余次元フィルトレーション

$U=X\setminus Z$ と置くと、$U$ が定義の条件を満たすことと $Z$ が右辺の条件を満たすことは同じである。上の長完全列が $H^i(X,F)$ で完全なので、$\operatorname{Ker}(H^i(X,F)\to H^i(U,F))=\operatorname{Im}(H^i_Z(X,F)\to H^i(X,F))$ である。$Z$ を動かして合併をとればよい。

1. $U_1,U_2$ が条件を満たすとき、$X\setminus(U_1\cap U_2)=(X\setminus U_1)\cup(X\setminus U_2)$ の既約成分はどちらか一方の既約成分に含まれ、その余次元は $p$ 以上である。また $U'\subset U$ ならば $H^i(X,F)\to H^i(U',F)$ は $H^i(U,F)$ を経由するので、$U'$ についての核の方が大きい。したがって定義の合併は、有向な部分群の族の合併であり、部分群になる。$p$ を大きくすると許される $U$ が減るので、$N^p$ は減少する。
2. $p=0$ では $U=\emptyset$ が許され（$\operatorname{codim}(X,X)=0$）、$H^i(\emptyset,F)=0$ なので $N^0=H^i$ である。$p>d$ では余次元が $p$ 以上の閉集合は $\emptyset$ だけなので $U=X$ に限られ、$N^p=0$ である。
3. $\operatorname{codim}(Z,X)\geq1$ は、$Z$ が $X$ の既約成分を一つも含まないことと同じである。$X$ の既約成分は有限個なので、これは $X\setminus Z$ がすべての既約成分と交わること、すなわち稠密であることと同値である。
4. 層の射が誘導する写像は制限写像と可換なので、核を核に写す。
5. $\sigma$ は位相空間の同相で局所環を同型に写すので、閉集合 $Z$ と $\sigma^{-1}(Z)$ の余次元は等しい。$\sigma$ による引き戻しは制限写像と可換なので、$\operatorname{Ker}(H^i(X,F)\to H^i(U,F))$ は $\operatorname{Ker}(H^i(X,F)\to H^i(\sigma^{-1}(U),F))$ に写る。$U$ を動かせば $N^p$ が保たれる。

$\Phi^p$ を余次元 $p$ 以上の閉集合の族とする（$p\leq0$ ではすべての閉集合の族）。$\Phi^p$ は有限個の合併で閉じ、$\Phi^{p+1}\subset\Phi^p$ である。
(a) 完全対の構成.
$$ D^{p,q}=\varinjlim_{Z\in\Phi^p}H^{p+q}_Z(X,F),\qquad E^{p,q}=\varinjlim_{(Z,Z')}H^{p+q}_{Z\setminus Z'}(X\setminus Z',F) $$
と置く。後者の極限は、$Z\in\Phi^p$、$Z'\in\Phi^{p+1}$、$Z'\subset Z$ を満たす対を包含で順序づけた有向系についてとる。各対について台つきの長完全列
$$ H^n_{Z'}(X,F)\to H^n_Z(X,F)\to H^n_{Z\setminus Z'}(X\setminus Z',F)\to H^{n+1}_{Z'}(X,F) $$
があり、対を大きくする遷移写像（$X\setminus Z'$ を小さくする制限と、台を大きくする写像の合成）と両立する。アーベル群の有向帰納極限は完全なので、極限をとっても完全である。対 $(Z\cup Z',Z')$ の形の対が共終であることから、第 1 項の極限は $D^{p+1,q-1}$、第 2 項の極限は $D^{p,q}$ になり（$n=p+q$）、完全列
$$ \cdots\to D^{p+1,q-1}\to D^{p,q}\to E^{p,q}\to D^{p+1,q}\to D^{p,q+1}\to\cdots $$
すなわち完全対を得る。$X\in\Phi^0$ なので $D^{0,q}=H^q(X,F)$ であり、$p>d$ では $\Phi^p=\{\emptyset\}$ なので $D^{p,q}=0$ である。$p\leq 0$ では $D^{p,q}=H^{p+q}(X,F)$ であり、$p<0$ では $\Phi^p=\Phi^{p+1}$ なので $E^{p,q}=0$ である。したがってこの完全対は有界である。
(b) 収束. 上に引いた事実により、$E_1=E$ を初項とし $H^n(X,F)$ に収束するスペクトル系列があり、付随するフィルトレーションは $\operatorname{Im}(D^{p,n-p}\to D^{0,n})$ である。帰納極限は像と交換するので、これは
$$ \bigcup_{Z\in\Phi^p}\operatorname{Im}\bigl(H^n_Z(X,F)\to H^n(X,F)\bigr) $$
に等しく、上の命題（台をもつ類による言い換え）により $N^pH^n(X,F)$ である。
(c) 初項の同定. 対 $(Z,Z')$ をとり、$Z$ の余次元がちょうど $p$ の既約成分を $Z_1,\dots,Z_r$、その生成点を $x_1,\dots,x_r$ とする（$x_j\in X^{(p)}$）。
$$ Z''=Z'\cup(Z\text{ の余次元 }>p\text{ の成分})\cup\bigcup_{j\neq l}(Z_j\cap Z_l) $$
と置く。$Z_j\cap Z_l$ の既約成分は $Z_j$ の真の閉部分集合なので余次元は $p+1$ 以上であり、$Z''\in\Phi^{p+1}$ である。このような対 $(Z,Z'')$ は共終である。$x_j\notin Z''$ である（もし $x_j\in Z''$ なら $Z_j\subset Z''$ となり、$Z''$ が余次元 $p$ 以下の成分をもつことになる）。
このとき $Z\setminus Z''$ は、$X\setminus Z''$ の中で互いに交わらない閉集合 $Z_j\setminus Z''$ の和である。台が交わらない閉集合の和なら台つきコホモロジーは直和に分かれ、さらに切除（台を含む開集合への制限で値が変わらないこと）により
$$ H^n_{Z\setminus Z''}(X\setminus Z'',F)\cong\bigoplus_{j=1}^{r}H^n_{\overline{\{x_j\}}\cap V_j}(V_j,F),\qquad V_j=X\setminus\Bigl(Z''\cup\bigcup_{l\neq j}Z_l\Bigr) $$
である。$V_j$ は $x_j$ の開近傍である。$Z$ を大きくしても余次元 $p$ の成分は余次元 $p$ の成分のまま残る。また $x$ の任意の開近傍 $W$ について、$\overline{\{x\}}\setminus W$ は $\overline{\{x\}}$ の真の閉部分集合なので $\Phi^{p+1}$ に属し、これを $Z''$ に加えれば $\overline{\{x\}}\cap V\subset W$ となる。したがって、$x$ ごとの成分の帰納極限は $H^n_x(X,F)$ に一致し、
$$ E_1^{p,q}=E^{p,q}\cong\bigoplus_{x\in X^{(p)}}H^{p+q}_x(X,F) $$
を得る。

$\overline{\{x\}}$ に被約な閉部分スキームの構造を入れる。これは完全体上有限型で既約かつ被約なので、生成的な滑らかさにより滑らかな稠密開部分 $V_0$ をもつ。$U_0=X\setminus(\overline{\{x\}}\setminus V_0)$ は $x$ の開近傍で、$\overline{\{x\}}\cap U_0=V_0$ である。$U_0$ に含まれる $x$ の開近傍 $U$ は共終であり、各 $U$ について $Z_U=\overline{\{x\}}\cap U$ は $U$ の余次元 $p$ の滑らかな既約閉部分である。純性により $H^n_{Z_U}(U,F)\cong H^{n-2p}(Z_U,F(-p))$ で、この同型は $U$ を小さくすることと両立する。$V\subset V_0$ に対して $U=U_0\setminus(\overline{\{x\}}\setminus V)$ と置けば $Z_U=V$ なので、$U$ を動かすと $Z_U$ は $\overline{\{x\}}$ の空でない開集合の共終系を走る。帰納極限をとれば前半を得る。後半は、スペクトル系列の初項に $n=p+q$ を代入すれば $n-2p=q-p$ となることによる。

1. $X$ は既約なので、$\operatorname{codim}(X\setminus V,X)\geq1$ は $V\neq\emptyset$ と同値である。有向帰納極限では、元が 0 に写るのは、ある段で 0 に写るときに限る。よって右辺の核は $\bigcup_V\operatorname{Ker}(H^i(X,F)\to H^i(V,F))=N^1H^i(X,F)$ である。
2. 1 と準同型定理により、左辺は $H^i(X,F)\to\varinjlim_VH^i(V,F)$ の像に同型である。像は有向帰納極限と交換するので、右辺に等しい。

前の命題の 2 により、$\varinjlim_V\operatorname{Im}(H^i(X,F)\to H^i(V,F))=0$ を示せばよい。空でないアフィン開集合 $V$ は空でない開集合の中で共終であり、$X$ が既約なので $\dim V=\dim X< i$ である。アフィン消滅定理により $H^i(V,F)=0$ なので、各段の像は 0 であり、極限も 0 である。

$\dim T$ についての帰納法による。$T=\emptyset$ なら明らかである。生成的な滑らかさにより、$T$（被約な構造を入れる）の各既約成分で稠密な、$T$ の滑らかな開部分 $T^\circ$ がとれる。$T'=T\setminus T^\circ$ は $T$ の既約成分の生成点を含まないので、$\dim T'<\dim T$ かつ $\operatorname{codim}(T',X)\geq c+1$ である。台つきの長完全列
$$ H^n_{T'}(X,G)\to H^n_T(X,G)\to H^n_{T^\circ}(X\setminus T',G) $$
で、左の項は帰納法の仮定により 0 である（$n<2c<2(c+1)$）。$T^\circ$ は $X\setminus T'$ の滑らかな閉部分で、その連結成分 $T^\circ_m$ は互いに交わらず、余次元 $c_m\geq c$ をもつ。台の直和分解と純性により、右の項は $\bigoplus_mH^{n-2c_m}(T^\circ_m,G(-c_m))$ で、$n-2c_m<0$ なので 0 である。よって $H^n_T(X,G)=0$ である。

1. 各 $j$ について $Y_j$ の滑らかな稠密開部分 $Y_j^\circ$ をとる。$Y_{\mathrm{bad}}$ を、$Y$ の余次元 $>p$ の成分、$j\neq l$ についての $Y_j\cap Y_l$、各 $j$ についての $Y_j\setminus Y_j^\circ$ の和とすると、$\operatorname{codim}(Y_{\mathrm{bad}},X)\geq p+1$ である。半純性により $H^{2p}_{Y_{\mathrm{bad}}}(X)=H^{2p+1}_{Y_{\mathrm{bad}}}(X)=0$ なので、台つきの長完全列から
$$ H^{2p}_Y(X,\mathbb Z/\ell^\nu(p))\cong H^{2p}_{Y\setminus Y_{\mathrm{bad}}}(X\setminus Y_{\mathrm{bad}},\mathbb Z/\ell^\nu(p)) $$
である。$Y\setminus Y_{\mathrm{bad}}$ は、$X\setminus Y_{\mathrm{bad}}$ の中で互いに交わらない滑らかな既約閉集合 $Y_j\setminus Y_{\mathrm{bad}}$ の和なので、台の直和分解と純性により
$$ H^{2p}_Y(X,\mathbb Z/\ell^\nu(p))\cong\bigoplus_{j=1}^rH^0(Y_j\setminus Y_{\mathrm{bad}},\mathbb Z/\ell^\nu)=\bigoplus_{j=1}^r\mathbb Z/\ell^\nu $$
となる（既約なので連結）。$j$ 番目の成分の $1$ は、同じ議論を $Y_j$ だけに当てて得る $\mathrm{cl}(Y_j)$ に対応する（純性の同型が制限と両立することによる）。よって $H^{2p}(X)$ での像は $\mathrm{cl}(Y_j)$ で張られる。
2. サイクル類が $N^p$ に入ることは、$\mathrm{cl}(Z)$ が $Z$ に台をもつ類の像であることから、各段で $X\setminus Z$ への制限が 0 になることによる。逆に $c\in N^pH^{2p}(X,\mathbb Z_\ell(p))$ をとる。ある開集合 $U$（$\operatorname{codim}(X\setminus U,X)\geq p$）で $c|_U=0$ であり、$\mathbb Z_\ell$ 係数の群は有限段の射影極限なので、各 $\nu$ で $c$ の像 $c_\nu$ も $U$ で 0 になる。$Y=X\setminus U$ に 1 を当てると、$c_\nu$ は $\mathrm{cl}(Y_1),\dots,\mathrm{cl}(Y_r)$ の $\mathbb Z/\ell^\nu$ 係数の和で書ける。ここで $Y_1,\dots,Y_r$ は $\nu$ によらない。
$$ S_\nu=\Bigl\{(a_j)\in(\mathbb Z/\ell^\nu)^r:\sum_ja_j\,\mathrm{cl}(Y_j)=c_\nu\Bigr\} $$
は空でない有限集合で、還元により写像 $S_{\nu+1}\to S_\nu$ が定まる。空でない有限集合の射影系の極限は空でない（König の補題の型の初等的な事実）ので、$(a_j)\in\mathbb Z_\ell^r$ で、すべての $\nu$ について $\sum_ja_j\,\mathrm{cl}(Y_j)\equiv c_\nu$ となるものがある。すなわち $c=\sum_ja_j\,\mathrm{cl}(Y_j)$ である。

$N^2H^2=0$ は $2>\dim X$ による。$N^1H^2=H^2$ は、上の「高い次数での一致」を $i=2>1=\dim X$ に当てたものである。
$N^1H^1=0$ は、稠密な開集合 $U$ への制限 $H^1(X,F)\to H^1(U,F)$ が単射であることと同じである。これには次の二つの標準的な事実を引用する（出典の該当箇所は未確認）：(i) 連結な正規スキーム $X$ とその稠密な開集合 $U$ について、エタール基本群の写像 $\pi_1(U)\to\pi_1(X)$ は全射である。(ii) 局所定数で茎が有限な層 $F$ について、$H^1(X,F)$ は $\pi_1(X)$ の連続なコホモロジー $H^1(\pi_1(X),M)$（$M$ は $F$ の茎）と同一視され、制限写像は引き戻しに対応する。
引き戻しの単射性は直接確かめられる。$c$ を $\pi_1(X)$ 上の 1 余輪体とし、全射 $\pi:\pi_1(U)\to\pi_1(X)$ で引き戻すと余境界になる、すなわちある $m\in M$ があって、すべての $g'\in\pi_1(U)$ について $c(\pi(g'))=g'm-m$ であるとする。任意の $g\in\pi_1(X)$ について $\pi(g')=g$ となる $g'$ を選べば、作用が $\pi$ を経由するので $c(g)=gm-m$ である。よって $c$ は $\pi_1(X)$ 上でも余境界である。