判別式（高校数学）

前提知識: 2次方程式, 複素数
2 次方程式の解の公式 $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ の根号の中にある $b^2-4ac$ は、判別式と呼ばれる。高校では「正なら異なる 2 つの実数解、$0$ なら重解、負なら虚数解」と、解の種類を見分ける道具として習う。では、この式はそもそも何を表す数なのか。また、ほかに「判別式」と呼ばれるものはあるのか。この記事は、これらの問いに答える 3 本の記事への案内である。判別式の定義と正体を短く述べたあと、高校の計算と大学の概念の対応を表にし、どの順番で何を読めばよいかを示す。体の上の多項式の判別式を大学の言葉で扱う用語解説は 判別式 である。

判別式とは

判別式の正体は、2 つの解の差の 2 乗 である。2 つの解を $\alpha,\beta$ とすると、いつも
$$ b^2-4ac=a^2(\alpha-\beta)^2 $$
が成り立つ。この等式の証明は 2次方程式の判別式の正体 にある。まず数で確かめる。

図 1 は、表の最初の 3 つの方程式について、解を複素数平面に置いたものである。2 つの解が異なる実数なら差 $\alpha-\beta$ は実数で、2 乗は正になる。重解なら差は $0$ である。共役な虚数解なら差は純虚数（$4i$）で、2 乗は負になる。判別式の符号が解の種類を表すのは、このためである。図の矢印は $\beta$ から $\alpha$ への向きで、差 $\alpha-\beta$ を表す。
図1：3 つの 2 次方程式の解を複素数平面に置いた図。差 α − β が実数なら (α − β)² > 0、0 なら 0、純虚数なら (α − β)² < 0

「解の差の 2 乗」という見方は、3 次以上の方程式にそのまま広がる。一方、2 変数の式 $ax^2+bxy+cy^2$ にも同じ $b^2-4ac$ が現れ、こちらは式の符号や因数分解を判定する。この 2 つの広がりが、残りの 2 本の記事の主題である。
判別式は、高校数学のほかの記事でも道具として使う。2 次関数の最小値を平方完成で求める計算（2次関数の最大・最小）では、頂点の $y$ 座標に $-\dfrac{D}{4a}$ が現れる。解が決まった範囲に入る条件（解の配置）では、判別式・軸・端の値の 3 つを調べる。「つねに $0$ 以上の 2 次式は判別式が $0$ 以下」という考え方は、判別式で示す不等式 や Cauchy–Schwarzの不等式（高校数学） の証明でも使う（この 2 本への案内は 判別式で示す不等式とCauchy–Schwarzの不等式）。解の和と積から判別式を計算する考え方は、根と係数の関係と対称式 でも使う。

高校の計算と大学の概念

高校で判別式を使う場面は、大学では次の概念として整理される。右の列は、その内容を扱う記事である。

3 つの記事と読む順番

はじめて学ぶときは ① から読むとよい。② と ③ はどちらも ① の結果を使うが、互いには独立しているので、どちらから読んでもよい。

1. 2次方程式の判別式の正体：$b^2-4ac=a^2(\alpha-\beta)^2$ を、解と係数の関係を使って証明する。係数が複素数でも「判別式が $0$ ⇔ 重解」が成り立つこと、実数係数なら判別式の符号で解の種類が決まる理由、判別式が放物線の頂点の深さや $x$ 軸との 2 交点の距離を表すことが分かる。
2. 3次方程式と多項式の判別式：解の差の 2 乗をすべて掛けたものとして $n$ 次式の判別式を定める。$x^3+px+q$ の判別式が $-4p^3-27q^2$ であることを、導関数を使って証明し、それが極大値と極小値の積の $-27$ 倍であることを示す。符号で 3 次方程式の実数解の個数が分かること、4 次以上では符号だけでは決まらないこと、判別式が $f$ と $f'$ の終結式で表せることが分かる。
3. 2次形式と2次曲線の判別式：$ax^2+bxy+cy^2$ の判別式 $b^2-4ac$ が、式の符号（いつも正か、正負両方をとるか）と因数分解を決めることを証明する。変数を 1 次式で取り替えると判別式が行列式の 2 乗倍になること、2 次曲線の漸近線の向きとの関係、整数の 2 次形式（$x^2+5y^2$ と $2x^2+2xy+3y^2$ など）が分かる。

同じ名前の 3 つの量

3 本の記事で扱う判別式を、1 つずつ例で並べておく。どれも「$b^2-4ac$ の仲間」だが、表しているものが違う。

このほかにも「判別式」と呼ばれる量がある。

• 不等式の証明：「$a\ne0$ のとき、すべての実数 $t$ で $at^2+bt+c\ge0$ ⇔ $a>0$ かつ $b^2-4ac\le0$」を使う技法は 判別式で示す不等式 で扱う（$a\ne0$ を外すと崩れる。$a=b=0$、$c=1$ ならどの $t$ でも値は $1\ge0$ だが、$a>0$ ではない）。解が決まった範囲に入る条件は 解の配置 で扱う。
• 3 次方程式の解の公式（Cardano の公式）に出てくる $\left(\dfrac q2\right)^2+\left(\dfrac p3\right)^3$ も判別式と呼ばれることがある。これは ② の $\Delta$ を $-108$ で割ったもので、符号が逆になる（計算は 3次方程式と多項式の判別式 の、Cardano の公式との関係を述べた注意にある）。
• 大学では、代数体（有理数に $\sqrt2$ などを加えた数の世界）の判別式や、楕円曲線の判別式も現れる。これらは定義が異なるが、どれも「重なり」を検出する。楕円曲線の判別式は、$0$ になると曲線がとがったり自分と交わったりする。代数体の判別式は $0$ にはならない（$0$ でない整数で、有理数に $\sqrt2$ を加えた数の世界では $8$）。その代わり、素数 $p$ で割り切れるかどうかが、$p$ で割った余りの世界で見たときに重なりが起きるかどうかを表す。詳しくは 判別式 にある。

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• 体の上の多項式の判別式の一般論（判別式が係数の整数係数の多項式であることの証明、Galois 群との関係）は、用語解説 判別式 にある。5 次式 $x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ の判別式はすでに 59 項になる（Mil22 第 4 章）。
• 2 次曲線の分類の証明（回転と平行移動で標準形に直す）は 2次曲線と2次形式 にある。

関連項目

• 前提: 2次方程式, 複素数
• 前に読む: 2次関数の最大・最小
• 次に読む: 2次方程式の判別式の正体, 3次方程式と多項式の判別式, 2次形式と2次曲線の判別式, 2つの2次方程式の共通解
• 関連（高校数学）: 解の配置, 判別式で示す不等式とCauchy–Schwarzの不等式, 根と係数の関係と対称式, 2次曲線と2次形式
• 発展: 判別式, 終結式, 2次形式
• 比較: 複素数と方程式：代数学の基本定理