多重ゼータ値

$\omega_0(t)=\dfrac{dt}{t}$、$\omega_1(t)=\dfrac{dt}{1-t}$ とおき、$\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_k\in\{0,1\}$（$k\ge 1$）に対し
$$I(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_k):=\int_{0< t_1<\cdots< t_k<1}\omega_{\varepsilon_1}(t_1)\,\omega_{\varepsilon_2}(t_2)\cdots\omega_{\varepsilon_k}(t_k)$$
とおく（$k$ 重の反復積分）。この積分は $\varepsilon_1=1$ かつ $\varepsilon_k=0$ のとき、そしてそのときに限り収束し、許容インデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し
$$\zeta(k_1,\ldots,k_r)=I(1,\underbrace{0,\ldots,0}_{k_1-1},1,\underbrace{0,\ldots,0}_{k_2-1},\ldots,1,\underbrace{0,\ldots,0}_{k_r-1})$$
が成り立つ。右辺を多重ゼータ値の反復積分表示という。

許容インデックス $\boldsymbol{k},\boldsymbol{l}$ に対し $\zeta(\boldsymbol{k}\ast\boldsymbol{l})=\zeta(\boldsymbol{k})\zeta(\boldsymbol{l})$ が成り立つ。すなわち $Z\colon\mathfrak{H}^0_{\ast}\to\mathbb{R}$ は環の準同型である。

許容インデックス $\boldsymbol{k},\boldsymbol{l}$ に対し $\zeta(\boldsymbol{k}\mathbin{\text{ш}}\boldsymbol{l})=\zeta(\boldsymbol{k})\zeta(\boldsymbol{l})$ が成り立つ。ここで $\boldsymbol{k}\mathbin{\text{ш}}\boldsymbol{l}$ は $z_{\boldsymbol{k}}\mathbin{\text{ш}}z_{\boldsymbol{l}}\in\mathfrak{H}^0$ に対応する許容インデックスの線形結合である。すなわち $Z\colon\mathfrak{H}^0_{\mathbin{\text{ш}}}\to\mathbb{R}$ は環の準同型である。

任意の許容インデックス $\boldsymbol{k}$ に対し $\zeta(\boldsymbol{k})=\zeta(\boldsymbol{k}^{\dagger})$ が成り立つ。Hoffman代数の言葉では、$x$ と $y$ を入れ替え語の順序を逆にする $\mathfrak{H}$ の反自己同型 $\tau$ に対し、任意の $w\in\mathfrak{H}^0$ について $Z(\tau(w))=Z(w)$ である。

正整数 $r$ に対し $\zeta(\{2\}^r)=\dfrac{\pi^{2r}}{(2r+1)!}$ が成り立つ。

$\bullet\in\{\ast,\mathbin{\text{ш}}\}$ に対し、$\mathfrak{H}^1_{\bullet}$ は $\mathfrak{H}^0_{\bullet}$ 上の $y$ を変数とする多項式環である。すなわち $\mathbb{Q}$ 代数の同型 $\mathfrak{H}^1_{\bullet}\cong\mathfrak{H}^0_{\bullet}[y]$ が成り立ち、任意の $w\in\mathfrak{H}^1$ はある非負整数 $n$ と $w_0,\ldots,w_n\in\mathfrak{H}^0$ を用いて $w=\sum_{i=0}^{n}w_i\bullet\underbrace{y\bullet\cdots\bullet y}_{i}$ とただ一通りに書ける。

インデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し次が成り立つ。

1. 正整数 $M$ に対し $\zeta_{< M}(\boldsymbol{k})=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r< M}n_1^{-k_1}\cdots n_r^{-k_r}$ とおくと、ある $J>0$ があって $M\to\infty$ のとき $\zeta_{< M}(\boldsymbol{k})=\zeta^{\ast}(\boldsymbol{k};\log M+\gamma)+O(M^{-1}\log^{J}M)$ である。ここで $\gamma$ はEulerの定数である。
2. $0\le z<1$ に対し $\mathrm{Li}_{\boldsymbol{k}}(z)=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}z^{n_r}n_1^{-k_1}\cdots n_r^{-k_r}$（多重対数関数）とおくと、ある $J>0$ があって $z\to 1$ のとき $\mathrm{Li}_{\boldsymbol{k}}(z)=\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}(\boldsymbol{k};-\log(1-z))+O((1-z)\log^{J}(1-z))$ である。

形式的冪級数 $\Gamma_0(X)=\exp\Bigl(\sum_{k\ge 2}\dfrac{\zeta(k)}{k}X^{k}\Bigr)\in\mathbb{R}[\![X]\!]$ を用いて、$\mathbb{R}$ 線形写像 $\rho\colon\mathbb{R}[T]\to\mathbb{R}[T]$ を $\exp(TX)\Gamma_0(-X)=\sum_{n\ge 0}\rho(T^n)\dfrac{X^n}{n!}$ で定める。このとき任意のインデックス $\boldsymbol{k}$ に対し $\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}(\boldsymbol{k};T)=\rho\bigl(\zeta^{\ast}(\boldsymbol{k};T)\bigr)$ が成り立つ。なお $\Gamma_0(X)=e^{-\gamma X}\Gamma(1-X)$ である（$\Gamma$ はΓ関数）。

任意のインデックス $\boldsymbol{k}$ と許容インデックス $\boldsymbol{l}$、$\bullet\in\{\ast,\mathbin{\text{ш}}\}$ に対し $\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k}\ast\boldsymbol{l};T)=\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k}\mathbin{\text{ш}}\boldsymbol{l};T)$ が成り立つ。特に $T=0$ として $\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k}\ast\boldsymbol{l})=\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k}\mathbin{\text{ш}}\boldsymbol{l})$ である。これを正規化複シャッフル関係式という。

インデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$ と $r$ 次対称群 $S_r$ に対し
$$\sum_{\sigma\in S_r}\zeta^{\ast}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)};T)=\sum_{B_1,\ldots,B_l}(-1)^{r-l}\prod_{i=1}^{l}(|B_i|-1)!\ \zeta^{\ast}\Bigl(\sum_{j\in B_i}k_j;T\Bigr)$$
が成り立つ。右辺の和は $\{1,\ldots,r\}$ の集合の分割 $\{B_1,\ldots,B_l\}$ 全体を渡る。シャッフル正規化に対しては、$\chi(\boldsymbol{k};B)$ を「$|B|>1$ かつすべての $j\in B$ で $k_j=1$」のとき $0$、それ以外のとき $1$ として
$$\sum_{\sigma\in S_r}\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)})=\sum_{B_1,\ldots,B_l}(-1)^{r-l}\prod_{i=1}^{l}\chi(\boldsymbol{k};B_i)(|B_i|-1)!\ \zeta^{\mathbin{\text{ш}}}\Bigl(\sum_{j\in B_i}k_j\Bigr)$$
が成り立つ。

すべての $k\ge 0$ に対し $\dim_{\mathbb{Q}}\mathcal{Z}_k\le d_k$ である。

整数 $k\ge 2$ に対し、$\{\zeta(k_1,\ldots,k_r)\mid k_1,\ldots,k_r\in\{2,3\},\ k_1+\cdots+k_r=k\}$ は $\mathcal{Z}_k$ を $\mathbb{Q}$ 上生成する。

正整数 $k>r$ に対し $\sum_{\boldsymbol{k}\in I_0(k,r)}\zeta(\boldsymbol{k})=\zeta(k)$ が成り立つ。すなわち、重さと深さを固定した多重ゼータ値の総和は深さ $1$ の値に等しい。

いずれかの成分が $2$ 以上であるインデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し
$$\sum_{i=1}^{r}\zeta(\boldsymbol{k}^{[i]},\boldsymbol{k}_{[i-1]},k_i+1)=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=0}^{k_i-2}\zeta(j+1,\boldsymbol{k}^{[i]},\boldsymbol{k}_{[i-1]},k_i-j)$$
が成り立つ。ここで $k_i=1$ のとき右辺の内側の和は $0$ とみなす。

非負整数 $h$ と許容インデックス $\boldsymbol{k}$ に対し
$$\sum_{\substack{\boldsymbol{e}\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{\mathrm{dep}(\boldsymbol{k})}\\ \mathrm{wt}(\boldsymbol{e})=h}}\zeta(\boldsymbol{k}\oplus\boldsymbol{e})=\sum_{\substack{\boldsymbol{f}\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{\mathrm{dep}(\boldsymbol{k}^{\dagger})}\\ \mathrm{wt}(\boldsymbol{f})=h}}\zeta(\boldsymbol{k}^{\dagger}\oplus\boldsymbol{f})$$
が成り立つ。ここで $\mathrm{wt}(\boldsymbol{e})$ は $\boldsymbol{e}$ の成分の和である。

正整数 $h$ に対し、$\mathfrak{H}$ の導分 $\partial_h$ を $\partial_h(x)=y(x+y)^{h-1}x$、$\partial_h(y)=-y(x+y)^{h-1}x$ で定める。このとき任意の $w\in\mathfrak{H}^0$ に対し $Z(\partial_h(w))=0$ が成り立つ。

インデックス $\boldsymbol{k}\in\mathcal{I}$ に対し、その Hoffman 双対インデックスを $\boldsymbol{k}^{\vee}=(l_1,\ldots,l_s)$ として
$$F_{\boldsymbol{k}}(z)=\sum_{n\ge 1}(-1)^{n-1}\Bigl(\sum_{0< n_1\le\cdots\le n_s\le n}\frac{1}{n_1^{l_1}\cdots n_s^{l_s}}\Bigr)\binom{z}{n}$$
とおく（Kawashima関数）。$\bar{\ast}$ を多重ゼータスター値に対する調和積（$(\boldsymbol{k},k)\,\bar{\ast}\,(\boldsymbol{l},l)=((\boldsymbol{k},k)\,\bar{\ast}\,\boldsymbol{l},l)+(\boldsymbol{k}\,\bar{\ast}\,(\boldsymbol{l},l),k)-(\boldsymbol{k}\,\bar{\ast}\,\boldsymbol{l},k+l)$）とすると、$\boldsymbol{k},\boldsymbol{l}\in\mathcal{I}$ に対し $F_{\boldsymbol{k}\bar{\ast}\boldsymbol{l}}(z)=F_{\boldsymbol{k}}(z)F_{\boldsymbol{l}}(z)$ が成り立つ。この等式の $z$ の各べきの係数を比較して得られる多重ゼータ値の線形関係式をKawashima関係式という。

$\Gamma_0$ を thm-multiple-zeta-value-regularization-theorem の形式的冪級数とし、$\alpha,\beta$ を $\alpha+\beta=x+y$、$\alpha\beta=z$ で定まる量とすると、形式的冪級数の等式
$$\sum_{k,r,s}\Bigl(\sum_{\boldsymbol{k}\in I_0(k,r,s)}\zeta(\boldsymbol{k})\Bigr)x^{k-r-s}y^{r-s}z^{s-1}=\frac{1}{xy-z}\Bigl(1-\frac{\Gamma_0(x)\Gamma_0(y)}{\Gamma_0(\alpha)\Gamma_0(\beta)}\Bigr)$$
が成り立つ。和は $k>r\ge s\ge 1$ を渡る。特に、重さ・深さ・高さを固定した多重ゼータ値の総和は $\zeta(2),\zeta(3),\ldots$ の有理数係数多項式である。

有限半順序集合 $(X,\prec)$ と写像 $\delta\colon X\to\{0,1\}$ の組（2色半順序集合）に対し
$$I(X)=\int_{\Delta(X)}\prod_{x\in X}\omega_{\delta(x)}(t_x),\qquad\Delta(X)=\{(t_x)_{x\in X}\in(0,1)^{X}\mid x\prec y\Rightarrow t_x< t_y\}$$
とおく（Yamamoto積分）。全順序集合の場合は反復積分 $I(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_k)$ そのものである。インデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$、$\boldsymbol{l}=(l_1,\ldots,l_s)$（$r,s\ge 1$、$k_r,l_s\ge 1$ で $k_r+l_s\ge 2$）に対し、$\boldsymbol{k}$ の語に対応する鎖と $\boldsymbol{l}$ の語に対応する鎖を上端で接合した木の形の 2 色半順序集合 $X_{\boldsymbol{k};\boldsymbol{l}}$（Kaneko–Yamamoto KY18 §4 で明示的に定義される）に対し
$$\zeta\bigl((\boldsymbol{k}_{[r-1]}\ast\boldsymbol{l}_{[s-1]}),\,k_r+l_s\bigr)=I(X_{\boldsymbol{k};\boldsymbol{l}})$$
が成り立つ。

正整数 $k$ に対し $\zeta(2k)=\dfrac{(-1)^{k+1}(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2(2k)!}$ が成り立つ。ここで $B_{n}$ は $\dfrac{X}{e^{X}-1}=\sum_{n\ge 0}B_n\dfrac{X^n}{n!}$ で定まる Bernoulli 数である。特に $\zeta(2k)\in\pi^{2k}\mathbb{Q}$ である。

正整数 $r$ に対し次が成り立つ。

1. $\zeta(\{4\}^r)=\dfrac{2^{2r+1}\pi^{4r}}{(4r+2)!}$。より一般に、正整数 $k$ に対し $\zeta(\{2k\}^r)=(-1)^{rk+r}\sum\Bigl(\prod_{j=1}^{k}\dfrac{\exp(2\pi\sqrt{-1}\,jn_j/k)}{(2n_j+1)!}\Bigr)\pi^{2rk}$（和は $n_1+\cdots+n_k=rk$ を満たす非負整数 $n_1,\ldots,n_k$ を渡る）。
2. $\zeta(\{1,3\}^r)=\dfrac{2\pi^{4r}}{(4r+2)!}$。
3. $\zeta(\{3,1\}^{r},3)=\displaystyle\sum_{i=0}^{r}\Bigl(-\frac{1}{4}\Bigr)^{i}\zeta(4i+3)\,\zeta(\{1,3\}^{r-i})$。
4. $\zeta(\{3,1\}^{r},2)=\dfrac{1}{4^{r}}\displaystyle\sum_{i=0}^{r}(-1)^{i}\zeta(\{4\}^{r-i})\Bigl((4i+1)\zeta(4i+2)-4\sum_{j=1}^{i}\zeta(4j-1)\zeta(4i-4j+3)\Bigr)$。

同時に $0$ ではない非負整数の組 $(k_1,k_2)$ に対し
$$\sum_{\substack{n_1,\ldots,n_{2k_1+1}\ge 0\\ n_1+\cdots+n_{2k_1+1}=k_2}}\zeta(\{2\}^{n_1},1,\{2\}^{n_2},3,\ldots,\{2\}^{n_{2k_1-1}},1,\{2\}^{n_{2k_1}},3,\{2\}^{n_{2k_1+1}})=\binom{2k_1+k_2}{k_2}\frac{\pi^{4k_1+2k_2}}{(2k_1+1)(4k_1+2k_2+1)!}$$
が成り立つ。また、非負整数 $k_1,k_2$ に対し $\zeta(\{\{2\}^{k_1},1,\{2\}^{k_1},3\}^{k_2},\{2\}^{k_1})=\dfrac{\pi^{4k_1k_2+2k_1+4k_2}}{(2k_2+1)(4k_1k_2+2k_1+4k_2+1)!}$ が成り立つ。

非負整数 $k_1,k_2$ に対し
$$\zeta(\{2\}^{k_1},3,\{2\}^{k_2})=2\sum_{i=1}^{k_1+k_2+1}(-1)^{i}\Bigl(\binom{2i}{2k_1+2}-\Bigl(1-\frac{1}{2^{2i}}\Bigr)\binom{2i}{2k_2+1}\Bigr)\zeta(\{2\}^{k_1+k_2-i+1})\,\zeta(2i+1)$$
が成り立つ。また、正の奇数 $k$ と $k_1+k_2=k$、$k_2\ge 2$ を満たす正整数 $k_1,k_2$ に対し、$\zeta(0)=-1/2$ と約束して
$$\zeta(k_1,k_2)=(-1)^{k_1}\sum_{i=0}^{(k-3)/2}\Bigl(\binom{k-2i-1}{k_1-1}+\binom{k-2i-1}{k_2-1}-\delta_{k_2,2i}+(-1)^{k_1}\delta_{i,0}\Bigr)\zeta(2i)\,\zeta(k-2i)$$
が成り立つ。特に奇数の重さの深さ $2$ の多重ゼータ値は、$\zeta(2j)\zeta(k-2j)$ と $\zeta(k)$ の有理数係数の線形結合である。