正規交叉因子

$f$ を $D$ の $x$ での局所方程式とする。$(f)$ の極小素イデアルは Krullの単項イデアル定理により高さ $1$ で、それらは $x$ を通る $D$ の既約成分に対応するから、$(f_1),\dots,(f_r)$ がそのすべてである。$A$ が一意分解整域なので、$f=u\,f_1^{a_1}\cdots f_r^{a_r}$（$u$ は単元、$a_i\ge1$）と一意に分解する。$D$ が $x$ で被約であることは $(f)$ が根基イデアルであること、すなわちすべての $a_i$ が $1$ であることと同値である。
1 ⇒ 2：$f=t_1\cdots t_r$（$t_1,\dots,t_n$ は正則パラメータ系）とする。各 $i\le r$ について $A/(t_i)$ は正則局所環であり（Mat89 Theorem 14.2）、正則局所環は整域なので（同 Theorem 14.3）$t_i$ は素元である。$i\ne j$ なら $t_i$ と $t_j$ は同伴でない。同伴なら $\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2$ での像が比例するが、それらは正則パラメータ系の一部だから一次独立だからである。よって $f=t_1\cdots t_r$ は相異なる素元の積であり、素因数分解の一意性から、$D$ の既約成分は $V(t_1),\dots,V(t_r)$ で、単元倍を除いて $f_i=t_i$、$a_i=1$ である。したがって $D$ は $x$ で被約で、$f_i$ の像は一次独立である。
2 ⇒ 1：被約性から $f=u\,f_1\cdots f_r$ である。$f_1,\dots,f_r$ の像は一次独立だから、それらは正則パラメータ系 $t_1=uf_1,\ t_2=f_2,\dots,t_r=f_r,\ t_{r+1},\dots,t_n$ に延びる（$u$ は単元なので $uf_1$ の像は $f_1$ の像の非零倍である）。このとき $f=t_1\cdots t_r$ であり、$D$ は $x$ で強正規交叉である。
残りの主張のうち $r\le n$ は一次独立性から、$D_i$ の正則性は $\mathcal{O}_{D_i,x}=A/(t_i)$ が正則局所環であることから従う。

段 1（次数環）．$A$ は剰余体 $k$ をもつ $n$ 次元正則局所環であり、正則パラメータ系 $t_1,\dots,t_n$ の像 $T_i\in\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ について $\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}A\cong k[T_1,\dots,T_n]$ である（Mat89 Theorem 14.4）。とくに $\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}A$ は整域だから、$g,h\in A$ に対し $\operatorname{in}(gh)=\operatorname{in}(g)\operatorname{in}(h)$ が成り立つ。
段 2（強正規交叉の場合）．$D$ が $x$ で強正規交叉なら $f=u\,t_1\cdots t_r$（$u$ は単元、$t_1,\dots,t_n$ は正則パラメータ系）と書ける。$\operatorname{in}(u)=u(x)\in k^\times$、$\operatorname{in}(t_i)=T_i$ なので、段 1 により $\operatorname{in}(f)=u(x)\,T_1\cdots T_r$ である。$T_1,\dots,T_r$ は多項式環の変数の一部だから一次独立で、$d=r\le n$ である。複素多様体の場合は定義が局所的なのでこれで終わる。
段 3（エタール局所的な場合）．スキームの場合、全射エタール射 $\pi\colon X'\to X$ で $\pi^{-1}(D)$ が強正規交叉因子となるものをとり、$x'\in X'$ を $x$ の上の点、$A'=\mathcal{O}_{X',x'}$ とする。$k(x')$ は $k(x)=k$ の有限次拡大（体の拡大）で $k$ は代数閉だから $k(x')=k$ である。$\pi$ がエタールなので $A\to A'$ は平坦（平坦加群）な局所準同型で $\mathfrak{m}A'=\mathfrak{m}'$ を満たし、したがって $\mathfrak{m}^iA'=\mathfrak{m}'^i$ である。平坦性から $\mathfrak{m}^i/\mathfrak{m}^{i+1}\otimes_AA'\cong\mathfrak{m}'^i/\mathfrak{m}'^{i+1}$ であり、左辺は $\mathfrak{m}$ で消える $A$ 加群のテンソル積だから $\mathfrak{m}^i/\mathfrak{m}^{i+1}\otimes_kk(x')=\mathfrak{m}^i/\mathfrak{m}^{i+1}$ に等しい。ゆえに $\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}A\to\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}'}A'$ は次数付き $k$ 代数の同型で、$f$ の像 $f'\in A'$（これは $\pi^{-1}(D)$ の $x'$ での局所方程式である）について $\operatorname{in}(f)\mapsto\operatorname{in}(f')$ である。$\pi^{-1}(D)$ は $x'$ で強正規交叉だから、段 2 により $\operatorname{in}(f')$ は一次独立な $r$ 個の一次形式の積の $k^\times$ 倍であり、同型で引き戻して $\operatorname{in}(f)$ も同じ形である。

段 1（設定）．$A=\mathcal{O}_{X,y}$、$\mathfrak{m}=\mathfrak{m}_y$、$f=t_1\cdots t_r$、$A_f=A[1/f]$ とおく。$A$ は正則局所環だから一意分解整域であり、prop-ncd-snc-criterion の証明で見たように $t_1,\dots,t_r$ は互いに同伴でない素元である。$dt_1,\dots,dt_n$ は $\Omega^1_{X,y}$ の基底である。(a) では座標の微分だから明らかである。(b) では $k(y)=k$ なので $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\to\Omega^1_{X,y}\otimes k(y)$ が同型で（Har77 II.8.7）、$t_i$ の像が左辺の基底だから $dt_i$ の像は右辺の基底であり、Nakayama の補題により $dt_1,\dots,dt_n$ は $\Omega^1_{X,y}$ を生成し、$\Omega^1_{X,y}$ は階数 $n$ の自由加群だから（Har77 II.8.15）これは基底である。よって $\Omega^p_{X,y}$ は $\{dt_K:=dt_{k_1}\wedge\cdots\wedge dt_{k_p}\}$ を基底とする自由 $A$ 加群、$\Omega^p_X(*D)_y=\Omega^p_{X,y}\otimes_AA_f$ は同じ $\{dt_K\}$ を基底とする自由 $A_f$ 加群である。$g\in A$ に対し $dg=\sum_i\partial_i(g)\,dt_i$ で $A$ の導分 $\partial_1,\dots,\partial_n$ を定めると、$\partial_it_j=\delta_{ij}$ であり、商の微分法則で $\partial_i$ は $A_f$ に延びる。とくに $i\le r$ なら $\partial_if=f/t_i$、$i>r$ なら $\partial_if=0$ である。
段 2（$e_K$ は対数的）．$t_K:=\prod_{k\in K,\,k\le r}t_k$ とおくと $e_K=t_K^{-1}dt_K$ である。$f e_K=(f/t_K)\,dt_K$ は正則で、$d e_K=d(t_K^{-1})\wedge dt_K=-t_K^{-2}\sum_{k\in K,\,k\le r}(t_K/t_k)\,dt_k\wedge dt_K=0$（$k\in K$ だから $dt_k\wedge dt_K=0$）である。よって $e_K\in\Omega^p_X(\log D)_y$ である。
段 3（$e_K$ が生成する）．$\omega\in\Omega^p_X(\log D)_y$ をとり、$\omega=\sum_Kg_K\,dt_K$（$g_K\in A_f$）と一意に書く。$f\omega$ が正則だから $h_K:=fg_K\in A$ である。次を主張する：$i\le r$ かつ $i\notin K$ ならば $t_i$ は $h_K$ を割る。これが示されれば、$\{t_i\mid i\le r,\ i\notin K\}$ は互いに同伴でない素元だから、その積 $f/t_K$ が $h_K$ を割り、$c_K:=h_K/(f/t_K)=t_Kg_K\in A$ で $\omega=\sum_Kc_Ke_K$ となる。
主張の証明．$K$ と $i\le r$、$i\notin K$ を固定し、$L:=K\cup\{i\}$ とおく。$j\in L$ に対し $dt_j\wedge dt_{L\setminus\{j\}}=\varepsilon_j\,dt_L$（$\varepsilon_j=\pm1$）とする。$d\omega=\sum_M\sum_j\partial_j(g_M)\,dt_j\wedge dt_M$ における $dt_L$ の係数は $\sum_{j\in L}\varepsilon_j\,\partial_j(g_{L\setminus\{j\}})$ であり、$f\,d\omega$ が正則だから
$$ \sum_{j\in L}\varepsilon_j\,f\,\partial_j(g_{L\setminus\{j\}})\in A $$
である。$g_M=h_M/f$ と段 1 の $\partial_jf$ の値から、$f\,\partial_j(g_M)=\partial_j(h_M)-h_M\,\partial_j(f)/f$ は $j\le r$ なら $\partial_j(h_M)-h_M/t_j$、$j>r$ なら $\partial_j(h_M)$ である。$\partial_j(h_M)\in A$ なので、
$$ \sum_{j\in L,\ j\le r}\varepsilon_j\,\frac{h_{L\setminus\{j\}}}{t_j}\in A $$
を得る。$T:=\prod_{j\in L,\,j\le r}t_j$ を掛けると $\sum_{j\in L,\,j\le r}\varepsilon_j\,h_{L\setminus\{j\}}\,(T/t_j)\in TA\subset t_iA$ である。$j\ne i$ の項では $T/t_j$ が $t_i$ で割り切れる（$i\in L$、$i\le r$、$i\ne j$）ので $t_iA$ に属する。したがって $j=i$ の項 $\varepsilon_i\,h_K\,(T/t_i)=\varepsilon_i\,h_K\prod_{j\in K,\,j\le r}t_j$ も $t_iA$ に属する。$t_i$ は素元で、$j\in K$ の $t_j$ は $t_i$ と同伴でない素元だから $t_i$ で割れず、ゆえに $t_i$ は $h_K$ を割る。
段 4（一次独立性と結論）．$e_K=t_K^{-1}dt_K$ で $t_K^{-1}$ は $A_f$ の単元だから、$\{e_K\}$ は $\Omega^p_X(*D)_y$ の $A_f$ 上の基底であり、とくに $A$ 上一次独立である。段 2・3 と合わせて $\Omega^p_X(\log D)_y$ は $\{e_K\}$ を基底とする自由 $A$ 加群である。$p=1$ の場合、基底は $dt_1/t_1,\dots,dt_r/t_r,dt_{r+1},\dots,dt_n$ で階数 $n$ である。一般の $p$ では $e_K$ はこれら $p$ 個の外積だから、$\bigwedge^p\Omega^1_X(\log D)_y\to\Omega^p_X(*D)_y$ は基底を基底に送り、$\Omega^p_X(\log D)_y$ の上への同型である。
段 5（局所自由性）．(a) では、$y$ の座標近傍 $V$ の任意の点 $y'$ で $t_i-t_i(y')$ が座標をなし、$D$ は $y'$ の近傍で $\prod_{i\in S}t_i=0$（$S=\{i\le r\mid t_i(y')=0\}$）と書けるので、上の計算を $y'$ に当てれば、$i\le r$、$i\notin S$ の $t_i$ が $y'$ で単元であることから、同じ $\{e_K\}$ が $\Omega^p_X(\log D)_{y'}$ の基底になる。よって $\Omega^p_X(\log D)|_V$ は $\{e_K\}$ を基底とする自由層である。(b) では、$\Omega^p_X(\log D)$ は連接層で閉点 $y$ での茎が自由だから $y$ のある開近傍で自由であり（Har77 演習 II.5.7）、$X$ の空でない閉集合は閉点を含むので、そのような開近傍が $X$ を覆う。$\bigwedge^p\Omega^1_X(\log D)\to\Omega^p_X(\log D)$ はすべての閉点で同型な連接層の射だから同型である。

段 1（局所表示）．$y\in D$ とし、$t=t_1,t_2,\dots,t_n$ を thm-ncd-log-locally-free のようにとる（$r=1$）。同定理により $\Omega^p_X(\log D)_y$ の基底は、$1\in K$ のとき $e_K=\dfrac{dt}{t}\wedge dt_{K\setminus\{1\}}$、$1\notin K$ のとき $e_K=dt_K$ だから、任意の $\omega\in\Omega^p_X(\log D)_y$ は $\omega=\dfrac{dt}{t}\wedge\alpha+\beta$（$\alpha\in\Omega^{p-1}_{X,y}$、$\beta\in\Omega^p_{X,y}$）と書ける。$D$ は滑らかなので $\Omega^1_D=\iota^*\Omega^1_X/\mathcal{O}_D\,dt$ であり（Har77 II.8.12、II.8.17）、$(\iota_*\Omega^{p-1}_D)_y=\Omega^{p-1}_{X,y}\big/\bigl(t\,\Omega^{p-1}_{X,y}+dt\wedge\Omega^{p-2}_{X,y}\bigr)$ である。
段 2（$\operatorname{Res}$ の定義可能性）．$\dfrac{dt}{t}\wedge\alpha+\beta=\dfrac{dt}{t}\wedge\alpha'+\beta'$ とする。$dt\wedge(\alpha-\alpha')=t(\beta'-\beta)\in t\,\Omega^p_{X,y}$ である。$\alpha-\alpha'=dt\wedge\gamma+\delta$、$\delta=\sum_{J\not\ni1}\delta_J\,dt_J$ と分けると $dt\wedge\delta=\sum_{J\not\ni1}\delta_J\,dt\wedge dt_J$ で、$\{dt\wedge dt_J\}_{J\not\ni1}$ は基底 $\{dt_L\}$ の一部だから、各 $\delta_J\in tA$ である。よって $\alpha-\alpha'\in dt\wedge\Omega^{p-2}_{X,y}+t\,\Omega^{p-1}_{X,y}$ であり、$\alpha|_D=\alpha'|_D$ である。次に局所方程式を $t'=ut$（$u$ は単元）に取り替えると $\dfrac{dt'}{t'}=\dfrac{dt}{t}+\dfrac{du}{u}$ なので、$\dfrac{dt'}{t'}\wedge\alpha+\beta=\dfrac{dt}{t}\wedge\alpha+\Bigl(\dfrac{du}{u}\wedge\alpha+\beta\Bigr)$ となり、$\dfrac{du}{u}\wedge\alpha$ は正則だから留数は変わらない。したがって $\operatorname{Res}$ は局所的な取り方によらず、$\mathcal{O}_X$ 線型な層の射 $\Omega^p_X(\log D)\to\iota_*\Omega^{p-1}_D$ として貼り合う。
段 3（完全性）．$D$ の外では $\Omega^p_X(\log D)=\Omega^p_X$、$\iota_*\Omega^{p-1}_D=0$ で完全である。$y\in D$ で、$\operatorname{Res}(\omega)=0$ なら $\alpha=t\alpha_1+dt\wedge\gamma$ と書けて $\dfrac{dt}{t}\wedge\alpha=dt\wedge\alpha_1$ は正則、よって $\omega\in\Omega^p_{X,y}$ である。逆に $\omega\in\Omega^p_{X,y}$ なら $\alpha=0$ ととれて $\operatorname{Res}(\omega)=0$ である。全射性は、$(\iota_*\Omega^{p-1}_D)_y$ の元を $\alpha\in\Omega^{p-1}_{X,y}$ に持ち上げ、$\operatorname{Res}\bigl(\dfrac{dt}{t}\wedge\alpha\bigr)=\alpha|_D$ とすればよい。