発散級数
概要
発散級数（divergent series）とは、部分和の列が収束しない級数のことで、実数の項なら $+\infty$ や $-\infty$ に発散するものと振動するものに分かれる。発散級数には Cesàro 和・Abel 和・Borel 和などの総和法で値を割り当てられ、収束する級数に通常の和を与える正則性、線形性、先頭の項を外に出せる安定性が基本の性質である。線形で安定な総和法は等比級数 $\sum z^n$ に値を与えるならそれは $\frac1{1-z}$ に限り、$1+1+1+\cdots$ や $1+2+3+\cdots$ には値を与えられない。行列による総和法が正則であるための条件は Silverman–Toeplitz の定理で与えられる。
前提知識: 級数, 数列の極限, Abelの連続性定理
部分和が収束しない級数を 発散級数（divergent series）という。$1+1+1+\cdots$ のように $+\infty$ に発散するものも、$1-1+1-1+\cdots$ のように部分和が振動するものも発散級数である。発散級数には通常の意味の和はないが、部分和の平均をとる（Cesàro 和）、冪級数の端点での極限をとる（Abel 和）などの規則で値を割り当てることができ、そのような規則を 総和法 という。Fourier 級数の Cesàro 平均（Fejér の定理）や、冪級数の境界での振る舞い（Abel の連続性定理と Tauber の定理）など、総和法は解析学のあちこちに現れる。
ただし、どんな値でも割り当ててよいわけではない。収束する級数には通常の和を与え（正則性）、和の線形性と「先頭の項を外へ出せる」性質（安定性）を保つことを求めると、割り当てられる値はかなり強く制限される。この記事では、発散級数の分類と総和法の性質を定義し、線形で安定な総和法が等比級数に与える値が $\frac1{1-z}$ に限ること、$1+1+1+\cdots$ や $1+2+3+\cdots$ にはどの線形で安定な総和法も値を与えられないことを示す。さらに、行列による総和法が正則であるための条件（Silverman–Toeplitz の定理）を証明し、Borel の総和法で等比級数の和が半平面まで広がることを計算する。
発散級数
級数の言葉は 級数 の定義「級数と部分和」に従う。この記事では、項 $a_0,a_1,a_2,\dots$ を $0$ 番から数え、部分和を $s_n:=a_0+\cdots+a_n$ とする。項は実数または複素数とする。
級数 $\sum_{n\ge0}a_n$ は、部分和の列 $(s_n)$ が収束しないとき 発散する といい、そのような級数を 発散級数 という。項が実数のとき、発散級数は次の 3 つに分かれる。
- $s_n\to+\infty$ となる（$+\infty$ に発散する）。
- $s_n\to-\infty$ となる（$-\infty$ に発散する）。
- どちらでもない（振動する）。このとき $(s_n)$ は有界なこともあり、有界でないこともある。
項が非負の級数は収束するか $+\infty$ に発散するかのどちらかで、振動しない（級数 の命題「正項級数の収束と部分和の有界性」）。
- $\sum1=1+1+1+\cdots$ は $s_n=n+1\to+\infty$。調和級数 $\sum\frac1{n+1}$ も $+\infty$ に発散する。
- $\sum(-1)^n=1-1+1-\cdots$ は $s_n$ が $1,0,1,0,\dots$ で、有界に振動する。
- $\sum(-1)^n(n+1)=1-2+3-4+\cdots$ は $s_n$ が $1,-1,2,-2,3,\dots$ で、有界でなく振動する。
- 複素数 $z\ne1$ について、等比級数 $\sum z^n$ の部分和は $s_n=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}$ であり、$|z|\ge1$ なら項が $0$ に近づかないので発散する（級数 の命題「収束する級数の項は0に近づく」）。
総和法
総和法とは、ある範囲の級数に数を割り当てる規則のことである。級数 $\sum a_n$ を項の列 $a=(a_0,a_1,\dots)$ と同一視する。
総和法 $T$ とは、項の列の集合の部分集合 $D_T$ と写像 $T\colon D_T\to\mathbb{C}$ の組である。$a\in D_T$ のとき級数 $\sum a_n$ は $T$ 総和可能 であるといい、$T(a)$ をその $T$ 和 という。$T$ について次の性質を考える。
- 正則：収束するすべての級数は $D_T$ に属し、$T$ 和は通常の和に等しい。
- 線形：$D_T$ は数列の和とスカラー倍で閉じ、$T$ は線形写像である。
- 安定：$a=(a_0,a_1,\dots)$ と、先頭の項を除いた $a':=(a_1,a_2,\dots)$ について、$a\in D_T$ と $a'\in D_T$ は同値であり、そのとき $T(a)=a_0+T(a')$ である。
通常の和（収束する級数だけを総和可能とし、和を割り当てる）は正則・線形・安定な総和法である。Cesàro 和と Abel 和は Abelの連続性定理 の定義「Abel 和と Cesàro 和」で定めた。Cesàro 和は部分和の平均 $\sigma_N:=\frac{s_0+\cdots+s_N}{N+1}$ の極限、Abel 和は $\lim_{x\to1-0}\sum a_nx^n$ である。同じ記事の補題「収束する列の平均」と定理「Abelの連続性定理」は、どちらも正則であることを述べている。線形であることは極限の線形性から分かる。
Cesàro 和と Abel 和はどちらも安定である。
$a'=(a_1,a_2,\dots)$ の部分和は $s_n':=s_{n+1}-a_0$ である。
Cesàro 和：$a'$ の部分和の平均は
$$
\sigma_N'=\frac1{N+1}\sum_{n=0}^{N}(s_{n+1}-a_0)=\frac{1}{N+1}\Bigl(\sum_{n=0}^{N+1}s_n-s_0\Bigr)-a_0=\frac{N+2}{N+1}\,\sigma_{N+1}-\frac{a_0}{N+1}-a_0
$$
である（$s_0=a_0$）。$\frac{N+2}{N+1}\to1$ なので、$\sigma_N\to s$ と $\sigma_N'\to s-a_0$ は同値である。
Abel 和：$0< x<1$ と $N\ge1$ について $\sum_{n=0}^{N}a_nx^n=a_0+x\sum_{n=0}^{N-1}a_{n+1}x^n$ なので、$f(x):=\sum_{n\ge0}a_nx^n$ と $g(x):=\sum_{n\ge0}a_{n+1}x^n$ の一方が収束すれば他方も収束し、$f(x)=a_0+xg(x)$ である（$x=0$ では両方とも収束する）。$x\to1-0$ で $x\to1$ なので、$f(x)\to s$ と $g(x)\to s-a_0$ は同値である。$\square$
線形で安定な総和法が決める値
安定性と線形性だけから、多くの発散級数の値は（値が付くなら）1 通りに決まり、値が付けられない級数もある。
$T$ を線形で安定な総和法とする。
- 複素数 $z\ne1$ について等比級数 $\sum z^n$ が $T$ 総和可能なら、その $T$ 和は $\frac1{1-z}$ である。とくに $1-1+1-\cdots$ の $T$ 和は $\frac12$、$1+2+4+8+\cdots$ の $T$ 和は $-1$ である。
- $1+1+1+\cdots$ は $T$ 総和可能でない。
- $1+2+3+\cdots$ は $T$ 総和可能でない。
1：$a:=(1,z,z^2,\dots)\in D_T$、$S:=T(a)$ とする。安定性から $a'=(z,z^2,\dots)\in D_T$ で $S=1+T(a')$ である。$z\ne0$ なら $a'=za$ であり、線形性から $T(a')=zS$、したがって $S=1+zS$、$S=\frac1{1-z}$ である。$z=0$ なら $a'$ は零列で $T(a')=0$（線形性）なので $S=1$ である。
2：$e:=(1,1,1,\dots)\in D_T$ とすると、安定性から $e'=e$ について $T(e)=1+T(e)$ となり、矛盾する。
3：$b:=(1,2,3,\dots)\in D_T$ とする。$c:=(0,1,2,3,\dots)$ は先頭の項を除くと $b$ になるので、安定性から $c\in D_T$ で $T(c)=0+T(b)$ である。線形性から $b-c=(1,1,1,\dots)\in D_T$ となり、2 に反する。$\square$
1 の $1+2+4+\cdots=-1$ は、$\frac1{1-z}$ に $z=2$ を代入した値である。Abel 和や Cesàro 和はこの級数に値を与えない（$\sum2^nx^n$ は $x$ が $1$ に近いと発散し、Cesàro 平均は $+\infty$ に発散する）。実際、次の節の prop-ds-positive により、成分が非負の正則な行列による総和法は $+\infty$ に発散する級数に有限の値を与えない。
3 から、「$1+2+3+\cdots=-\frac1{12}$」はどの線形で安定な総和法の値でもない。$-\frac1{12}$ は Riemannゼータ関数 の解析接続の値 $\zeta(-1)$ であり、級数の和ではない（同じ記事の例「解析接続の値は級数の和ではない」）。
行列による総和法
部分和の列を無限行列で別の列に写し、その極限をとる総和法を考える。Cesàro 和はその代表である。
複素数の無限行列 $C=(c_{mn})_{m,n\ge0}$ を固定する。級数 $\sum a_n$ の部分和 $(s_n)$ について、各 $m$ で $t_m:=\sum_{n\ge0}c_{mn}s_n$ が収束し、$(t_m)$ が $t$ に収束するとき、$\sum a_n$ は $C$ 総和可能 であるといい、$t$ を $C$ 和 という。$C$ による総和法は線形である。
$c_{mn}=\frac1{m+1}$（$n\le m$）、$c_{mn}=0$（$n>m$）とすれば $t_m=\sigma_m$ で、Cesàro 和に戻る。$c_{mn}=1$（$n=m$）、$0$（$n\ne m$）なら通常の和である。
行列 $C=(c_{mn})$ による総和法が正則であるための必要十分条件は、次の 3 つが成り立つことである。
- $M:=\sup_m\sum_{n\ge0}|c_{mn}|<\infty$。
- 各 $n$ について $c_{mn}\to0$（$m\to\infty$）。
- $\sum_{n\ge0}c_{mn}\to1$（$m\to\infty$）。
正則とは、収束する部分和の列 $s_n\to s$ についてつねに $t_m$ が定義されて $t_m\to s$ となることである。1 は各行の絶対値の和が一様に有界であること、2 は有限個の部分和を変えても $C$ 和が変わらないこと、3 は定数列が保たれることを表す。
十分性。 1〜3 を仮定し、$s_n\to s$ とする。$(s_n)$ は有界なので、1 から各 $m$ で $\sum_nc_{mn}s_n$ は絶対収束し、$t_m$ が定義される。$e_n:=s_n-s$ とおくと
$$
t_m-s=s\Bigl(\sum_{n\ge0}c_{mn}-1\Bigr)+\sum_{n\ge0}c_{mn}e_n
$$
である。第 1 項は 3 により $0$ に近づく。$\varepsilon>0$ をとり、$n\ge N$ なら $|e_n|\le\varepsilon$ となる $N$ をとると
$$
\Bigl|\sum_{n\ge0}c_{mn}e_n\Bigr|\le\sum_{n< N}|c_{mn}|\,|e_n|+\varepsilon\sum_{n\ge N}|c_{mn}|\le\sum_{n< N}|c_{mn}|\,|e_n|+M\varepsilon
$$
であり、右辺の有限和は 2 により $m\to\infty$ で $0$ に近づく。よって $\limsup_m|t_m-s|\le M\varepsilon$ で、$\varepsilon$ は任意なので $t_m\to s$ である。
必要性。 正則であるとする。2 は、$n$ 番目だけが $1$ で残りが $0$ の部分和の列（$0$ に収束する）に正則性を当てれば $t_m=c_{mn}\to0$ として得られる。3 は、定数列 $s_n=1$ に当てれば $t_m=\sum_nc_{mn}\to1$ として得られる。1 は Banach空間 の定理「一様有界性原理」から従う。
1 の証明を開く
$0$ に収束する数列の空間 $c_0$ は上限ノルム $\|s\|_\infty:=\sup_n|s_n|$ について Banach 空間である（Banach空間 の命題「数列の空間の完備性」の 2）。
各行の絶対値の和は有限。 $m$ を固定し、$K\ge0$ について $\varphi_{m,K}(s):=\sum_{n\le K}c_{mn}s_n$ とおく。これは $c_0$ 上の有界線形汎関数で、$|\varphi_{m,K}(s)|\le\bigl(\sum_{n\le K}|c_{mn}|\bigr)\|s\|_\infty$ である。$s_n:=\overline{c_{mn}}/|c_{mn}|$（$c_{mn}\ne0$ かつ $n\le K$）、それ以外は $s_n:=0$ とおくと $s\in c_0$、$\|s\|_\infty\le1$ で $\varphi_{m,K}(s)=\sum_{n\le K}|c_{mn}|$ なので、$\|\varphi_{m,K}\|=\sum_{n\le K}|c_{mn}|$ である。正則性から、各 $s\in c_0$ について $\sum_nc_{mn}s_n$ は収束するので、$\sup_K|\varphi_{m,K}(s)|<\infty$ である。一様有界性原理により $\sup_K\|\varphi_{m,K}\|=\sum_n|c_{mn}|<\infty$ である。
行についての一様な有界性。 $\varphi_m(s):=\sum_nc_{mn}s_n=t_m$ は $c_0$ 上の線形汎関数で、上の評価から $|\varphi_m(s)|\le\bigl(\sum_n|c_{mn}|\bigr)\|s\|_\infty$、上と同じ $s$ をとって $|\varphi_m(s)|\ge\sum_{n\le K}|c_{mn}|$ となるので $\|\varphi_m\|=\sum_n|c_{mn}|$ である。正則性から、各 $s\in c_0$ について $\varphi_m(s)=t_m\to0$ なので $\sup_m|\varphi_m(s)|<\infty$ である。一様有界性原理により $\sup_m\|\varphi_m\|=\sup_m\sum_n|c_{mn}|<\infty$ である。$\square$
Cesàro 和の行列では $\sum_n|c_{mn}|=1$、各列は $\frac1{m+1}\to0$、行の和は $1$ なので、thm-ds-toeplitz から正則性が改めて分かる。成分が非負の正則な行列は、$+\infty$ への発散も保つ。
行列 $C=(c_{mn})$ による総和法が正則で、すべての成分が実数で $c_{mn}\ge0$ とする。実数の部分和の列が $s_n\to+\infty$ を満たし、各 $m$ で $t_m=\sum_nc_{mn}s_n$ が収束するなら、$t_m\to+\infty$ である。とくに $+\infty$ に発散する級数は $C$ 総和可能でない。
$K>0$ をとり、$n\ge N$ なら $s_n\ge K$ となる $N$ をとる。$c_{mn}\ge0$ なので
$$
t_m\ge\sum_{n< N}c_{mn}s_n+K\sum_{n\ge N}c_{mn}=\sum_{n< N}c_{mn}(s_n-K)+K\sum_{n\ge0}c_{mn}
$$
である。thm-ds-toeplitz の 2 により右辺の有限和は $0$ に近づき、3 により最後の項は $K$ に近づく。よって $\liminf_mt_m\ge K$ で、$K$ は任意なので $t_m\to+\infty$ である。$\square$
Borel の総和法
行列の代わりに連続な重みを使う総和法もある。
級数 $\sum a_n$ の部分和 $(s_n)$ について、すべての $t\ge0$ で $\sum_{n\ge0}s_n\frac{t^n}{n!}$ が収束し、
$$
\lim_{t\to+\infty}e^{-t}\sum_{n=0}^{\infty}s_n\frac{t^n}{n!}=s
$$
となるとき、$\sum a_n$ は Borel 総和可能 であるといい、$s$ を Borel 和 という。
収束する級数は Borel 総和可能で、Borel 和は通常の和に等しい。
$w_n(t):=e^{-t}\frac{t^n}{n!}$ とおく。$w_n(t)\ge0$、$\sum_nw_n(t)=e^{-t}e^t=1$ であり、各 $n$ で $w_n(t)\to0$（$t\to+\infty$）である（$e^t\ge\frac{t^{n+1}}{(n+1)!}$ から $w_n(t)\le\frac{n+1}{t}$）。$s_n\to s$ とし、$e_n:=s_n-s$ とおく。$(s_n)$ は有界なので $\sum_ns_nw_n(t)$ は収束し、$e^{-t}\sum_ns_n\frac{t^n}{n!}-s=\sum_ne_nw_n(t)$ である。$\varepsilon>0$ をとり、$n\ge N$ で $|e_n|\le\varepsilon$ となる $N$ をとると、$\bigl|\sum_ne_nw_n(t)\bigr|\le\sum_{n< N}|e_n|w_n(t)+\varepsilon$ であり、右辺の有限和は $t\to+\infty$ で $0$ に近づく。$\square$
これは thm-ds-toeplitz の十分性の証明を、行の番号 $m$ を連続な $t$ に替えて繰り返したものである。
複素数 $z\ne1$ について $\sum z^n$ を考える。$s_n=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}$ なので
$$
e^{-t}\sum_{n=0}^{\infty}s_n\frac{t^n}{n!}=\frac{e^{-t}\bigl(e^t-ze^{zt}\bigr)}{1-z}=\frac{1-ze^{(z-1)t}}{1-z}
$$
である（級数はすべての $t$ で収束する）。$|e^{(z-1)t}|=e^{(\operatorname{Re}z-1)t}$ なので、$z\ne0$ のとき右辺が $t\to+\infty$ で収束するのは $\operatorname{Re}z< 1$ のときに限り、そのとき極限は $\frac1{1-z}$ である（$z=0$ では右辺はつねに $1$）。よって $\sum z^n$ は $\operatorname{Re}z< 1$ のときに限り Borel 総和可能で、Borel 和は $\frac1{1-z}$ である。
等比級数 $\sum z^n$（$z\ne1$）について、各総和法で和が付く範囲を比べると次のようになる。和が付けばその値はどれも $\frac1{1-z}$ である。
| 総和法 | $\sum z^n$ が総和可能な $z$ の範囲 | 理由 |
|---|---|---|
| 通常の和 | $\lvert z\rvert< 1$ | 級数 の定理「等比級数の和」と ex-ds-examples の 4 |
| Cesàro 和 | $\lvert z\rvert\le1$、$z\ne1$ | $\sigma_N=\frac1{1-z}-\frac{z(1-z^{N+1})}{(N+1)(1-z)^2}$ |
| Abel 和 | $\lvert z\rvert\le1$、$z\ne1$ | $0\le x< 1$ で $\sum z^nx^n=\frac1{1-zx}$（$\lvert z\rvert\le1$ のとき） |
| Borel 和 | $\operatorname{Re}z< 1$ | ex-ds-borel-geometric |
Cesàro 和の行は、$|z|\le1$ なら第 2 項が $0$ に近づき、$|z|>1$ なら第 2 項の絶対値が $\frac{|z|^{N+2}-|z|}{(N+1)|1-z|^2}\to\infty$ となることによる。Abel 和の行は、$|z|>1$ なら $x>\frac1{|z|}$ で冪級数が発散することによる。$|z|=1$、$z\ne1$ の等比級数は Cesàro 和・Abel 和・Borel 和のどれでも和が付き、$|z|>1$ かつ $\operatorname{Re}z< 1$ の等比級数（たとえば $z=-2$ の $1-2+4-8+\cdots$。Borel 和は $\frac13$）は Borel 和だけで和が付く。
仮定を外すと成り立たなくなること
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| thm-ds-geometric の安定性 | 偶数番目の部分和の極限 $\lim_Ns_{2N}$ を和とする総和法 | 正則かつ線形だが、$1-1+1-\cdots$ に $\frac12$ でなく $1$ を与える |
| thm-ds-toeplitz の 3 | $c_{mn}=\frac{2}{m+1}$（$n\le m$）、$0$（$n>m$） | 収束する級数の和を 2 倍にし、正則でない |
| thm-ds-toeplitz の 2 | $c_{m0}=1$、$c_{mn}=0$（$n\ge1$） | $C$ 和がつねに $s_0=a_0$ で、正則でない |
| thm-ds-toeplitz の 1 | $c_{mm}=m+1$、$c_{m,m+1}=-m$、他は $0$ | $s_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$（$s_0:=0$）は $0$ に収束するが $(t_m)$ は有界でない |
| prop-ds-positive の成分の非負性 | $c_{mm}=2$、$c_{m,m+1}=-1$、他は $0$ | 正則だが、$s_n=2^n$（$1+1+2+4+\cdots$）を $0$ に写す |
1 行目：$1-1+1-\cdots$ の偶数番目の部分和は $1$ である。先頭の項を除いた $-1+1-1+\cdots$ の偶数番目の部分和は $-1$ なので、$1\ne1+(-1)$ となり安定でない。4 行目：$t_m=(m+1)s_m-ms_{m+1}=s_m+m(s_m-s_{m+1})$ で、$m$ が偶数なら $m(s_m-s_{m+1})=m\bigl(\frac1{\sqrt m}+\frac1{\sqrt{m+1}}\bigr)\ge\sqrt m$ である。2 と 3 は成り立つ（各列の成分は 2 つの行にしか現れず、行の和は $1$）。5 行目：$\sum_n|c_{mn}|=3$、各列は 2 つの行を除いて $0$、行の和は $1$ なので thm-ds-toeplitz により正則であり、$t_m=2\cdot2^m-2^{m+1}=0$ である。
補足
連続な周期関数の Fourier 級数では、部分和の Cesàro 平均が元の関数に一様収束する（Fejér の定理。Parsevalの等式 の命題「部分和の平均の一様収束」）。部分和そのものの収束を調べる前に、より扱いやすい総和法で和を付け、Tauber 型の定理で通常の収束を取り戻す、というのが総和法の典型的な使い方である（Abelの連続性定理 の定理「Tauberの定理」と注意「総和法としての見方」）。この記事の定理・命題の証明は、級数・Abelの連続性定理・Banach空間 の定理から組み立てたものである。
関連項目
- 前提: 級数, 数列の極限, Abelの連続性定理
- 関連: 調和級数, 数列の平均の極限, Riemannゼータ関数, Parsevalの等式
- 次に読む: Fourier級数, Banach空間
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