複素楕円曲線の一意化

同義語：uniformization of complex elliptic curves

概要

前提知識: 楕円曲線, 不変微分(楕円曲線), 複素多様体, 格子(群), Weierstrassの楕円関数

定義と一意化の意味

複素楕円曲線は、代数方程式で定まる曲線であると同時に、複素数の加法を二つの周期で割って得られる群でもある。一意化はこの二つの記述を結ぶ。格子から曲線を作る方向は Weierstrass の楕円関数で具体的に書ける。ここで中心となるのは逆の方向、すなわち与えられた曲線から格子を取り出すことである。

複素楕円曲線の一意化

複素楕円曲線とは、複素数体上の滑らかな射影種数 $1$ の代数曲線 $E$ と、指定した点 $O\in E(\mathbb C)$ との組である。$O$ を単位元とする代数的な群法を備える。
その一意化とは、階数 $2$ の格子
$$ \Lambda=\mathbb Z\omega_1+\mathbb Z\omega_2\subset\mathbb C, \qquad \operatorname{Im}(\omega_2/\omega_1)\ne0 $$
と、複素解析的な群の同型 $\mathbb C/\Lambda\to E(\mathbb C)$ のことである。格子とは、ここでは実平面 $\mathbb C$ の実線型独立な二つのベクトルの整数係数線型結合全体をいう。商には複素解析的な商空間の構造を入れる。

指定した非零の不変正則微分 $\omega$ もデータに入れると、同型の自由度を消せる。これは単に格子を相似まで求めることと、実際の部分集合 $\Lambda\subset\mathbb C$ を求めることの違いである。たとえば微分を $a\omega$ に取り替えると、周期もすべて $a$ 倍される。

微分を指定した複素楕円曲線の一意化

複素楕円曲線 $(E,O)$ と非零の不変正則微分 $\omega$ に対し、正則な全射群準同型
$$ \exp_\omega\colon\mathbb C\longrightarrow E(\mathbb C), \qquad \exp_\omega^*\omega=dz $$
がただ一つ存在する。その核 $\Lambda_\omega$ は階数 $2$ の格子であり、誘導写像 $\mathbb C/\Lambda_\omega\to E(\mathbb C)$ は双正則な群同型である。さらに
$$ \Lambda_\omega=\left\{\int_\gamma\omega\ \middle|\ \gamma\text{ は }O\text{ を始終点とする区分的滑らかな閉路}\right\} $$
である。

存在の核心は局所座標で群演算を足し算へ変えることにある。曲線全体の道を先に積分して多価関数を扱う代わりに、原点の小さな近傍だけで積分する。その逆写像を細かく分割した複素数へ適用し、群の和をとって大域写像を作る。コンパクト性を使うのは、その核が二つの独立な周期をもつと示す段階である。
主張の存在部分と格子による分類は Har77 IV.4、定理4.14B・4.15Bに対応する。以下では上半平面の条件を明示し、局所加法座標から構成を与える。

局所加法座標から大域写像へ

曲線のコンパクト性と連結性

複素楕円曲線は原点を保つ同型によって
$$ E\colon y^2=4x^3-c_2x-c_3, \qquad c_2^3-27c_3^2\ne0 $$
と書ける。存在は Weierstrass方程式の定理「存在と一意性」による。ここでの群法は射なので正則であり、$E(\mathbb C)$ は複素次元 $1$ の複素 Lie 群になる。具体的には、曲線上の局所座標で加法と逆元が正則であるという意味である。射影空間の閉部分集合だから $E(\mathbb C)$ はコンパクトでもある。
この曲線の連結性は二重被覆から確認できる。$4x^3-c_2x-c_3$ は相異なる三根をもつ。射 $x\colon E\to\mathbb P^1$ はその三根と無限遠点で分岐する二重被覆である。これら四点を除いた球面は道連結で、分岐点の近くの写像は局所的に $w\mapsto w^2$ となる。分岐点を一周する道を持ち上げると二つのシートが交換される。したがって基点上の二点は同じ連結成分にあり、基底の任意の道を持ち上げれば被覆の全点がその成分へ入る。除いた有限個の分岐点もその閉包に入るので、$E(\mathbb C)$ は連結である。
この確認は、種数 $1$ の曲線が位相的なトーラスであることを先に仮定していない。二つの独立な周期が現れることは、後で離散部分群を調べることから従う。

微分を積分して加法座標を作る

$\omega$ は平行移動で不変である。原点で零なら平行移動によってすべての点で零になるので、非零の $\omega$ はどこでも消えない。原点の局所座標 $w$ を $w(O)=0$ ととり、$\omega=g(w)\,dw$ と書くと $g(0)\ne0$ である。小さな円板ではべき級数を積分して
$$ u(P)=\int_O^P\omega,\qquad du=\omega,\quad u(O)=0 $$
と定められる。$u$ の微分は原点で零でないので、正則逆関数定理によって局所逆 $q$ が存在し、$q(0)=O$、$q^*\omega=dz$ となる。
平行移動不変性は、この座標での加法則を意味する。固定した小さい $P$ について、$Q$ の関数 $u(P+Q)-u(Q)$ の微分は零である。原点を含む小さな連結近傍で定数であり、$Q=O$ を代入するとその値は $u(P)$ である。したがって両辺の定義される十分小さな範囲で
$$ u(P+Q)=u(P)+u(Q),\qquad q(z+w)=q(z)+q(w) $$
となる。
円板を縮めて、ある $r>0$ に対し、$|z|,|w|,|z+w|< r$ なら最後の式が成立するようにできる。厳密には最初の座標近傍の中で $P+Q$ が定義範囲を出ないよう、原点近傍を先に縮め、その上で三つの点を含む座標円板を選ぶ。以後はこの固定した円板を用いる。

まず全射群準同型を構成する。$z\in\mathbb C$ に対し、$|z|/n< r$ となる正整数 $n$ を選んで
$$ \exp_\omega(z)=[n]q(z/n) $$
とおく。右辺の $[n]$ は曲線の群法で $n$ 回足す操作である。
選んだ $n$ から独立であることを確かめる。$m$ も許される整数なら、共通の分割数 $nm$ を使う。$k=0,\ldots,m$ に対して $|kz/(nm)|\le |z|/n< r$ なので、局所加法則を繰り返すと
$$ q(z/n)=[m]q(z/(nm)). $$
よって $[n]q(z/n)=[nm]q(z/(nm))$ である。同様に $m$ から出発しても同じ値に至る。ここでは途中の部分和も円板内に保つことが必要である。
各 $z$ の十分小さな近傍では同じ $n$ を選べるので、この写像は正則である。任意の $z,w$ に対して三つの数 $z/n,w/n,(z+w)/n$ が円板内に入るほど $n$ を大きくとれば、局所加法則から
$$ \exp_\omega(z+w)=[n]\bigl(q(z/n)+q(w/n)\bigr) =\exp_\omega(z)+\exp_\omega(w) $$
となる。原点近傍では $n=1$ を選べるから $\exp_\omega=q$ であり、原点での微分は零でない。準同型と平行移動を使うと全点で局所双正則で、引き戻しの微分は $\exp_\omega^*\omega=dz$ となる。
像は原点の開近傍を含む部分群なので開集合である。補集合も他の剰余類の和として開集合になる。連結な $E(\mathbb C)$ に空でない開閉部分集合は全体しかないため、像は全体である。
核 $\Lambda_\omega$ は連続写像による一点の逆像なので閉集合である。原点近傍での単射性から、核の原点は孤立している。平行移動によって核の全点が孤立する。さらに異なる核点の距離は一様に正の下限をもつ。差も核に属し、原点近傍にほかの核点がないからである。とくにコンパクト集合と核との共通部分は有限である。
準同型のファイバーはちょうど核の剰余類なので、$\mathbb C/\Lambda_\omega\to E(\mathbb C)$ は全単射である。$\exp_\omega$ は局所双正則で開写像だから、この誘導写像は同相写像であり、局所的な正則逆ももつ。従って双正則同型であり、商はコンパクトである。核が階数 $2$ の格子であることは直後の補題で示す。
一意性について、同じ規格を満たす正則群準同型 $f$ をとる。原点近傍で $d(u\circ f)=dz$、$u(f(0))=0$ だから $u(f(z))=z$、すなわち $f=q$ である。任意の $z$ を十分細かく分割して $f(z)=[n]f(z/n)$ と書けば $f(z)=\exp_\omega(z)$ となる。$\square$

この構成で使った連結性とコンパクト性の役割は異なる。連結性は開部分群が全体であることに使い、コンパクト性は商の核に十分な周期があることに使う。局所的な加法座標だけでは、核が二つの周期をもつとは結論できない。

離散核が格子になる理由

コンパクトな商をもつ複素平面の離散部分群

$\Gamma\subset(\mathbb C,+)$ を閉離散部分群とし、$\mathbb C/\Gamma$ がコンパクトであるとする。このとき $\Gamma$ は実線型独立な二つの元で生成される。

$\Gamma=0$ なら商は非コンパクトな $\mathbb C$ なので矛盾する。非零元のうち絶対値が最小の元 $\omega_1$ を選ぶ。存在する理由は、原点の近傍に非零元がなく、一つの非零元を含む閉円板と $\Gamma$ との共通部分が有限だからである。
もし $\Gamma\subset\mathbb R\omega_1$ なら、$\gamma=t\omega_1\in\Gamma$ から整数倍の $\omega_1$ を引いて $0\le t<1$ とできる。最小性により残りは零なので $\Gamma=\mathbb Z\omega_1$ となる。しかし $\operatorname{Im}(z/\omega_1)$ はこの商上で定義される連続関数で、上にも下にも有界でない。コンパクト性に反する。
従って $\omega_1$ と実線型独立な元がある。全体を $\omega_1$ で割り、$1\in\Gamma$ かつすべての非零元の絶対値が $1$ 以上の状況に直す。必要なら符号を替え、正の虚部 $H$ をもつ元を一つ選ぶ。実部を整数だけ動かせば、その元を $0\le\operatorname{Re}z<1$ へ入れられる。閉長方形 $0\le\operatorname{Re}z\le1$、$0\le\operatorname{Im}z\le H$ の格子候補点は有限個なので、この中の正の虚部の最小値 $h$ と、それをもつ元 $\eta$ が存在する。
任意の $\gamma\in\Gamma$ から整数倍の $\eta$ を引いて虚部を $[0,h)$ へ入れ、さらに整数を引いて実部を $[0,1)$ へ入れる。残りの虚部が正なら $h$ の最小性に反する。虚部が零なら、残りの絶対値は $1$ 未満なので非零元の最短性に反する。従って残りは零で、$\Gamma=\mathbb Z+\mathbb Z\eta$ となる。もとの尺度へ戻して $\omega_2=\omega_1\eta$ とすればよい。$\operatorname{Im}\eta>0$ だから二つの元は実線型独立である。$\square$

この補題を核 $\Lambda_\omega$ に適用すれば、一意化定理の格子性が示される。基本平行四辺形が曲線の全体を覆い、その対辺を同一視したものが $E(\mathbb C)$ になる。核の元に対応する閉路を作るには、複素平面の $0$ から $\lambda\in\Lambda_\omega$ への線分を $\exp_\omega$ で写せばよい。
逆に曲線上の閉路を複素平面へ持ち上げられることも、この局所構成から従う。核の原点以外の点を避ける十分小さな円板をとると、その各核点による平行移動は互いに交わらない。それぞれの円板上で $\exp_\omega$ は同じ近傍へ同型となり、その近傍の逆像はこれらの円板の和である。したがって $\exp_\omega$ は被覆写像である。閉路を原点から持ち上げた道の終点は核に属し、引き戻しの等式から
$$ \int_\gamma\omega=\int_{\widetilde\gamma}dz =\widetilde\gamma(1)-\widetilde\gamma(0)\in\Lambda_\omega $$
となる。逆の包含は先ほどの線分から従うので、定理に述べた周期の表示も証明された。

コンパクト性を外した反例

反例：核の階数が零または一になる群

加法群 $\mathbb C$ は連結な一次元複素 Lie 群であり、その指数写像は恒等写像にとれる。核は零群で、階数 $2$ の格子ではない。乗法群 $\mathbb C^\times$ では通常の指数関数 $z\mapsto e^z$ が全射正則群準同型であり、その核は $2\pi i\mathbb Z$ で階数 $1$ である。
前者が非コンパクトであることは絶対値が非有界であることから、後者も正の実数の絶対値が非有界であることから分かる。両者とも連結性・複素次元 $1$・局所的な加法座標をもつが、コンパクト性を満たさない。従って「連結な一次元複素 Lie 群の指数写像の核は階数 $2$」という含意は、コンパクト性なしには成立しない。

外す条件	反例	成り立たなくなる結論
コンパクト性	加法群 $\mathbb C$	核が非零であること
コンパクト性	乗法群 $\mathbb C^\times$	核に二つの実線型独立な周期があること
方程式の非特異性	$y^2=4x^3$	滑らかな射影種数 $1$ の曲線であること

最後の行では原点で二つの偏微分がともに消える。これは特異な三次曲線であり、楕円曲線の一意化定理の対象ではない。三次方程式の形だけからコンパクトな複素 Lie 群の構造を持ち込むことはできない。

指定した方程式を格子で実現する

格子から作る標準曲線を
$$ E_\Lambda\colon Y^2=4X^3-g_2(\Lambda)X-g_3(\Lambda),\qquad \Phi_\Lambda(z)=(\wp_\Lambda(z),\wp'_\Lambda(z)) $$
と書く。$z\in\Lambda$ では像を無限遠点とする。Weierstrassの楕円関数の定理「複素トーラスと楕円曲線の同型」により、これは双正則な群同型 $\mathbb C/\Lambda\to E_\Lambda(\mathbb C)$ である。さらに $\Phi_\Lambda^*(dX/Y)=dz$ である。ここでは $\wp$ の級数の収束・微分方程式・群法との両立性をこの定理から使う。

全係数の実現と格子の一意性

$c_2,c_3\in\mathbb C$ が $c_2^3-27c_3^2\ne0$ を満たすとする。このとき
$$ g_2(\Lambda)=c_2,\qquad g_3(\Lambda)=c_3 $$
となる格子 $\Lambda\subset\mathbb C$ がただ一つ存在する。この格子は曲線 $E\colon y^2=4x^3-c_2x-c_3$ の微分 $dx/y$ の周期格子である。

係数実現の根拠と周期格子との同定

二係数を同時に指定した格子の存在・一意性は、Weierstrassの楕円関数の定理「楕円曲線の一意化定理」と注意「楕円曲線の一意化定理の出典」による。この定理は $c_2=0$ または $c_3=0$ の場合も含み、必要なのは判別式が零でないことだけである。
そこで得られる格子が本記事の周期格子と同じであることを確認しよう。この格子を $\Lambda$ とすると $E_\Lambda=E$ であり、商写像と $\Phi_\Lambda$ の合成
$$ f\colon\mathbb C\longrightarrow\mathbb C/\Lambda\longrightarrow E(\mathbb C) $$
は正則な全射群準同型で $f^*(dx/y)=dz$ を満たす。すでに局所加法座標から証明した thm-ceu-uniformization の一意性により、$f=\exp_{dx/y}$ である。従って $\Lambda=\ker f=\Lambda_{dx/y}$ となり、閉路積分による周期の集合とも一致する。

ここで格子が一意というのは、曲線の同型類から一つの格子が定まるという意味ではない。方程式と微分の尺度を指定したため、相似の自由度まで固定されたのである。局所加法座標からの指数写像とその核の階数 $2$ の証明は、二係数を実現する格子の存在を使わずに与えた。上の確認は、格子和から得る係数の記述と、曲線上の微分を積分して得る記述とを結んでいる。

格子の相似と基底の向き

正則群同型は複素数倍で決まる

複素トーラスの正則群同型

二つの格子 $\Lambda,\Lambda'\subset\mathbb C$ に対し、正則群同型 $F\colon\mathbb C/\Lambda\to\mathbb C/\Lambda'$ が存在することと、ある $\alpha\in\mathbb C^\times$ について $\alpha\Lambda=\Lambda'$ となることは同値である。各正則群同型は $z\bmod\Lambda\mapsto\alpha z\bmod\Lambda'$ という形をもつ。

原点での $F$ の接写像は複素一次元線型空間の同型なので、ある非零の複素数 $\alpha$ による掛け算である。群準同型であることから全点の微分も平行移動でこの接写像へ移る。
$\pi\colon\mathbb C\to\mathbb C/\Lambda$ と $\pi'\colon\mathbb C\to\mathbb C/\Lambda'$ を商写像とし、$\mathbb C$ 上の正則写像
$$ D(z)=F(\pi(z))-\pi'(\alpha z) $$
を考える。標的の群の局所加法座標で計算すると、その微分は $\alpha-\alpha=0$ である。従って $D$ は局所定数で、$\mathbb C$ の連結性と $D(0)=0$ から恒等的に零である。
$\lambda\in\Lambda$ に対し $0=F(\pi(\lambda))=\pi'(\alpha\lambda)$ だから $\alpha\Lambda\subset\Lambda'$ である。逆写像の微分は $\alpha^{-1}$ で、同じ議論を使うと $\alpha^{-1}\Lambda'\subset\Lambda$ となるので等号を得る。逆に $\alpha\Lambda=\Lambda'$ なら、$z\mapsto\alpha z$ が商へ誘導する写像と $z'\mapsto\alpha^{-1}z'$ が誘導する写像は互いに逆の正則群準同型である。$\square$

相似による曲線分類と代数的な写像

代数曲線としての同型と格子の相似との同値は、Weierstrassの楕円関数の定理「楕円曲線の一意化定理」と注意「楕円曲線の一意化定理の出典」による。上の命題は、別に任意の解析的な正則群同型そのものの形を定めている。原点を保つ複素楕円曲線の代数的な同型は群法を保ち、$\Phi_\Lambda$ を通してこの命題の対象となる。
相似から生じる同型が代数的であることは、尺度の公式から具体的にも見える。$\Lambda'=\alpha\Lambda$ とすると
$$ \wp_{\Lambda'}(\alpha z)=\alpha^{-2}\wp_\Lambda(z),\qquad \wp'_{\Lambda'}(\alpha z)=\alpha^{-3}\wp'_\Lambda(z). $$
従って対応する曲線の写像は
$$ (X,Y)\longmapsto(\alpha^{-2}X,\alpha^{-3}Y) $$
である。これは三次方程式を保ち、無限遠点を無限遠点へ移す射影線型変換に延長する。逆も $\alpha$ を $\alpha^{-1}$ に替えた式で与えられるので、代数曲線の同型である。ここでは任意の双正則同型の逆を有理関数として表す議論は必要ない。曲線の同型類には格子そのものではなく、格子の相似類が対応する。

図式で書けば、対応する同型は次の関係を満たす。
$$ \begin{CD} \mathbb C @>{z\mapsto\alpha z}>> \mathbb C\\ @V{\pi}VV @VV{\pi'}V\\ \mathbb C/\Lambda @>{F}>> \mathbb C/\Lambda' \end{CD} $$
すなわち $F\circ\pi=\pi'\circ(\alpha\,\cdot)$ である。ここで $F$ の原点を保つ条件は重要である。原点を保たない同型なら平行移動が加わり、一般には群準同型そのものにはならない。

上半平面ではなぜ特殊線型群が現れるか

格子の基底をとり $\omega_1$ で割ると、相似な格子は $\Lambda_\tau=\mathbb Z+\mathbb Z\tau$ と書ける。基底の順を必要なら交換すれば $\operatorname{Im}\tau>0$ とできる。この選択は実平面の向きを固定している。

格子基底とモジュラー変換

$\tau,\tau'\in\mathbb C\setminus\mathbb R$ とする。$\Lambda_\tau$ と $\Lambda_{\tau'}$ が相似であることは、整数 $a,b,c,d$ で $ad-bc=\pm1$ を満たすものがあって
$$ \tau'=\frac{a\tau+b}{c\tau+d} $$
となることと同値である。とくに両者が上半平面に属するときは $ad-bc=1$ でよい。

相似であるとし、$\beta\Lambda_{\tau'}=\Lambda_\tau$ となる $\beta\ne0$ を選ぶ。$\beta,\beta\tau'$ は $\Lambda_\tau$ の整数基底なので
$$ \beta=c\tau+d,\qquad\beta\tau'=a\tau+b $$
と書け、基底変換が整数上可逆であることから $ad-bc=\pm1$ である。最初の式を二番目へ代入して分数線型変換を得る。逆に行列の行列式が $\pm1$ なら、$c\tau+d,a\tau+b$ は $\mathbb Z+\mathbb Z\tau$ の基底であり、$c\tau+d$ をくくれば格子の相似を得る。分母は、$\tau$ が非実であることと行列の可逆性から零でない。
最後に複素共役を使って虚部を計算すると
$$ \operatorname{Im}\frac{a\tau+b}{c\tau+d} =\frac{(ad-bc)\operatorname{Im}\tau}{|c\tau+d|^2} $$
となる。両者の虚部が正なら行列式は正なので $1$ である。$\square$

パラメータの範囲	許す基底変換	同型類を表す商
$\operatorname{Im}\tau>0$	行列式 $1$	$\mathfrak H/\operatorname{SL}_2(\mathbb Z)$
$\operatorname{Im}\tau\ne0$	行列式 $\pm1$	$(\mathbb C\setminus\mathbb R)/\operatorname{GL}_2(\mathbb Z)$

反例：上下の半平面を特殊線型群だけで同一視できない

$\Lambda_i=\mathbb Z+i\mathbb Z=\mathbb Z-i\mathbb Z=\Lambda_{-i}$ だから、$i$ と $-i$ は同じ格子を定める。しかし上の虚部の公式により、行列式 $1$ の実係数分数線型変換は虚部の符号を保存する。従って $i$ を $-i$ へ移す $\operatorname{SL}_2(\mathbb Z)$ の元は存在しない。行列式 $-1$ の変換 $\tau\mapsto-\tau$ は両者を移し合う。
これは「格子の相似なら特殊線型群の同じ軌道にある」という主張が、上下の半平面を同時に許すと偽になる反例である。上半平面に制限するか、一般線型群を使うかを指定する必要がある。

係数の尺度と形を分ける

格子を $s\Lambda$ に替えると、格子和の添字の取り替えによって
$$ g_2(s\Lambda)=s^{-4}g_2(\Lambda),\qquad g_3(s\Lambda)=s^{-6}g_3(\Lambda) $$
となる。そのため
$$ j(\Lambda)=1728\,\frac{g_2(\Lambda)^3}{g_2(\Lambda)^3-27g_3(\Lambda)^2} $$
は相似で変わらない。この式は $y^2=4x^3-g_2x-g_3$ を $Y=y/2$ によって短い Weierstrass 形へ移し、不変量を計算したものである。j不変量の定理「$j$ 不変量による分類」と合わせると、同じ $j$ をもつことと、複素楕円曲線として同型であることと、格子が相似であることは同値になる。
この比は係数の尺度を忘れて形を残す。一方で指定した二係数を実現する格子は、その尺度も含めて一意である。二係数から相似不変な一つの数を作ることと、二係数を同時に固定することは異なる操作なので、一意性の二つの言い方は矛盾しない。

正方格子と六角格子

正方格子 $\Lambda=\mathbb Z+i\mathbb Z$ は $i\Lambda=\Lambda$ を満たす。従って $g_3(\Lambda)=i^{-6}g_3(\Lambda)=-g_3(\Lambda)$ より $g_3(\Lambda)=0$ である。判別式は零でないから $g_2(\Lambda)\ne0$、従って $j=1728$ となる。
$\rho=e^{2\pi i/3}$ として六角格子 $\mathbb Z+\mathbb Z\rho$ をとると $\rho\Lambda=\Lambda$ である。同様に $g_2(\Lambda)=\rho^{-4}g_2(\Lambda)$ と $\rho^{-4}\ne1$ より $g_2(\Lambda)=0$ となり、判別式から $g_3(\Lambda)\ne0$、従って $j=0$ である。これらは係数実現の定理で片方の係数が零になる場合を除外できないことも示している。

一意化から何が読めるか

一意化は複素楕円曲線の群を、二つの実周期をもつ加法群へ変える。たとえば正整数 $n$ に対し、$n$ 倍で零になる元は
$$ \frac1n\Lambda/\Lambda\cong(\mathbb Z/n\mathbb Z)^2 $$
である。基底 $\omega_1,\omega_2$ を使うと代表元は $(a\omega_1+b\omega_2)/n$、$0\le a,b< n$ と書け、異なる二つが同じ類になる条件は $a,b$ がそれぞれ $n$ を法として等しいことである。この記述では二つの周期方向が、捩れ点の二つの巡回因子に対応している。
ただしこれは複素数体上の議論である。正標数では $p$ 倍写像の核が非被約になることがあり、幾何点群だけではスキームとしての長さを表せない。複素トーラスの点群の計算から正標数の核の構造まで移すことはできない。
一意化の核を求めることは、計算の上では不変微分の二つの独立な周期積分を求めることになる。基底の選び方は一意でないが、周期全体の部分群は一意である。曲線を同型で取り替えたときに微分の尺度も運べば、その周期格子も同じように運ばれる。この対応を使うと、方程式、群演算、微分の積分という三つの記述を同じ対象の異なる座標として扱える。