正規化

前提知識: 整閉包, スキーム, 整拡大

正規化で何が変わるか

曲線 $y^2=x^3$ の原点には尖点がある。パラメータ表示 $x=t^2,\ y=t^3$ を使うと、パラメータ直線から曲線への写像が得られ、尖点を滑らかな点で置き換えられる。この操作の代数的な中身は、座標環 $k[t^2,t^3]$ を同じ分数体の中で整閉な環 $k[t]$ に広げることである。環での 整閉包 をスキーム全体に貼り合わせたものを正規化（normalization）という。
正規化は特異点を調べる基本的な手段だが、その意味は「常に滑らかな空間に直す」ことではない。正規化後の空間は正規になり、曲線では条件のもとで非特異になる。高次元では正規な特異点も残りうる。また正規化射はいつも整かつ全射だが、有限射になるには条件が要る。以下ではまず整スキームで構成を定義し、複数の成分がある場合に広げる。

ここで $A^\nu$ は分数体の中にある $A$ 上整な元をすべて加えた環である。環としての正規化は 整閉包 に詳しい。射 $\nu$ は、空間の各アフィン部分で $\operatorname{Spec}A^\nu\to\operatorname{Spec}A$ と書けることが本記事の出発点となる。整閉包と局所化が可換であることは、選ぶアフィン開被覆を変えても同じ $X^\nu$ になる理由である（Stacks Tag 035E）。
この射について、整スキームの場合には次が成り立つ。$A^\nu$ は $A$ の整拡大で、商体は $K$ のままなので、$\nu$ は整で全射かつ双有理である。$A^\nu$ は整閉整域だから $X^\nu$ は正規スキームになる。全射性は整拡大の lying over、双有理性は生成点での関数体が同じであることから分かる。ここには Noether 性も有限型性も仮定していない。

この命題は「正規化が変更する部分は非正規な点の上に限られる」という意味である。滑らかな点は正規だから、その上では変わらない。ただし非正規な点の上に何点現れるかは一律ではない。尖点では一つ、結節点では二つの枝に分かれる。この違いを後で具体的に計算する。
正規化は任意の特異点に対して「もっとも滑らかな」空間を選ぶ操作ではない。構成を決めるのは関数体内の整な元であり、どの特異点を何回ブローアップするかという選択は入らない。このため正規化射は関数体を変えずに一意に定まり、後で別の特異点解消と比べる基準にもなる。

正規な空間からの普遍性

正規化は「正規な空間から $X$ へ向かう写像を受け止める」という性質でも特徴づけられる。条件に支配性が必要であることに注意する。支配的とは、像が $X$ で稠密であり、整スキームなら生成点が生成点へ写ることである。

支配的でない任意の射に同じ主張を適用してはいけない。たとえば結節点だけへ写す一点からの射は、正規化の上にある二つの枝の点のどちらへ持ち上げるかを一意に決めない。上の命題は、関数体の写像が決まる支配的な状況での一意性である。より一般のスキームでの正確な条件は Stacks Tag 035E の Lemma 29.55.5 にある。

尖点と結節点

体 $k$ 上の曲線では、正規化射を具体的なパラメータ $t$ で書けることが多い。二つの例は「特異点が何点に分かれるか」を区別する。どちらも正規化後はアフィン直線だが、尖点の原点は一つの点に、結節点の原点は二つの点に対応する。以下の環は $k[t]$ の部分環として扱う。

例の「$k[t]$ は整閉だからこれが整閉包である」という一歩は、$A\subset k[t]\subset\operatorname{Frac}(A)$ と、$k[t]$ が $A$ 上整であることを使う。$k[t]$ は $A$ の商体の中の整閉な中間環で、$A$ の整閉包はすべての整閉な中間環に含まれる。一方 $t$ 自身が整なので $k[t]$ は整閉包に含まれ、両者が等しい（整閉包 の命題「中間の環の整閉包」）。

尖点と結節点では、どちらも正規化射は有限かつ双有理で、特異点以外では同型である。しかし正規化射は一般に位相空間の同相写像とは限らない。結節点の二つの点を一つに写すからである。また尖点のように点の数が変わらなくても、局所環が変わるため同型ではない。「点を増減させる操作」とだけ理解すると尖点を取り逃す。

複数の既約成分と非被約スキーム

正規化は整スキームだけに限られない。$X$ の各準コンパクトな開集合に既約成分が有限個あると仮定する。これは局所 Noether スキームなどで満たされる。まず被約化 $X_{\mathrm{red}}$ をとり、各既約成分に被約誘導構造を入れてそれぞれを正規化し、得られた空間の直和を $X^\nu$ とする。この構成はアフィン開集合上では全商環の中の整閉包に一致する（Stacks Tag 035E, Lemma 29.55.2、29.55.3、29.55.6）。

冪零元がある $X$ でも正規化はまず $X_{\mathrm{red}}$ を通る。正規化は冪零元を保持して別の「正規な厚み」にするのではない。たとえば $\operatorname{Spec}k[\epsilon]/(\epsilon^2)$ の正規化は $\operatorname{Spec}k$ である。厚みを忘れる被約化と、分数体に整な元を加える操作は、この場合には別々の段階として理解するとよい。

正規化射はいつ有限になるか

整な射と有限射は異なる。$A^\nu$ の各元が $A$ 上整であることは、$A^\nu$ を生成するのに有限個の元で足りるという主張ではない。正規化射 $\operatorname{Spec}A^\nu\to\operatorname{Spec}A$ が有限であることは、$A^\nu$ が有限生成 $A$ 加群であることに等しい。尖点と結節点では $1,t$ で生成できたが、その計算を任意の環に広げてはならない。

この命題の仮定は「$X$ が体上局所有限型」である。単なる整スキームに対して正規化射が有限と断じてはならない。局所 Noether だけでも、一般の次元では有限性を保証しない。一方、体上の代数多様体では条件を満たすから、正規化を有限な双有理射として扱える。有限性があると各点の逆像が有限集合となり、尖点・結節点の例のような「枝の個数」を点で考えやすくなる。
1 次元ではさらによいことが起こる。局所 Noether な整曲線の正規化は、閉点の局所環が離散付値環、生成点の局所環が関数体となる正規曲線であり、したがって正則である（Stacks Tag 0C44）。体 $k$ が完全なら、$k$ 上有限型の正規な曲線は滑らかでもある。$k$ が不完全な場合、「正規」や「正則」を無条件に「$k$ 上滑らか」と読み替えない。次元が $2$ 以上なら、正規化後にも特異点は残りうる。たとえば 2 次錐 $\operatorname{Spec}k[x,y,z]/(xy-z^2)$ は正規でも原点に特異点をもつ（整閉包 の注意「正規化と特異点」）。

「繊維が有限」と「射が有限」も別の主張である。局所 Noether な 1 次元スキームでは Krull–秋月の定理により正規化の繊維は有限であるが、それだけで正規化射が有限になるわけではない（Stacks Tag 0C44, Lemma 33.41.1）。用語が似ていても、どの有限性を使うかを区別する。

関数体の拡大の中での正規化

通常の正規化では整スキーム $X$ の関数体 $K(X)$ を変えない。しかし有限な体拡大 $L/K(X)$ が先に与えられているとき、$X$ の座標環を $L$ の中で整閉包にして新しいスキームを得ることも「$L$ における正規化」という。これは被覆を作るときによく使う。通常の正規化と区別して、どの体の中で整閉包を取ったかを明示する。

この射は生成点で $\operatorname{Spec}L\to\operatorname{Spec}K$ を与えるので、$L\ne K$ なら一般に双有理ではない。$X$ が体上有限型など Nagata の条件を満たす場合は有限射になる。たとえば $X=\operatorname{Spec}k[s]$、$L=k(t)$、$s=t^2$ とすると、$k[s]$ の $L$ における整閉包は $k[t]$ で、得られる射は $t\mapsto t^2$ である。通常の正規化なら $k[s]$ は既に整閉なので同型になる。前者と後者を混同すると、「正規な曲線なのに正規化が非自明」という見かけの矛盾が生じる。
名前の似た Noether の正規化定理は、体上有限生成な代数を多項式環上有限にする定理であり、ここでいうスキームの正規化射そのものを構成する手順ではない。この定理は正規化の有限性を証明する際の道具になりうるが、結論として現れる多項式環と $A^\nu$ を同じ環だと考えてはいけない。さらに、確率分布やベクトルの大きさを調整する一般語の「正規化」も別の操作である。本記事の $\nu$ は、整閉包を使う代数幾何の意味に限る。
複素解析空間でも曲線の正規化を考える。尖点の例の $t\mapsto(t^2,t^3)$ は、$k=\mathbb{C}$ として複素点で見れば正則な写像であり、解析的な尖点の正規化の具体例にもなる。ただし一般の複素解析空間では座標環が一つの環として与えられるとは限らないので、ここで定義した代数スキームの構成をそのまま定義と呼ばない。解析的な局所環を用いる対応する構成がある。

反例：仮定を外すと崩れること

正規化についての命題の仮定を一つずつ外した反例を並べる。

各行の確認は次のとおりである。

• 支配的でない射：ex-normalization-node の正規化 $t\mapsto(t^2-1,t(t^2-1))$ で、結節点の上には $t=1$ と $t=-1$ の二点がある。一点 $Y=\operatorname{Spec}k$（正規な整スキーム）を結節点へ送る射 $f$ は、$Y$ を $t=1$ へ送る射と $t=-1$ へ送る射のどちらとも $\nu\circ\widetilde f=f$ を満たすので、持ち上げは一意でない。$f$ の像は一点で稠密でなく、支配的でない。
• 正規でない $Y$：$X=\operatorname{Spec}A$、$A=k[t^2,t^3]$ とし、恒等射 $X\to X$ が $\nu$ を通って分解したとする。すると $\nu$ の切断 $g:X\to\mathbb A^1_k$ があり、環では $k[t]\to A$ で $A$ 上恒等な準同型 $g^\sharp$ を得る。$a=g^\sharp(t)\in A$ は $a^2=g^\sharp(t^2)=t^2$ を満たすので、整域 $k[t]$ の中で $a=\pm t$ となるが、$t\notin A$ なので矛盾する。恒等射は支配的だが、$Y=X$ が正規でないため分解しない。
• 有限型を外す：$L/k$ を無限次の代数拡大（たとえば $k=\mathbb Q$、$L=\overline{\mathbb Q}$）、$A=k+tL[t]$ とする。$tL\subset A$ と $t\in A$ から $L\subset\operatorname{Frac}(A)$ なので $\operatorname{Frac}(A)=L(t)$。$L$ の元は $k$ 上整、$t\in A$ なので $L[t]$ は $A$ 上整で、$L[t]$ は整閉整域（UFD）だから $A^\nu=L[t]$ である。もし $L[t]$ が有限生成 $A$ 加群なら、$A$ と $L[t]$ に共通のイデアル $J=tL[t]$ で割って、$L[t]/J\cong L$ が $A/J\cong k$ 上有限次元になるはずだが、$[L:k]=\infty$ に反する。よって $\operatorname{Spec}A$ は整スキームだが、正規化射は整・全射でも有限でない（$A$ は Noether でもない）。
• 体を拡大した正規化：本文のとおり $k[s]$ の $k(t)$ における整閉包は $k[t]$ で、$t\mapsto t^2$ は生成点で $\operatorname{Spec}k(t)\to\operatorname{Spec}k(s)$（次数 $2$）を与え双有理でない。$\operatorname{Spec}k[s]$ は正規なのにこの「正規化」は同型でない。prop-normalization-normal-locus は $L=K$ の通常の正規化についての主張である。
• 次元 $2$ では特異点が残る：$A=k[x,y,z]/(xy-z^2)$ は正規で（整閉包 の注意「正規化と特異点」）、prop-normalization-normal-locus より正規化は同型である。しかし原点で $f=xy-z^2$ の偏導関数 $y,x,-2z$ はすべて零なので、余接空間 $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ は三次元で、次元 $2$ を上回り正則でない。
• 不完全体では正規でも滑らかとは限らない：$f=y^2-x^p+a\in k[x,y]$ は、$x^p-a$ が $k[x]$ で既約（$a$ は $k$ で $p$ 乗根をもたない）かつ平方でないので $k(x)$ 上 $y$ の二次式として既約で、$C=V(f)$ は整な曲線である。$\partial f/\partial x=-px^{p-1}=0$、$\partial f/\partial y=2y$ なので、ヤコビ行列が零になるのは $y=0$、$x^p=a$ の点 $P$ だけで、$P$ で $C$ は $k$ 上滑らかでない。しかし $P$ の極大イデアル $\mathfrak m=(y,x^p-a)$ で $x^p-a=y^2$ なので $\mathfrak m=(y)$ は一元生成で、$P$ の局所環は離散付値環である。他の点は滑らかなので $C$ は正則、特に正規だが、$k$ 上滑らかでない。

関連項目

• 前提: 整閉包
• 直後に読む: 正規スキーム
• 射の性質: 有限射, 双有理写像
• 比較: 特異点解消