Grothendieck–Lefschetz跡公式
概要
Grothendieck–Lefschetz跡公式（Grothendieck–Lefschetz trace formula）とは、有限体 $\mathbb{F}_q$ 上分離的で有限型のスキーム $X_0$ の上の構成可能な $\mathbb{Q}_\ell$ 層について、$\mathbb{F}_{q^m}$ 有理点での茎への Frobenius の跡の和が、コンパクト台 $\ell$ 進コホモロジーへの $m$ 乗 Frobenius の跡の交代和に等しいという定理である（$\ell$ は $q$ を割らない素数）。定数層では有理点の個数の公式になり、合同ゼータ関数や $L$ 関数の有理性はその言い換えである。滑らかな射影曲線では Weil の公式 $1-\sum_j\alpha_j^m+q^m$ を与える。
前提知識: ℓ進コホモロジー, エタールコホモロジーのPoincaré双対性, Frobenius写像, Lefschetz不動点公式, 合同ゼータ関数
Grothendieck–Lefschetz跡公式（Grothendieck–Lefschetz trace formula）は、有限体 $\mathbb{F}_q$ 上分離的で有限型のスキーム $X_0$ の有理点の個数を、ℓ進コホモロジーへの Frobenius の作用で表す公式である。$\ell$ を $q$ を割らない素数、$X=X_0\otimes\bar{\mathbb{F}}_q$、$F\colon X\to X$ を $q$ 乗 Frobenius 写像とすると、すべての $m\ge1$ について
$$
\#X_0(\mathbb{F}_{q^m})=\sum_i(-1)^i\operatorname{tr}\bigl(F^{m*}\mid H^i_c(X,\mathbb{Q}_\ell)\bigr)
$$
が成り立つ。$\mathbb{F}_{q^m}$ 有理点は $F^m$ の不動点なので、これは Lefschetz不動点公式 の類似である。ただし $X$ は固有でなくても特異でもよく、不動点に重複度が付かない。
この公式の一般形は、$X_0$ の上の層の茎への Frobenius の跡を点ごとに足したものが、コホモロジーへの作用の跡の交代和に等しいと述べる。これにより、$\mathbb{F}_q$ 上の点の上の指標和が層のコホモロジーの言葉で扱える。合同ゼータ関数や $L$ 関数の有理性はその言い換えであり、Weil予想 の証明の出発点である。
一般の形の証明は長く、この記事では主張と筋を述べて引用する。そのかわり、滑らかな射影曲線の自己射についての Weil の公式を証明し、そこから、有限のモノドロミーをもつ層を係数とする滑らかな曲線の場合の跡公式を導く。
| 結果 | 内容 |
|---|---|
| thm-gl-main | 跡公式の一般形（引用） |
| prop-gl-l-function | $L$ 関数の形への言い換え |
| prop-gl-additive | 開集合と閉補集合についての加法性 |
| thm-gl-curve | 滑らかな射影曲線の自己射の公式 |
| cor-gl-curve-frobenius | 滑らかな射影曲線の点の個数 |
| thm-gl-finite | 有限のモノドロミーをもつ層の跡公式 |
記号と規約
$\mathbb{F}_q$ を $q$ 元体、$\ell$ を $q$ を割らない素数、$X_0$ を $\mathbb{F}_q$ 上分離的で有限型のスキームとする。$X:=X_0\otimes_{\mathbb{F}_q}\bar{\mathbb{F}}_q$ とおき、$F\colon X\to X$ を $X_0$ の $q$ 乗 Frobenius と $\bar{\mathbb{F}}_q$ の恒等写像の積とする（Frobenius写像）。$F$ は $\bar{\mathbb{F}}_q$ 上の射で、座標を $q$ 乗する。$F$ は点の上で全単射であり、微分は $0$ である。$F^m$ の不動点の全体は $X_0(\mathbb{F}_{q^m})$ である。
$\mathcal{F}_0$ を $X_0$ の上の構成可能な $\mathbb{Q}_\ell$ 層とし（ℓ進層）、$\mathcal{F}$ を $X$ への引き戻しとする。$\mathcal{F}$ は $X_0$ から来るので、標準的な同型 $F^*\mathcal{F}\cong\mathcal{F}$ をもつ（SGA4h Rapport §1）。これにより $F^*\colon H^i_c(X,\mathcal{F})\to H^i_c(X,\mathcal{F})$ が定まり、$F^mx=x$ となる点 $x$ では茎の自己準同型 $F^{m*}_x\colon\mathcal{F}_x\to\mathcal{F}_x$ が定まる。
コホモロジーへの $F^*$ の作用は、算術的 Frobenius $\varphi\colon a\mapsto a^q$ の逆元、すなわち幾何的 Frobenius の Galois 作用と一致する（SGA4h Rapport 1.8、Weil予想 の定義「幾何的 Frobenius の規約」）。この記事で扱う係数は捻りをもたない。$X_0$ の上の層として $\mathbb{Q}_\ell(1)$ を考えると幾何的 Frobenius は $q^{-1}$ 倍で作用するが、thm-gl-curve の証明で $\mathbb{Z}_\ell(1)\cong\mathbb{Z}_\ell$ を固定するのは代数閉体上の定数係数の議論の中だけである。
跡公式
すべての $m\ge1$ について
$$
\sum_{x\in X_0(\mathbb{F}_{q^m})}\operatorname{tr}\bigl(F^{m*}_x\mid\mathcal{F}_x\bigr)=\sum_i(-1)^i\operatorname{tr}\bigl(F^{m*}\mid H^i_c(X,\mathcal{F})\bigr)
$$
が成り立つ。
左辺の各項は $x$ の茎だけで決まり、右辺は $X$ 全体の情報である。$X_0$ の閉点 $x$ に対し $\deg x=[\kappa(x):\mathbb{F}_q]$ とおき、次の $L$ 関数を考える。
$$
L(X_0,\mathcal{F}_0,t):=\prod_{x}\det\bigl(1-F^{\deg x\,*}_{\bar x}t^{\deg x}\mid\mathcal{F}_{\bar x}\bigr)^{-1}\in\mathbb{Q}_\ell[\![t]\!]
$$
積は閉点全体を走り、$\bar x$ は $x$ の上の幾何的点である。$\mathcal{F}_0=\mathbb{Q}_\ell$ のとき、これは合同ゼータ関数である。
thm-gl-main がすべての $m$ で成り立つことは、等式
$$
L(X_0,\mathcal{F}_0,t)=\prod_i\det\bigl(1-F^*t\mid H^i_c(X,\mathcal{F})\bigr)^{(-1)^{i+1}}
$$
と同値である。したがって thm-gl-main により $L(X_0,\mathcal{F}_0,t)$ は有理関数である。
$\mathbb{Q}_\ell$ の標数は $0$ なので、定数項 $1$ の冪級数の等式は $t\frac{d}{dt}\log$ の等式と同値である。有限次元空間の自己準同型 $\phi$ について $t\frac{d}{dt}\log\det(1-\phi t)^{-1}=\sum_{m\ge1}\operatorname{tr}(\phi^m)t^m$ である（Weil予想 の命題「跡と行列式」）。よって右辺の対数微分は $\sum_mt^m\sum_i(-1)^i\operatorname{tr}(F^{m*}\mid H^i_c(X,\mathcal{F}))$ である。
左辺の対数微分は $\sum_x\deg x\sum_{k\ge1}\operatorname{tr}(F^{k\deg x\,*}_{\bar x})t^{k\deg x}$ である。閉点 $x$ の上には $\deg x$ 個の幾何的点があり、$\deg x\mid m$ のときそれらはすべて $X_0(\mathbb{F}_{q^m})$ に入り、$\deg x\nmid m$ のときは入らない。同じ閉点の上の点の局所項は $F$ の作用で移り合うので等しい。したがって $t^m$ の係数は thm-gl-main の左辺に等しい。$\square$
$U_0\subset X_0$ を開、$Z_0$ をその閉補集合とする。thm-gl-main の左辺も右辺も、$X_0$ の値は $U_0$ の値と $Z_0$ の値の和である。とくに $U_0$ と $Z_0$ で公式が成り立てば $X_0$ でも成り立ち、$X_0$ と $Z_0$ で成り立てば $U_0$ でも成り立つ。
左辺は点の集合の分割である。右辺については、完全列 $0\to j_!j^*\mathcal{F}\to\mathcal{F}\to i_*i^*\mathcal{F}\to0$ の長完全列 $\cdots\to H^i_c(U,\mathcal{F})\to H^i_c(X,\mathcal{F})\to H^i_c(Z,\mathcal{F})\to\cdots$ は $F^*$ と両立する。有限次元空間の長完全列では跡の交代和は $0$ なので、主張を得る。$\square$
曲線の自己射
この節では $k$ を代数閉体、$\ell\ne\operatorname{char}k$、$Y$ を $k$ 上の滑らかな射影曲線（連結とは限らない）とし、$H^i:=H^i(Y,\mathbb{Q}_\ell)$ と書く。次の定理は Weil による（SGA4h Rapport Théorème 5.3、SGA4h Cycle §3 の Corollaire 3.7）。
$u\colon Y\to Y$ を $k$ 上の射で、どの既約成分の上でも恒等写像でないものとする。不動点 $x$ の局所パラメータ $t_x$ について $m_x:=\operatorname{ord}_x(t_x-u^*t_x)$ とおくと、不動点は有限個で
$$
\sum_{i=0}^2(-1)^i\operatorname{tr}\bigl(u^*\mid H^i\bigr)=\sum_{u(x)=x}m_x
$$
が成り立つ。$m_x=1$ となるのは $du_x\ne1$ のときであり、そのときに限る。
証明には次の 3 つの事実を使う。いずれもこの記事では証明しない。$\mathbb{Z}_\ell(1)\cong\mathbb{Z}_\ell$ を 1 つ固定する。$S:=Y\times Y$ とし、$a\times b:=p_1^*a\smile p_2^*b$ と書く。
- (K) Künneth公式：$H^*\otimes H^*\to H^*(S,\mathbb{Q}_\ell)$、$a\otimes b\mapsto a\times b$ は同型で、跡写像は $\int_S(a\times b)=\int_Ya\int_Yb$ をみたす（SGA4 XVII 定理 5.4.3、SGA4h Cycle 3.1）。
- (D) エタールコホモロジーのPoincaré双対性：$H^i\times H^{2-i}\to\mathbb{Q}_\ell$、$(a,b)\mapsto\int_Ya\smile b$ は完全な対である（成分ごとに、同記事の系「$\ell$ 進の形」）。
- (G) 滑らかな閉曲線 $C\subset S$ について、可逆層 $\mathcal{O}_S(C)$ の Kummer 類 $c(C)\in H^2(S,\mathbb{Q}_\ell)$ は、すべての $w\in H^2(S,\mathbb{Q}_\ell)$ で $\int_Sc(C)\smile w=\int_Cw|_C$ をみたす（SGA4h Cycle (2.3.3.1) と 2.3.6）。
$g=(\mathrm{id},u)\colon Y\to S$ をグラフ写像、$\Gamma=g(Y)$ とし、$\Delta$ を対角線とする。$\Gamma$ も $\Delta$ も $Y$ と同型な滑らかな閉曲線である。
手順 1：交点数の計算。 $g^*(a\times b)=a\smile u^*b$ なので、(G) から次の 2 つの等式を得る。
$$
\text{(A)}\quad\int_Sc(\Gamma)\smile(a\times b)=\int_Ya\smile u^*b,\qquad\text{(B)}\quad\int_Sc(\Delta)\smile(a\times b)=\int_Ya\smile b
$$
また (G) を $w=c(\Delta)$ に使い、Kummer 類が引き戻しと両立し、$\int_Y$ が可逆層の次数を与えることから、
$$
\int_Sc(\Gamma)\smile c(\Delta)=\int_Yg^*c(\Delta)=\deg g^*\mathcal{O}_S(\Delta)
$$
である。仮定から $g(Y)$ のどの成分も $\Delta$ に含まれないので、$g^*\Delta$ は $Y$ の有効因子で、台は不動点の集合である。とくに不動点は有限個である。不動点 $x$ の近くで $\Delta$ は $t_x\otimes1-1\otimes t_x$ を局所方程式とし、$g$ で引き戻すと $t_x-u^*t_x$ である。よって $g^*\Delta=\sum_xm_x[x]$ で、右辺の値は $\sum_xm_x$ である。$t_x-u^*t_x$ の $x$ での微分は $(1-du_x)dt_x$ なので、$m_x=1$ と $du_x\ne1$ は同値である。
手順 2：対角線類の展開。 $H^*$ の斉次な基底 $(e_k)$ をとり、(K) により $c(\Delta)=\sum_ke_k\times f_k$ と書く。$f_k$ は次数 $2-\deg e_k$ の斉次元である。(D) により、$H^{2-i}$ の基底 $(e_k)_{\deg e_k=2-i}$ に対して $\int_Ye_k\smile a_l=\delta_{kl}$ をみたす $H^i$ の基底 $(a_l)$ がある。$a\in H^i$ のとき次数付き可換性から
$$
(e_k\times f_k)\smile(a\times b)=(-1)^{i\deg f_k}(e_k\smile a)\times(f_k\smile b)
$$
で、$\int_S$ が $0$ でないのは $\deg e_k=2-i$、$\deg f_k=i$ の項だけである。(K) と (B) から、$a=a_l$ として、すべての $b\in H^{2-i}$ で
$$
(-1)^i\int_Yf_l\smile b=\int_Ya_l\smile b
$$
を得る。(D) から $f_l=(-1)^ia_l$ である。
手順 3：結論。 (A) と手順 2 から
$$
\int_Sc(\Gamma)\smile c(\Delta)=\sum_k\int_Sc(\Gamma)\smile(e_k\times f_k)=\sum_k\int_Ye_k\smile u^*f_k=\sum_i(-1)^i\sum_{\deg e_k=2-i}\int_Ye_k\smile u^*a_k
$$
である。$u^*a_k=\sum_l\mu_{lk}a_l$ と書くと $\int_Ye_k\smile u^*a_k=\mu_{kk}$ なので、内側の和は $\operatorname{tr}(u^*\mid H^i)$ である。手順 1 と合わせて主張を得る。$\square$
$Y$ が連結で $u$ が定数でなければ、$u^*$ は $H^0$ に恒等的に、$H^2$ に次数 $\deg u$ 倍で作用する。
$X_0$ を $\mathbb{F}_q$ 上の幾何的に連結な滑らかな射影曲線、$g$ をその種数、$\alpha_1,\dots,\alpha_{2g}$ を $H^1(X,\mathbb{Q}_\ell)$ への $F^*$ の固有値とする。すべての $m\ge1$ について
$$
\#X_0(\mathbb{F}_{q^m})=1-\sum_{j=1}^{2g}\alpha_j^m+q^m
$$
であり、$Z(X_0,t)=\prod_j(1-\alpha_jt)/\bigl((1-t)(1-qt)\bigr)$ である。固有値の全体は重複度こめて $\alpha\mapsto q/\alpha$ で保たれる。
$u=F^m$ に thm-gl-curve を使う。$dF=0$ なのですべての不動点で $m_x=1$ である。$F^m$ の次数は $q^m$ なので、$H^0$ と $H^2$ の跡は $1$ と $q^m$ である。$H^1$ の次元が $2g$ であることと固有値の対称性は エタールコホモロジーのPoincaré双対性 の系「$\ell$ 進の形」と命題「次数 $m$ の射と固有値」による。ゼータ関数の形は prop-gl-l-function で $\mathcal{F}_0=\mathbb{Q}_\ell$ とすればよい。$\square$
$|\alpha_j|=\sqrt q$ はこの公式からは出ない。それは曲線の Riemann 予想であり、Weil予想 の主張である。
有限のモノドロミーをもつ層
thm-gl-curve は被覆の上でも使える。$Y_0$ を $\mathbb{F}_q$ 上の滑らかな射影曲線（幾何的に連結とは限らない）、$G$ を $Y_0$ に $\mathbb{F}_q$ 上の自己同型として作用する有限群、$V_0\subset Y_0$ を $G$ で安定で $G$ が自由に作用する稠密な開集合、$U_0:=V_0/G$ とする。$\rho\colon G\to GL(W)$ を $\mathbb{Q}_\ell$ の有限次拡大 $E$ 上の有限次元表現、$\chi$ をその指標とする。エタールな $U'\to U_0$ の上の $\mathcal{F}_0$ の切断を、局所定数な写像 $s\colon V_0\times_{U_0}U'\to W$ で $s(gy)=\rho(g)s(y)$ をみたすものと定める。連結で滑らかな曲線 $U_0$ の上の局所定数層でモノドロミーが有限なものは、すべてこの形である。
$U:=U_0\otimes\bar{\mathbb{F}}_q$、$V:=V_0\otimes\bar{\mathbb{F}}_q$ とおく。$x\in U_0(\mathbb{F}_{q^m})$ の上の点 $y\in V$ をとると、$F^m$ は $x$ のファイバーを保ち、$G$ はファイバーに単純推移的に作用するので、$F^my=g_yy$ となる $g_y\in G$ が一意に定まる。$F^m$ は $G$ と可換なので $g_{hy}=hg_yh^{-1}$ であり、$g_y$ の共役類は $x$ だけで決まる。
上の設定で $\mathcal{F}_x$ への $F^{m*}_x$ の跡は $\chi(g_y)$ であり、
$$
\sum_{x\in U_0(\mathbb{F}_{q^m})}\chi(g_y)=\sum_i(-1)^i\operatorname{tr}\bigl(F^{m*}\mid H^i_c(U,\mathcal{F})\bigr)
$$
が成り立つ。ここで $y$ は $x$ の上の点である。
茎 $\mathcal{F}_x$ は $s\mapsto s(y)$ で $W$ と同一視され、$(F^{m*}s)(y)=s(F^my)=s(g_yy)=\rho(g_y)s(y)$ である。よって跡は $\chi(g_y)$ である。
$Y:=Y_0\otimes\bar{\mathbb{F}}_q$ とし、$g\in G$ について $u_g:=g^{-1}\circ F^m\colon Y\to Y$ とおく。$u_g$ の微分は $0$ なので、thm-gl-curve により $\sum_i(-1)^i\operatorname{tr}(u_g^*\mid H^i(Y,E))$ は $u_g$ の不動点の個数である。$T:=Y-V$ は $u_g$ で保たれる有限集合で、$H^0(T,E)$ への $u_g^*$ の跡は $T$ の不動点の個数である。prop-gl-additive の証明と同じ長完全列から
$$
\sum_i(-1)^i\operatorname{tr}\bigl(u_g^*\mid H^i_c(V,E)\bigr)=\#\{y\in V\mid F^my=gy\}
$$
を得る。
$\pi\colon V\to U$ は $G$ torsor で、$E$ の標数は $0$ だから、$H^i_c(U,\mathcal{F})=(H^i_c(V,E)\otimes W)^G$ である。ここで $G$ は $(g^{-1})^*\otimes\rho(g)$ で作用し、$F^{m*}$ は $F^{m*}\otimes1$ に対応する。射影子 $P=|G|^{-1}\sum_g(g^{-1})^*\otimes\rho(g)$ を使うと、$F^{m*}(g^{-1})^*=u_g^*$ なので
$$
\operatorname{tr}\bigl(F^{m*}\mid H^i_c(U,\mathcal{F})\bigr)=\operatorname{tr}\bigl((F^{m*}\otimes1)P\bigr)=\frac1{|G|}\sum_g\chi(g)\operatorname{tr}\bigl(u_g^*\mid H^i_c(V,E)\bigr)
$$
である。交代和をとり、上の等式を代入すると、右辺は $|G|^{-1}\sum_g\chi(g)\#\{y\in V\mid F^my=gy\}$ となる。$F^my=gy$ となる $y$ の像は $U_0(\mathbb{F}_{q^m})$ の点で、逆にその点 $x$ の上の $|G|$ 個の点 $y$ はそれぞれ $g=g_y$ についての解である。$\chi$ は類関数なので、値は $\sum_x\chi(g_y)$ である。$\square$
$G$ が自明で $W=E$ なら、これは開いた滑らかな曲線の点の個数の公式である（SGA4h Rapport Corollaire 5.4）。SGA4h Rapport Lemme 5.2 は同じ状況を $\mathbb{Z}/\ell^n$ 加群の係数で、群環のトレースを使って扱い、一般の場合の核心はそこにある。
例
$\mathbb{P}^1$ では $H^0,H^2$ だけが $0$ でなく、$F^{m*}$ の跡は $1,q^m$ で、和は $\#\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_{q^m})=q^m+1$ である。$\infty$ を除くと $H^2_c(\mathbb{A}^1)\cong H^2(\mathbb{P}^1)$ だけが残り、値は $q^m$ である。さらに $0$ を除くと、長完全列 $H^0(\mathbb{P}^1)\to H^0(\{0,\infty\})\to H^1_c(\mathbb{G}_m)\to0$ から $H^1_c(\mathbb{G}_m,\mathbb{Q}_\ell)$ は 1 次元で $F^*$ は恒等的であり、交代和は $-1+q^m=\#\mathbb{G}_m(\mathbb{F}_{q^m})$ である。
$E$ を $\mathbb{F}_q$ 上の楕円曲線、$\phi$ を $q$ 乗 Frobenius 自己準同型、$a=q+1-\#E(\mathbb{F}_q)$ とする。$H^1(\bar E,\mathbb{Q}_\ell)$ は $V_\ell E$ の双対で、$F^*$ は $\phi$ の転置である。$\phi$ の $T_\ell E$ の上の特性多項式は $T^2-aT+q$ であり（Sil09 Proposition V.2.3）、cor-gl-curve-frobenius は $\#E(\mathbb{F}_{q^m})=q^m+1-\alpha^m-\beta^m$ を与える。これは $\deg(1-\phi^m)$ の計算による公式（Sil09 Theorem V.2.3.1、有限体上の楕円曲線）と一致する。たとえば $\mathbb{F}_2$ 上の $E\colon y^2+y=x^3$ では点は $\infty,(0,0),(0,1)$ の 3 個で $a=0$、$\alpha,\beta=\pm\sqrt{-2}$ である。公式は $\#E(\mathbb{F}_4)=4+1+4=9$ を与え、$x=0$ の $2$ 点、$x\ne0$ の $3\times2$ 点、$\infty$ と数えた値に一致する。
$q$ を奇数、$C_0$ を原点に結節点をもつ既約な 3 次曲線 $y^2=x^2(x+c)$（$c\in\mathbb{F}_q^\times$）とする。正規化 $\mathbb{P}^1\to C$ は結節点の上の 2 点だけを同一視するので、$H^1(C,\mathbb{Q}_\ell)$ は 1 次元で、$F^*$ はこの 2 点の入れ替えの符号 $\varepsilon$ である。$\varepsilon=1$ となるのは $c$ が平方のときである。公式の右辺は $1-\varepsilon^m+q^m$ である。左辺は、$\mathbb{P}^1$ の $q^m+1$ 点から、$\varepsilon^m=1$ なら $2$ 点を $1$ 点にまとめて $1$ を引き、$\varepsilon^m=-1$ なら結節点を加えて $1$ を足したものなので、$q^m+1-\varepsilon^m$ となって一致する。$C$ は特異だが公式は成り立つ。
$Y_0=\mathbb{P}^1$ の座標を $y$ とし、$G=\mathbb{F}_q$ を $y\mapsto y+c$ で作用させ、$V_0=\mathbb{A}^1$、$U_0=V_0/G=\mathbb{A}^1$（座標 $z=y^q-y$）とする。$\psi\colon\mathbb{F}_q\to E^\times$ を自明でない加法的指標とし、$\rho=\psi$ として thm-gl-finite を使う。$z\in\mathbb{F}_{q^m}$ の上の $y$ について
$$
F^my=y^{q^m}=y+\sum_{j=0}^{m-1}(y^q-y)^{q^j}=y+\operatorname{Tr}_{\mathbb{F}_{q^m}/\mathbb{F}_q}(z)
$$
なので、$g_y$ は $\operatorname{Tr}(z)$ である。$H^*_c(V,E)$ は $H^2_c(\mathbb{A}^1)$ だけで $G$ は自明に作用するから、$H^*_c(U,\mathcal{F})=(H^*_c(V,E)\otimes\psi)^G=0$ である。よって公式は $\sum_{z\in\mathbb{F}_{q^m}}\psi(\operatorname{Tr}z)=0$ となる。$\psi\circ\operatorname{Tr}$ は $\mathbb{F}_{q^m}$ の自明でない指標なので、これは指標の直交性である。同じ形の層と Kummer 被覆の層を掛けると Gauss和 が現れる。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $\ell\ne p$ | $\mathbb{F}_2$ 上の $E\colon y^2+y=x^3$、$\ell=2$ | 右辺は $1$ だが点の個数は $3$ |
| $H^*$ ではなく $H^*_c$ | $\mathbb{G}_m$ の通常のコホモロジー | 交代和は $1-q$ で、点の個数 $q-1$ と符号が違う |
| 幾何的 Frobenius の作用 | $\mathbb{P}^1$ で $F^*$ のかわりに逆写像を使う | 交代和は $1+q^{-1}$ で、$q+1$ と違う |
| 不動点の重複度が $1$ | $\mathbb{P}^1$ の $u(x)=x+1$ | 交代和は $2$ だが不動点は $\infty$ の $1$ 個 |
表の確かめを開く
1 行目：$E$ は超特異であり（超特異楕円曲線 の例「標数が 2 または 3 のとき $j=0$ が超特異」）、Frobenius は $H^1(\bar E,\mathcal{O})$ に $0$ で作用する（Hasse不変量）。Artin–Schreier 列の長完全列で $F-1$ は $H^0(\mathcal{O})$ で全射で、$H^1(\mathcal{O})$ で全単射なので、$H^1(\bar E,\mathbb{Z}/2)=H^2(\bar E,\mathbb{Z}/2)=0$ である。同様に $\mathbb{Z}/2^\nu$ 係数も $H^0$ だけが残り、$\mathbb{Q}_2$ 係数の交代和は $1$ である。
2 行目：$H^1(\mathbb{G}_m,\mu_n)$ は単元 $t$ の類で生成され、$F^*t=t^q$ なので $F^*$ は $q$ 倍である。よって通常のコホモロジーの交代和は $1-q$ である。
3 行目：$H^2(\mathbb{P}^1)$ の上の $F^*$ は $q$ 倍なので、逆写像は $q^{-1}$ 倍である。
4 行目：$w=1/x$ とすると $u^*w=w/(1+w)$ で、$w-u^*w=w^2/(1+w)$ だから $m_\infty=2$ である。thm-gl-curve の両辺はともに $2$ で、公式そのものは重複度をこめて成り立つ。Frobenius の場合に重複度が現れないのは $dF=0$ による。
1 行目の例でも、点の個数と右辺は $2$ を法として合同である。$p$ 進の係数で情報を得るには、$\ell$ 進の代わりに 結晶コホモロジー を使う。
一般の場合の証明の筋
この節の内容はこの記事では証明しない（SGA4h Rapport §3–§6）。
prop-gl-additive と Leray スペクトル系列、固有底変換により、$X_0$ を点、または滑らかな曲線で $\mathcal{F}_0$ が局所定数の場合に帰着できる（同 3.7、§6）。一般の $\mathbb{Q}_\ell$ 層のモノドロミーは有限でないので、thm-gl-finite を直接は使えない。そこで係数を $\mathbb{Z}/\ell^n$ に落とす。このとき $H^i_c$ は自由加群とは限らないが、複素 $R\Gamma_c(X,\mathcal{F})$ は完全複体であり、その跡が定義される（同 §4）。$\mathbb{Z}/\ell^n$ 係数の局所定数層のモノドロミーは有限である。
曲線の場合には、被覆の群 $G$ の群環 $\mathbb{Z}/\ell^n[G]$ を係数とする非可換な跡を使う。これが Nielsen–Wecken の方法で、thm-gl-curve を捻った Frobenius に適用して $G$ の各元の成分を計算する（同 §5）。thm-gl-finite の証明は、$|G|$ が可逆な $\mathbb{Q}_\ell$ 係数のときのこの議論の単純な形である。別の方法として、固有な場合には Lefschetz–Verdier の公式から局所項を計算する道がある（同 3.8）。
Lefschetz不動点公式 が滑らかな射影多様体の場合を形式的に扱うのに対し、一般の形の特徴は局所項が茎だけで決まることである。$X$ と $\mathcal{F}$ が滑らかなら、これは $F$ のグラフが対角線と横断的であることに対応する（同 3.6）。
関連項目
参考文献
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