Ptolemyの第2定理

円 $x^2+y^2=25$ の上に $A(5,0)$、$B(3,4)$、$C(-3,4)$、$D(0,-5)$ をとる（Ptolemyの定理 の最初の例と同じ 4 点）。この順に円周を反時計回りに進むので、$ABCD$ は円に内接する凸四角形である。2 点間の距離の公式で 6 本の長さを求めると
$$ AB=2\sqrt5,\quad BC=6,\quad CD=3\sqrt{10},\quad DA=5\sqrt2,\quad AC=4\sqrt5,\quad BD=3\sqrt{10} $$
である。対角線の比は
$$ \frac{AC}{BD}=\frac{4\sqrt5}{3\sqrt{10}}=\frac{4}{3\sqrt2}=\frac{2\sqrt2}3 $$
である。一方、対角線 $AC$ の端点 $A$ に集まる 2 辺の積と、端点 $C$ に集まる 2 辺の積を足すと
$$ AB\cdot AD+CB\cdot CD=2\sqrt5\cdot5\sqrt2+6\cdot3\sqrt{10}=10\sqrt{10}+18\sqrt{10}=28\sqrt{10} $$
で、対角線 $BD$ の端点 $B$、$D$ について同じことをすると
$$ BA\cdot BC+DA\cdot DC=2\sqrt5\cdot6+5\sqrt2\cdot3\sqrt{10}=12\sqrt5+15\sqrt{20}=12\sqrt5+30\sqrt5=42\sqrt5 $$
である。その比は
$$ \frac{28\sqrt{10}}{42\sqrt5}=\frac{2\sqrt2}3 $$
で、対角線の比と一致する。

$A(0,0)$、$B(8,0)$、$C(5,4)$、$D(3,4)$ の等脚台形は円に内接する。実際、点 $\left(4,\dfrac18\right)$ から 4 頂点までの距離の 2 乗は、たとえば $A$ では $16+\dfrac1{64}=\dfrac{1025}{64}$、$C$ では $1+\left(\dfrac{31}8\right)^2=\dfrac{1025}{64}$ で、$B$、$D$ でも同じ値になる。辺は $AB=8$、$BC=5$、$CD=2$、$DA=5$、対角線は $AC=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$、$BD=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$ で、比は $1$ である。端点に集まる辺の積の和は
$$ AB\cdot AD+CB\cdot CD=8\cdot5+5\cdot2=50,\qquad BA\cdot BC+DA\cdot DC=8\cdot5+5\cdot2=50 $$
で、比は $\dfrac{50}{50}=1$ となり、やはり一致する。

1. 3 辺が $3$、$4$、$5$ の直角三角形。斜辺が外接円の直径なので $R=\dfrac52$ で、$\dfrac{3\cdot4\cdot5}{4\cdot\frac52}=\dfrac{60}{10}=6$ は、底辺 $\times$ 高さ $\mathbin{÷}2=\dfrac{3\cdot4}2=6$ と一致する。
2. ex-ptol2-start の三角形 $ABD$。3 辺は $AB=2\sqrt5$、$AD=5\sqrt2$、$BD=3\sqrt{10}$、$R=5$ なので
   $$ \frac{2\sqrt5\cdot5\sqrt2\cdot3\sqrt{10}}{4\cdot5}=\frac{30\sqrt{100}}{20}=\frac{300}{20}=15 $$
   である。座標で計算すると、$\overrightarrow{AB}=(-2,4)$、$\overrightarrow{AD}=(-5,-5)$ から面積は $\dfrac12\lvert(-2)(-5)-4\cdot(-5)\rvert=\dfrac12\cdot30=15$ で、一致する。

$a=25$、$b=60$、$c=52$、$d=39$ の四角形 $ABCD$ を、$AC=65$ となるように作る。$25^2+60^2=625+3600=4225=65^2$、$52^2+39^2=2704+1521=4225=65^2$ なので、三角形 $ABC$ と三角形 $ACD$ は $AC$ を斜辺とする直角三角形である。$B$ と $D$ を直線 $AC$ の反対側にとると、$\angle B=\angle D=90^\circ$ で、$B$、$D$ はどちらも $AC$ を直径とする円の上にある（円周角の定理（高校数学） の逆）。よって四角形は半径 $R=\dfrac{65}2$ の円に内接する。もう 1 本の対角線は、Ptolemyの定理 から
$$ BD=\frac{ac+bd}{AC}=\frac{1300+2340}{65}=\frac{3640}{65}=56 $$
である。
段 1（$BD$ で分ける）。$4R=130$ なので
$$ \triangle ABD=\frac{25\cdot39\cdot56}{130}=\frac{54600}{130}=420,\qquad \triangle CBD=\frac{60\cdot52\cdot56}{130}=\frac{174720}{130}=1344 $$
で、$K=420+1344=1764$ である。
段 2（$AC$ で分ける）。
$$ \triangle ABC=\frac{25\cdot60\cdot65}{130}=750,\qquad \triangle ACD=\frac{52\cdot39\cdot65}{130}=1014 $$
で、$K=750+1014=1764$ である。直角三角形の面積 $\dfrac{25\cdot60}2=750$、$\dfrac{52\cdot39}2=1014$ とも一致する。
段 3（比）。$ad+bc=975+3120=4095$、$ab+cd=1500+2028=3528$ で、どちらも $63$ で割り切れて
$$ \frac{ad+bc}{ab+cd}=\frac{4095}{3528}=\frac{65}{56}=\frac{AC}{BD} $$
となる。

ex-ptol2-start の四角形（$a=2\sqrt5$、$b=6$、$c=3\sqrt{10}$、$d=5\sqrt2$）で、3 つの和を計算する。
$$ ac+bd=2\sqrt5\cdot3\sqrt{10}+6\cdot5\sqrt2=6\sqrt{50}+30\sqrt2=30\sqrt2+30\sqrt2=60\sqrt2 $$
$$ ad+bc=28\sqrt{10},\qquad ab+cd=42\sqrt5 $$
（後の 2 つは ex-ptol2-start で計算した）。cor-ptol2-diagonals により
$$ p^2=\frac{60\sqrt2\cdot28\sqrt{10}}{42\sqrt5}=\frac{1680\sqrt{20}}{42\sqrt5}=40\cdot2=80,\qquad q^2=\frac{60\sqrt2\cdot42\sqrt5}{28\sqrt{10}}=\frac{2520\sqrt{10}}{28\sqrt{10}}=90 $$
で、$p=\sqrt{80}=4\sqrt5$、$q=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$ となる。座標から求めた $AC=4\sqrt5$、$BD=3\sqrt{10}$ と一致する。

1. 辺 $25,60,52,39$、$R=\dfrac{65}2$。$p=65$、$q=56$ で、prop-ptol2-three (1) の式は $r^2=\dfrac{4095\cdot3528}{3640}=3969$、$r=63$ である。面積は
   $$ K=\frac{65\cdot56\cdot63}{4\cdot\frac{65}2}=\frac{229320}{130}=1764 $$
   で、ex-ptol2-trace の $1764$ と一致する。
2. ex-ptol2-start の四角形、$R=5$。$r^2=\dfrac{28\sqrt{10}\cdot42\sqrt5}{60\sqrt2}=\dfrac{1176\sqrt{50}}{60\sqrt2}=\dfrac{1176\cdot5}{60}=98$ で、$r=7\sqrt2$ である。面積は
   $$ K=\frac{4\sqrt5\cdot3\sqrt{10}\cdot7\sqrt2}{20}=\frac{84\sqrt{100}}{20}=42 $$
   である。座標で計算すると、$4$ 頂点 $(5,0)$、$(3,4)$、$(-3,4)$、$(0,-5)$ の四角形の面積は、靴ひも公式 で
   $$ \frac12\bigl\lvert(5\cdot4-3\cdot0)+(3\cdot4-(-3)\cdot4)+((-3)(-5)-0\cdot4)+(0\cdot0-5\cdot(-5))\bigr\rvert=\frac12(20+24+15+25)=42 $$
   で、一致する。

$AB=3$、$BC=4$、$\angle ABC=60^\circ$ の平行四辺形 $ABCD$ を考える（図 4）。平行四辺形の隣り合う角の和は $180^\circ$ なので $\angle BAD=120^\circ$ である。余弦定理（高校数学） により
$$ AC^2=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cos60^\circ=25-12=13,\qquad BD^2=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cos120^\circ=25+12=37 $$
である（$BD$ は三角形 $ABD$ で $\angle BAD$ の向かいの辺）。よって $\dfrac{AC}{BD}=\sqrt{\dfrac{13}{37}}\approx0.593$ である。一方、$a=c=3$、$b=d=4$ なので $\dfrac{ad+bc}{ab+cd}=\dfrac{12+12}{12+12}=1$ である。両者は等しくない。
この平行四辺形は円に内接しない。向かい合う角が $60^\circ$ と $60^\circ$ で、和が $180^\circ$ でないからである（円に内接する四角形）。prf-ptol2-main で使った「4 つの三角形の外接円がどれも同じ円」が成り立たず、lem-ptol2-area の分母 $4R$ がそろわない。

ex-ptol2-start の 4 点を $A$、$C$、$B$、$D$ の順に結んだ四角形 $ACBD$ は、辺 $AC$ と $BD$ が交差する。この四角形の「辺」は $AC=4\sqrt5$、$CB=6$、$BD=3\sqrt{10}$、$DA=5\sqrt2$、「対角線」は $AB=2\sqrt5$、$CD=3\sqrt{10}$ である。thm-ptol2-main の式を形式的に当てはめると、「対角線」の比は
$$ \frac{AB}{CD}=\frac{2\sqrt5}{3\sqrt{10}}=\frac{\sqrt2}3\approx0.471 $$
で、端点に集まる辺の積の和の比は
$$ \frac{AC\cdot AD+BC\cdot BD}{CA\cdot CB+DA\cdot DB}=\frac{4\sqrt5\cdot5\sqrt2+6\cdot3\sqrt{10}}{4\sqrt5\cdot6+5\sqrt2\cdot3\sqrt{10}}=\frac{38\sqrt{10}}{54\sqrt5}=\frac{19\sqrt2}{27}\approx0.995 $$
である。4 点は同じ円の上にあるが、等式は成り立たない。交差した四角形では、対角線で分けた 2 つの三角形が重なり合い、prf-ptol2-main の「面積の和」が四角形の面積にならない。

ex-ptol2-start の四角形で、分子に対角線 $BD$ の端点の辺を集めた式 $\dfrac{ab+cd}{ad+bc}$ を計算すると
$$ \frac{42\sqrt5}{28\sqrt{10}}=\frac{3}{2\sqrt2}=\frac{3\sqrt2}4\approx1.061 $$
で、$\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{2\sqrt2}3\approx0.943$ と等しくない。これは $\dfrac{BD}{AC}$ の値である。「$AC$ の比には、$A$ と $C$ に集まる辺」と覚えれば取り違えない。