コファイブレーション

$M:=\bigl(X\sqcup(A\times I)\bigr)/\bigl(i(a)\sim(a,0)\bigr)$ とし、商写像を $q$ とする。$f(x):=q(x)$、$h(a,t):=q(a,t)$ とおくと $h(a,0)=q(i(a))=f(i(a))$ なので、延長 $H\colon X\times I\to M$ がある。$j\colon A\to M$ を $j(a):=q(a,1)$ で定める。$U:=A\times(0,1]$ は $X\sqcup(A\times I)$ の開集合で、その点は自分以外の点と同一視されないから、$U$ に含まれる開集合 $V$ について $q^{-1}(q(V))=V$ である。よって $q(V)$ は開集合で、$q|_U$ は $U$ から開集合 $q(U)$ への同相写像であり、$j$ は $A\cong A\times\{1\}\subset U$ と $q|_U$ の合成として像 $j(A)$ への同相写像である。

$H(i(a),1)=h(a,1)=j(a)$ である。$i(a)=i(a')$ なら $j(a)=j(a')$ となり $a=a'$ なので、$i$ は単射である。$x\in i(A)$ なら $H(x,1)\in j(A)$ なので、$g\colon i(A)\to A$、$g(x):=j^{-1}(H(x,1))$ は連続で、$g\circ i=\mathrm{id}_A$ を満たす。$i$ は単射だから $i\circ g=\mathrm{id}_{i(A)}$ でもあり、$i\colon A\to i(A)$ は同相写像である。$\square$

矛盾なく定まること。 1 行目では $0\le u(x)\le v(y)$ なので $t\,u(x)/v(y)\in I$、2 行目も同様である。1 行目と 2 行目が重なるのは $u(x)=v(y)>0$ のときで、どちらも $(h(x,t),j(y,t))$ になる。3 行目は前の二つと重ならない。

NDR 表示の条件。 $w^{-1}(0)=\{u(x)=0\}\cup\{v(y)=0\}=A\times Y\cup X\times B=Z$ である。$t=0$ ではどの行でも値は $(h(x,0),j(y,0))=(x,y)$ か $(x,y)$ である。$Z$ の点を止めること：$x\in A$ なら $u(x)=0$ であり、$v(y)>0$ なら 1 行目で $(h(x,t),j(y,0))=(x,y)$、$v(y)=0$ なら 3 行目で $(x,y)$ である。$y\in B$ も対称に確かめられる。$w(x,y)<1$ のとき：1 行目の場合は $u(x)=w(x,y)<1$ なので $h(x,1)\in A$、よって $k(x,y,1)\in A\times Y\subset Z$ である。2 行目の場合は $v(y)<1$ なので $j(y,1)\in B$、よって $k(x,y,1)\in X\times B$ である。3 行目の場合は $(x,y)\in Z$ である。$(j,v)$ が DR 対の表示なら $w\le v<1$ がいたるところで成り立つので $(k,w)$ も DR 対の表示であり、$(h,u)$ についても同様である。

$u(x)+v(y)>0$ の点での連続性。 $W:=\{(x,y,t)\mid u(x)+v(y)>0\}$ は $(X\times Y)\times I$ の開集合である。$W$ の中で $P_1:=\{v(y)\ge u(x)\}$ と $P_2:=\{u(x)\ge v(y)\}$ は閉集合で、$W=P_1\cup P_2$ である。$P_1$ の上では $v(y)>0$ なので（$v(y)=0$ なら $u(x)\le0$ となり $W$ に入らない）、1 行目の式は連続関数の合成として連続であり、$P_2$ の上の 2 行目も同様である。閉集合の上の連続写像の貼り合わせとして $k|_W$ は連続であり、$W$ は開集合なので、$k$ は $W$ の各点で連続である。

$u(x_0)=v(y_0)=0$ の点 $(x_0,y_0,t_0)$ での連続性。 $k(x_0,y_0,t_0)=(x_0,y_0)$ である。$x_0$ の開近傍 $O$ と $y_0$ の開近傍 $P$ を任意にとる。$x_0\in A$ なので $h(x_0,s)=x_0$（$s\in I$）であり、開集合 $h^{-1}(O)$ は $\{x_0\}\times I$ を含む。$I$ はコンパクトなので、$x_0$ の開近傍 $N$ で $N\times I\subset h^{-1}(O)$ となるものがある（チューブ補題。各 $s\in I$ について $(x_0,s)$ の近傍 $N_s\times J_s\subset h^{-1}(O)$ を積位相の開基からとり、有限個の $J_s$ で $I$ を覆って、対応する $N_s$ の共通部分を $N$ とすればよい）。同様に $y_0$ の開近傍 $N'$ で $N'\times I\subset j^{-1}(P)$ となるものがある。$(x,y)\in N\times N'$、$t\in I$ について、$k(x,y,t)$ の第 1 成分はある $s\in I$ についての $h(x,s)$ か $x=h(x,0)$ なので $O$ に入り、第 2 成分も同様に $P$ に入る。よって $k(N\times N'\times I)\subset O\times P$ であり、$k$ はこの点で連続である。$\square$

$r=(r_X,r_I)\colon X\times I\to M$ をレトラクションとし、$h(x,t):=r_X(x,t)$、$F(x,t):=t-r_I(x,t)$、$u(x):=\sup_{t\in I}F(x,t)$ とおく。$F$ は連続で値は $[-1,1]$ にあり、$r(x,0)=(x,0)$ から $F(x,0)=0$ なので、$0\le u(x)\le1$ である。

$u$ の連続性：$x_0\in X$ と $\varepsilon>0$ をとる。$G(x,t):=F(x,t)-F(x_0,t)$ は連続で $\{x_0\}\times I$ の上で $0$ なので、開集合 $G^{-1}((-\varepsilon/2,\varepsilon/2))$ は $\{x_0\}\times I$ を含み、prop-cof-ndr-product の証明と同じチューブ補題により $x_0$ の開近傍 $N$ で $N\times I$ がこれに含まれるものがある。$x\in N$ なら、すべての $t$ で $F(x,t)< F(x_0,t)+\varepsilon/2\le u(x_0)+\varepsilon/2$ なので $u(x)\le u(x_0)+\varepsilon/2$ であり、$x$ と $x_0$ を入れ替えた不等式も同様に成り立つ。よって $\lvert u(x)-u(x_0)\rvert\le\varepsilon/2<\varepsilon$ である。

NDR 表示の条件：$h(x,0)=r_X(x,0)=x$ である。$a\in A$ なら $r(a,t)=(a,t)$ なので $h(a,t)=a$、$F(a,t)=0$、$u(a)=0$ である。逆に $u(x)=0$ とすると、すべての $t>0$ で $r_I(x,t)\ge t>0$ である。$M$ の点で第 2 成分が正のものは $A\times I$ に属するので、$h(x,t)\in A$（$t>0$）である。$t=1/n\to0$ とすると $h(x,1/n)\to h(x,0)=x$ であり、$A$ は閉集合なので $x\in A$ である。よって $u^{-1}(0)=A$ である。最後に $u(x)<1$ なら $1-r_I(x,1)=F(x,1)\le u(x)<1$ なので $r_I(x,1)>0$ であり、同じ理由で $h(x,1)\in A$ である。$\square$

$g\colon X\to A$ を $i$ のホモトピー逆写像とする。証明は 3 段からなる。

段 1（$g$ をレトラクションに取り替える）．$g\circ i\simeq\mathrm{id}_A$ なので、ホモトピー $G\colon A\times I\to A$ で $G_0=g\circ i$、$G_1=\mathrm{id}_A$ となるものがある。ホモトピー拡張性質を $Y=A$、$f=g$、$h=G$ に使うと、$\Gamma\colon X\times I\to A$ で $\Gamma_0=g$、$\Gamma_t|_A=G_t$ となるものが得られる。$r:=\Gamma_1$ とおくと $r|_A=G_1=\mathrm{id}_A$ なので $r$ はレトラクションであり、$\Gamma$ により $r\simeq g$ である。よって $i\circ r\simeq i\circ g\simeq\mathrm{id}_X$ であり、ホモトピー $h\colon X\times I\to X$ で $h_0=i\circ r$、$h_1=\mathrm{id}_X$ となるものがとれる。

段 2（$A$ の上で往復するホモトピー）．

$$k_t(x):=\begin{cases}h_{1-2t}(r(x)) & (0\le t\le\tfrac12),\\ h_{2t-1}(x) & (\tfrac12\le t\le1)\end{cases}$$

とおく。$t=\tfrac12$ では両式とも $r(x)$ になる（$h_0(r(x))=r(r(x))=r(x)=h_0(x)$）ので $k$ は連続で、$k_0=h_1\circ r=i\circ r$、$k_1=\mathrm{id}_X$ である。$a\in A$ では $r(a)=a$ なので $k_t(a)=h_{\lvert1-2t\rvert}(a)$ であり、$A$ の点の動きは、前半の道を後半でそのまま逆にたどって戻ってくる。

段 3（往復を打ち消す）．$A$ の上の 2 変数のホモトピー

$$\Phi(a,t,u):=h_{\max(u,\,\lvert1-2t\rvert)}(a)\qquad(a\in A,\ t,u\in I)$$

は連続で、$\Phi(a,t,0)=k_t(a)$ を満たし、正方形 $I\times I$ の左辺 $t=0$・右辺 $t=1$・上辺 $u=1$ では $h_1(a)=a$ に等しい。lem-cof-product により $(X\times I,A\times I)$ はホモトピー拡張性質をもつので、$k\colon X\times I\to X$ を時刻 $u=0$ の写像、$\Phi$ を $A\times I$ の上の動きとして延長し、$\Psi\colon X\times I\times I\to X$ を得る。$\Psi$ を正方形の左辺・上辺・右辺に制限して順につなぐと、$\Psi(x,0,0)=k_0(x)=r(x)$ から $\Psi(x,1,0)=k_1(x)=x$ へのホモトピーで、$A$ の点をすべての時刻で動かさないものが得られる。その向きを逆にしたものが、$A$ への強変位レトラクションである。

つなぎ方を式で書くと、$s\in I$ について $L(x,s):=\Psi(x,0,3s)$（$0\le s\le\tfrac13$）、$\Psi(x,3s-1,1)$（$\tfrac13\le s\le\tfrac23$）、$\Psi(x,1,3-3s)$（$\tfrac23\le s\le1$）である。境目では $\Psi(x,0,1)$ と $\Psi(x,1,1)$ で一致するので $L$ は連続で、$L(x,0)=r(x)$、$L(x,1)=x$ である。$a\in A$ なら $\Psi(a,t,u)=\Phi(a,t,u)$ は 3 辺の上で $a$ なので $L(a,s)=a$ である。$K(x,s):=L(x,1-s)$ とおけば $K_0=\mathrm{id}_X$、$K_1=i\circ r$ で、$K$ は $A$ の点を動かさない。$\square$

入力（対のホモトピー同値）：$A\subset X$、$B\subset Y$ を閉集合で、$(X,A)$、$(Y,B)$ はホモトピー拡張性質をもつとし、$f\colon X\to Y$ は $f(A)\subset B$ を満たし、$f$ と $d:=f|_A\colon A\to B$ はホモトピー同値であるとする。$d$ のホモトピー逆写像 $e$ とホモトピー $h\colon ed\simeq\mathrm{id}_A$、$\ell\colon de\simeq\mathrm{id}_B$ を任意に選ぶ。このとき、$g\colon Y\to X$ で $g|_B=e$ となるものと、ホモトピー $H\colon gf\simeq\mathrm{id}_X$、$K\colon fg\simeq\mathrm{id}_Y$ で $H|_{A\times I}=h$、$K|_{B\times I}=k$ となるものがある。ここで $k\colon de\simeq\mathrm{id}_B$ は、$s\le1/3$ で $\ell(de(b),1-3s)$、$1/3\le s\le2/3$ で $d(h(e(b),3s-1))$、$s\ge2/3$ で $\ell(b,3s-2)$ と定めたもので、$d,e,h,\ell$ だけで決まり、$X,Y,f$ によらない（May99 Chapter 6 §5 の二つ目の命題とその証明, pp. 47–48）。同書の証明が使うのは、thm-cof-sdr の一般形である Hat02 Proposition 0.19（p. 16。$(X,A)$、$(Y,A)$ がホモトピー拡張性質をもち $f|_A=\mathrm{id}_A$ なるホモトピー同値 $f$ は $A$ を止めたホモトピー同値である）、lem-cof-product の形のホモトピー拡張性質、閉集合の上の貼り合わせだけなので、$A,B$ が閉集合なら通常の積位相でそのまま成り立つ（同書はコンパクト生成空間の圏で述べている）。

段 1（$j,j'$ も閉コファイブレーションの場合）：prop-cof-embedding により $i,j,i',j'$ を閉部分空間の包含とみなす。$f_A$ のホモトピー逆写像 $e$ とホモトピー $h,\ell$ を一つ選び、上の入力を $(B,A)\to(B',A')$ と $(C,A)\to(C',A')$ に同じ $e,h,\ell$ で当てて、$g_B,H_B,K_B$ と $g_C,H_C,K_C$ を得る。$g_B$ と $g_C$ は $A'$ の上でどちらも $e$ なので、$g_P\colon B'\cup_{A'}C'\to B\cup_AC$ を定める。$H_B$ と $H_C$ は $A\times I$ の上でどちらも $h$ である。$I$ は局所コンパクトなので $(B\sqcup C)\times I\to(B\cup_AC)\times I$ は商写像であり（Hat02 Appendix, Proposition A.17, p. 532）、$H_B$ と $H_C$ はホモトピー $g_Pf_P\simeq\mathrm{id}$ に降りる。$K_B$ と $K_C$ も $A'\times I$ の上でどちらも同じ $k$ なので、同様に $f_Pg_P\simeq\mathrm{id}$ を与える。よって $f_P$ はホモトピー同値である。

段 2（$j$ を写像柱に取り替える）：$j$ の写像柱 $M_j:=\bigl((A\times I)\sqcup C\bigr)/\bigl((a,1)\sim j(a)\bigr)$ と $\tilde j(a):=[a,0]$、$r_j([a,t]):=j(a)$、$r_j(c):=c$ を考える（ex-cof-mapping-cylinder の記号）。$\tilde j$ は閉コファイブレーション、$r_j$ はホモトピー同値で、$r_j\circ\tilde j=j$ である。$j'$ についても同様に $M_{j'}$ をとる。$f_M([a,t]):=[f_A(a),t]$、$f_M(c):=f_C(c)$ は $j'\circ f_A=f_C\circ j$ により矛盾なく定まる連続写像で、$f_M\circ\tilde j=\tilde j'\circ f_A$、$r_{j'}\circ f_M=f_C\circ r_j$ を満たす。$r_j,r_{j'},f_C$ がホモトピー同値なので、$f_M$ もホモトピー同値である。段 1 を $B\xleftarrow{i}A\xrightarrow{\tilde j}M_j$ から $B'\xleftarrow{i'}A'\xrightarrow{\tilde j'}M_{j'}$ への写像に当てると、$D:=B\cup_AM_j$ から $D':=B'\cup_{A'}M_{j'}$ への誘導写像 $f_D$ はホモトピー同値である。

段 3（写像柱をつぶす）：$D$ は $B\sqcup(A\times I)\sqcup C$ を $(a,0)\sim i(a)$、$(a,1)\sim j(a)$ で割った空間である。$N:=\bigl(B\sqcup(A\times I)\bigr)/\bigl((a,0)\sim i(a)\bigr)$ と $\iota(a):=[a,1]$ をとると、$D$ は $N\xleftarrow{\iota}A\xrightarrow{j}C$ の押し出しでもある（どちらも同じ空間を同じ関係で割ったもの）。$N$ は $i$ の写像柱（時刻の向きを逆にしたもの）なので、$\iota$ は閉コファイブレーションで、$\rho([a,t]):=i(a)$、$\rho(b):=b$ はホモトピー同値 $\rho\colon N\to B$ で $\rho\circ\iota=i$ を満たす。$\iota(A)$ と $i(A)$ を $A$ と同一視すると、Hat02 Proposition 0.19 により、$\sigma\colon B\to N$ で $\sigma\circ i=\iota$ となるものと、$A$ の点を止めるホモトピー $\rho\sigma\simeq\mathrm{id}_B$、$\sigma\rho\simeq\mathrm{id}_N$ がある。これらを $C$ の上の恒等写像と貼り合わせると（段 1 と同じく Proposition A.17 による）、$c:=\rho\cup\mathrm{id}_C\colon D\to B\cup_AC$ はホモトピー同値である。同様に $c'\colon D'\to B'\cup_{A'}C'$ もホモトピー同値である。

段 4：$f_P\circ c=c'\circ f_D$ である（$B$ の上ではどちらも $f_B$、$C$ の上ではどちらも $f_C$、$[a,t]$ はどちらも $[i'(f_A(a))]$ に写る）。$c,c',f_D$ はホモトピー同値なので、$c$ のホモトピー逆写像 $\bar c$ について、$f_P\simeq f_P\circ c\circ\bar c=c'\circ f_D\circ\bar c$ はホモトピー同値の合成にホモトピックであり、ホモトピー同値である。$\square$

部分複体の有限個の和と共通部分は部分複体である（閉集合で、胞体の和である）。空集合からの写像がホモトピー同値なのは値域も空のときなので、仮定は共通部分が空になる場合も含めて意味をもつ。$k=1$ は仮定そのものである。$k$ 個の族について主張が成り立つとし、$k+1$ 個の族をとる。$U:=\bigcup_{m\le k}Z_m$、$V:=Z_{k+1}$ とおくと、$U\cap V=\bigcup_{m\le k}(Z_m\cap Z_{k+1})$ であり、$k$ 個の族 $(Z_m\cap Z_{k+1})_{m\le k}$ の空でない添字集合についての共通部分は、もとの族の $k+1$ を含む添字集合についての共通部分である。$Z'$ の側も同様なので、帰納法の仮定により $F\colon U\cap V\to U'\cap V'$ はホモトピー同値であり、$F\colon U\to U'$ も帰納法の仮定により、$F\colon V\to V'$ は仮定によりホモトピー同値である。$U,V$ は $U\cup V$ の閉集合なので、閉集合の上の連続写像の貼り合わせにより、$U\cup V$ は $U\leftarrow U\cap V\to V$ の押し出しと同相である。部分複体の包含 $U\cap V\hookrightarrow U$ は閉コファイブレーションであり（ex-cof-cw）、$U'$ の側も同様なので、thm-cof-gluing により $F\colon U\cup V\to U'\cup V'$ はホモトピー同値である。$\square$

$Y^I$ を $I$ から $Y$ への連続写像の空間（コンパクト開位相）、$e_0(\gamma):=\gamma(0)$ とする。$I$ は局所コンパクト Hausdorff なので、コンパクト開位相の記事の定理「指数法則」により、ホモトピー $Z\times I\to Y$ と連続写像 $Z\to Y^I$ は 1 対 1 に対応する。この対応で、ホモトピー拡張性質の延長 $H$ を探すことは、可換な四角形（上辺 $A\to Y^I$ が $h$、下辺 $X\to Y$ が $f$）の対角線 $X\to Y^I$ を探すことと同じである。よって、$i$ がすべての $Y$ について $e_0$ に対する左持ち上げ性質をもてば、$i$ はコファイブレーションである。

$e_0$ がファイブレーションであること：$D^n\times\{0\}\hookrightarrow D^n\times I$ と $e_0$ の四角形は、上と同じ対応で、$D^n\times(\{0\}\times I\cup I\times\{0\})$ の上の写像を $D^n\times I\times I$ へ延ばす問題になる。ex-cof-mapping-cylinder の確かめで作った $L=(I\times\{0\})\cup(\{0\}\times I)$ へのレトラクション $\rho$ を合成すれば延ばせる。$e_0$ がホモトピー同値であること：定値な道への写像 $c\colon Y\to Y^I$ は $e_0\circ c=\mathrm{id}_Y$ を満たし、$c\circ e_0$ は道を縮めるホモトピー $(\gamma,s)\mapsto\bigl(t\mapsto\gamma((1-s)t)\bigr)$（指数法則により連続）で $\mathrm{id}$ とホモトピックである。ホモトピー同値は弱ホモトピー同値である（弱ホモトピー同値の記事の命題「ホモトピー同値は弱ホモトピー同値」）。よって $e_0$ はファイブレーションかつ弱同値であり、Quillen のコファイブレーションはこれに対する左持ち上げ性質をもつから、上の段落によりコファイブレーションである。$\square$