Doobの極大不等式
概要
Doobの極大不等式（Doob's maximal inequality）とは、劣マルチンゲール $(X_n)$ と $\lambda>0$ について $\lambda P(\max_{0\le m\le n}X_m\ge\lambda)\le E[X_n;\max_{0\le m\le n}X_m\ge\lambda]\le E[X_n^+]$ が成り立つという不等式で、途中の最大値が大きくなる確率を最後の時刻の値で抑える。積分すると、$1< p<\infty$ なら $\max_{m\le n}X_m^+$ の $p$ 乗の期待値は $E[(X_n^+)^p]$ の $(p/(p-1))^p$ 倍以下だが、$p=1$ では同じ形の評価は一般には成り立たない。独立で平均 $0$、2 次の積率が有限な確率変数の部分和では Kolmogorov の最大不等式になる。
前提知識: マルチンゲール, 条件付き期待値, Markovの不等式, 確率空間
Doob の極大不等式（Doob's maximal inequality）は、劣マルチンゲール $(X_n)$ と $\lambda>0$ について
$$
\lambda\,P\Bigl(\max_{0\le m\le n}X_m\ge\lambda\Bigr)\le E[X_n^+]
$$
が成り立つという不等式である。右辺は最後の時刻 $n$ の値だけで決まる。Markovの不等式 を $X_n^+$ に使えば $\lambda P(X_n\ge\lambda)\le E[X_n^+]$ が出るが、Doob の極大不等式は、同じ上限が時刻 $n$ の値 1 つではなく、時刻 $0$ から $n$ までの途中の最大値についても成り立つことを主張する。途中の最大値を見ても、評価の上限は少しも増えない。
公平な賭けで考えると、手持ちの金額の途中の最大値が大きくなる確率は、最後の金額の大きさだけで抑えられる。これを水準について積分すると、マルチンゲールと $1< p<\infty$ について、途中の $|X_m|$ の最大値の $p$ 乗の期待値が最後の $|X_n|$ の $p$ 乗の期待値の $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ 倍以下になる（$L^p$ での極大不等式）。この評価は、マルチンゲールの $L^p$ での収束、独立な確率変数の級数の収束、伊藤の公式 の土台になる確率積分の構成など、確率過程の道全体を一度に扱う議論の基本の道具である。
この記事では、劣マルチンゲールの極大不等式を初めて水準を超える時刻で分けて証明し（thm-dmi-main）、絶対値・下側の形と Kolmogorov の最大不等式を導く。次に $L^p$ での極大不等式（thm-dmi-lp）と、$p=1$ の代わりになる $L\log L$ の評価（thm-dmi-llogl）を証明する。応用として独立な確率変数の級数の収束を示し、条件を外すと結論が崩れる例を挙げる。
設定
確率空間 $(\Omega,\mathcal F,P)$ を固定する。確率変数は実数値とし、確率変数 $X$ と事象 $A$ について $E[X;A]:=E[X\mathbf 1_A]$、$x^+:=\max(x,0)$ と書く。$\mathbb N=\{0,1,2,\dots\}$ とする。
$\mathcal F$ の部分 σ-代数の増大列 $\mathcal F_0\subset\mathcal F_1\subset\cdots$ を フィルトレーション という。確率変数の列 $(X_n)_{n\in\mathbb N}$ が次の 3 条件を満たすとき 劣マルチンゲール（submartingale）という。
- 各 $X_n$ は $\mathcal F_n$-可測である（適合）。
- 各 $n$ について $E|X_n|<\infty$ である。
- 各 $n$ についてほとんど確実に $E[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]\ge X_n$ である。
3 で等号が成り立つものが マルチンゲール である。詳しい定義と例は マルチンゲール にある。以下では次の事実を使う（マルチンゲール の命題「マルチンゲールの基本性質」の 1）。
- 劣マルチンゲールでは、$k\le n$ についてほとんど確実に $E[X_n\mid\mathcal F_k]\ge X_k$ である。
- したがって 条件付き期待値 の定義から、$A\in\mathcal F_k$ について $E[X_k;A]\le E\bigl[E[X_n\mid\mathcal F_k];A\bigr]=E[X_n;A]$ である。
途中の最大値を
$$ X^*_n:=\max_{0\le m\le n}X_m $$
と書く。
極大不等式
$(X_n)$ を劣マルチンゲール、$n\in\mathbb N$、$\lambda>0$ とし、$A:=\{X^*_n\ge\lambda\}$ とおく。このとき
$$
\lambda P(A)\le E[X_n;A]\le E[X_n^+]
$$
が成り立つ。
$k=0,1,\dots,n$ について
$$
A_k:=\{X_0< \lambda,\ X_1< \lambda,\ \dots,\ X_{k-1}< \lambda,\ X_k\ge\lambda\}
$$
とおく。$A_k$ は「初めて $\lambda$ 以上になる時刻が $k$ である」という事象で、$A_0,\dots,A_n$ は互いに素であり、和集合は $A$ である。$A_k$ は $X_0,\dots,X_k$ だけで決まるので $A_k\in\mathcal F_k$ である。
$A_k$ の上では $X_k\ge\lambda$ なので、$\lambda P(A_k)\le E[X_k;A_k]$ である。設定の 2 つ目の事実を $A=A_k\in\mathcal F_k$ に使うと $E[X_k;A_k]\le E[X_n;A_k]$ である。よって
$$
\lambda P(A)=\sum_{k=0}^n\lambda P(A_k)\le\sum_{k=0}^nE[X_n;A_k]=E[X_n;A]
$$
であり、1 つ目の不等式を得る。2 つ目は $X_n\mathbf 1_A\le X_n^+$ による。$\square$
証明の要点は、「初めて $\lambda$ に達した時刻 $k$ での値 $X_k$」を、劣マルチンゲールの性質で「最後の値 $X_n$」に取り替えるところにある。$k$ は偶然で決まる時刻だが、事象 $A_k$ が時刻 $k$ までの情報で決まるので、この取り替えができる。同じことを停止時刻 $\tau:=\min\{m\mid X_m\ge\lambda\}\wedge n$ で述べれば、マルチンゲール の系「有界な停止時刻での期待値」から $E[X_\tau]\le E[X_n]$ を使う証明になる（Dur19 Theorem 4.4.2、p. 235 の証明）。
$\lambda>0$ なので $\{X^*_n\ge\lambda\}=\{\max_{0\le m\le n}X_m^+\ge\lambda\}$ である。Dur19 Theorem 4.4.2（p. 235）は、$\max_{0\le m\le n}X_m^+$ を使ってこの形で述べている。
$\lambda>0$ とし、$X_0:=0$、$X_1$ は $\lambda$ と $-\lambda$ を確率 $\frac12$ ずつとるとし、$m\ge2$ では $X_m:=X_1$、$\mathcal F_m:=\sigma(X_0,\dots,X_m)$ とする。$E[X_1\mid\mathcal F_0]=E[X_1]=0=X_0$ で、$m\ge1$ では $X_{m+1}=X_m$ なので、$(X_m)$ はマルチンゲールである。$n\ge1$ では $A=\{X_1=\lambda\}$ で、
$$
\lambda P(A)=\frac\lambda2,\qquad E[X_n;A]=\lambda\cdot\frac12=\frac\lambda2,\qquad E[X_n^+]=\frac\lambda2
$$
となり、thm-dmi-main の 2 つの不等式はどちらも等号になる。したがって、左辺の係数 $\lambda$ を $\lambda$ より大きい $c\lambda$（$c>1$）に取り替えた不等式は一般には成り立たない。
絶対値と下側の形
$(X_m)$ をマルチンゲール、$n\in\mathbb N$、$p\ge1$ とし、$m\le n$ について $E|X_m|^p<\infty$ とする。このとき $\lambda>0$ について
$$
P\Bigl(\max_{0\le m\le n}|X_m|\ge\lambda\Bigr)\le\frac{E|X_n|^p}{\lambda^p}
$$
である。
$X'_m:=X_{m\wedge n}$ とおく。$m< n$ では $E[X'_{m+1}\mid\mathcal F_m]=E[X_{m+1}\mid\mathcal F_m]=X_m=X'_m$ であり、$m\ge n$ では $X'_{m+1}=X_n$ は $\mathcal F_m$-可測なので $E[X'_{m+1}\mid\mathcal F_m]=X_n=X'_m$ である。よって $(X'_m)$ はマルチンゲールで、仮定からすべての $m$ で $E|X'_m|^p<\infty$ である。
$\varphi(x)=|x|^p$ は凸なので、マルチンゲール の命題「マルチンゲールの基本性質」の 4 により $Y_m:=|X'_m|^p$ は劣マルチンゲールである。$\max_{0\le m\le n}|X_m|\ge\lambda$ と $\max_{0\le m\le n}Y_m\ge\lambda^p$ は同じ事象なので、thm-dmi-main を $(Y_m)$ と水準 $\lambda^p$ に使えば $\lambda^pP\bigl(\max_{m\le n}|X_m|\ge\lambda\bigr)\le E[Y_n^+]=E|X_n|^p$ である。$\square$
$p=2$ の場合が次の Kolmogorov の最大不等式である。
$\xi_1,\dots,\xi_n$ を互いに独立な確率変数で、$E[\xi_i]=0$、$\sigma_i^2:=E[\xi_i^2]<\infty$ を満たすものとし、$S_m:=\xi_1+\cdots+\xi_m$ とおく。このとき $x>0$ について
$$
P\Bigl(\max_{1\le m\le n}|S_m|\ge x\Bigr)\le\frac{\mathrm{Var}(S_n)}{x^2}=\frac{\sigma_1^2+\cdots+\sigma_n^2}{x^2}
$$
である。
$S_0:=0$、$\mathcal F_0:=\{\emptyset,\Omega\}$、$\mathcal F_m:=\sigma(\xi_1,\dots,\xi_m)$ とする（$m>n$ では $\xi_m:=0$ とおく）。マルチンゲール の例「独立な和」により $(S_m)$ はマルチンゲールである。分散 の定理「独立な確率変数の和の分散」により $E[S_m^2]=\mathrm{Var}(S_m)=\sigma_1^2+\cdots+\sigma_m^2<\infty$ である。$x>0$ なので $|S_0|=0$ は事象に影響せず、cor-dmi-abs を $p=2$ で使えばよい。$\square$
同じ仮定のもとで、Chebyshevの不等式 は $P(|S_n|\ge x)\le\mathrm{Var}(S_n)/x^2$ を与える。Kolmogorov の最大不等式は、同じ上限が時刻 $n$ の値だけでなく、途中のすべての時刻の最大値について成り立つことを述べている（Dur19 Theorem 2.5.5（p. 84）。同書 Example 4.4.3（p. 235）はこれを Doob の極大不等式から導いている）。
劣マルチンゲールの下側については次が成り立つ。
$(X_m)$ を劣マルチンゲール、$n\in\mathbb N$、$\lambda>0$ とし、$B:=\{\min_{0\le m\le n}X_m\le-\lambda\}$ とおく。このとき
$$
\lambda P(B)\le E[X_n^+]-E[X_0]
$$
である。
$\tau:=\min\{m\mid X_m\le-\lambda\}\wedge n$（そのような $m\le n$ がなければ $\tau=n$）とおく。$\{\tau\le k\}=\bigcup_{m\le k}\{X_m\le-\lambda\}\in\mathcal F_k$（$k< n$）なので $\tau$ は停止時刻で、$\tau\le n$ である。マルチンゲール の系「有界な停止時刻での期待値」により $E[X_0]\le E[X_\tau]$ である。$B$ の上では $X_\tau\le-\lambda$、$B$ の外では $\tau=n$ で $X_\tau=X_n$ なので
$$
E[X_0]\le E[X_\tau;B]+E[X_n;\Omega\setminus B]\le-\lambda P(B)+E[X_n^+]
$$
である。移項すればよい。$\square$
thm-dmi-main と cor-dmi-lower を足すと、劣マルチンゲールについて
$$
\lambda P\Bigl(\max_{0\le m\le n}|X_m|\ge\lambda\Bigr)\le2E[X_n^+]-E[X_0]
$$
を得る。$(X_m)$ がマルチンゲールなら $E[X_0]=E[X_n]$ と $2x^+-x=|x|$ から右辺は $E|X_n|$ になり、cor-dmi-abs の $p=1$ の場合と一致する。
$L^p$ での極大不等式
thm-dmi-main は確率の評価だが、水準 $\lambda$ について積分すると、途中の最大値の積率の評価になる。劣マルチンゲール $(X_m)$ について
$$
\overline X_n:=\max_{0\le m\le n}X_m^+
$$
とおく。$\lambda>0$ なら $\{\overline X_n\ge\lambda\}=\{X^*_n\ge\lambda\}$ である。
$1< p<\infty$ とし、$(X_m)$ を劣マルチンゲール、$n\in\mathbb N$ とする。このとき
$$
E\bigl[\overline X_n^{\,p}\bigr]\le\Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^pE\bigl[(X_n^+)^p\bigr]
$$
である。とくに $(X_m)$ がマルチンゲールなら
$$
E\Bigl[\max_{0\le m\le n}|X_m|^p\Bigr]\le\Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^pE|X_n|^p
$$
である。
$E[(X_n^+)^p]=\infty$ なら示すことはないので、有限とする。$M>0$ を固定し、$Z:=\overline X_n\wedge M$ とおく。$Z$ は $0\le Z\le M$ を満たす。
まず、すべての $\lambda>0$ について
$$
\lambda P(Z\ge\lambda)\le E[X_n^+;Z\ge\lambda]\qquad(1)
$$
が成り立つ。実際、$0< \lambda\le M$ なら $\{Z\ge\lambda\}=\{\overline X_n\ge\lambda\}=\{X^*_n\ge\lambda\}$ なので、thm-dmi-main と $X_n\le X_n^+$ から (1) が従う。$\lambda>M$ なら左辺は $0$ で、右辺は $0$ 以上である。
値が $0$ 以上の確率変数 $Z$ について、$Z^p=\int_0^Zp\lambda^{p-1}\,d\lambda=\int_0^\infty p\lambda^{p-1}\mathbf 1_{\{Z\ge\lambda\}}\,d\lambda$ である。被積分関数は $0$ 以上で $(\omega,\lambda)$ について可測なので、Fubiniの定理（値が $0$ 以上の関数の場合）で期待値と積分を入れ替えられる。(1) を使い、もう一度入れ替えると
$$
E[Z^p]=\int_0^\infty p\lambda^{p-1}P(Z\ge\lambda)\,d\lambda\le\int_0^\infty p\lambda^{p-2}E[X_n^+;Z\ge\lambda]\,d\lambda=E\Bigl[X_n^+\int_0^Zp\lambda^{p-2}\,d\lambda\Bigr]=\frac p{p-1}E\bigl[X_n^+Z^{p-1}\bigr]
$$
である（$p>1$ なので $\lambda^{p-2}$ は $0$ の近くで積分でき、$\int_0^Zp\lambda^{p-2}\,d\lambda=\frac p{p-1}Z^{p-1}$ である）。
$p':=\frac p{p-1}$ とおくと $(p-1)p'=p$ なので、Hölderの不等式 により
$$
E\bigl[X_n^+Z^{p-1}\bigr]\le E\bigl[(X_n^+)^p\bigr]^{1/p}\,E\bigl[Z^p\bigr]^{1/p'}
$$
である。$E[Z^p]\le M^p<\infty$ なので、$E[Z^p]>0$ なら両辺を $E[Z^p]^{1/p'}$ で割って
$$
E[Z^p]^{1/p}\le\frac p{p-1}E\bigl[(X_n^+)^p\bigr]^{1/p}
$$
を得る（$E[Z^p]=0$ なら明らか）。$p$ 乗して $M\to\infty$ とすると、$Z=\overline X_n\wedge M$ は $\overline X_n$ に単調に増えて近づくので、単調収束定理 から 1 つ目の不等式を得る。
2 つ目。$(X_m)$ がマルチンゲールなら、凸関数 $|x|$ について マルチンゲール の命題「マルチンゲールの基本性質」の 4 により $(|X_m|)$ は劣マルチンゲールである。$|X_m|^+=|X_m|$ なので、1 つ目を $(|X_m|)$ に使えばよい。$\square$
$\frac p{p-1}$ を $p$ の共役指数 $p'$ と書けば、2 つ目は $L^p$ ノルムで $\bigl\|\max_{m\le n}|X_m|\bigr\|_p\le p'\,\|X_n\|_p$ と書ける（Dur19 Theorem 4.4.4、p. 236）。$p\to1$ で $p'\to\infty$ となり、$p=1$ では同じ形の不等式は成り立たない（下の節「条件を外した反例」の表）。$n\to\infty$ とすれば、単調収束定理 から $E\bigl[\sup_m|X_m|^p\bigr]\le(p')^p\sup_nE|X_n|^p$ も分かる。$\sup_nE|X_n|^p<\infty$ を満たすマルチンゲールが $L^p$ でも収束すること（Dur19 Theorem 4.4.6、p. 237）は、この評価から $\sup_m|X_m|^p$ が可積分な上界になることによる（ほとんど確実な収束は Doobのマルチンゲール収束定理 で扱う）。
$p=1$ の代わり
$p=1$ では、$E[X_n^+]$ だけで $E[\overline X_n]$ を抑えることはできない。$X_n^+$ に少し強い可積分性を課せば、次の評価が成り立つ。$\log^+x:=\max(\log x,0)$（$x>0$）、$\log^+0:=0$ とする。
$(X_m)$ を劣マルチンゲール、$n\in\mathbb N$ とする。このとき
$$
E\bigl[\overline X_n\bigr]\le\frac{1}{1-e^{-1}}\Bigl(1+E\bigl[X_n^+\log^+X_n^+\bigr]\Bigr)
$$
である。
要点：thm-dmi-lp の証明と同じく水準について積分するが、$\lambda\le1$ の部分は確率を $1$ で抑え、$\lambda>1$ の部分に出る $E[X_n^+\log^+\overline X_n]$ を初等的な不等式 $a\log^+b\le a\log^+a+b/e$ で分ける。
詳細
右辺が $\infty$ なら示すことはない。$M>0$ を固定して $Y:=\overline X_n\wedge M$ とおく。thm-dmi-lp の証明の (1) と同じく、すべての $\lambda>0$ で $\lambda P(Y\ge\lambda)\le E[X_n^+;Y\ge\lambda]$ である。$\lambda\in(0,1]$ では $P(Y\ge\lambda)\le1$ を使い、$\lambda>1$ ではこの不等式を使うと、Fubiniの定理 により
$$E[Y]=\int_0^\infty P(Y\ge\lambda)\,d\lambda\le1+\int_1^\infty\frac1\lambda E[X_n^+;Y\ge\lambda]\,d\lambda=1+E\Bigl[X_n^+\int_1^\infty\frac{\mathbf 1_{\{Y\ge\lambda\}}}\lambda\,d\lambda\Bigr]=1+E\bigl[X_n^+\log^+Y\bigr]$$
である。次に、$a\ge0$、$b\ge0$ について $a\log^+b\le a\log^+a+\frac be$ （2）を示す。$a=0$ または $b< 1$ なら左辺は $0$ で、右辺は $0$ 以上である。$a>0$、$b\ge1$ とする。$g(a):=a\log b-a\log a$ は $g'(a)=\log b-\log a-1$ なので $a=b/e$ で最大値 $g(b/e)=\frac be$ をとる。よって $a\log b\le a\log a+\frac be\le a\log^+a+\frac be$ である。
（2）を $a=X_n^+$、$b=Y$ に使うと $E[X_n^+\log^+Y]\le E[X_n^+\log^+X_n^+]+e^{-1}E[Y]$ なので、$E[Y]\le1+E[X_n^+\log^+X_n^+]+e^{-1}E[Y]$ である。$E[Y]\le M<\infty$ なので $e^{-1}E[Y]$ を移項でき、$(1-e^{-1})E[Y]\le1+E[X_n^+\log^+X_n^+]$ を得る。$M\to\infty$ として 単調収束定理 を使えばよい。$\square$
この評価は Dur19 Exercise 4.4.8（p. 239）にある。とくに劣マルチンゲールが $\sup_nE[X_n^+\log^+X_n^+]<\infty$ を満たせば、$E\bigl[\sup_nX_n^+\bigr]<\infty$ である。
例と応用
$\xi_1,\xi_2,\dots$ を独立で $1$ と $-1$ を確率 $\frac12$ ずつとる確率変数とし、$S_m:=\xi_1+\cdots+\xi_m$ とする。$\mathrm{Var}(S_n)=n$ なので、cor-dmi-kolmogorov から
$$
P\Bigl(\max_{1\le m\le n}|S_m|\ge x\Bigr)\le\frac n{x^2}
$$
である。たとえば $100$ 回の賭けの途中で、手持ちの増減が一度でも $\pm30$ に達する確率は $\frac{100}{900}=\frac19$ 以下である。Chebyshevの不等式 が同じ上限を与えるのは、$100$ 回目の後の $|S_{100}|$ についてだけである。
Kolmogorov の最大不等式から、独立な確率変数の級数の収束が分かる。
$\xi_1,\xi_2,\dots$ を互いに独立な確率変数で、$E[\xi_i]=0$、$\sum_{i=1}^\infty E[\xi_i^2]<\infty$ を満たすものとする。このとき $\sum_{i=1}^\infty\xi_i$ はほとんど確実に収束する。
要点：$\sigma_i^2:=E[\xi_i^2]$ とする。部分和 $S_m:=\xi_1+\cdots+\xi_m$ の時刻 $k$ より後の振れ幅を cor-dmi-kolmogorov で $\varepsilon^{-2}\sum_{i>k}\sigma_i^2$ 以下に抑えると、これは $k\to\infty$ で $0$ に近づくので、$(S_m)$ はほとんど確実に Cauchy 列になる。
詳細
$\varepsilon>0$ を固定する。$k\ge0$、$N\ge1$ について $\xi_{k+1},\dots,\xi_{k+N}$ に cor-dmi-kolmogorov を使うと $P\bigl(\max_{k< m\le k+N}|S_m-S_k|\ge\varepsilon\bigr)\le\varepsilon^{-2}\sum_{i=k+1}^{k+N}\sigma_i^2$ である。$\{\sup_{m>k}|S_m-S_k|>\varepsilon\}$ は、$N$ について増える左辺の事象の和に含まれるので、確率の連続性から $P\bigl(\sup_{m>k}|S_m-S_k|>\varepsilon\bigr)\le\varepsilon^{-2}\sum_{i>k}\sigma_i^2$ である。
$W_k:=\sup_{j,m>k}|S_j-S_m|$ とおくと $W_k\le2\sup_{m>k}|S_m-S_k|$ であり、$W_k$ は $k$ について単調非増加なので極限 $W:=\lim_kW_k\in[0,\infty]$ がある。すべての $k$ で $P(W>2\varepsilon)\le P(W_k>2\varepsilon)\le\varepsilon^{-2}\sum_{i>k}\sigma_i^2$ であり、右辺は $k\to\infty$ で $0$ に近づく。よって $P(W>2\varepsilon)=0$ であり、$\varepsilon=\frac1j$（$j=1,2,\dots$）として $W=0$ がほとんど確実に成り立つ。$W(\omega)=0$ なら $(S_m(\omega))$ は Cauchy 列なので収束する。$\square$
Dur19 Theorem 2.5.6（p. 84）も同じ筋道で示している。たとえば $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots$ を独立で $\pm1$ を確率 $\frac12$ ずつとる確率変数とすると、$\sum_i\mathrm{Var}(\varepsilon_i/i)=\sum_i1/i^2<\infty$ なので、符号をでたらめに付けた調和級数 $\sum_i\varepsilon_i/i$ はほとんど確実に収束する。すべての符号が $+1$ の調和級数は発散するが、符号がでたらめなら打ち消し合いが起こる。
$\Omega:=[0,1)$ に Lebesgue 測度 $P$ を入れ、$\mathcal F_n$ を 2 進区間 $I_{n,j}:=[j2^{-n},(j+1)2^{-n})$（$0\le j< 2^n$）が生成する σ-代数とする。可積分な $f$ について、条件付き期待値 の命題「可算な分割が生成する σ-代数」により $X_n:=E[f\mid\mathcal F_n]$ は、$\omega$ を含む $I_{n,j}$ の上での $f$ の平均 $2^n\int_{I_{n,j}}f$ である。マルチンゲール の例「情報を増やして条件付けた列」により $(X_n)$ はマルチンゲールである。$M_{\mathrm d}f(\omega):=\sup_n|X_n(\omega)|$ とおく。
- cor-dmi-abs（$p=1$）と $E|X_n|\le E|f|$（条件付き期待値 の定理「条件付き期待値の基本性質」の 2）から $\lambda P(\max_{m\le n}|X_m|\ge\lambda)\le\int|f|$ である。$\{M_{\mathrm d}f>\lambda\}$ は $n$ について増える事象 $\{\max_{m\le n}|X_m|\ge\lambda\}$ の和に含まれるので、$\lambda P(M_{\mathrm d}f>\lambda)\le\int_0^1|f|$ である。
- $1< p<\infty$ で $\int|f|^p<\infty$ なら、Jensenの不等式 の定理「条件付きJensenの不等式」から $E|X_n|^p\le\int|f|^p$ であり、thm-dmi-lp と 単調収束定理 から $\int(M_{\mathrm d}f)^p\le\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\int|f|^p$ である。
これは Hardy–Littlewoodの極大関数 の弱 $(1,1)$ 型評価と $L^p$ 評価の、2 進区間だけを使う版である。確率論の極大不等式と実解析の極大不等式は、同じ「途中の最大値を最後の量で抑える」形をしている。
条件を外した反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 劣マルチンゲールであること（thm-dmi-main） | 定数の列 $X_0:=1$、$X_m:=0$（$m\ge1$）。適合し可積分で、優マルチンゲールである | $n=\lambda=1$ で $P(X^*_1\ge1)=1$ だが $E[X_1^+]=0$ |
| マルチンゲールであること（cor-dmi-abs） | 定数の列 $X_0:=-1$、$X_m:=0$（$m\ge1$）。劣マルチンゲールである | $n=\lambda=1$ で $P(\max_{m\le1}\lvert X_m\rvert\ge1)=1$ だが $E\lvert X_1\rvert^p=0$ |
| 平均が $0$（cor-dmi-kolmogorov） | $\xi_i:=1$（定数。独立で分散 $0$） | $\mathrm{Var}(S_n)=0$ だが $0< x\le n$ で $P(\max_m\lvert S_m\rvert\ge x)=1$ |
| 指数が $1$ より大きいこと（thm-dmi-lp） | $1$ から始めた公平な $\pm1$ の歩みを、$0$ に着いた時刻 $\tau_0$ で止めた $Y_n:=S_{\tau_0\wedge n}$ | $E[Y_n]=1$ だが $E[\max_{m\le n}Y_m]\to\infty$ |
1 行目：$E[X_1\mid\mathcal F_0]=0< 1=X_0$ なので劣マルチンゲールでない。ほかの条件（適合・可積分）は満たす。
2 行目：$E[X_1\mid\mathcal F_0]=0>-1=X_0$ で、$m\ge1$ では値が変わらないので劣マルチンゲールだが、マルチンゲールでない。$|X_0|=1$ なので最大値の事象は確率 $1$ である。なお thm-dmi-main 自体は成り立つ（$X^*_1=0< 1$）。
3 行目：$S_m=m$ で、$\max_{1\le m\le n}|S_m|=n$ である。各 $\xi_i$ は定数なので互いに独立で、2 次の積率は有限だが、$E[\xi_i]=1\ne0$ である。
4 行目：
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$S_0:=1$、$S_m:=1+\xi_1+\cdots+\xi_m$（$\xi_i$ は ex-dmi-coin と同じ）とし、$\tau_0:=\min\{m\mid S_m=0\}$ とする。マルチンゲール の定理「停止過程の性質」により $(Y_n)$ は値が $0$ 以上のマルチンゲールで、$E[Y_n]=E[Y_0]=1$ である。整数 $K\ge2$ について $\sup_nY_n\ge K$ となるのは、$0$ に着く前に $K$ に着くときであり、マルチンゲール の例「破産の確率」（$i=1$、$N=K$、$p=q$）によりその確率は $\frac1K$ である（$K=1$ では $Y_0=1$ なので確率 $1$）。$\sup_nY_n$ は値が $0$ 以上の整数（または $\infty$）なので $E[\sup_nY_n]=\sum_{K\ge1}P(\sup_nY_n\ge K)=\sum_{K\ge1}\frac1K=\infty$ であり、単調収束定理 から $E[\max_{m\le n}Y_m]\to\infty$ である。よって $E[\max_{m\le n}Y_m]\le C\,E[Y_n]$ がすべての $n$ で成り立つ定数 $C$ はない（Dur19 Example 4.4.5、pp. 236–237）。一方 thm-dmi-llogl によれば $E[\max_{m\le n}Y_m]\le\frac{1}{1-e^{-1}}(1+E[Y_n\log^+Y_n])$ なので、$E[Y_n\log^+Y_n]\to\infty$ である。
補足
- 連続時間。 $(X_t)_{0\le t\le T}$ がフィルトレーション $(\mathcal F_t)$ に関する劣マルチンゲール（$s\le t$ で $E[X_t\mid\mathcal F_s]\ge X_s$）で、各 $\omega$ について $t\mapsto X_t(\omega)$ が右連続なら、$\lambda>0$ について $\lambda P\bigl(\sup_{0\le t\le T}X_t>\lambda\bigr)\le E[X_T^+]$ である。Brown運動 $B_t$ は連続なマルチンゲールなので（Dur19 Theorem 7.5.2、p. 376）、$B_t^2$ は連続な劣マルチンゲールであり、$P(\sup_{t\le T}|B_t|>\lambda)\le E[B_T^2]/\lambda^2=T/\lambda^2$ が従う。確率積分の連続な版の構成では、分割ごとの和の差が離散時間のマルチンゲールになることを使って thm-dmi-lp を $p=2$ で当て、その結果として連続時間の $L^2$ 極大不等式も得られる（確率微分方程式）。
理由を開く
$D_k:=\{jT2^{-k}\mid0\le j\le2^k\}$ とおくと、$(X_t)_{t\in D_k}$ は時刻を並べ直した離散時間の劣マルチンゲールなので、thm-dmi-main から $\lambda P(\max_{t\in D_k}X_t>\lambda)\le E[X_T^+]$ である。$D_k$ は $k$ について増える。$\sup_{t\le T}X_t>\lambda$ なら $X_t>\lambda$ となる $t$ があり、右連続性から $t$ に右から近づく $D:=\bigcup_kD_k$ の点（$t=T$ なら $T$ 自身）で $X>\lambda$ となる。よって $\{\sup_{t\le T}X_t>\lambda\}=\bigcup_k\{\max_{t\in D_k}X_t>\lambda\}$（増大和）であり、確率の連続性から結論を得る。同じ議論で、$\sup_{t\le T}X_t$ は可算個の確率変数の上限として可測である。
- 名前。 Dur19 は thm-dmi-main を Doob の不等式（Doob's inequality）、thm-dmi-lp を $L^p$ 極大不等式（$L^p$ maximum inequality）と呼んでいる。$p=2$ で独立な和の場合が Kolmogorov の最大不等式である。
関連項目
- 前提: マルチンゲール, 条件付き期待値, Markovの不等式, Hölderの不等式
- 特別な場合: Chebyshevの不等式
- 直後に読む: Doobのマルチンゲール収束定理, Doobの任意抽出定理
- 応用: 確率微分方程式, 伊藤の公式, Kolmogorovの0-1法則
- 比較: Hardy–Littlewoodの極大関数
参考文献
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