Hilbert変換

1：$\mathcal F$ はユニタリなので、$H$ の性質は掛け算作用素 $M_m$ の性質と同じである。$\lvert m\rvert=1$、$m^2=-1$、$\overline m=-m$（いずれもほとんど至るところ）から、$M_m$ はユニタリで $M_m^2=-I$、$M_m^*=M_{\overline m}=-M_m$ である。

2：$\mathcal F\tau_y\mathcal F^{-1}$ は $e^{-2\pi iy\xi}$ を掛ける作用素で、これは $M_m$ と可換である。拡大については、平行移動と可換な作用素 の定理「平行移動と拡大の両方と可換な作用素」の証明の「拡大の変換」により $\mathcal F\delta_\lambda=\lambda E_\lambda\mathcal F$（$E_\lambda g(\xi)=g(\lambda\xi)$）であり、$m(\lambda\xi)=m(\xi)$ から $M_mE_\lambda=E_\lambda M_m$ である。反転については、$L^1\cap L^2$ の上で $\mathcal FR=R\mathcal F$ であり、連続性から $L^2$ 全体で成り立つ。$m(-\xi)=-m(\xi)$ から $M_mR=-RM_m$ である。

3：$L^1\cap L^2$ の上で $\mathcal F\overline f(\xi)=\overline{\mathcal Ff(-\xi)}$ であり、連続性から $L^2$ 全体で成り立つ。よって $f$ が実数値であることと $\mathcal Ff(-\xi)=\overline{\mathcal Ff(\xi)}$（ほとんど至るところ）は同値である。$m(-\xi)=-m(\xi)=\overline{m(\xi)}$ なので、$f$ が実数値なら $\mathcal F(Hf)(-\xi)=\overline{m(\xi)}\,\overline{\mathcal Ff(\xi)}=\overline{\mathcal F(Hf)(\xi)}$ であり、$Hf$ も実数値である。$f=u+iv$（$u,v$ は実数値）と分ければ $H\overline f=Hu-iHv=\overline{Hf}$ である。

4：平行移動と可換な作用素 の定理「平行移動と拡大の両方と可換な作用素」により $T=aI+bH$ と書ける。2 から $TR=aR+bHR$、$-RT=-aR-bRH=-aR+bHR$ なので、$TR=-RT$ は $2aR=0$、すなわち $a=0$ を意味する。$\square$

1：Cauchyの主値 の系「Dirichlet の正弦積分」により、$\xi\ne0$ では $\int_{2\pi\lvert\xi\rvert\varepsilon}^{2\pi\lvert\xi\rvert R}\frac{\sin u}u\,du\to\frac\pi2$ であり、$\widehat{K_{\varepsilon,R}}(\xi)\to-i\operatorname{sgn}\xi=m(\xi)$ である。Plancherelの定理 により$$\|H_{\varepsilon,R}f-Hf\|_2=\bigl\|(\widehat{K_{\varepsilon,R}}-m)\,\mathcal Ff\bigr\|_2$$で、被積分関数 $\lvert\widehat{K_{\varepsilon,R}}-m\rvert^2\lvert\mathcal Ff\rvert^2$ は $(6/\pi+1)^2\lvert\mathcal Ff\rvert^2$ で押さえられ、各点で $0$ に近づく。優収束定理 により右辺は $0$ に近づく。

2：$f$ の台が $[-A,A]$ に含まれるとする。$x$ を固定し、$R>\lvert x\rvert+A$ なら $\lvert y\rvert\ge R$ で $f(x-y)=0$ なので、$H_{\varepsilon,R}f(x)$ は $R$ によらない。$0<\varepsilon'<\varepsilon$ について、$1/y$ が奇関数であることから$$\int_{\varepsilon'<\lvert y\rvert<\varepsilon}\frac{f(x-y)}y\,dy=\int_{\varepsilon'<\lvert y\rvert<\varepsilon}\frac{f(x-y)-f(x)}y\,dy$$であり、平均値の定理により $\lvert f(x-y)-f(x)\rvert\le\|f'\|_\infty\lvert y\rvert$ なので、絶対値は $2\|f'\|_\infty(\varepsilon-\varepsilon')$ 以下である。よって $\varepsilon\downarrow0$ での極限 $L(x)$ が存在する。1 により、$\varepsilon_k\downarrow0$、$R_k\to\infty$ の列について $H_{\varepsilon_k,R_k}f\to Hf$ が $L^2$ で成り立ち、部分列はほとんど至るところ収束する（Lp空間）。その極限は $L(x)$ なので、ほとんどすべての $x$ で $Hf(x)=L(x)$ である。$\square$

1：$g(\xi)=\pi e^{-2\pi\lvert\xi\rvert}$ は $L^1\cap L^2$ に属し、$$\int g(\xi)e^{2\pi ix\xi}\,d\xi=\pi\Bigl(\frac1{2\pi(1-ix)}+\frac1{2\pi(1+ix)}\Bigr)=\frac1{1+x^2}$$である。Plancherelの定理 の定理「Plancherelの定理（$\mathbb{R}^n$）」の 3 により、左辺は $\mathcal F^{-1}g$ なので $\mathcal Ff=g$ である。同様に $mg=-i\pi\operatorname{sgn}(\xi)e^{-2\pi\lvert\xi\rvert}$ も $L^1\cap L^2$ に属し、$$\int m(\xi)g(\xi)e^{2\pi ix\xi}\,d\xi=-i\pi\Bigl(\frac1{2\pi(1-ix)}-\frac1{2\pi(1+ix)}\Bigr)=-i\pi\cdot\frac{2ix}{2\pi(1+x^2)}=\frac x{1+x^2}$$なので $Hf=\mathcal F^{-1}(mg)=x/(1+x^2)$ である。

2：$x\ne a,b$ を固定し、$\varepsilon<\min\{\lvert x-a\rvert,\lvert x-b\rvert\}$、$R>\lvert x\rvert+\lvert a\rvert+\lvert b\rvert$ とする。変数を $t=x-y$ に替えると $H_{\varepsilon,R}f(x)=\frac1\pi\int_{[a,b]\cap\{\lvert x-t\rvert>\varepsilon\}}\frac{dt}{x-t}$ である。$x\notin[a,b]$ なら積分範囲は $[a,b]$ 全体で、値は $\frac1\pi\bigl[-\log\lvert x-t\rvert\bigr]_a^b=\frac1\pi\log\frac{\lvert x-a\rvert}{\lvert x-b\rvert}$ である。$a< x< b$ なら値は$$\frac1\pi\Bigl(\int_a^{x-\varepsilon}+\int_{x+\varepsilon}^b\Bigr)\frac{dt}{x-t}=\frac1\pi\Bigl(\log\frac{x-a}\varepsilon+\log\frac\varepsilon{b-x}\Bigr)=\frac1\pi\log\frac{x-a}{b-x}$$である。どちらも $\varepsilon,R$ によらないので $H_{\varepsilon,R}f(x)$ はこの値に収束し、thm-ht-pv の 1 と部分列のほとんど至るところの収束により、ほとんどすべての $x$ で $Hf(x)$ はこの値に等しい。漸近形は $\log\frac{\lvert x-a\rvert}{\lvert x-b\rvert}=\log\bigl(1+\frac{b-a}{x-b}\bigr)$（$x>b$）の展開による（$x< a$ も同様）。

3：$\mathcal Ff$ が $(-\infty,0)$ でほとんど至るところ $0$ なら、$m\,\mathcal Ff=-i\,\mathcal Ff$ がほとんど至るところ成り立つので $Hf=-if$ である。負の側も同様である。$\square$

$\hat f:=\mathcal Ff$ と書く。$z=x+iy$、$y>0$ なら $\lvert e^{2\pi iz\xi}\rvert=e^{-2\pi y\xi}$ であり、Hölderの不等式 により $\int_0^\infty\lvert\hat f(\xi)\rvert e^{-2\pi y\xi}\,d\xi\le\|\hat f\|_2(4\pi y)^{-1/2}$ なので積分は絶対収束する。$y_0>0$ を固定すると、$\operatorname{Im}z\ge y_0$ で被積分関数とその $z$ についての導関数 $2\pi i\xi\hat f(\xi)e^{2\pi iz\xi}$ は、それぞれ $\lvert\hat f(\xi)\rvert e^{-2\pi y_0\xi}$、$2\pi\xi\lvert\hat f(\xi)\rvert e^{-2\pi y_0\xi}$ で押さえられ、どちらも $(0,\infty)$ で可積分である。優収束定理 により差分商の極限を積分の中でとってよく、$F$ は $\operatorname{Im}z>y_0$ で複素微分可能である。$y_0$ は任意なので $F$ は $\mathbb H$ で 正則関数 である。

$y>0$ を固定し $g_y(\xi):=2\cdot\mathbf 1_{(0,\infty)}(\xi)\hat f(\xi)e^{-2\pi y\xi}$ とおくと、$g_y\in L^1\cap L^2$ で、$F(x+iy)=\int g_y(\xi)e^{2\pi ix\xi}\,d\xi$ である。Plancherelの定理 の定理「Plancherelの定理（$\mathbb{R}^n$）」の 3 により右辺は $\mathcal F^{-1}g_y$ なので、$$\|F(\cdot+iy)-(f+iHf)\|_2=\bigl\|2\cdot\mathbf 1_{(0,\infty)}\,(e^{-2\pi y\xi}-1)\,\hat f\bigr\|_2$$である。被積分関数は $4\lvert\hat f\rvert^2$ で押さえられ、各点で $0$ に近づくので、優収束定理 により右辺は $0$ に近づく。$f$ が実数値なら prop-ht-basic の 3 により $Hf$ も実数値で、$\operatorname{Re}F(\cdot+iy)\to f$、$\operatorname{Im}F(\cdot+iy)\to Hf$ が $L^2$ で成り立つ。正則関数の実部と虚部は Cauchy–Riemann の方程式を満たす共役な調和関数である。$\square$

$f$ は Schwartz空間 に属するので $\hat f=\mathcal Ff$ も Schwartz 関数であり、各 $k\ge0$ で $\xi^k m(\xi)\hat f(\xi)$ は可積分である。$m\hat f\in L^1\cap L^2$ なので、Plancherelの定理 の定理「Plancherelの定理（$\mathbb{R}^n$）」の 3 により $Hf(x)=\int m(\xi)\hat f(\xi)e^{2\pi ix\xi}\,d\xi$ がほとんど至るところ成り立つ。右辺は $x$ について微分を積分の中でとってよく（被積分関数の $x$ 微分は $(2\pi i\xi)^km\hat f$ で押さえられる）、$C^\infty$ 級で、絶対値は $\|\hat f\|_1$ 以下である。以下この右辺を $Hf$ とする。

$\lvert x\rvert>A$ とし、$\varepsilon<\lvert x\rvert-A$、$R>\lvert x\rvert+A$ をとると、$H_{\varepsilon,R}f(x)=\frac1\pi\int_{-A}^{A}\frac{f(t)}{x-t}\,dt$ である。右辺は $\lvert x\rvert>A$ で連続であり、thm-ht-pv の 1 から $Hf$ とほとんど至るところ等しい。両方とも連続なので $\lvert x\rvert>A$ のすべてで等しい。評価は $\lvert x-t\rvert\ge\lvert x\rvert-A$ による。$Hf$ は有界で、$\lvert x\rvert\ge A+1$ で $\lvert x\rvert^{-1}$ の定数倍で押さえられるので、$q>1$ なら $\lvert Hf\rvert^q$ は可積分である。実数値であることは prop-ht-basic の 3 による。$\square$

$f\cdot Hf$ は $C^\infty$ 級で台が $f$ の台に含まれるので $C_c^\infty$ に属し、lem-ht-smooth により実数値である。

$G:=f+iHf$ とおく。lem-ht-smooth により $G$ は有界連続で $L^2$ に属し、$\hat G:=\mathcal FG=2\cdot\mathbf 1_{(0,\infty)}\hat f$ は可積分で $G(x)=\int\hat G(\xi)e^{2\pi ix\xi}\,d\xi$ がすべての $x$ で成り立つ。$h:=\hat G*\hat G$ は可積分であり（畳み込み）、$\xi<0$ では $h(\xi)=\int\hat G(\eta)\hat G(\xi-\eta)\,d\eta=0$ である（$\eta$ と $\xi-\eta$ の少なくとも一方が負になるため）。Fubiniの定理 により$$G(x)^2=\iint\hat G(\eta)\hat G(\zeta)e^{2\pi ix(\eta+\zeta)}\,d\eta\,d\zeta=\int h(\xi)e^{2\pi ix\xi}\,d\xi$$である。$\lvert G\rvert^2\le\|G\|_\infty\lvert G\rvert$ なので $G^2\in L^2$ である。

$\mathcal F(G^2)=h$ を示す。Schwartz 関数 $\psi$ について、上の表示と Fubiniの定理 から $\int G^2\overline\psi\,dx=\int h(\xi)\overline{\hat\psi(\xi)}\,d\xi$ であり、Plancherel の定理から左辺は $\langle\mathcal F(G^2),\hat\psi\rangle$ に等しい。$\hat\psi$ は Schwartz 関数全体を動くので、局所可積分関数 $\mathcal F(G^2)-h$ はすべての $C_c^\infty$ の関数と積分して $0$ になり、ほとんど至るところ $0$ である（軟化子）。

よって $\mathcal F(G^2)$ は $(-\infty,0)$ でほとんど至るところ $0$ であり、ex-ht-examples の 3 から $H(G^2)=-iG^2$ である。$G^2=a+ib$、$a:=f^2-(Hf)^2$、$b:=2f\cdot Hf$ と分けると、$a,b$ は実数値の $L^2$ の関数で、prop-ht-basic の 3 により $Ha,Hb$ も実数値である。$Ha+iHb=-ia+b$ の虚部を比べると $Hb=-a$、すなわち $2H(f\cdot Hf)=(Hf)^2-f^2$ である。$\square$