Lawvere理論

同義語：Lawvere theory

概要

前提知識: 圏論的積, 関手, 自然変換, 等式論理, 米田の補題

Lawvere理論（Lawvere theory）は、群・環・加群のように「有限項の演算と、それらの間の等式」で定まる代数系を、演算記号や公理の選び方によらない一つの圏として表したものである。対象は自然数 $0,1,2,\dots$ で、$n$ は $1$ の $n$ 個の積であり、射 $n\to1$ が「$n$ 変数の演算」を表す。代数系はこの圏から集合の圏への有限積を保つ関手（モデル）として現れ、準同型は自然変換として現れる。理論の射の集合は公理から導かれる等式の全体だけで決まるので、同じ代数系を別の公理系で表しても、導かれる等式が同じなら同じ理論になる。
この記事では、Lawvere理論とそのモデルを定義し、等式の集合 $\Sigma$ から Lawvere理論 $\mathcal L_\Sigma$ を作って、そのモデルの圏が $\Sigma$ を満たす代数系の圏と同値になることを証明する。あわせて、表現可能関手 $\mathcal L(n,-)$ が $n$ 個の元で生成される自由なモデルであることを示す。

定義

$\mathsf{Fin}$ を、対象を自然数 $n\ge0$ とし、$n$ から $m$ への射を写像 $[n]\to[m]$ とする圏とする。ここで $[n]=\{1,\dots,n\}$、$[0]=\emptyset$ である。$\mathsf{Fin}$ では $n$ は $1$ の $n$ 個の余積(圏論)で、写像 $\iota_j\colon[1]\to[n]$（$1\mapsto j$）が余積の入射になる。したがって反対圏 $\mathsf{Fin}^{\mathrm{op}}$ では、$n$ は $1$ の $n$ 個の圏論的積で、$\iota_j$ の反対の射が射影になる。$0$ は $\mathsf{Fin}^{\mathrm{op}}$ の終対象である。

Lawvere理論とモデル

Lawvere理論とは、小さい圏 $\mathcal L$ と関手 $I\colon\mathsf{Fin}^{\mathrm{op}}\to\mathcal L$ の組で、$I$ が対象の上で恒等写像であり（$\mathcal L$ の対象も自然数で $I(n)=n$）、有限積を保つものである。$\pi_j:=I(\iota_j)\colon n\to1$（$1\le j\le n$）と書く。
Lawvere理論の射 $(\mathcal L,I)\to(\mathcal L',I')$ とは、$G\circ I=I'$ を満たす関手 $G\colon\mathcal L\to\mathcal L'$ である。
有限積をもつ圏 $\mathcal C$ における $\mathcal L$ のモデルとは、有限積を保つ関手 $M\colon\mathcal L\to\mathcal C$ のことである。$\mathcal C=\mathbf{Set}$ のとき、モデルの間の射を自然変換とし、モデルの圏を $\operatorname{Mod}(\mathcal L)$ と書く。

$I$ が有限積を保つので、$\mathcal L$ の中で $n$ は射影 $\pi_1,\dots,\pi_n$ によって $1$ の $n$ 個の積になる。とくに射 $u\colon k\to n$ は、成分 $\pi_j\circ u\colon k\to1$ の組と一対一に対応し、
$$ \mathcal L(k,n)\cong\mathcal L(k,1)^n $$
である。$\mathcal L(n,1)$ の元を $n$ 項演算とよぶ。$\mathcal L$ の有限積はすべて $1$ の積の形をしているので、関手 $M\colon\mathcal L\to\mathbf{Set}$ がモデルであることは、各 $n$ で写像
$$ p_n:=\bigl(M(\pi_1),\dots,M(\pi_n)\bigr)\colon M(n)\longrightarrow M(1)^n $$
が全単射であることと同じである（$n=0$ では $M(0)$ が一点集合であること）。このとき $A:=M(1)$ を台集合とよび、$n$ 項演算 $u$ は写像 $M(u)\circ p_n^{-1}\colon A^n\to A$ として $A$ に作用する。
この定義は Rie16 Exercise 5.5.vii（p. 211）の定式化に従う。Lawvere の 1963 年の学位論文は、反対の流儀（有限集合の圏から余積を保つ関手）で代数理論を定義していた（Law63 Chapter II §1、pp. 61–62）。著者自身が、のちの注釈で積の流儀のほうが自然だと述べている（Law63 著者の注釈 §5、p. 19）。

等式の集合から作る Lawvere理論

型 $F$ と型 $F$ の等式の集合 $\Sigma$ を固定する。項・項の値・「代数系が等式を満たす」ことは等式論理の定義「項と等式」による。ただしこの記事では、型に定数記号がないときに限って、台が空の代数系も許す（空の代数系はすべての等式を満たす）。$\Sigma$ を満たす代数系と準同型のなす圏を $\mathbf{Alg}(F,\Sigma)$ と書く。
変数 $x_1,\dots,x_n$ だけを含む項の集合を $T_n$ とし、$t\in T_n$ と代数系 $A$ について、項関数 $t^A\colon A^n\to A$ を $t^A(a_1,\dots,a_n):=t^A[\alpha]$（$\alpha(x_i)=a_i$）で定める。$s,t\in T_n$ について、$\Sigma$ を満たすすべての代数系 $A$ で $s^A=t^A$ となるとき $s\sim t$ と書く（等式論理の記法では $\Sigma\models s\approx t$。空の代数系を許してもこの関係は変わらない。$n\ge1$ なら空の代数系では $A^n=\emptyset$ なのでどの項関数も等しく、$T_0$ が空でないのは定数記号があるとき、すなわち空の代数系がないときだけだからである）。$t$ の $\sim$ による類を $[t]$ と書く。
項の代入は、等式論理の補題「代入補題」により項関数の合成になる。すなわち $s\in T_m$、$t_1,\dots,t_m\in T_n$ とし、$\sigma$ を $x_i\mapsto t_i$（$i\le m$）とする代入とすると、どの代数系 $A$ でも
$$ (s\sigma)^A=s^A\circ(t_1^A,\dots,t_m^A)\colon A^n\longrightarrow A $$
である。以下、これを代入の公式とよぶ。$s\sigma$ を $s(t_1,\dots,t_m)$ とも書く。

等式の集合が定める理論

圏 $\mathcal L_\Sigma$ を次で定める。対象は自然数 $n\ge0$ である。射 $n\to m$ は、類の組 $[t]=([t_1],\dots,[t_m])$（$t_j\in T_n$）である。$[t]\colon n\to m$ と $[s]=([s_1],\dots,[s_l])\colon m\to l$ の合成を
$$ [s]\circ[t]:=\bigl([s_1(t_1,\dots,t_m)],\dots,[s_l(t_1,\dots,t_m)]\bigr)\colon n\to l $$
とし、$n$ の恒等射を $([x_1],\dots,[x_n])$ とする。さらに写像 $\varphi\colon[m]\to[n]$ に $I(\varphi):=([x_{\varphi(1)}],\dots,[x_{\varphi(m)}])\colon n\to m$ を対応させる。

等式の集合が定める Lawvere理論

$\mathcal L_\Sigma$ は圏であり、$(\mathcal L_\Sigma,I)$ は Lawvere理論である。射影は $\pi_j=[x_j]\colon n\to1$ である。

射 $[t]\colon n\to m$ に、$\Sigma$ を満たす各代数系 $A$ での写像 $t^A:=(t_1^A,\dots,t_m^A)\colon A^n\to A^m$ の族を対応させる。$\sim$ の定義により、この族は代表元の取り方によらず、また族が等しい 2 つの射は等しい。
合成が代表元によらないこと：$t_i\sim t'_i$、$s_j\sim s'_j$ なら、代入の公式によりどの $A$ でも $s_j(t)^A=s_j^A\circ t^A=s_j'^A\circ t'^A=s'_j(t')^A$ なので $s_j(t)\sim s'_j(t')$ である。同じく代入の公式により、合成した射の族は写像の合成 $s^A\circ t^A$ であり、恒等射の族は恒等写像である。写像の合成は結合的で恒等写像は単位なので、族が等しい射は等しいことから、$\mathcal L_\Sigma$ でも結合律と単位律が成り立つ。
$I(\varphi)$ の族は $A^n\to A^m$、$(a_1,\dots,a_n)\mapsto(a_{\varphi(1)},\dots,a_{\varphi(m)})$ であり、$\varphi\mapsto$（この写像）は合成の順序を逆にして保つので、$I$ は関手である。
最後に、$n$ が $\pi_j=[x_j]$ によって $1$ の $n$ 個の積であることを示す。射 $u_1,\dots,u_n\colon k\to1$ が与えられたとき、$u=(u_1,\dots,u_n)\colon k\to n$ は $\pi_j\circ u=[x_j(u_1,\dots,u_n)]=u_j$ を満たし、射 $k\to n$ は成分の組そのものだから、そのような $u$ はこれだけである。$n=0$ では射 $k\to0$ は空の組だけなので $0$ は終対象である。$\mathsf{Fin}^{\mathrm{op}}$ の積 $n$ と射影 $\iota_j^{\mathrm{op}}$ は $I$ で $\mathcal L_\Sigma$ の積 $n$ と射影 $\pi_j$ に写るから、$I$ は有限積を保つ。$\square$

主定理：モデルは代数系である

$\Sigma$ を満たす代数系 $A$ に、関手 $\Phi(A)\colon\mathcal L_\Sigma\to\mathbf{Set}$ を
$$ \Phi(A)(n):=A^n,\qquad\Phi(A)([t]):=t^A=(t_1^A,\dots,t_m^A)\colon A^n\to A^m $$
で対応させる。prf-lawvere-syntactic で見たとおりこれは関手であり、$\Phi(A)(\pi_j)$ は第 $j$ 成分への射影なので有限積を保つ。準同型 $h\colon A\to B$ には $\Phi(h)_n:=h^n\colon A^n\to B^n$ を対応させる。準同型は項関数と可換である（$h\circ t^A=t^B\circ h^n$。項の組み立てについての帰納法で、変数では明らかで、$t=f(t_1,\dots,t_k)$ では $h\circ f^A=f^B\circ h^k$ による）から、$\Phi(h)$ は自然変換である。

モデルの圏と代数系の圏の同値

関手 $\Phi\colon\mathbf{Alg}(F,\Sigma)\to\operatorname{Mod}(\mathcal L_\Sigma)$ は圏同値である。

$\Phi$ が忠実充満で本質的に全射であることを示す（圏同値の判定法による）。
忠実充満. 自然変換 $\theta\colon\Phi(A)\to\Phi(B)$ を考え、$h:=\theta_1\colon A\to B$ とおく。$\pi_j\colon n\to1$ についての自然性 $h\circ\mathrm{pr}_j=\mathrm{pr}_j\circ\theta_n$ から $\theta_n=h^n$ である。項数 $k$ の演算記号 $f$ について、射 $[f(x_1,\dots,x_k)]\colon k\to1$ についての自然性は $h\circ f^A=f^B\circ h^k$、すなわち $h$ が準同型であることを述べている。よって $\theta=\Phi(h)$ であり、$h$ は $\theta$ から決まる。逆に準同型 $h$ からは自然変換 $\Phi(h)$ が得られるので、$\Phi$ は射の集合の全単射を与える。
本質的に全射. モデル $M\colon\mathcal L_\Sigma\to\mathbf{Set}$ をとり、全単射 $p_n\colon M(n)\to M(1)^n$ を def-lawvere-theory の後のとおりとする。$A:=M(1)$ とし、項数 $k$ の演算記号 $f$ を
$$ f^A:=M\bigl([f(x_1,\dots,x_k)]\bigr)\circ p_k^{-1}\colon A^k\to A $$
で解釈する。すべての $t\in T_n$ について
$$ t^A=M([t])\circ p_n^{-1} $$
であること（以下 (★)）を、$t$ の組み立てについての帰納法で示す。$t=x_j$ なら $[x_j]=\pi_j$ で、$M(\pi_j)\circ p_n^{-1}$ は第 $j$ 成分への射影だから正しい。$t=f(t_1,\dots,t_k)$ なら、$\mathcal L_\Sigma$ の中で $[t]=[f(x_1,\dots,x_k)]\circ([t_1],\dots,[t_k])$ である。$p_k\circ M\bigl(([t_1],\dots,[t_k])\bigr)=\bigl(M([t_1]),\dots,M([t_k])\bigr)$（成分を $M(\pi_i)$ で取り出す）と帰納法の仮定から
$$ M([t])\circ p_n^{-1}=f^A\circ p_k\circ M\bigl(([t_1],\dots,[t_k])\bigr)\circ p_n^{-1}=f^A\circ(t_1^A,\dots,t_k^A)=t^A $$
となる。
$\Sigma$ の等式 $s\approx t$ をとり、両辺に現れる変数を $x_1,\dots,x_n$ とする。$\Sigma$ のモデルはこの等式を満たすので $s\sim t$、すなわち $[s]=[t]$ であり、(★) から $s^A=t^A$ である。よって $A$ は $\Sigma$ を満たす。さらに (★) を成分ごとに使うと、どの射 $[t]\colon n\to m$ についても $p_m\circ M([t])=t^A\circ p_n$ となるので、$(p_n)_n$ は自然同型 $M\cong\Phi(A)$ である。$\square$

この定理により、$\Sigma$ を満たす代数系を考えることと、Lawvere理論 $\mathcal L_\Sigma$ のモデルを考えることは同じになる。$\mathcal L_\Sigma$ の射の集合は $\sim$ だけで決まるので、同じ型の 2 つの等式の集合 $\Sigma,\Sigma'$ が同じ代数系のクラスを定めるなら $\mathcal L_\Sigma=\mathcal L_{\Sigma'}$ である。たとえば群の公理を左単位元・左逆元だけで書いても、両側の単位元・逆元で書いても、同じ理論になる。

自由なモデル

表現可能関手は自由なモデル

$(\mathcal L,I)$ を Lawvere理論、$n\ge0$ とする。表現可能関手 $\mathcal L(n,-)\colon\mathcal L\to\mathbf{Set}$ はモデルであり、任意のモデル $M$ について
$$ \operatorname{Mod}(\mathcal L)\bigl(\mathcal L(n,-),M\bigr)\longrightarrow M(1)^n,\qquad\theta\longmapsto\bigl(\theta_1(\pi_1),\dots,\theta_1(\pi_n)\bigr) $$
は全単射である。すなわち $\mathcal L(n,-)$ は、台集合 $\mathcal L(n,1)$ の $n$ 個の元 $\pi_1,\dots,\pi_n$ で生成される自由なモデルである。

$k$ は $\pi_1,\dots,\pi_k$ により $1$ の積なので、積の普遍性から $\mathcal L(n,k)\to\mathcal L(n,1)^k$、$u\mapsto(\pi_j\circ u)_j$ は全単射である。これは $\mathcal L(n,-)$ の $p_k$ そのものなので、$\mathcal L(n,-)$ はモデルである。
$\operatorname{Mod}(\mathcal L)$ は関手圏の充満部分圏なので、米田の補題により $\theta\mapsto\theta_n(1_n)$ は全単射 $\operatorname{Mod}(\mathcal L)(\mathcal L(n,-),M)\to M(n)$ である。これに全単射 $p_n$ を合成すると $\theta\mapsto\bigl(M(\pi_j)(\theta_n(1_n))\bigr)_j$ となり、自然性から $M(\pi_j)(\theta_n(1_n))=\theta_1(\pi_j\circ1_n)=\theta_1(\pi_j)$ である。$\square$

$\mathcal L=\mathcal L_\Sigma$ のとき、thm-lawvere-models で $\mathcal L_\Sigma(n,-)$ に対応する代数系は、台集合 $T_n/{\sim}$ に $f([t_1],\dots,[t_k]):=[f(t_1,\dots,t_k)]$ で演算を入れたものである。上の命題から、これは $[x_1],\dots,[x_n]$ で生成される $\mathbf{Alg}(F,\Sigma)$ の自由代数になる。これは普遍代数の定理「Birkhoff の HSP 定理」の証明のあとで述べた自由代数（$n\ge1$ 個の変数の場合）と同じものである（$n=0$ で定数記号がなければ $T_0/{\sim}$ は空集合で、この記事の規約での空の代数系である）。

例

集合の理論

型 $F$ も $\Sigma$ も空のとき、$T_n=\{x_1,\dots,x_n\}$ であり、$i\ne j$ なら 2 元集合で $x_i^A\ne x_j^A$ となるので $x_i\not\sim x_j$ である。よって $\mathcal L_\emptyset(n,m)$ は $[m]\to[n]$ の写像と一対一に対応し、$I\colon\mathsf{Fin}^{\mathrm{op}}\to\mathcal L_\emptyset$ は同型である。thm-lawvere-models により、そのモデルの圏は集合の圏と同値である。

環上の加群の理論

$R$ を環とし、型を $\{+,-,0\}\cup\{r\cdot\mid r\in R\}$（項数 $2,1,0$ と、各 $r$ について項数 $1$）、$\Sigma$ を左 $R$ 加群の公理とする。項の組み立てについての帰納法で、どの $t\in T_n$ も、ある $(r_1,\dots,r_n)\in R^n$ について一次式 $r_1x_1+\cdots+r_nx_n$ と $\sim$ になる（$x_j=1\cdot x_j$、$r\cdot\sum_ir_ix_i\sim\sum_i(rr_i)x_i$ など）。さらに $A=R$ で $x_j=1$、$x_i=0$（$i\ne j$）を代入すると係数 $r_j$ が読み取れるので、係数の組は一意である。よって $\mathcal L_\Sigma(n,1)\cong R^n$、$\mathcal L_\Sigma(n,m)$ は $m\times n$ 行列の集合 $M_{m\times n}(R)$ と同一視でき、$t_j=\sum_ia_{ji}x_i$、$s_k=\sum_jb_{kj}x_j$ なら $s_k(t_1,\dots,t_m)\sim\sum_i\bigl(\sum_jb_{kj}a_{ji}\bigr)x_i$ なので、合成は行列の積 $BA$ になる。モデルの圏は左 $R$ 加群の圏と同値である。

可換環と群の理論

可換環の公理（型 $\{+,-,0,\cdot,1\}$）では、どの項も整数係数の多項式と $\sim$ になる。2 つの多項式 $p\ne q$ は、可換環 $A=\mathbb Z[x_1,\dots,x_n]$ で $(x_1,\dots,x_n)$ を代入すると値が $p\ne q$ になるので $\sim$ でない。よって $\mathcal L(n,1)\cong\mathbb Z[x_1,\dots,x_n]$（多項式環）で、合成は多項式の代入である。群の公理では、$\mathcal L(n,1)$ は $[x_1],\dots,[x_n]$ で生成される自由な群、すなわち自由群 $F_n$ と同一視できる（prop-lawvere-free の後の注意）。

モデルの値域を集合の圏以外に取ることもできる。位相空間の圏 $\mathbf{Top}$ で群の理論のモデルを考えると、連続な演算をもつ群、すなわち位相群が得られる。thm-lawvere-models の証明は、集合の直積を $\mathcal C$ の積に、写像を $\mathcal C$ の射に読み替えればそのまま進む。
Lawvere理論の射 $G\colon\mathcal L\to\mathcal L'$ は、前合成によってモデルの圏の関手 $G^*\colon\operatorname{Mod}(\mathcal L')\to\operatorname{Mod}(\mathcal L)$ を与える。たとえば可換群の理論の $+,-,0$ を環の理論の同じ記号に送る射から、環にその加法群を対応させる関手が得られる。

条件を外した反例

thm-lawvere-models の 2 つの仮定（モデルが有限積を保つこと、クラスが等式の集合で定まること）は外せない。2 行目では、def-lawvere-syntactic の $\sim$ を「クラス $\mathcal K$ のすべての元で項関数が等しい」に取り替えた理論 $\mathcal L_{\mathcal K}$ を考える（prop-lawvere-syntactic はこのままで成り立つ）。

外す条件	反例	成り立たなくなること
関手が有限積を保つ	$\mathcal L_\emptyset$ のすべての対象を 2 元集合 $\{0,1\}$ に、すべての射を恒等写像に送る関手 $M$	ある代数系 $A$ について $M\cong\Phi(A)$ となること
クラスが等式で定まる	ねじれのない可換群のクラス $\mathcal K$	$\Phi\colon\mathcal K\to\operatorname{Mod}(\mathcal L_{\mathcal K})$ が本質的に全射であること

表の反例の確かめ

1 行目：$M$ は関手だが、$\Phi(A)(0)=A^0$ はいつも一点集合なのに $M(0)$ は 2 元なので、$M\cong\Phi(A)$ となる $A$ はない。$M$ は $p_0$ が全単射でないので有限積を保たない。
2 行目：可換群の公理では、どの項も整数係数の一次式 $a_1x_1+\cdots+a_nx_n$ と同じ項関数をもつ（ex-lawvere-modules の $R=\mathbb Z$ の場合）。$\mathbb Z\in\mathcal K$ で係数が読み取れるので、$\mathcal K$ のすべての元で項関数が等しいことは、すべての可換群で等しいことと同じである。よって $\mathcal L_{\mathcal K}$ は可換群の理論 $\mathcal L_{\mathrm{Ab}}$ と一致し、thm-lawvere-models により $\Phi(\mathbb Z/2\mathbb Z)$ はモデルである。$\Phi(\mathbb Z/2\mathbb Z)\cong\Phi(A)$（$A\in\mathcal K$）なら、可換群の圏で $\Phi$ が忠実充満であることから $A\cong\mathbb Z/2\mathbb Z$ となり、$A$ がねじれをもつので矛盾する。

補足

モナドとの関係. $\mathbf{Set}$ 上の有限的なモナド $T$ について、Kleisli 圏の有限集合 $0,1,2,\dots$ のなす充満部分圏の反対圏は Lawvere理論になり、$T$ 代数の圏をこの理論から復元できる（Linton による。Rie16 Exercise 5.5.vii とその前後の説明、p. 211。この記事では証明しない）。prop-lawvere-free の自由なモデルは、このモナドの自由代数にあたる。
表示によらないこと. 同じ代数系の圏を与える等式の集合は無数にあるが、理論 $\mathcal L_\Sigma$ は $\Sigma$ から導かれる等式全体だけで決まる。どの演算を「基本の演算」に選ぶかは、理論の生成元の選び方にすぎない。
体は Lawvere理論のモデルの圏にならない. モデル $M,N$ の成分ごとの直積 $n\mapsto M(n)\times N(n)$ はモデルであり、$\operatorname{Mod}(\mathcal L)$ の積になる。一方、体と体準同型の圏では $\mathbb F_2$ と $\mathbb F_3$ の積は存在しない。積 $P$ があれば体準同型 $P\to\mathbb F_2$、$P\to\mathbb F_3$ があり、体準同型は標数を保つので $P$ の標数が $2$ と $3$ の両方になってしまう。よって体の圏は、どの Lawvere理論のモデルの圏とも圏同値でない。体の公理「$x=0$ または $xx^{-1}=1$」が等式でないことの、圏の側からの表れである。