D加群

まず座標をもつ開集合の上で $\mathcal{D}_X$ の生成元と関係式による表示を確かめる。$U$ を座標 $x_1,\dots,x_n$ をもつ開集合、$V\subset U$ を開集合とし（代数的な場合は任意、解析的な場合は $U$ で相対コンパクトなもの。いずれも $\mathcal{D}_X(V)$ の元の階数は有界である）、$A:=\mathcal{O}_X(V)$、$D:=\mathcal{D}_X(V)$ とおく。$R$ を、環 $A$ と記号 $\partial_1,\dots,\partial_n$ が生成し、関係式 $\partial_ia-a\partial_i=\partial_i(a)$（$a\in A$）と $\partial_i\partial_j=\partial_j\partial_i$ だけを課した $k$ 代数とする（$A$ と $\partial_i$ が生成する自由 $k$ 代数を、$A$ の環構造を保つ関係式と上の二種の関係式が生成する両側イデアルで割ったもの）。$R$ の任意の元は $\sum_\alpha a_\alpha\partial^\alpha$（$a_\alpha\in A$、有限和）の形に書ける。実際、生成元の語のうち $\partial_i$ の右にある $a$ を関係式 $\partial_ia=a\partial_i+\partial_i(a)$ で左へ送る操作を繰り返せば、$\partial$ の個数は増えず、$\partial$ の右にある $a$ の個数が減るので、有限回で $a\partial_{i_1}\cdots\partial_{i_r}$ の和になり、さらに $\partial_i\partial_j=\partial_j\partial_i$ で $\partial^\alpha$ の形に整えられる。関係式は $D\subset\operatorname{End}_k(\mathcal{O}_V)$ の中で成り立つ（$\partial_i(af)=a\partial_i(f)+\partial_i(a)f$ と $\partial_i\partial_j(f)=\partial_j\partial_i(f)$）ので、$a\mapsto$（$a$ を掛ける作用素）、$\partial_i\mapsto\partial/\partial x_i$ は環準同型 $\phi\colon R\to D$ を定める。thm-d-module-local-structure の 1 により $D=\bigoplus_\alpha A\partial^\alpha$ なので $\phi$ は全射であり、$\{\partial^\alpha\}$ が $D$ の左 $A$ 基底であることから、$\phi(\sum a_\alpha\partial^\alpha)=\sum a_\alpha\partial^\alpha=0$ ならばすべての $a_\alpha=0$、すなわち $\phi$ は単射である。よって $\phi\colon R\to D$ は同型である。
次に対応を作る。左 $\mathcal{D}_X$ 加群 $\mathcal{M}$ に対し $\nabla_\theta(s):=\theta\cdot s$ とおく。$\theta\mapsto\nabla_\theta$ は $\mathcal{O}_X$ 線型（$(f\theta)\cdot s=f\cdot(\theta\cdot s)$）で、Leibniz 則は $\mathcal{D}_X$ における関係式 $\theta f=f\theta+\theta(f)$ から $\theta\cdot(fs)=f\cdot(\theta\cdot s)+\theta(f)s$ として従う。可積分性は、$\mathcal{D}_X\subset\mathcal{E}nd_k(\mathcal{O}_X)$ における積で $[\theta,\varphi]=\theta\varphi-\varphi\theta$ だから $[\theta,\varphi]\cdot s=\theta\cdot(\varphi\cdot s)-\varphi\cdot(\theta\cdot s)$ となって従う。
逆に $\mathcal{M}$ 上の可積分接続 $\nabla$ が与えられたとする。$U$、$V$、$A$、$D$、$R$ を上のとおりとし、$M:=\mathcal{M}(V)$ とおく。$a\in A$ を $a$ 倍、$\partial_i$ を $\nabla_{\partial_i}$ に送る対応は環準同型 $\rho\colon R\to\operatorname{End}_k(M)$ を定める。実際、関係式 $\partial_ia-a\partial_i=\partial_i(a)$ は Leibniz 則 $\nabla_{\partial_i}(as)-a\nabla_{\partial_i}(s)=\partial_i(a)s$ に、$\partial_i\partial_j=\partial_j\partial_i$ は可積分性 $[\nabla_{\partial_i},\nabla_{\partial_j}]=\nabla_{[\partial_i,\partial_j]}=\nabla_0=0$ に対応して成り立つ。$\phi$ が同型なので $\rho\circ\phi^{-1}$ は $M$ 上の左 $D$ 加群構造であり、これは $A$ 加群構造を延長し、$\theta=\sum_ia_i\partial_i\in\Theta_X(V)$ を $\sum_ia_i\nabla_{\partial_i}=\nabla_\theta$（$\nabla$ の $\mathcal{O}_X$ 線型性）として作用させる。$\nabla$ が層の射なのでこれらの構造は $V$ の制限と両立し、$\mathcal{M}|_U$ 上の左 $\mathcal{D}_U$ 加群構造を定める。$\mathcal{D}_U$ は $\mathcal{O}_U$ と $\Theta_U$ で生成されるので、この構造は「$\mathcal{O}_U$ 加群構造を延長し、各 $\theta$ が $\nabla_\theta$ として作用する」という条件で一意に決まり、座標をもつ二つの開集合 $U,U'$ の上で作った構造は $U\cap U'$ 上で一致する。したがってそれらは貼り合わさって $\mathcal{M}$ 全体の左 $\mathcal{D}_X$ 加群構造を与える。作り方から、この構造から戻した接続は元の $\nabla$ であり、逆に左 $\mathcal{D}_X$ 加群構造から接続を作って戻せば、一意性により元の構造に戻る。
最後に射について。$\mathcal{O}_X$ 加群の射 $u\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ が $\mathcal{D}_X$ の作用と可換であることは、生成元 $\mathcal{O}_X$ と $\Theta_X$ の作用と可換であることと同値であり、後者は $u$ が $\mathcal{O}_X$ 線型かつ $u\circ\nabla_\theta=\nabla_\theta\circ u$（すべての $\theta$）を満たすこと、すなわち水平であることにほかならない。

$k[x]$ は左 $D$ 加群なので、$P\mapsto P(1)$ は左 $D$ 加群の射 $\varepsilon\colon D\to k[x]$ を定める（$\varepsilon(QP)=Q(P(1))=Q\cdot\varepsilon(P)$）。$f\in k[x]$ に対し $\varepsilon(f)=f$ なので $\varepsilon$ は全射である。核を求める。$P=\sum_{i\ge0}f_i\partial^i$（$f_i\in k[x]$）と書くと $\partial^i(1)=0$（$i\ge1$）だから $\varepsilon(P)=f_0$ であり、$\varepsilon(P)=0$ は $f_0=0$、すなわち $P=\bigl(\sum_{i\ge1}f_i\partial^{i-1}\bigr)\partial\in D\partial$ と同値である。逆に $D\partial\subset\ker\varepsilon$ は $\partial(1)=0$ による。よって $\ker\varepsilon=D\partial$ で、$D/D\partial\cong k[x]$ が従う。

1. $D$ の $k$ 基底として $\{x^j\partial^i\}$ の代わりに $\{\partial^ix^j\}_{i,j\ge0}$ もとれることをまず示す。$F(x):=\partial$、$F(\partial):=-x$ は $[F(\partial),F(x)]=[-x,\partial]=[\partial,x]=1$ を満たすので、rem-d-module-weyl の表示（生成元 $x,\partial$ と関係式 $[\partial,x]=1$。prop-d-module-connection の証明の表示で $a\in k[x]$ についての関係式は $[\partial,x]=1$ と Leibniz 則から従う）により、$F$ は $k$ 代数の自己準同型 $F\colon D\to D$ に延びる。$F^2$ は $x\mapsto-x$、$\partial\mapsto-\partial$ なので $F^4=\mathrm{id}$ であり、$F$ は自己同型である。$F$ は基底 $\{x^j\partial^i\}$ を $\{(-1)^i\partial^jx^i\}$ に写すので、$\{\partial^ix^j\}$ も $k$ 基底である。この基底で $P=\sum c_{ij}\partial^ix^j$ と書くと $Px=\sum c_{ij}\partial^ix^{j+1}$ なので、左イデアル $Dx$ は $j\ge1$ の $\partial^ix^j$ が張る部分空間であり、商 $\delta=D/Dx$ では $\{\partial^i\}_{i\ge0}$ の類、すなわち $\{\partial^i\delta_0\}$ が $k$ 基底になる。作用を計算する。$\partial\cdot\partial^i\delta_0=\partial^{i+1}\delta_0$ は明らかである。$[\partial,x]=1$ から帰納的に $[\partial^i,x]=i\partial^{i-1}$、すなわち $x\partial^i=\partial^ix-i\partial^{i-1}$ であり、$\partial^ix\in Dx$ なので $x\cdot\partial^i\delta_0=-i\,\partial^{i-1}\delta_0$、とくに $x\cdot\delta_0=0$ である。$\partial^i\delta_0\mapsto\xi^i$ で $\delta\cong k[\xi]$ とすると、$\partial$ は $\xi$ 倍、$x$ は $\xi^i\mapsto-i\xi^{i-1}$、すなわち $-d/d\xi$ である。
2. $k[x,x^{-1}]$ は $\partial(x^m)=mx^{m-1}$（$m\in\mathbb{Z}$）により左 $D$ 加群で、$k[x]$ はその部分 $D$ 加群である。商 $Q:=k[x,x^{-1}]/k[x]$ は $\{x^{-m}\}_{m\ge1}$ の類を $k$ 基底にもつ。$x\cdot x^{-1}=1\in k[x]$ なので、$Q$ の中で $x\cdot[x^{-1}]=0$ であり、$1\mapsto[x^{-1}]$ は左 $D$ 加群の射 $u\colon\delta=D/Dx\to Q$ を定める。$u(\partial^i\delta_0)=[\partial^i(x^{-1})]=(-1)^ii!\,[x^{-i-1}]$ であり、標数 $0$ なので $i!\ne0$、したがって $u$ は基底 $\{\partial^i\delta_0\}$ を基底 $\{[x^{-i-1}]\}$ の零でない定数倍に写す。よって $u$ は同型で、求める完全列を得る。
3. $k[x]$ の上で $x$ 倍は単射だが、$\delta$ では $x\cdot\delta_0=0$ である。$D$ 加群の同型は $x$ の作用と可換なので、両者は同型でない。

右 $\mathcal{D}_X$ 加群構造は反対環 $\mathcal{D}_X^{\mathrm{op}}$ 上の左加群構造であり、$\mathcal{D}_X^{\mathrm{op}}$ も $\mathcal{O}_X$ と $\Theta_X$ で生成され、関係式は $\mathcal{D}_X$ のものを逆順に読んだ $a\partial_i-\partial_ia=\partial_i(a)$、$\partial_i\partial_j=\partial_j\partial_i$（$\mathcal{D}_X^{\mathrm{op}}$ の積で）である。したがって prop-d-module-connection の証明と同じ議論により、$\mathcal{O}_X$ 加群 $\mathcal{N}$ 上の右 $\mathcal{D}_X$ 加群構造は、$\mathcal{O}_X$ 線型な層の射 $\theta\mapsto(s\mapsto s\cdot\theta)$ で次の二条件を満たすものと一対一に対応し、存在すれば一意である。

• (a) $(fs)\cdot\theta=(s\cdot\theta)f-\theta(f)s$（$f\in\mathcal{O}_X$。関係式 $\theta f=f\theta+\theta(f)$ を右作用で読んだもの）。
• (b) $s\cdot[\theta,\varphi]=(s\cdot\theta)\cdot\varphi-(s\cdot\varphi)\cdot\theta$。
  $\mathcal{N}=\omega_X$、$\omega\cdot\theta:=-d(\iota_\theta\omega)$ についてこれらを確かめる。主張は局所的なので座標をもつ開集合の上で計算する。$\omega=g\,dx$、$\theta=\sum_ia_i\partial_i$ とすると $\iota_\theta(g\,dx)=g\sum_i(-1)^{i-1}a_i\,dx_1\wedge\cdots\widehat{dx_i}\cdots\wedge dx_n$ であり、外微分をとると $dx_i$ を含む項だけが残って $d(\iota_\theta(g\,dx))=\sum_i\partial_i(a_ig)\,dx$ となる。これで座標表示が示された。$\operatorname{div}\theta:=\sum_i\partial_i(a_i)$ とおくと、Leibniz 則により
  $$ \mathrm{Lie}_\theta(g\,dx)=\bigl(\theta(g)+g\operatorname{div}\theta\bigr)dx $$
  である。
  $\mathcal{O}_X$ 線型性：$\theta$ を $f\theta$ に替えると $a_i$ が $fa_i$ になり、$\mathrm{Lie}_{f\theta}(g\,dx)=\sum_i\partial_i(fa_ig)\,dx=\mathrm{Lie}_\theta(fg\,dx)$ なので $\omega\cdot(f\theta)=(f\omega)\cdot\theta$、すなわち $\theta\mapsto\omega\cdot\theta$ は $\mathcal{O}_X$ 線型である（右加群では $\omega\cdot(f\theta)=(\omega\cdot f)\cdot\theta$ が要求される形である）。
  (a)：$(fg\,dx)\cdot\theta=-\bigl(\theta(fg)+fg\operatorname{div}\theta\bigr)dx=-f\bigl(\theta(g)+g\operatorname{div}\theta\bigr)dx-\theta(f)g\,dx=\bigl((g\,dx)\cdot\theta\bigr)f-\theta(f)\,g\,dx$。
  (b)：$\varphi=\sum_jb_j\partial_j$ とすると $[\theta,\varphi]=\sum_j\bigl(\theta(b_j)-\varphi(a_j)\bigr)\partial_j$ なので
  $$ \operatorname{div}[\theta,\varphi]=\sum_{i,j}\Bigl(\partial_j(a_i)\partial_i(b_j)+a_i\partial_j\partial_i(b_j)-\partial_j(b_i)\partial_i(a_j)-b_i\partial_j\partial_i(a_j)\Bigr)=\theta(\operatorname{div}\varphi)-\varphi(\operatorname{div}\theta) $$
  である（第 1 項と第 3 項の和は $i$ と $j$ を入れ替えると打ち消し合う）。一方
  $$ \mathrm{Lie}_\theta\mathrm{Lie}_\varphi(g\,dx)=\Bigl(\theta\varphi(g)+\theta(g)\operatorname{div}\varphi+g\,\theta(\operatorname{div}\varphi)+\varphi(g)\operatorname{div}\theta+g\operatorname{div}\varphi\operatorname{div}\theta\Bigr)dx $$
  であり、$\theta$ と $\varphi$ を入れ替えたものを引くと、対称な項が消えて
  $$ [\mathrm{Lie}_\theta,\mathrm{Lie}_\varphi](g\,dx)=\Bigl([\theta,\varphi](g)+g\bigl(\theta(\operatorname{div}\varphi)-\varphi(\operatorname{div}\theta)\bigr)\Bigr)dx=\mathrm{Lie}_{[\theta,\varphi]}(g\,dx) $$
  を得る。よって $\omega\cdot[\theta,\varphi]=-\mathrm{Lie}_{[\theta,\varphi]}\omega=-[\mathrm{Lie}_\theta,\mathrm{Lie}_\varphi]\omega=(\omega\cdot\theta)\cdot\varphi-(\omega\cdot\varphi)\cdot\theta$ であり、(b) が成り立つ。以上により、右 $\mathcal{D}_X$ 加群構造が存在し一意である。

$F_m\mathcal{M}$ を $F_m\mathcal{D}_X$ の像とする。これは $\mathcal{M}$ のフィルトレーションで、各 $F_m\mathcal{M}$ は $F_m\mathcal{D}_X$ の商として $\mathcal{O}_X$ 連接、$F_l\mathcal{D}_X\cdot F_m\mathcal{M}=F_{l+m}\mathcal{M}$ がすべての $m\ge0$ で成り立つので良いフィルトレーションである。$\operatorname{gr}^F\mathcal{M}=\operatorname{gr}^F\mathcal{D}_X/\operatorname{gr}^F(\mathcal{D}_XP)$（$\mathcal{D}_XP$ には誘導されたフィルトレーション $F_m\mathcal{D}_X\cap\mathcal{D}_XP$ を入れる）なので、$\operatorname{gr}^F(\mathcal{D}_XP)$ を求めればよい。$k[x,\xi]$ は整域なので、階数 $l$ の $Q$ に対し $\sigma(QP)=\sigma(Q)\sigma(P)$ で、$QP$ の階数は $l+m$ である。したがって $F_{l+m}\mathcal{D}_X\cap\mathcal{D}_XP$ の元 $QP$ は $Q$ の階数が $l$ 以下のものに限られ、その $F_{l+m-1}$ を法とする類は $\sigma(Q)\sigma(P)$（$Q$ の階数がちょうど $l$ のとき）か $0$ である。ゆえに $\operatorname{gr}^F(\mathcal{D}_XP)=k[x,\xi]\,\sigma(P)$ であり、$\operatorname{gr}^F\mathcal{M}=k[x,\xi]/(\sigma(P))$、$\operatorname{Ch}(\mathcal{M})=\{\sigma(P)=0\}$ を得る。$P=\partial$ なら $\sigma(P)=\xi$、$P=x$ なら $\sigma(P)=x$ で、prop-d-module-quotient-by-d と prop-d-module-delta により $\mathcal{O}_X=\mathcal{D}_X/\mathcal{D}_X\partial$、$\delta=\mathcal{D}_X/\mathcal{D}_Xx$ である。どちらも次元 $1=n$ なのでホロノミックである。