2\}$ を表す。
$n^2$ 個の変数 $x_{ij}$（$1\le i,j\le n$）を成分とする行列 $X=(x_{ij})$ の行列式
$$
\det X=\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\,x_{1\sigma(1)}x_{2\sigma(2)}\cdots x_{n\sigma(n)}
$$
は、各項が $n$ 個の変数の積だから、次数 $n$ の斉次多項式である。後で示す prop-homogeneous-polynomial-scaling に合わせて言えば、$\det(tX)=t^n\det X$ という等式が多項式として成り立つことにあたる。
$d\ge1$ に対し $x_0^d+x_1^d+\dots+x_n^d$ は次数 $d$ の斉次多項式である。同じ型の 3 変数の多項式 $x^d+y^d-z^d$ の零点 $[x:y:z]$ は、方程式 $X^d+Y^d=1$ の解 $(X,Y)=(x/z,y/z)$（$z\neq0$ の点）と、$z=0$ の点 $[x:y:0]$（$x^d+y^d=0$ を満たすもの）からなる。整数解 $x^d+y^d=z^d$ を比 $[x:y:z]$ ごとにまとめて考えられるのは、左辺が斉次で、解を定数倍しても解であるからである。
性質
変数の定数倍による特徴づけ
斉次性は「変数をまとめて $t$ 倍すると $t^d$ 倍になる」という性質で言い換えられる。ただし $t$ を新しい変数（不定元）とみるか、体の元とみるかで、成り立つ範囲が違う。
$t$ を新しい変数とし、$f\in S$、$d\in\mathbb{N}$ とする。$f\in S_d$ であるための必要十分条件は、多項式環 $A[t][x_0,\dots,x_n]$ において
$$
f(tx_0,\dots,tx_n)=t^d\,f(x_0,\dots,x_n)
$$
が成り立つことである。
$f=\sum_ef_e$ を斉次成分への分解とする。単項式について $(tx)^\alpha=(tx_0)^{\alpha_0}\cdots(tx_n)^{\alpha_n}=t^{\lvert\alpha\rvert}x^\alpha$ だから、$f(tx)=\sum_et^ef_e(x)$ である。よって等式は
$$
\sum_et^e\,f_e(x)=t^d\sum_ef_e(x)
$$
と書ける。両辺を $t$ の多項式（係数は $S$ の元）とみて $t^e$ の係数を比べると、$e\neq d$ のとき左辺の係数は $f_e$、右辺の係数は $0$ である。したがって等式が成り立つことは、$e\neq d$ のすべての $e$ について $f_e=0$ であること、すなわち $f=f_d\in S_d$ であることと同値である。$\square$
$t$ に体の元を代入した等式だけから斉次性が言えるのは、体が無限個の元をもつときである。
$k$ を無限個の元をもつ体、$f\in k[x_0,\dots,x_n]$、$d\in\mathbb{N}$ とする。$f\in S_d$ であるための必要十分条件は、すべての $\lambda\in k$ について $k[x_0,\dots,x_n]$ の中で $f(\lambda x_0,\dots,\lambda x_n)=\lambda^df(x_0,\dots,x_n)$ が成り立つことである。
$f\in S_d$ なら、prop-homogeneous-polynomial-scaling の等式に $t=\lambda$ を代入すればよい。逆に、すべての $\lambda\in k$ で等式が成り立つとする。証明の中の計算と同じく $f(\lambda x)=\sum_e\lambda^ef_e$ だから、$\sum_e(\lambda^e-\lambda^d)f_e=0$ である。ここで $f_e$ は互いに異なる全次数の単項式からなるので、各 $e$ について $(\lambda^e-\lambda^d)f_e=0$ である。$e\neq d$ とすると、$t^e-t^d$ は $0$ でない 1 変数多項式だから $k$ の中に高々 $\max(e,d)$ 個の根しかもたず（多項式環の定理「根の個数」）、$k$ は無限体なので $\lambda^e\neq\lambda^d$ となる $\lambda\in k$ がある。この $\lambda$ について $f_e=0$ が従う。よって $f=f_d$ である。$\square$
有限体ではこの逆が成り立たない（下の ex-homogeneous-polynomial-finite-field）。
斉次多項式の空間の次元
$k$ を体とする。$n+1$ 変数の次数 $d$ の斉次多項式の空間 $S_d\subset k[x_0,\dots,x_n]$ は $k$ 上のベクトル空間で、
$$
\dim_kS_d=\binom{n+d}{d}
$$
である。
全次数 $d$ の単項式 $x^\alpha$ は $S_d$ の基底をなす（単項式全体が $k[x_0,\dots,x_n]$ の基底だから、その一部として 1 次独立であり、定義により $S_d$ を張る）。よってその個数、すなわち $\alpha_0+\dots+\alpha_n=d$ を満たす $\alpha\in\mathbb{N}^{n+1}$ の個数を数えればよい。このような $\alpha$ に、$d$ 個の「○」と $n$ 個の「｜」を並べた列
$$
\underbrace{\circ\cdots\circ}_{\alpha_0}\ \big|\ \underbrace{\circ\cdots\circ}_{\alpha_1}\ \big|\ \cdots\ \big|\ \underbrace{\circ\cdots\circ}_{\alpha_n}
$$
を対応させる。これは $\alpha$ から長さ $n+d$ の列への単射で、逆に長さ $n+d$ で「｜」をちょうど $n$ 個含む列は、区切られた $n+1$ 個の区画の「○」の数として $\alpha$ をただ 1 つ定める。よって個数は、$n+d$ 個の位置から「｜」を置く $n$ か所を選ぶ方法の数 $\binom{n+d}{n}=\binom{n+d}{d}$ に等しい。$\square$
小さい場合の値は次のとおりである。
| 変数の個数 $n+1$ ＼ 次数 $d$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $2$（$x,y$） | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| $3$（$x,y,z$） | $1$ | $3$ | $6$ | $10$ | $15$ |
| $4$（$x,y,z,w$） | $1$ | $4$ | $10$ | $20$ | $35$ |
たとえば 3 変数の次数 $2$ の斉次多項式は $x^2,y^2,z^2,xy,yz,zx$ の 1 次結合であり、平面の円錐曲線は 6 個の係数（の比）で決まる。この次元は、射影空間の次数 $d$ の超曲面全体を数えるときに使われる（Vak25 4.5.3）。
Euler の恒等式
$F\in S_d$ ならば、$S$ において
$$
\sum_{i=0}^nx_i\frac{\partial F}{\partial x_i}=d\,F
$$
が成り立つ。ここで $\partial/\partial x_i$ は形式的な偏微分である（多項式環の定義「形式微分」を各変数について行ったもの）。
両辺とも $F$ について $A$-線形だから、$F$ が単項式 $x^\alpha$（$\lvert\alpha\rvert=d$）の場合に示せばよい。$x_i\,\partial x^\alpha/\partial x_i=\alpha_ix^\alpha$（$\alpha_i=0$ のときも両辺は $0$ で成り立つ）だから、
$$
\sum_{i=0}^nx_i\frac{\partial x^\alpha}{\partial x_i}=(\alpha_0+\dots+\alpha_n)\,x^\alpha=d\,x^\alpha
$$
である。$\square$
作用素 $E:=\sum_ix_i\,\partial/\partial x_i$ は単項式 $x^\alpha$ を $\lvert\alpha\rvert x^\alpha$ に移すので、一般の $f=\sum_ef_e$ に対して $Ef=\sum_e e\,f_e$ となる。したがって $A$ が $\mathbb{Q}$ を含む（たとえば標数 $0$ の体）ならば、$Ef=d\,f$ から $(e-d)f_e=0$、すなわち $e\neq d$ で $f_e=0$ が従い、Euler の恒等式は斉次性の特徴づけになる。標数 $p>0$ では $e\equiv d\pmod p$ の成分を区別できないので、この逆は成り立たない（下の反例の表）。Euler の恒等式は、射影超曲面の特異点を偏導関数だけで判定するときに使われる。
積と因数分解
$A$ を整域とし、$f,g\in S$ を $0$ でない多項式とする。積 $fg$ が斉次ならば、$f$ と $g$ はどちらも斉次である。
$f$ の $0$ でない斉次成分の次数の最小値を $a$、最大値を $b$ とし、$g$ について同じく $c$、$e$ とする。$fg$ の斉次成分を prop-homogeneous-polynomial-grading の条件 (ii) で計算すると、$fg$ の $a+c$ 次より低い成分と $b+e$ 次より高い成分は $0$ であり、
$$
(fg)_{a+c}=f_ag_c,\qquad(fg)_{b+e}=f_bg_e
$$
である。$A$ が整域なので $S$ も整域であり（多項式環の命題「次数の公式と整域性」）、$f_ag_c\neq0$、$f_bg_e\neq0$ である。$fg$ は斉次だから $0$ でない斉次成分は 1 つしかなく、$a+c=b+e$ である。$a\le b$、$c\le e$ だから $a=b$、$c=e$ となり、$f=f_a$、$g=g_c$ はどちらも斉次である。$\square$
体 $k$ 上の多項式環は一意分解整域だから、この命題により、$0$ でない斉次多項式を既約多項式の積に分解すると、各因子は斉次である。変数が 2 個で係数体が代数閉体のときは、すべての因子が 1 次になる。
$k$ を代数閉体とし、$F\in k[x,y]$ を次数 $d\ge1$ の $0$ でない斉次多項式とする。このとき $c\in k^\times$ と $(\alpha_i,\beta_i)\in k^2\setminus\{(0,0)\}$（$i=1,\dots,d$）があって
$$
F=c\prod_{i=1}^d(\beta_ix-\alpha_iy)
$$
と書ける。とくに、射影直線 $\mathbb{P}^1(k)$ の中の $F$ の零点は $[\alpha_i:\beta_i]$ であり、重複を込めてちょうど $d$ 個ある。
$y^r$ が $F$ を割り切るような最大の整数を $r$ とし、$F=y^rG$ と書く。prop-homogeneous-polynomial-factor により $G$ は次数 $d-r$ の斉次多項式で、$G=\sum_{j=0}^{d-r}c_jx^jy^{d-r-j}$ と書ける。$y\nmid G$ だから $c_{d-r}\neq0$ である（$c_{d-r}=0$ ならすべての項が $y$ を含む）。
1 変数多項式 $g(x):=G(x,1)=\sum_jc_jx^j$ は次数がちょうど $d-r$ で、$k$ は代数閉体だから $g(x)=c\prod_{i=1}^{d-r}(x-a_i)$（$c=c_{d-r}$、$a_i\in k$）と分解する。このとき
$$
G(x,y)=\sum_{j=0}^{d-r}c_jx^jy^{d-r-j}=c\prod_{i=1}^{d-r}(x-a_iy)
$$
が成り立つ。実際、右辺を展開すると次数 $d-r$ の斉次多項式で、$y=1$ を代入すると $g(x)$ に一致する。次数 $d-r$ の斉次多項式 $\sum_jc'_jx^jy^{d-r-j}$ は $y=1$ を代入した $\sum_jc'_jx^j$ から係数がそのまま読み取れるので、両辺は等しい。以上から
$$
F=c\,y^r\prod_{i=1}^{d-r}(x-a_iy)
$$
であり、$i\le d-r$ では $(\alpha_i,\beta_i)=(a_i,1)$、残りの $r$ 個では $(\alpha_i,\beta_i)=(1,0)$（因子 $0\cdot x-1\cdot y=-y$）とすれば主張の形になる（符号は $c$ に含める）。最後の主張は、$k$ が整域だから積が $0$ になるのはいずれかの因子が $0$ になるときに限り、$\beta_ix-\alpha_iy$ の零点が $[\alpha_i:\beta_i]$ のただ 1 点であることから従う。$\square$
たとえば $x^3-xy^2=x(x-y)(x+y)$ の $\mathbb{P}^1$ での零点は $[0:1]$、$[1:1]$、$[-1:1]$ の 3 点、$x^2y-y^3=y(x-y)(x+y)$ の零点は $[1:0]$、$[1:1]$、$[-1:1]$ である。代数閉体でないと 1 次式に分解するとは限らない（反例の表）。
斉次イデアル
$S$ のイデアル $I$ が斉次多項式からなる集合で生成されるとき、$I$ を 斉次イデアル（homogeneous ideal）という。
$S$ のイデアル $I$ について、次は同値である。
(R1) $I$ は斉次イデアルである。
(R2) $I$ の任意の元 $f$ について、そのすべての斉次成分 $f_e$ が $I$ に属する。
このとき $I=\bigoplus_e(I\cap S_e)$ である。
(ii) ⇒ (i)：$I$ の元の斉次成分全体を $H$ とすると、仮定により $H\subset I$ であり、$I$ の各元 $f=\sum_ef_e$ は $H$ の元の和だから、$I$ は $H$ で生成される。$H$ は斉次多項式からなる。
(i) ⇒ (ii)：$I$ が斉次多項式の集合 $G$ で生成されるとし、$f\in I$ を $f=\sum_{j=1}^ra_jh_j$（$a_j\in S$、$h_j\in G$ は次数 $d_j$ の斉次多項式）と書く。$a_j=\sum_m(a_j)_m$ を斉次成分に分けると、prop-homogeneous-polynomial-grading の条件 (ii) により $(a_j)_mh_j\in S_{m+d_j}$ だから、$a_jh_j$ の $e$ 次の斉次成分は $(a_j)_{e-d_j}h_j$ である（$e< d_j$ のときは $0$ と読む）。よって
$$
f_e=\sum_{j=1}^r(a_j)_{e-d_j}\,h_j
$$
であり、右辺は $I$ に属する。
最後の主張：(ii) により $I\subset\sum_e(I\cap S_e)$ であり、逆の包含は明らかである。和が直和であることは $S=\bigoplus_eS_e$ から従う。$\square$
生成元が斉次でなくても斉次イデアルになることがある。$k[x,y]$ で $(x+y^2,\ y^2)=(x,\ y^2)$ は斉次イデアルである。一方 $(x^2+y)$ は斉次イデアルでない。実際、斉次成分 $x^2$ が $(x^2+y)$ に属するとすると $x^2=h\cdot(x^2+y)$ となる $h$ があるが、$y=-x^2$ を代入すると左辺は $x^2$、右辺は $0$ となり矛盾する。斉次イデアル全体は和・積・共通部分・根基をとる操作で閉じている（Vak25 演習 4.5.F）。
射影空間での零点
$k$ を体とし、$k^{n+1}\setminus\{0\}$ の点 $a$ と $\lambda a$（$\lambda\in k^\times$）を同一視したものが射影空間 $\mathbb{P}^n(k)$、点 $a$ の類が $[a_0:\dots:a_n]$ である（射影空間）。
$F\in S_d$、$a\in k^{n+1}$、$\lambda\in k$ に対し $F(\lambda a)=\lambda^dF(a)$ である。したがって $\lambda\neq0$ のとき、$F(\lambda a)=0$ と $F(a)=0$ は同値であり、「$F$ が点 $[a_0:\dots:a_n]\in\mathbb{P}^n(k)$ で消える」ことは斉次座標の選び方によらずに定まる。
prop-homogeneous-polynomial-scaling の多項式の等式 $F(tx)=t^dF(x)$ に $t=\lambda$、$x=a$ を代入すればよい。$\lambda\neq0$ なら $\lambda^d\neq0$ だから後半が従う。$\square$
こうして斉次多項式の集合 $T$ に対し、射影空間の部分集合
$$
V_+(T):=\{[a]\in\mathbb{P}^n(k)\mid\text{すべての }F\in T\text{ について }F(a)=0\}
$$
が定まる。斉次イデアル $I$ に対しては、$I$ の斉次元の共通零点として $V_+(I)$ を定める。これが射影空間の代数的集合であり、射影閉包・射影多様体の出発点になる。消えるかどうかは定まるが、値そのものは一般には定まらない（$d\ge1$ で $F(a)\neq0$ のとき、$\lambda^d\neq1$ となる $\lambda\in k^\times$ について $F(\lambda a)\neq F(a)$ である）。
アフィン空間の多項式と射影空間の斉次多項式の間は、斉次化と非斉次化で行き来する。多項式 $f\in k[y_1,\dots,y_n]$ の斉次化 $f^h=x_0^{\deg f}f(x_1/x_0,\dots,x_n/x_0)$ と、斉次多項式 $F$ の非斉次化 $F(1,y_1,\dots,y_n)$ の定義と基本性質は、射影閉包の定義「多項式とイデアルの斉次化」と補題「斉次化の基本性質」にある（Vak25 演習 4.5.C も参照）。たとえば $y^2-x^3-x$ の斉次化は $y^2z-x^3-xz^2$ である。
反例と注意
斉次性に関するよくある言い換えは、仮定を外すと成り立たなくなる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 体が無限 | $\mathbb{F}_2$ 上の $f=x^2+x$ | 「すべての $\lambda\in k$ で $f(\lambda x)=\lambda^df(x)$ なら斉次」 |
| 標数 $0$ | 標数 $p$ の体上の $f=x^{p+1}+x$ | 「$Ef=d\,f$ なら次数 $d$ の斉次」 |
| 係数体が代数閉 | $\mathbb{R}$ 上の $x^2+y^2$ | 「2 変数の斉次多項式は 1 次式の積」 |
| 斉次である | $k[x,y]$ の $y-x^2$ | 「零点集合は原点を通る直線の和（錐）」 |
| 次数 $d=0$（定数） | $\mathbb{P}^1$ の $[1:0]=[2:0]$ と次数 $1$ の $F=x$ | 「射影空間の点で $F$ の値が定まる」 |
$k=\mathbb{F}_2$、$f=x^2+x\in k[x]$ とする。$k$ の元は $0,1$ だけで、$d\ge1$ なら $\lambda^d=\lambda$ である。$\lambda=0$ では $f(0)=0=0^d f(x)$、$\lambda=1$ では両辺とも $f(x)$ だから、すべての $\lambda\in k$ で $f(\lambda x)=\lambda^df(x)$ が成り立つ。しかし $f$ は 1 次と 2 次の項をもち、斉次でない。一般に $q$ 元体では $\lambda^q=\lambda$ だから、$f=x^q+x$ はすべての $\lambda$ で $f(\lambda x)=\lambda f(x)$ を満たすが斉次でない。cor-homogeneous-polynomial-infinite-field の「無限体」という仮定は外せない。一方、新しい変数 $t$ についての等式（prop-homogeneous-polynomial-scaling）は、どの係数環でも斉次性と同値である。
$k$ を標数 $p>0$ の体とし、$f=x^{p+1}+x\in k[x]$ とする。$Ef=x\,f'(x)=(p+1)x^{p+1}+x=x^{p+1}+x=f$ だから $Ef=1\cdot f$ であるが、$f$ は斉次でない。$E$ は $x^{p+1}$ と $x$ にどちらも $1$ を掛けるので、次数 $p+1$ と $1$ の成分を区別できない。
$F=x^2+y^2\in\mathbb{R}[x,y]$ は次数 $2$ の斉次多項式だが、$\mathbb{R}$ 係数の 1 次式の積には書けない。書けたとすると $F$ は $\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ に零点をもつが、$(a,b)\neq(0,0)$ なら $a^2+b^2>0$ である。複素数体上では $x^2+y^2=(x+iy)(x-iy)$ と分解し、零点は $[i:1]$ と $[-i:1]$ である。thm-homogeneous-polynomial-binary の代数閉体という仮定は外せない。
$k$ を標数が $2$ でない体とし、$f=y-x^2\in k[x,y]$ とする（次数 $1$ と $2$ の斉次式の和）。点 $(1,1)$ は $f$ の零点だが、その $2$ 倍 $(2,2)$ では $f(2,2)=2-4=-2\neq0$ である。したがって $f=0$ は原点を通る直線の和ではなく、比 $[x:y]$ だけでは解かどうかが決まらない。斉次多項式 $F$ なら prop-homogeneous-polynomial-projective-zero により、零点の定数倍は再び零点である。
$F=x\in k[x,y]$（次数 $1$）とし、$k$ の標数は $2$ でないとする。$\mathbb{P}^1(k)$ で $[1:0]=[2:0]$ であるが、$F(1,0)=1$、$F(2,0)=2$ で値が違う。したがって $d\ge1$ の斉次多項式は一般には $\mathbb{P}^n(k)$ 上の関数を定めない（$k$ が無限体なら、$0$ でない $F$ について $F(a)\neq0$ となる $a$ と $\lambda^d\neq1$ となる $\lambda\in k^\times$ がとれるので、関数を定めない。有限体 $\mathbb{F}_q$ では $d$ が $q-1$ の倍数なら $\lambda^d=1$ となり、値が定まる）。一方、「消えるか消えないか」と、次数の等しい 2 つの斉次多項式の比 $F/G$（$G$ が消えない点で）は、体や次数によらず定まる。$F(\lambda a)/G(\lambda a)=\lambda^dF(a)/(\lambda^dG(a))=F(a)/G(a)$ だからである。
関連項目
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
