Mostowの剛性定理

1．$\varphi$ を局所等長写像とする。$o=(0,\dots,0,1)$ とし、$T_oH^n$ の正規直交基底 $e_1,\dots,e_n$ の像 $d\varphi_o(e_i)$ は正規直交なので、双曲空間 の定理「等質性と等方性」により $Ao=\varphi(o)$、$Ae_i=d\varphi_o(e_i)$ となる $A\in O^+(n,1)$ がある。$\psi=A^{-1}\circ\varphi$ は $o$ を動かさず $d\psi_o$ が恒等写像の局所等長写像である。局所等長写像は測地線を測地線に移す（Lee18 Corollary 5.14、p. 125）ので、$o$ から出る測地線 $\gamma_v$ について $\psi\circ\gamma_v$ は $\gamma_v$ と同じ初期値の測地線で、$\psi\circ\gamma_v=\gamma_v$ である。$H^n$ のどの点も $o$ から出る測地線の上にある（同じ記事の命題「測地極座標」）ので $\psi$ は恒等写像で、$\varphi=A$ である。

2．$H^n$ は単連結なので、被覆変換 の補題「持ち上げの判定法」により $f\circ\pi\colon H^n\to N$ は $\pi\circ g=f\circ\pi$ をみたす連続写像 $g\colon H^n\to H^n$ に持ち上がる。$\pi$ は局所微分同相なので、$g$ は各点の近くで $\pi$ の局所的な逆写像と $f\circ\pi$ の合成に一致し、滑らかである。$\pi$ は局所等長写像で $f$ は等長写像なので、$d\pi\circ dg=df\circ d\pi$ から $dg$ は長さを保ち、$g$ は局所等長写像である。1 より $g\in O^+(n,1)$ である。$\gamma\in\Gamma$ について $\pi\circ(g\gamma g^{-1})=f\circ\pi\circ\gamma\circ g^{-1}=f\circ\pi\circ g^{-1}=\pi$ である（$g^{-1}$ は $f^{-1}$ の持ち上げなので $\pi\circ g^{-1}=f^{-1}\circ\pi$）。よって $g\gamma g^{-1}$ は被覆変換で、$\Gamma'$ に属する。$f^{-1}$ についても同じことから $g^{-1}\Gamma'g\subset\Gamma$ で、$g\Gamma g^{-1}=\Gamma'$ である。別の持ち上げ $g_1$ があれば、$g_1g^{-1}$ は $\pi\circ g_1g^{-1}=\pi$ をみたすので被覆変換で、$\Gamma'$ に属する。

3．$g\Gamma=\Gamma'g$ なので $\pi(x)=\pi(x')$ なら $\pi(gx)=\pi(gx')$ で、写像 $\bar g\colon M\to N$ が定まる。$g^{-1}$ が逆写像を定め、$\pi$ が局所等長写像なので $\bar g$ は等長写像である。$\Gamma'=\Gamma$ のとき $g\mapsto\bar g$ は準同型 $N(\Gamma)\to\operatorname{Isom}(M)$ で、2 から全射である。$\bar g$ が恒等写像なら $g$ は恒等写像の持ち上げなので $g\in\Gamma$（2 の最後の主張）で、核は $\Gamma$ である。$\square$

$\bar x\in\mathbb R^n$ で $x$ の最初の $n$ 成分を表す。1：$\langle p\pm v,p\pm v\rangle=-1\pm2\langle p,v\rangle+1=0$ である。$\langle p,v\rangle=0$ から $p_{n+1}v_{n+1}=\bar p\cdot\bar v$ で、Cauchy–Schwarz の不等式と $|\bar p|^2=p_{n+1}^2-1$、$|\bar v|^2=1+v_{n+1}^2$ から $p_{n+1}^2v_{n+1}^2\le(p_{n+1}^2-1)(1+v_{n+1}^2)$、すなわち $v_{n+1}^2\le p_{n+1}^2-1< p_{n+1}^2$ である。よって $(p\pm v)_{n+1}=p_{n+1}\pm v_{n+1}>0$ である。

2：$a=(\bar a,|\bar a|)$、$b=(\bar b,|\bar b|)$ と書ける。$\langle a,b\rangle=\bar a\cdot\bar b-|\bar a||\bar b|\le0$ で、等号は $\bar b$ が $\bar a$ の正の定数倍のとき、すなわち $b=\lambda a$（$\lambda>0$）のときに限る。$\square$

$C=\sup_xd(gx,x)$ とする。単位速さの測地線 $\gamma(t)=\cosh t\,p+\sinh t\,v$ をとり、$a=p+v$、$b=p-v$、$a'=ga$、$b'=gb$ とおく。$g$ は 1 次写像で $\langle\ ,\ \rangle$ と $H^n$ を保つので、$g\gamma(t)=\cosh t\,gp+\sinh t\,gv$ で、$gp\in H^n$、$gv\in T_{gp}H^n$ は単位ベクトルである。lem-mr-null の 1 により $a'$、$b'$ は未来向きの光的ベクトルで、$\langle a',a'\rangle=\langle b',b'\rangle=0$ から$$\cosh d\bigl(g\gamma(t),\gamma(t)\bigr)=-\langle g\gamma(t),\gamma(t)\rangle=-\frac14\Bigl(e^{2t}\langle a',a\rangle+\langle a',b\rangle+\langle b',a\rangle+e^{-2t}\langle b',b\rangle\Bigr)$$である。lem-mr-null の 2 により括弧の中の 4 つの値はどれも $0$ 以下なので、右辺の 4 つの項はどれも $0$ 以上で、それぞれが $\cosh C$ 以下である。$t\to\infty$ とすると $-e^{2t}\langle a',a\rangle\le4\cosh C$ から $\langle a',a\rangle=0$、$t\to-\infty$ とすると $\langle b',b\rangle=0$ が出る。lem-mr-null の 2 により $a'=\lambda a$、$b'=\mu b$（$\lambda,\mu>0$）で、$g$ は $a$、$b$ の張る平面 $P$ を $P$ に移す。$g$ は $H^n$ を保つので、$\gamma$ の像 $P\cap H^n$ を自分自身に移す。

$x\in H^n$ を任意にとり、1 次独立な単位ベクトル $v_1,v_2\in T_xH^n$ をとる（$n\ge2$）。$x$ を通る 2 本の測地線の像は $P_i\cap H^n$（$P_i=\operatorname{span}(x,v_i)$）で、どちらも $g$ で自分自身に移る。$x,v_1,v_2$ は 1 次独立なので $P_1\cap P_2=\mathbb Rx$ で、$\mathbb Rx\cap H^n=\{x\}$ である。$gx$ は $P_1\cap P_2\cap H^n$ に属するので $gx=x$ である。$\square$

$R$ を $M$ の直径とし、$D$ を閉球 $\bar B(x_0,R+1)$ とする。$\pi$ は局所等長写像なので $M$ の曲線は $H^n$ の同じ長さの曲線に持ち上がり、$\pi$ は曲線の長さを変えないので、$d_M(\pi x,\pi y)=\inf_{\gamma\in\Gamma}d(x,\gamma y)$ である。したがって $\pi(D)=M$、すなわち $\Gamma D=H^n$ である。

1．$\Gamma$ は $H^n$ に固有に作用する（Lee18 Corollary 12.5 の証明、p. 349）ので、$K=\bar B(x_0,R+2)$ について $\gamma K\cap K\ne\emptyset$ となる $\gamma$ は有限個である。$y\in D$ で $d(\gamma y,y)<1$ なら $\gamma y\in\gamma K\cap K$ なので、そのような $\gamma$ はこの有限個に含まれる。その有限個の $\gamma\ne1$ については、$\gamma$ が固定点をもたないので、$D$ の上の連続関数 $d(\gamma y,y)$ は正の最小値をもつ。それ以外の $\gamma$ では、すべての $y\in D$ について $d(\gamma y,y)\ge1$ である。$x=\eta y$（$\eta\in\Gamma$、$y\in D$）と書くと $d(\gamma x,x)=d(\eta^{-1}\gamma\eta\,y,y)$ なので、$\delta$ はこれらの最小値の最小以上で、正である。

2．$\gamma\in\Gamma$ について $d(h\gamma x,\gamma x)=d(\gamma hx,\gamma x)=d(hx,x)$ なので、$x\mapsto d(hx,x)$ は $\Gamma$ の作用で不変な連続関数で、その値はすべて $D$ の上でとられる。$D$ はコンパクトなので有界であり、prop-mr-bounded により $h$ は恒等写像である。

3．$g$、$g_1$ がともに $\theta(\gamma)=g\gamma g^{-1}=g_1\gamma g_1^{-1}$ をみたすなら、$h=g^{-1}g_1$ はすべての $\gamma$ と可換なので、2 により $g=g_1$ である。等長写像 $f$ については、$\theta$ を誘導する等長写像の持ち上げが $\theta(\gamma)=g\gamma g^{-1}$ をみたすことと lem-mr-lift の 2 から従う。$\square$

$p,q\in H^n$、$0\le t\le1$ について $w=(1-t)p+tq$ とおくと、$\langle p,q\rangle=-\cosh d(p,q)\le-1$ から$$\langle w,w\rangle=-(1-t)^2-t^2+2t(1-t)\langle p,q\rangle\le-\bigl((1-t)+t\bigr)^2=-1$$で、$w_{n+1}>0$ である。そこで $F_t(x)=w/\sqrt{-\langle w,w\rangle}$（$p=F_0(x)$、$q=F_1(x)$）とおくと、$F_t(x)\in H^n$ で、$(x,t)\mapsto F_t(x)$ は連続である。$\theta(\gamma)$ は 1 次写像で $\langle\ ,\ \rangle$ を保つので $F_t(\gamma x)=\theta(\gamma)F_t(x)$ であり、$F_t$ は $M\times[0,1]\to N$ の連続写像を定める。これが $\bar F_0$ と $\bar F_1$ を結ぶホモトピーである。$\square$

$M=\Gamma\backslash H^n$ とし、prop-mr-centralizer の 1 の $\delta>0$ をとって $\varepsilon=\delta/2$ とおく。

段 1（小さく動かすものは恒等写像）． $\psi\in\operatorname{Isom}(M)$ がすべての $y\in M$ で $d_M(\psi y,y)<\varepsilon$ をみたすとする。lem-mr-lift の 2 により $\psi$ の持ち上げ $\tilde\psi\in N(\Gamma)$ がある。各 $x\in H^n$ について $d_M(\psi\pi x,\pi x)=\inf_{\gamma}d(\gamma\tilde\psi x,x)<\varepsilon$（prf-mr-centralizer の距離の式）なので、$d(\gamma\tilde\psi x,x)<\varepsilon$ となる $\gamma\in\Gamma$ がある。このような $\gamma$ は 1 つしかない。実際 $\gamma_1$ もそうなら、$z=\gamma_1\tilde\psi x$ について $d(\gamma\gamma_1^{-1}z,z)<2\varepsilon=\delta$ で、$\delta$ の定義から $\gamma=\gamma_1$ である。不等式は $x$ を少し動かしても保たれるので、この $\gamma$ は $x$ について局所的に一定で、$H^n$ は連結なので一定である。$\tilde\psi$ を $\gamma\tilde\psi$ に取り替えれば、すべての $x$ で $d(\tilde\psi x,x)<\varepsilon$ である。すると $\gamma\in\Gamma$ について $\tilde\psi\gamma\tilde\psi^{-1}\in\Gamma$ で、$$d(\tilde\psi\gamma\tilde\psi^{-1}x,\gamma x)\le d(\tilde\psi\gamma\tilde\psi^{-1}x,\gamma\tilde\psi^{-1}x)+d(\gamma\tilde\psi^{-1}x,\gamma x)<\varepsilon+d(x,\tilde\psi x)<2\varepsilon$$である。左辺は $d(\gamma^{-1}\tilde\psi\gamma\tilde\psi^{-1}x,x)$ に等しいので、$\delta$ の定義から $\tilde\psi\gamma\tilde\psi^{-1}=\gamma$ である。$\tilde\psi$ は $\Gamma$ と可換なので、prop-mr-centralizer の 2 により恒等写像で、$\psi$ も恒等写像である。

段 2（有限個しかない）． $M$ はコンパクトなので、有限個の点 $y_1,\dots,y_m$ で、どの点もいずれかの $y_i$ から距離 $\varepsilon/3$ 未満にあるものがとれる。$M^m$ もコンパクトなので、直径 $\varepsilon/3$ 未満の有限個の集合 $U_1,\dots,U_r$ で覆える。$\operatorname{Isom}(M)$ が無限集合なら、異なる $\varphi,\psi$ で $(\varphi y_i)_i$ と $(\psi y_i)_i$ が同じ $U_j$ に入るものがある（$M^m$ には各成分の距離の最大を距離として入れる）。任意の $y$ について $d_M(y,y_i)<\varepsilon/3$ となる $i$ をとると$$d_M(\varphi y,\psi y)\le d_M(\varphi y,\varphi y_i)+d_M(\varphi y_i,\psi y_i)+d_M(\psi y_i,\psi y)<\varepsilon$$で、$\psi^{-1}\varphi$ はすべての点を $\varepsilon$ 未満しか動かさない。段 1 から $\varphi=\psi$ となり、矛盾する。$\square$