Godbillon–Vey類
概要
Godbillon–Vey類（Godbillon–Vey class）とは、多様体 $M$ の余向き付け可能な余次元 $1$ の葉層 $\mathcal F$ に対し、定義形式 $\alpha$ と $d\alpha=\beta\wedge\alpha$ を満たす 1 形式 $\beta$ から作る閉 $3$ 形式 $\beta\wedge d\beta$ の de Rham コホモロジー類 $\mathrm{gv}(\mathcal F)\in H^3_{\mathrm{dR}}(M)$ である。この類は $\alpha$ と $\beta$ の選び方によらず、横断的な写像による引き戻しと両立する。法束は自明で法束の特性類はすべて消えるが、$\mathrm{SL}(2,\mathbb R)$ のコンパクトな商の上の左不変な葉層では $0$ でなく、葉層そのものの不変量を与える。
前提知識: 葉層, 微分形式, de Rhamコホモロジー, 内部積
Godbillon–Vey 類（Godbillon–Vey class）は、余向き付け可能な余次元 $1$ の葉層構造に付随する $3$ 次の de Rham コホモロジー類である。葉層が大域的な 1 形式 $\alpha$ の核として与えられているとき、積分可能性 $\alpha\wedge d\alpha=0$ から $d\alpha=\beta\wedge\alpha$ となる 1 形式 $\beta$ がとれ、$3$ 形式 $\beta\wedge d\beta$ は閉形式になる。その類 $\mathrm{gv}(\mathcal F)=[\beta\wedge d\beta]\in H^3_{\mathrm{dR}}(M)$ は、$\alpha$ と $\beta$ の選び方によらず葉層 $\mathcal F$ だけで決まる。
葉層の法束はこの $\alpha$ で自明化されるので、法束の通常の特性類はすべて消える。それにもかかわらず $\mathrm{gv}$ は $0$ でないことがあり、葉層そのものの「ねじれ」を測る量になっている。特性形式が形式として消えることから新しい類が生じる現象の最初の例の 1 つで、Godbillon と Vey が導入した（MS74 Epilogue、p. 253 の文献案内）。
この記事では、余向き付け可能な余次元 $1$ の葉層について Godbillon–Vey 類を定義し、それが閉形式の類として well-defined であることを、選び方を変えたときの差の原始形式を書き下して証明する。さらに引き戻しとの両立、消える場合、$3$ 形式そのものは選び方によることの例を述べ、$\mathrm{SL}(2,\mathbb R)$ のコンパクトな商の上で $\mathrm{gv}\ne0$ となる葉層を構成する。
設定と定義
この記事では、多様体は Hausdorff かつ第 2 可算な $C^\infty$ 級多様体で境界をもたないものとし、微分形式はすべて実数値で滑らかとする。外積・外微分・内部積の規約は 微分形式・内部積 に従う。とくに 1 形式 $\omega$ とベクトル場 $X,Y$ について $d\omega(X,Y)=X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])$ であり（外微分 の定理「座標によらない公式」）、内部積は $\iota_X(\eta\wedge\zeta)=(\iota_X\eta)\wedge\zeta+(-1)^p\eta\wedge\iota_X\zeta$（$\eta$ は $p$ 形式）を満たす（内部積 の命題「内部積の Leibniz 則」）。葉層構造・葉・余次元は 葉層 の定義「葉層構造」に従う。
$\mathcal F$ を $n$ 次元の多様体 $M$ の余次元 $1$ の葉層構造とし、点 $p$ を通る葉を $L_p$ とする。どの点でも $0$ にならない 1 形式 $\alpha$ で、すべての $p\in M$ について $\ker\alpha_p=T_pL_p$ となるものを、$\mathcal F$ の 定義形式 という。定義形式をもつ葉層を 余向き付け可能（transversely orientable）という。
定義形式 $\alpha$ は、法束 $TM/T\mathcal F$ から自明な直線束 $M\times\mathbb R$ への同型 $[v]\mapsto\alpha(v)$ を与える。逆に法束の自明化 $TM/T\mathcal F\cong M\times\mathbb R$ と射影 $TM\to TM/T\mathcal F$ を合成すれば定義形式が得られる。したがって余向き付け可能であることは、法束が自明であることと同値である。同じ葉層の 2 つの定義形式 $\alpha,\alpha'$ は各点で同じ核をもつので、$\alpha'=f\alpha$ となる、どこでも $0$ でない滑らかな関数 $f$ がある（$f=\alpha'(T)$。$T$ は次の補題のベクトル場）。
どの点でも $0$ にならない 1 形式 $\alpha$ について、次は同値である。
- 分布 $\ker\alpha$ が、ある余次元 $1$ の葉層構造の接分布である（したがって $\alpha$ はその葉層の定義形式である）。
- $\alpha\wedge d\alpha=0$。
さらに、$\alpha(T)=1$ を満たすベクトル場 $T$ がつねに存在する。
点ごとの言い換え． 点 $p$ で $\varepsilon^1:=\alpha_p$ を含む $T^*_pM$ の基底 $\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^n$ と双対基底 $v_1,\dots,v_n$ をとる。$\ker\alpha_p$ は $v_2,\dots,v_n$ で張られる。$d\alpha_p=\sum_{i< j}c_{ij}\varepsilon^i\wedge\varepsilon^j$ と書くと $\alpha_p\wedge d\alpha_p=\sum_{2\le i< j}c_{ij}\,\varepsilon^1\wedge\varepsilon^i\wedge\varepsilon^j$ で、$c_{ij}=d\alpha_p(v_i,v_j)$ なので、$\alpha\wedge d\alpha=0$ は「各点で $d\alpha$ を $\ker\alpha\times\ker\alpha$ に制限すると $0$」と同値である。
包合性． $X,Y$ を $\ker\alpha$ に値をとるベクトル場とすると、座標によらない公式から $d\alpha(X,Y)=-\alpha([X,Y])$ である。$\ker\alpha$ の任意の接ベクトルはそのようなベクトル場の値に延びるので、2 は「$\ker\alpha$ が包合的（Lie 括弧で閉じる）」と同値である。葉層 の系「葉層構造と包合的な分布の対応」により、包合的な分布は葉層構造の接分布であり、葉層構造の接分布は包合的である。よって 1 と 2 は同値である。
$T$ の存在． 各点の近くで、座標 $(x^1,\dots,x^n)$ と、$\alpha=\sum_ka_kdx^k$ の係数で $0$ にならない $a_j$ をとり、$T_U:=a_j^{-1}\partial_j$ とおくと $\alpha(T_U)=1$ である。このような開集合 $U_i$ の被覆に従属する滑らかな 1 の分割 $(\rho_i)$（1の分割 の定理「滑らかな 1 の分割の存在」）で $T:=\sum_i\rho_iT_{U_i}$（各項は台の外で $0$ に延ばす）とおけば、局所有限な和なので滑らかで、$\alpha(T)=\sum_i\rho_i=1$ である。$\square$
$\alpha$ を余次元 $1$ の葉層の定義形式とする。
- $\alpha(T)=1$ となるベクトル場 $T$ について $\beta:=-\iota_Td\alpha$ とおくと $d\alpha=\beta\wedge\alpha$ である。
- 1 形式 $\beta,\beta'$ がともに $d\alpha=\beta\wedge\alpha=\beta'\wedge\alpha$ を満たすなら、滑らかな関数 $h$ で $\beta'=\beta+h\alpha$ となるものがある。
- $d\alpha=\beta\wedge\alpha$ なら、$d\beta=\alpha\wedge\gamma$ となる 1 形式 $\gamma$ がある（たとえば $\gamma=\iota_Td\beta$）。とくに $d\beta$ は葉に沿って $0$、すなわち $T\mathcal F\times T\mathcal F$ に制限すると $0$ である。
1：$\alpha\wedge d\alpha=0$（lem-gv-integrable）に $\iota_T$ を当てると、Leibniz 則から $0=\alpha(T)\,d\alpha-\alpha\wedge\iota_Td\alpha=d\alpha-\alpha\wedge\iota_Td\alpha$ である。1 形式どうしは $\alpha\wedge\eta=-\eta\wedge\alpha$ なので $d\alpha=\alpha\wedge\iota_Td\alpha=\beta\wedge\alpha$ である。
2：$\delta:=\beta'-\beta$ は $\delta\wedge\alpha=0$ を満たす。$\iota_T$ を当てると $\delta(T)\alpha-\delta\,\alpha(T)=0$ なので、$h:=\delta(T)$ について $\delta=h\alpha$ である。
3：$0=d(d\alpha)=d\beta\wedge\alpha-\beta\wedge d\alpha=d\beta\wedge\alpha-\beta\wedge\beta\wedge\alpha=d\beta\wedge\alpha$ である。$\iota_T$ を当てると $0=(\iota_Td\beta)\wedge\alpha+d\beta$ なので、$\gamma:=\iota_Td\beta$ について $d\beta=-\gamma\wedge\alpha=\alpha\wedge\gamma$ である。$\alpha$ は $T\mathcal F$ の上で $0$ なので、$\alpha\wedge\gamma$ も $T\mathcal F\times T\mathcal F$ の上で $0$ である。$\square$
文献によっては $d\alpha=\alpha\wedge\eta$ と書いて $\eta\wedge d\eta$ を使う。$\eta=-\beta$ なので $\eta\wedge d\eta=\beta\wedge d\beta$ で、以下の類は同じものになる。
主定理
$\mathcal F$ を多様体 $M$ の余向き付け可能な余次元 $1$ の葉層構造とし、$\alpha$ をその定義形式、$\beta$ を $d\alpha=\beta\wedge\alpha$ を満たす 1 形式とする。
- $3$ 形式 $\beta\wedge d\beta$ は閉形式である。
- 別の 1 形式 $\beta'=\beta+h\alpha$ も $d\alpha=\beta'\wedge\alpha$ を満たし、$\beta'\wedge d\beta'-\beta\wedge d\beta=d(h\,\alpha\wedge\beta)$ である。
- どこでも $0$ にならない関数 $f$ について $\alpha'=f\alpha$ とおき、$u:=\log\lvert f\rvert$ とする。$\beta_*:=\beta+du$ は $d\alpha'=\beta_*\wedge\alpha'$ を満たし、$\beta_*\wedge d\beta_*-\beta\wedge d\beta=d(u\,d\beta)$ である。
したがって、de Rham コホモロジー類
$$ \mathrm{gv}(\mathcal F):=[\beta\wedge d\beta]\in H^3_{\mathrm{dR}}(M) $$
は $\alpha$ と $\beta$ の選び方によらず、$\mathcal F$ だけで決まる。これを $\mathcal F$ の Godbillon–Vey 類 という。
1：lem-gv-beta の 3 により $d\beta=\alpha\wedge\gamma$ なので、$d\beta\wedge d\beta=\alpha\wedge\gamma\wedge\alpha\wedge\gamma=0$ である（$\alpha$ が 2 回現れる）。よって $d(\beta\wedge d\beta)=d\beta\wedge d\beta-\beta\wedge d(d\beta)=0$ である。次数が高いから消えるのではなく、$d\beta$ が $\alpha$ で割り切れることが効いている。
2：$\beta'\wedge\alpha=\beta\wedge\alpha+h\,\alpha\wedge\alpha=d\alpha$ である。$d\beta'=d\beta+dh\wedge\alpha+h\,d\alpha$ を展開すると
$$
\beta'\wedge d\beta'=\beta\wedge d\beta+\beta\wedge dh\wedge\alpha+h\,\beta\wedge d\alpha+h\,\alpha\wedge d\beta+h\,\alpha\wedge dh\wedge\alpha+h^2\alpha\wedge d\alpha
$$
で、$\beta\wedge d\alpha=\beta\wedge\beta\wedge\alpha=0$、$\alpha\wedge d\beta=\alpha\wedge\alpha\wedge\gamma=0$、$\alpha\wedge dh\wedge\alpha=0$、$\alpha\wedge d\alpha=0$ なので、差は $\beta\wedge dh\wedge\alpha$ である。一方
$$
d(h\,\alpha\wedge\beta)=dh\wedge\alpha\wedge\beta+h\,d\alpha\wedge\beta-h\,\alpha\wedge d\beta=dh\wedge\alpha\wedge\beta
$$
で（$d\alpha\wedge\beta=\beta\wedge\alpha\wedge\beta=0$）、1 形式 3 つの巡回置換は偶置換なので $dh\wedge\alpha\wedge\beta=\beta\wedge dh\wedge\alpha$ である。
3：$f$ の符号は各連結成分で一定で、$\lvert f\rvert>0$ なので $u$ は滑らかで $du=df/f$ である（$f< 0$ の成分でも $d\log(-f)=df/f$）。
$$
d\alpha'=df\wedge\alpha+f\,d\alpha=\Bigl(\frac{df}{f}+\beta\Bigr)\wedge f\alpha=\beta_*\wedge\alpha'
$$
であり、$d\beta_*=d\beta$ なので $\beta_*\wedge d\beta_*-\beta\wedge d\beta=du\wedge d\beta=d(u\,d\beta)$ である。
類が決まること． 同じ葉層の定義形式はどれも $f\alpha$ の形である（def-gv-defining-form の後の注意）。$\alpha'=f\alpha$ に対する任意の $\beta'$ は、2 を $\alpha'$ に当てると $\beta'=\beta_*+h\alpha'$ と書けるので、2 と 3 を合わせて
$$
\beta'\wedge d\beta'-\beta\wedge d\beta=d\bigl(u\,d\beta+h\,\alpha'\wedge\beta_*\bigr)
$$
である。$\square$
$f$ は負でもよいので、余向き付けを逆にしても（$\alpha$ を $-\alpha$ に替えても）$\mathrm{gv}(\mathcal F)$ は変わらない。補助のベクトル場 $T$ や Riemann 計量から $\beta$ を作る流儀でも、できる $\beta$ は $d\alpha=\beta\wedge\alpha$ を満たすので、同じ類が得られる。
$F\colon N\to M$ を滑らかな写像とし、$\mathcal F$ を $M$ の余向き付け可能な余次元 $1$ の葉層、$\alpha$ をその定義形式とする。$F$ が $\mathcal F$ に横断的、すなわち各 $q\in N$ で $dF_q(T_qN)\not\subset\ker\alpha_{F(q)}$ なら、$F^*\alpha$ は $N$ の余向き付け可能な余次元 $1$ の葉層 $F^*\mathcal F$ の定義形式であり、
$$
\mathrm{gv}(F^*\mathcal F)=F^*\mathrm{gv}(\mathcal F)
$$
が成り立つ。とくに $\mathrm{gv}$ は微分同相で移り合う葉層の間で対応する。
横断性は $F^*\alpha$ がどこでも $0$ にならないことと同値である。引き戻しは外積・外微分と可換なので（外微分 の命題「引き戻しとの可換性」）、$F^*\alpha\wedge d(F^*\alpha)=F^*(\alpha\wedge d\alpha)=0$ で、lem-gv-integrable により $F^*\alpha$ は葉層の定義形式である。$d(F^*\alpha)=F^*\beta\wedge F^*\alpha$ なので、$F^*\beta$ は $F^*\alpha$ に対する補助形式として使える。thm-gv-main により $\mathrm{gv}(F^*\mathcal F)=[F^*\beta\wedge d(F^*\beta)]=F^*[\beta\wedge d\beta]$ である。$\square$
$\mathcal F$ を余向き付け可能な余次元 $1$ の葉層とする。
- $\dim M\le2$ なら $\mathrm{gv}(\mathcal F)=0$ である。
- $\mathcal F$ が閉形式の定義形式をもつなら $\mathrm{gv}(\mathcal F)=0$ である。たとえば、どこでも臨界点をもたない関数 $\phi\colon M\to\mathbb R$ の等位集合の連結成分による葉層（定義形式 $d\phi$）や、積 $N\times S^1$ の $N\times\{\theta\}$ による葉層（定義形式は $S^1$ の角度形式 $d\theta$ の引き戻し）がそうである。
- $H^3_{\mathrm{dR}}(M)=0$ なら $\mathrm{gv}(\mathcal F)=0$ である。たとえば $M$ が $\mathbb R^n$ や $S^1\times\mathbb R^2$ のとき（de Rhamコホモロジー の系「ホモトピー不変性と Poincaré の補題」）。
1：$3$ 形式が $0$ である。2：$d\alpha=0$ なら $\beta=0$ が $d\alpha=\beta\wedge\alpha$ を満たす。$S^1$ の角度形式 $d\theta$ は大域的な関数の微分ではないが、閉形式である。3：明らかである。$\square$
例
$\mathbb R^3$（座標 $(x,y,z)$）で $\alpha:=e^z\,dy$ とおく。核は $dy$ の核なので、葉は平面 $y=\text{一定}$ である。$d\alpha=e^z\,dz\wedge dy=dz\wedge\alpha$ である。
- $T_0:=e^{-z}\partial_y$ では $\beta_0=-\iota_{T_0}d\alpha=dz$ で、$\beta_0\wedge d\beta_0=0$ である。
- $T_1:=e^{-z}\partial_y-x\,\partial_z$ も $\alpha(T_1)=1$ を満たし、$\beta_1=-\iota_{T_1}d\alpha=dz+x\,\alpha$ である。$d\beta_1=e^z\,dx\wedge dy+x\,e^z\,dz\wedge dy$ から
$$ \beta_1\wedge d\beta_1=e^z\,dx\wedge dy\wedge dz=d\bigl(x\,e^z\,dy\wedge dz\bigr) $$
で、各点で $0$ でない。
$3$ 形式は $T$ の選び方で変わるが、差は完全形式で、原始形式 $x\,e^z\,dy\wedge dz$ は thm-gv-main の 2 の $h\,\alpha\wedge\beta_0$（$h=x$）にちょうど一致する。もともと $dy$ が閉形式の定義形式なので、prop-gv-vanishing の 2 からも $\mathrm{gv}=0$ である。
次の例は、$\mathrm{gv}$ が $0$ でない葉層を与える。$G:=\mathrm{SL}(2,\mathbb R)$ は $M_2(\mathbb R)$ の 3 次元の部分多様体である（特殊線形群）。$g\in G$ に行列 $g^{-1}dg$ を対応させる行列値の 1 形式を
$$
\theta:=g^{-1}dg=\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}
$$
と書く（$(2,2)$ 成分が $-a$ になることは証明の中で確かめる）。
- $a,b,c$ は左移動 $g\mapsto hg$（$h\in G$）で不変な 1 形式で、各点で $T^*_gG$ の基底をなし、$da=-b\wedge c$、$db=-2a\wedge b$、$dc=2a\wedge c$ を満たす。
- $\alpha:=c$ は $G$ の余向き付け可能な余次元 $1$ の葉層 $\mathcal F_0$ の定義形式で、$\beta:=2a$ について $d\alpha=\beta\wedge\alpha$、$\beta\wedge d\beta=-4\,a\wedge b\wedge c$ である。$a\wedge b\wedge c$ はどこでも $0$ にならない。
- $G$ の離散部分群 $\Gamma$ で、左からの積による商 $M_\Gamma:=\Gamma\backslash G$ がコンパクトなものがある。そのような $\Gamma$ について、$a,b,c$ は $M_\Gamma$ 上の 1 形式 $\bar a,\bar b,\bar c$ に降り、$\bar c$ は $M_\Gamma$ の葉層 $\mathcal F_\Gamma$ の定義形式で、$\mathrm{gv}(\mathcal F_\Gamma)\ne0$ である。
1． $h\in G$ について $(hg)^{-1}d(hg)=g^{-1}h^{-1}h\,dg=g^{-1}dg$ なので $\theta$ は左不変である。$g^{-1}=\begin{pmatrix}g_{22}&-g_{12}\\-g_{21}&g_{11}\end{pmatrix}$ なので
$$
\operatorname{tr}(g^{-1}dg)=g_{22}dg_{11}-g_{12}dg_{21}-g_{21}dg_{12}+g_{11}dg_{22}=d(g_{11}g_{22}-g_{12}g_{21})=d(\det g)=0
$$
であり、$\theta$ は跡が $0$ の行列 $\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ に値をとる。$v\mapsto g^{-1}v$ は $T_gG$ から $\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ への単射な線形写像で、どちらも 3 次元なので同型である。$a,b,c$ はその成分なので $T^*_gG$ の基底をなす。$gg^{-1}=I$ を微分すると $d(g^{-1})=-g^{-1}\,dg\,g^{-1}$ なので
$$
d\theta=d(g^{-1})\wedge dg=-g^{-1}dg\wedge g^{-1}dg=-\theta\wedge\theta
$$
である。$\theta\wedge\theta=\begin{pmatrix}b\wedge c&2a\wedge b\\2c\wedge a&-b\wedge c\end{pmatrix}$ を成分で比べて 1 の式を得る。
2． $\alpha\wedge d\alpha=c\wedge2a\wedge c=0$ なので、lem-gv-integrable により $c$ は葉層の定義形式である。$d\alpha=2a\wedge c=\beta\wedge\alpha$、$d\beta=-2b\wedge c$ なので $\beta\wedge d\beta=-4a\wedge b\wedge c$ である。1 から $a\wedge b\wedge c$ は各点で $0$ でない。
3． 要点：$\Gamma$ は種数 $2$ の閉 Riemann 面の一意化から得られ、左不変な形式は商に降り、$\bar\beta\wedge d\bar\beta$ の積分が $0$ でない。
詳しい証明を開く
$\Gamma$ の存在．種数 $2$ のコンパクトな Riemann 面 $X$ がある（種数 の例「超楕円曲線」で $g=2$）。一意化定理(Riemann面) の系「コンパクトな面の型は種数で決まる」と定理「Riemann 面の分類」の 3 により、$X$ は $\mathbb D/G_0$ と双正則で、$G_0\subset\operatorname{Aut}(\mathbb D)$ は被覆空間作用で作用する。Cayley 変換（Möbius変換 の例「Cayley 変換」）で上半平面 $\mathfrak H$ に移すと、$G_1\subset\operatorname{Aut}(\mathfrak H)\cong\mathrm{PSL}_2(\mathbb R)$（上半平面 の定理「上半平面の自己同型群」）が $\mathfrak H$ に被覆空間作用で作用し、$\mathfrak H/G_1\cong X$ はコンパクトである。$\Gamma\subset G$ を $G_1$ の逆像とする。
離散であること．$\gamma_k\in\Gamma$、$\gamma_k\to I$ とする。被覆空間作用の定義（被覆空間作用）から、$i\in\mathfrak H$ の近傍 $U$ で、恒等変換でない $G_1$ の元 $\gamma$ について $\gamma U\cap U=\emptyset$ となるものがある。$k$ が大きければ $\gamma_ki\in U$ なので $\gamma_k$ は $\mathfrak H$ に恒等的に働き、$\gamma_k=\pm I$、したがって $\gamma_k=I$ である。
商がコンパクトであること．$\tau=x+iy\in\mathfrak H$ について $n_\tau:=\begin{pmatrix}\sqrt y&x/\sqrt y\\0&1/\sqrt y\end{pmatrix}$ とおくと $n_\tau i=\tau$ で、$i$ の固定部分群は $\mathrm{SO}(2)$ なので（上半平面 の命題「推移性と固定部分群」）、$gi=\tau$ なら $g\in n_\tau\mathrm{SO}(2)$ である。商写像 $\mathfrak H\to X$ は開写像なので（被覆空間作用 の補題「商写像は開写像」）、$X$ のコンパクト性から有限個の閉円板の和 $K\subset\mathfrak H$ で $G_1K=\mathfrak H$ となるものがとれる。$Q:=\{n_\tau k\mid\tau\in K,\ k\in\mathrm{SO}(2)\}$ はコンパクトである。$g\in G$ に対し $\gamma(gi)\in K$ となる $\gamma\in\Gamma$ をとれば $\gamma g\in Q$ なので、$\Gamma\backslash G$ は $Q$ の像でコンパクトである。
商多様体と形式の降下．$\Gamma$ は離散なので閉部分群で可算であり、左からの積による作用は自由で固有である（商多様体 の例「剰余類多様体」の議論で左右を入れ替える）。商多様体 の系「離散群の商と被覆写像」により $M_\Gamma$ は 3 次元の多様体で、商写像 $\pi$ は被覆写像かつ局所微分同相である。$\pi$ の局所的な逆 $s$ で $\bar\omega:=s^*\omega$ とおくと、別の局所的な逆は $L_\gamma\circ s$ で、$\omega$ が左不変なら $(L_\gamma\circ s)^*\omega=s^*\omega$ なので、$\pi^*\bar\omega=\omega$ となる $\bar\omega$ がただ 1 つ定まる。$\pi^*$ は単射で外微分・外積と可換なので、$\bar a,\bar b,\bar c$ も 1 の式を満たす。よって $\bar c$ は葉層 $\mathcal F_\Gamma$ の定義形式で、$\bar\beta:=2\bar a$ について $\bar\beta\wedge d\bar\beta=-4\nu$、$\nu:=\bar a\wedge\bar b\wedge\bar c$ は $0$ にならない $3$ 形式である。
類が $0$ でないこと．$\nu$ が正になる局所座標を正の向きとして $M_\Gamma$ を向き付けると、$\nu$ は正の向きの各局所座標で $f\,dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3$（$f>0$）と表され、積分の定義（1 の分割で局所座標ごとの積分の和に分ける）から $\int_{M_\Gamma}\nu>0$ である（Stokesの定理 の系「閉多様体上の積分と完全形式」の 2 の証明と同じ議論）。よって $\int_{M_\Gamma}\bar\beta\wedge d\bar\beta=-4\int_{M_\Gamma}\nu\ne0$ で、同じ系の 1 により $\bar\beta\wedge d\bar\beta$ は完全形式でない。$\square$
$G$ 自身の上では、同じ $3$ 形式 $-4a\wedge b\wedge c$ は完全形式である。岩澤分解 の系「岩澤分解から分かる位相」の (R2) により $G$ は $S^1\times\mathbb R^2$ と微分同相なので、prop-gv-vanishing の 3 から $\mathrm{gv}(\mathcal F_0)=0$ である。$\mathrm{gv}$ が $0$ でないことを見るには、コンパクトな商に移って積分を使う必要がある。
特性類との関係
定義形式 $\alpha$ で法束 $Q:=TM/T\mathcal F$ を自明化すると、$Q$ の接続は 1 形式で与えられ、その曲率はその外微分である。$X$ が葉に接するとき、Lie 括弧の法成分は $\alpha([X,T])=-d\alpha(X,T)=-\beta(X)$ なので、接続形式として $-\beta$ をとると、葉に沿った微分が Lie 括弧で与えられる接続になる。lem-gv-beta の 3 により、その曲率 $-d\beta$ は葉に沿って $0$ である。このため、曲率の 2 次式 $d\beta\wedge d\beta$ は Chern–Weil理論 のように「類として」ではなく「形式として」$0$ になり（thm-gv-main の 1 の証明）、$d(\beta\wedge d\beta)=d\beta\wedge d\beta=0$ から $\beta\wedge d\beta$ が閉形式として現れる。特性形式が特別な状況で消えることから新しい類が生まれる、という見方は MS74 Epilogue（p. 253）にある。関係する記事との違いは次のとおりである。
| 記事 | 何の不変量か | 決め方 |
|---|---|---|
| Euler類 | 向き付けられたベクトル束 | Thom 類から作る整係数の類で、束の同型類だけで決まる |
| Chern–Weil理論 | ベクトル束・主束 | 不変多項式に曲率を代入した閉形式の類で、接続によらない |
| Weil代数 | Lie 環 | 接続と曲率の関係を代数として取り出した模型で、Chern–Weil 準同型の仕組みを与える |
| この記事 | 余向き付け可能な余次元 1 の葉層 | 曲率の形式が消えることから作る類で、法束（自明）ではなく葉層によって決まる |
prop-gv-sl2 の $\mathcal F_\Gamma$ でも法束は自明で、法束の特性類はすべて $0$ である。それでも $\mathrm{gv}(\mathcal F_\Gamma)\ne0$ なので、Godbillon–Vey 類は法束の特性類からは決まらない。
反例：条件を外すと成り立たない
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 積分可能性 $\alpha\wedge d\alpha=0$ | $\mathbb R^3$ の $\alpha=dz-x\,dy$ | $d\alpha=\beta\wedge\alpha$ となる $\beta$ がなく、$\ker\alpha$ も葉層の接分布でない |
| 類をとること（形式そのものを使う） | ex-gv-r3 | $\beta\wedge d\beta$ が $\beta$ の選び方によらないこと |
| $M$ が閉多様体（コンパクトな商に移ること） | prop-gv-sl2 の $\mathcal F_0$（$G=\mathrm{SL}(2,\mathbb R)$ 上） | $\beta\wedge d\beta$ が各点で $0$ でなくても、類は $0$ |
| 余向き付け可能 | 開いた Möbius の帯 $\mathbb R^2/\langle\tau\rangle$（$\tau(x,y)=(x+1,-y)$）の横線の像による葉層 | 大域的な定義形式がとれず、この記事の定義がそのままでは当てはまらない |
- $d\alpha=-dx\wedge dy$、$\alpha\wedge d\alpha=-dz\wedge dx\wedge dy\ne0$ である。$d\alpha=\beta\wedge\alpha$ なら $\alpha\wedge d\alpha=\alpha\wedge\beta\wedge\alpha=0$ となって矛盾する。lem-gv-integrable により $\ker\alpha$ は葉層の接分布でない。
- ex-gv-r3 の $\beta_0\wedge d\beta_0=0$ と $\beta_1\wedge d\beta_1\ne0$ である。
- prop-gv-sl2 の後の段落である。
- 横線の族は $\tau$ で保たれるので、商（商多様体 の系「離散群の商と被覆写像」）に葉層が降りる。定義形式 $\alpha$ があるとすると、引き戻し $\tilde\alpha$ は横線の葉層の定義形式なので $\tilde\alpha=g\,dy$（$g$ はどこでも $0$ でない）と書け、$\tau^*\tilde\alpha=\tilde\alpha$ から $g(x+1,-y)=-g(x,y)$ である。とくに $g(1,0)=-g(0,0)$ なので、中間値の定理により線分 $\{(x,0)\mid 0\le x\le1\}$ 上で $g$ が $0$ になり、矛盾する。
関連項目
- 前提: 葉層, 微分形式, de Rhamコホモロジー, 内部積
- 道具: 外微分, Frobeniusの定理(可積分性), Stokesの定理, 商多様体
- 比較: Chern–Weil理論, Euler類, Weil代数
- 例: 特殊線形群, 一意化定理(Riemann面)
- 発展: 特性類
参考文献
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