群数列

同義語：grouped sequence

概要

前提知識: 等差数列と等比数列, ガウス記号と整数の個数, 2次不等式, 数列の和と差分

高校での出発点：数を三角形に並べる

自然数 $1,2,3,\ldots$ を、1 行目に 1 個、2 行目に 2 個、3 行目に 3 個、…と並べていく。行ごとに縦線で区切って書くと
$$ 1\;\bigm|\;2,\ 3\;\bigm|\;4,\ 5,\ 6\;\bigm|\;7,\ 8,\ 9,\ 10\;\bigm|\;11,\ \ldots $$
である。区切られたひとかたまりを群とよび、左から第 1 群、第 2 群、…と数える。このように数列を群に区切ったものを 群数列 という。群数列でよく問われるのは、「第 $n$ 項は第何群の何番目か」「第 $m$ 群の和はいくつか」の 2 つである。

第 20 項は第何群の何番目か

上の群数列で、第 20 項が第何群の何番目かを、群ごとに項数を足して調べる。
第 $m$ 群には $m$ 個の項がある。第 1 群から順に、そこまでの項数を足していくと
$$ 1,\quad 1+2=3,\quad 3+3=6,\quad 6+4=10,\quad 10+5=15,\quad 15+6=21 $$
である。第 5 群までで $15$ 項、第 6 群までで $21$ 項なので、第 16 項から第 21 項までが第 6 群である。$15<20\le21$ だから、第 20 項は第 6 群に入り、その中で $20-15=5$ 番目である。この数列の第 20 項は $20$ なので、第 6 群は $16,17,18,19,20,21$ で、$20$ はたしかに 5 番目にある。

奇数を区切ったときの群の和

奇数 $1,3,5,7,\ldots$ を、同じく第 $m$ 群に $m$ 個ずつ区切る。
$$ 1\;\bigm|\;3,\ 5\;\bigm|\;7,\ 9,\ 11\;\bigm|\;13,\ 15,\ 17,\ 19\;\bigm|\;\cdots $$
群ごとの和を計算すると
$$ 1=1,\qquad 3+5=8,\qquad 7+9+11=27,\qquad 13+15+17+19=64 $$
で、$1=1^3$、$8=2^3$、$27=3^3$、$64=4^3$ と、どれも立方数になる。

ex-grp-start のように 1 群ずつ足していく方法は、第 20 項なら手で済むが、第 2026 項となると 64 回足すことになる。また ex-grp-start-odd の規則がどこまでも続くかは、計算を続けるだけでは分からない。この記事で答える問いは次の 3 つである。

第 $n$ 項が第何群の何番目かを、足し算をくり返さずに式で求められるか。→ thm-grp-main
奇数の群の和がいつも立方数になるのはなぜか。→ thm-grp-odd

群の項数の決まり方を変えると、求め方はどう変わるか。→ prop-grp-locate、ex-grp-rules

高校の計算	この記事の言葉	使う道具
第 $m$ 群までの項数を足す	区切りの位置 $S(m)$	等差数列の和
「第 $n$ 項は第何群か」	$S(m-1)< n\le S(m)$ を満たす $m$	2 次不等式と切り上げ
群の中の番号	$n-S(m-1)$	引き算
群の和	群の最初の項と項数から和を求める	等差数列の和

1 から 105 までを第 m 群に m 個ずつ三角形に並べた図。右端の数は第 m 群までの項数で、第 100 項は第 14 群の 9 番目にある
図 1 は、$1$ から $105$ までを三角形に並べたものである。各行の右端に書いた「ここまで何項」の数 $1,3,6,10,15,\ldots$ が、群の区切りの位置を決めている。第 100 項は、第 13 群の終わり（第 91 項）より後で、第 14 群の終わり（第 105 項）までの間にあるので、第 14 群の $100-91=9$ 番目である。この「区切りの位置ではさむ」考え方を、次の節で一般の形にする。

群の分け方と区切りの位置

群の項数は、第 $m$ 群に $m$ 個とは限らない。奇数個ずつ（$1,3,5,\ldots$ 個）や、2 倍ずつ（$1,2,4,\ldots$ 個）に区切ることもある。そこで、各群の項数を一般の数列 $g(m)$ で表して、言葉を決めておく。

群数列と区切りの位置

数列 $a_1,a_2,a_3,\ldots$ と、正の整数の数列 $g(1),g(2),g(3),\ldots$ が与えられたとする。
$$ S(0)=0,\qquad S(m)=g(1)+g(2)+\dots+g(m)\quad(m\ge1) $$
とおき、$S(m-1)+1$ 番目から $S(m)$ 番目までの $g(m)$ 個の項
$$ a_{S(m-1)+1},\ a_{S(m-1)+2},\ \ldots,\ a_{S(m)} $$
を 第 $m$ 群 という。このように区切った数列を 群数列 という。$S(m)$ は第 $m$ 群までに入る項の個数で、この記事では 区切りの位置 とよぶ。第 $n$ 項 $a_n$ が第 $m$ 群の $k$ 番目の項であることを、「$a_n$ は第 $m$ 群の $k$ 番目」という。

$g(m)$ はどれも正の整数なので、$S(m)=S(m-1)+g(m)>S(m-1)$ であり、区切りの位置は
$$ 0=S(0)< S(1)< S(2)< S(3)<\cdots $$
と、1 以上ずつ増えていく。したがって $S(m)\ge m$ である（$m$ についての帰納法：$S(0)=0$ で、1 つ進むごとに 1 以上増える）。

3 つの区切り方

第 $m$ 群に $m$ 個：$g(m)=m$ である。区切りの位置は等差数列の和（等差数列と等比数列の定理「等差数列の和」）により
$$ S(m)=1+2+\dots+m=\frac{m(m+1)}2 $$
で、$S(1),S(2),\ldots=1,3,6,10,15,\ldots$ である。これらは三角形に並べた点の個数なので 三角数 とよばれる。
第 $m$ 群に $2m-1$ 個：$g(m)=2m-1$ で、$1,3,5,7,\ldots$ 個ずつ区切る。
$$ S(m)=1+3+\dots+(2m-1)=\frac{m\{1+(2m-1)\}}2=m^2 $$
である（初項 $1$、末項 $2m-1$、項数 $m$ の等差数列の和）。区切りの位置は $1,4,9,16,\ldots$ である。
第 $m$ 群に $2^{m-1}$ 個：$g(m)=2^{m-1}$ で、$1,2,4,8,\ldots$ 個ずつ区切る。等比数列の和（等差数列と等比数列の定理「等比数列の和」）により
$$ S(m)=1+2+4+\dots+2^{m-1}=\frac{2^m-1}{2-1}=2^m-1 $$
で、区切りの位置は $1,3,7,15,\ldots$ である。

ex-grp-start で見たとおり、第 $n$ 項がどの群に入るかは、$n$ を区切りの位置ではさめば分かる。これを命題にする。

区切りの位置ではさむ

def-grp の群数列で、$n$ を正の整数とする。
$$ S(m-1)< n\le S(m) $$
を満たす正の整数 $m$ はただ 1 つあり、第 $n$ 項は第 $m$ 群の $k=n-S(m-1)$ 番目である。ここで $1\le k\le g(m)$ である。

区切りの位置が増え続けることを使う

要点：$S(m)\ge n$ となる最小の $m$ をとると $S(m-1)< n\le S(m)$ を満たす。区切りの位置は増え続けるので、2 つの $m$ が同時にこの不等式を満たすことはない。

詳しい証明を開く

段 1（$m$ の存在）。$S(n)\ge n$ なので、$S(m)\ge n$ を満たす正の整数 $m$ はある（たとえば $m=n$）。そのうち最小のものを $m$ とする。$m\ge2$ なら、$m-1$ は正の整数で $m$ より小さいので $S(m-1)\ge n$ ではなく、$S(m-1)< n$ である。$m=1$ のときも $S(0)=0< n$ である。よって $S(m-1)< n\le S(m)$ である。

段 2（ただ 1 つであること）。$m'\ne m$ も同じ不等式を満たすとし、$m'< m$ としてよい（大小が逆なら 2 つの名前を入れかえる）。$m'\le m-1$ で、区切りの位置は増えていくので $S(m')\le S(m-1)$ である。すると $n\le S(m')\le S(m-1)< n$ となり、矛盾する。

段 3（群の中の番号）。第 $m$ 群は $S(m-1)+1$ 番目から $S(m)$ 番目までの項なので、第 $n$ 項はその中で $n-S(m-1)$ 番目である。$S(m-1)< n$ から $k=n-S(m-1)\ge1$、$n\le S(m)$ から $k\le S(m)-S(m-1)=g(m)$ である。$\square$

命題を使う

奇数個ずつの区切り（ex-grp-def (2)、$S(m)=m^2$）で、第 50 項を調べる。$7^2=49<50\le64=8^2$ なので、第 50 項は第 8 群の $50-49=1$ 番目である。第 49 項は $6^2=36<49\le49$ なので第 7 群の $49-36=13$ 番目、つまり第 7 群（$13$ 個）の最後の項である。
2 倍ずつの区切り（ex-grp-def (3)、$S(m)=2^m-1$）で、第 100 項を調べる。$S(6)=63<100\le127=S(7)$ なので、第 100 項は第 7 群の $100-63=37$ 番目である。

prop-grp-locate の不等式で、左側が「$<$」、右側が「$\le$」であることに注意する。第 $n$ 項がちょうど群の最後の項（$n=S(m)$）のとき、$n$ は第 $m$ 群に入る。等号の向きを取り違えると、群の最後の項で 1 つずれる（ex-grp-cx-equality）。

主定理：第 $n$ 項は第何群の何番目か

第 $m$ 群に $m$ 個ずつ区切る場合（ex-grp-def (1)）に、prop-grp-locate の $m$ を式で書く。答えには「切り上げ」が現れるので、先に定義する。

切り上げ

実数 $x$ に対し、$x$ 以上の最小の整数を $\lceil x\rceil$ と書き、$x$ の 切り上げ という。$m=\lceil x\rceil$ は
$$ m-1< x\le m $$
を満たすただ 1 つの整数である。ガウス記号 $[x]$（$x$ 以下の最大の整数、ガウス記号と整数の個数）を使うと $\lceil x\rceil=-[-x]$ と書ける。

定義の言いかえを確かめる。$n=[-x]$ とおくと、ガウス記号の定義から $n\le-x< n+1$ で、各辺に $-1$ を掛けて向きを変えると $-n-1< x\le-n$ である。よって $m=-n$ は $m-1< x\le m$ を満たす。この不等式は $x\le m< x+1$ と同じで、長さ $1$ の範囲 $x\le m< x+1$ に整数はただ 1 つしかない。しかも $m-1< x$ なので、$m$ より小さい整数はどれも $x$ より小さい。つまり $m$ は $x$ 以上の最小の整数である。

切り上げの値

$\lceil2.3\rceil=3$、$\lceil3\rceil=3$、$\lceil13.65\rceil=14$ である。整数の切り上げは、その整数自身である。
$\lceil-2.3\rceil=-2$ である（$-3<-2.3\le-2$）。ガウス記号で書くと $-[2.3]=-2$ で一致する。$\lceil2.3\rceil=-[-2.3]=-(-3)=3$ も一致する。

第 $n$ 項の群と番号

数列を第 $m$ 群に $m$ 個ずつ区切る。正の整数 $n$ に対し
$$ x_n=\frac{-1+\sqrt{1+8n}}2,\qquad m=\lceil x_n\rceil $$
とおくと、第 $n$ 項は第 $m$ 群の
$$ k=n-\frac{(m-1)m}2 $$
番目である。ここで $1\le k\le m$ である。

$x_n$ は、2 次方程式 $\dfrac{x(x+1)}2=n$ の正の解である。つまり「第 $x$ 群までの項数がちょうど $n$ になる $x$」を実数の範囲で求め、それを切り上げると群の番号になる。

2 つの 2 次不等式を解く

方針：prop-grp-locate により、第 $n$ 項の群の番号 $m$ は $\dfrac{(m-1)m}2< n\le\dfrac{m(m+1)}2$ を満たすただ 1 つの正の整数である。右と左の不等式をそれぞれ 2 次不等式として解き、合わせて $m-1< x_n\le m$ を導く。
段 1（命題に当てはめる）。$g(m)=m$ のとき、ex-grp-def (1) により区切りの位置は $S(m)=\dfrac{m(m+1)}2$、$S(m-1)=\dfrac{(m-1)m}2$ である。prop-grp-locate により、
$$ \frac{(m-1)m}2< n\le\frac{m(m+1)}2 $$
を満たす正の整数 $m$ がただ 1 つあり、第 $n$ 項は第 $m$ 群の $k=n-\dfrac{(m-1)m}2$ 番目で、$1\le k\le g(m)=m$ である。残りは、この $m$ が $\lceil x_n\rceil$ に等しいことを示すことである。
段 2（2 次式の根）。2 次式 $f(t)=t^2+t-2n$ の根は、解の公式により
$$ t=\frac{-1\pm\sqrt{1+8n}}2 $$
である。$\sqrt{1+8n}>1$ なので、小さい方の根 $y_n=\dfrac{-1-\sqrt{1+8n}}2$ は負で、大きい方の根 $x_n$ は正である。2次不等式により、$f(t)\ge0$ は「$t\le y_n$ または $t\ge x_n$」と同値であり、$f(t)<0$ は「$y_n< t< x_n$」と同値である。
段 3（右の不等式）。$n\le\dfrac{m(m+1)}2$ の両辺を $2$ 倍して移項すると $m^2+m-2n\ge0$、つまり $f(m)\ge0$ である。$m\ge1$ は負の数 $y_n$ より大きいので、段 2 により $f(m)\ge0$ は $m\ge x_n$ と同値である。
段 4（左の不等式）。$(m-1)m=(m-1)^2+(m-1)$ なので、$\dfrac{(m-1)m}2< n$ の両辺を $2$ 倍して移項すると $(m-1)^2+(m-1)-2n<0$、つまり $f(m-1)<0$ である。$m-1\ge0>y_n$ なので、段 2 により $f(m-1)<0$ は $m-1< x_n$ と同値である。
段 5（まとめ）。段 3・段 4 から $m-1< x_n\le m$ である。def-grp-ceil により、これを満たす整数は $\lceil x_n\rceil$ だけなので、$m=\lceil x_n\rceil$ である。$\square$

第 100 項と第 2026 項

$n=100$ のとき $1+8n=801$ である。$28^2=784<801<841=29^2$ なので $28<\sqrt{801}<29$ で、
$$ 13.5=\frac{-1+28}2< x_{100}<\frac{-1+29}2=14 $$
である。よって $m=\lceil x_{100}\rceil=14$ で、第 100 項は第 14 群の
$$ k=100-\frac{13\cdot14}2=100-91=9 $$
番目である。図 1 と一致する。$\sqrt{801}$ の小数を計算しなくても、となり合う 2 つの平方数ではさめば $m$ が決まる。
$n=2026$ なら、第 2026 項は第 64 群の 10 番目である。
(2) の計算を開く
$1+8n=16209$ である。$127^2=16129<16209<16384=128^2$ なので $63< x_{2026}<63.5$ で、$m=64$ である。番号は $k=2026-\dfrac{63\cdot64}2=2026-2016=10$ である。
$n=10$ のとき $1+8n=81=9^2$ で、$x_{10}=\dfrac{-1+9}2=4$ はちょうど整数である。$m=\lceil4\rceil=4$、$k=10-6=4$ で、第 10 項は第 4 群の 4 番目、つまり第 4 群の最後の項である。$x_n$ が整数になるのは、$n$ が三角数（群の最後の項）のときだけである。実際、$n=\dfrac{m(m+1)}2$ なら $1+8n=(2m+1)^2$ で $x_n=m$ である。逆に $x_n$ が整数 $m$ なら、$x_n$ は $\dfrac{x(x+1)}2=n$ の解なので $n=\dfrac{m(m+1)}2$ は三角数である。

y = x(x+1)/2 のグラフと直線 y = 100。交点の x 座標 13.65… は 13 と 14 の間にあり、切り上げると群の番号 14 になる
図 2 は、thm-grp-main の証明を $n=100$ で見たものである。放物線 $y=\dfrac{x(x+1)}2$ の上の整数の点 $(m,S(m))$ が区切りの位置で、直線 $y=100$ との交点の $x$ 座標が $x_{100}=13.65\ldots$ である。$S(13)=91<100\le105=S(14)$ は、交点が $x=13$ と $x=14$ の間にあることと同じである。

群の中の番号がそのまま項になる数列

数列 $1\mid1,2\mid1,2,3\mid1,2,3,4\mid\cdots$ は、第 $m$ 群が $1,2,\ldots,m$ である群数列である。第 $n$ 項は、それが入る群の中の番号 $k$ そのものである。
(1) ex-grp-main (1) により、第 100 項は第 14 群の 9 番目なので $9$ である。(2) により第 2026 項は $10$ である。
(2) 初項から第 100 項までの和は、第 13 群までの 91 項の和 $455$ と、第 14 群の最初の 9 項の和 $1+2+\dots+9=45$ を合わせて $500$ である。
第 $m$ 群の和は $1+2+\dots+m=\dfrac{m(m+1)}2$ なので、第 1 群から第 13 群までの和は
$$ \sum_{m=1}^{13}\frac{m(m+1)}2=\frac12\left(\sum_{m=1}^{13}m^2+\sum_{m=1}^{13}m\right)=\frac12\left(\frac{13\cdot14\cdot27}6+\frac{13\cdot14}2\right)=\frac12(819+91)=455 $$
である（$\sum m^2$ の公式は数列の和と差分）。

ガウス記号で書く形

thm-grp-main の $m$ は、ガウス記号で
$$ m=\left[\frac{-1+\sqrt{8n-7}}2\right]+1 $$
とも書ける。$n=100$ なら $\sqrt{793}$ は $28$ と $29$ の間なので $\left[\dfrac{-1+\sqrt{793}}2\right]=13$ で、$m=14$ である。

ガウス記号で書ける理由を開く

$y=\dfrac{-1+\sqrt{8n-7}}2$ は $\dfrac{t(t+1)}2=n-1$ の $0$ 以上の解である。左の不等式 $\dfrac{(m-1)m}2< n$ は、両辺が整数なので $\dfrac{(m-1)m}2\le n-1$ と同じで、prf-grp-main と同じ 2 次不等式の議論で $m-1\le y$ と同値になる。右の不等式 $n\le\dfrac{m(m+1)}2$ は $n-1<\dfrac{m(m+1)}2$ と同じで、$y< m$ と同値になる。$m-1\le y< m$ はガウス記号の定義そのものなので $m-1=[y]$ である。

有理数を 1 列に並べる

群数列の考え方を使うと、正の分数をすべて 1 列に並べられる。分子と分母の和が $2$ の分数、和が $3$ の分数、和が $4$ の分数、…を順に 1 つの群にする。
$$ \frac11\;\biggm|\;\frac12,\ \frac21\;\biggm|\;\frac13,\ \frac22,\ \frac31\;\biggm|\;\frac14,\ \frac23,\ \frac32,\ \frac41\;\biggm|\;\cdots $$
第 $m$ 群は、分子と分母の和が $m+1$ の分数を、分子の小さい順に並べた $m$ 個の分数 $\dfrac1m,\dfrac2{m-1},\ldots,\dfrac m1$ である。約分できる分数（$\dfrac22$ など）も、そのまま 1 つの項として数える。第 $m$ 群に $m$ 個なので、thm-grp-main がそのまま使える。

分数の番号

上の群数列で、正の整数 $p$、$q$ について、分数 $\dfrac pq$ は第 $p+q-1$ 群の $p$ 番目にあり、
$$ \frac{(p+q-2)(p+q-1)}2+p $$
番目の項である。逆に、第 $n$ 項は、thm-grp-main の $m$、$k$ を使って $\dfrac k{m+1-k}$ である。

群の番号と群の中の番号を読む

分子と分母の和が $p+q$ なので、$\dfrac pq$ は第 $m=p+q-1$ 群にある。第 $m$ 群の分数は分子が $1,2,\ldots,m$ の順に並ぶので、$\dfrac pq$ は第 $m$ 群の $p$ 番目である（$q\ge1$ なので $p\le m$）。prop-grp-locate により、第 $m$ 群の $p$ 番目は第 $S(m-1)+p$ 項で、$S(m-1)=\dfrac{(m-1)m}2=\dfrac{(p+q-2)(p+q-1)}2$ である。
逆に、第 $n$ 項が第 $m$ 群の $k$ 番目なら、その分数の分子は $k$、分子と分母の和は $m+1$ なので、分母は $m+1-k$ である。$\square$

分数の番号を求める

$\dfrac35$ は第 $3+5-1=7$ 群の 3 番目で、$\dfrac{6\cdot7}2+3=24$ 番目の項である。
第 100 項は、ex-grp-main (1) により第 14 群の 9 番目なので、$\dfrac9{15-9}=\dfrac96$ である。約分すると $\dfrac32$ で、$\dfrac32$ 自身は第 4 群の 3 番目、つまり第 $6+3=9$ 項にも出てくる。
$\dfrac11$、$\dfrac22$、$\dfrac33$ は第 1 項、第 5 項、第 13 項である。同じ数 $1$ が、約分する前の形を変えて何度も出てくる。

正の分数 p/q を、分子と分母の和が等しいものごとに斜めの群に並べた図。矢印は並べる順で、3/5 は第 7 群の 3 番目、第 24 項にある
図 3 は、分母 $q$ を横に、分子 $p$ を縦にとって分数を並べた表である。第 $m$ 群は右上から左下への斜めの 1 列で、矢印の順にたどると上の数列になる。どの正の分数 $\dfrac pq$ も表のどこかにあり、prop-grp-rational により有限の番号がつく。表は縦にも横にも限りなく続くのに、斜めに区切ると 1 列に並べられることがこの例の要点である。この話は「大学数学で見る」の節で続ける。

群の和：奇数の群と立方数

ex-grp-start-odd の規則「奇数を $m$ 個ずつ区切ると、第 $m$ 群の和は $m^3$」を証明する。群の最初の項を prop-grp-locate で求め、群の中が等差数列であることを使う。

奇数の群の和

奇数の数列 $1,3,5,7,\ldots$ を第 $m$ 群に $m$ 個ずつ区切ると、第 $m$ 群の最初の項は $m^2-m+1$、最後の項は $m^2+m-1$ で、第 $m$ 群の和は $m^3$ である。

群の両端を求めて等差数列の和を使う

方針：第 $m$ 群の最初の項が数列の何番目かを求め、奇数の一般項 $2j-1$ に代入する。群の中は公差 $2$ の等差数列なので、和は（項数）×（最初と最後の平均）で求まる。
段 1（最初の項）。$j$ 番目の奇数は $2j-1$ である（初項 $1$、公差 $2$ の等差数列の一般項）。prop-grp-locate と ex-grp-def (1) により、第 $m$ 群の最初の項は第 $S(m-1)+1=\dfrac{(m-1)m}2+1$ 項である。その値は
$$ 2\left(\frac{(m-1)m}2+1\right)-1=(m-1)m+2-1=m^2-m+1 $$
である。
段 2（最後の項）。第 $m$ 群は最初の項から公差 $2$ で $m$ 個並ぶので、最後の項は $(m^2-m+1)+2(m-1)=m^2+m-1$ である。
段 3（和）。等差数列の和の公式（等差数列と等比数列の定理「等差数列の和」）により、第 $m$ 群の和は
$$ \frac{m\{(m^2-m+1)+(m^2+m-1)\}}2=\frac{m\cdot2m^2}2=m^3 $$
である。$\square$

第 5 群と第 10 群

$m=5$ のとき、最初の項は $25-5+1=21$、最後の項は $25+5-1=29$ で、第 5 群は $21,23,25,27,29$ である。和は $\dfrac{5(21+29)}2=125=5^3$ である。
$m=10$ のとき、第 10 群の和は $1000=10^3$ である。
(2) の計算を開く
最初の項は $100-10+1=91$、最後の項は $100+10-1=109$ で、和は $\dfrac{10(91+109)}2=1000$ である。第 10 群の真ん中の 2 項は $99$ と $101$ で、ちょうど $m^2=100$ をはさむ。

thm-grp-odd を第 1 群から第 $m$ 群まで足すと、立方数の和の公式が群数列から出てくる。

立方数の和

正の整数 $m$ について
$$ 1^3+2^3+\dots+m^3=\left(\frac{m(m+1)}2\right)^2 $$
である。

同じ奇数の和を 2 通りに数える

第 1 群から第 $m$ 群までに入る奇数は、最初から数えて $S(m)=\dfrac{m(m+1)}2$ 個である。この和を 2 通りに計算する。
群ごとに足すと、thm-grp-odd により $1^3+2^3+\dots+m^3$ である。
一方、最初の $N$ 個の奇数の和は、ex-grp-def (2) の計算により $1+3+\dots+(2N-1)=N^2$ である。$N=S(m)$ とすると $\left(\dfrac{m(m+1)}2\right)^2$ である。2 つは同じ和なので等しい。$\square$

奇数 1, 3, 5, … をかぎ形に並べると正方形になる図。第 1 群から第 4 群まで（最初の 10 個の奇数）を色分けすると、1 辺 10 の正方形が 1、8、27、64 の部分に分かれる
図 4 は、この証明を絵にしたものである。$j$ 番目の奇数 $2j-1$ を、1 辺 $j$ の正方形から 1 辺 $j-1$ の正方形を除いたかぎ形で表すと、最初の $N$ 個のかぎ形で 1 辺 $N$ の正方形ができる。群ごとに色を変えると、第 1 群から第 4 群までで 1 辺 $1+2+3+4=10$ の正方形ができ、その面積 $100$ が $1+8+27+64$ に分かれる。立方数の和の公式は数列の和と差分でも差分を使って証明されている。ここでの証明は、群の区切りの位置 $S(m)$ がそのまま正方形の 1 辺になることを使った。

群の項数の決まりを変える

prop-grp-locate は、区切りの位置 $S(m)$ さえ分かれば、どの区切り方にも使える。ex-grp-def の 3 つの区切り方で、第 $n$ 項の群を式にすると次のようになる。

各群の項数 $g(m)$	区切りの位置 $S(m)$	第 $n$ 項の群 $m$	群の中の番号
$m$	$\dfrac{m(m+1)}2$	$\left\lceil\dfrac{-1+\sqrt{1+8n}}2\right\rceil$	$n-\dfrac{(m-1)m}2$
$2m-1$	$m^2$	$\lceil\sqrt n\rceil$	$n-(m-1)^2$
$2^{m-1}$	$2^m-1$	$[\log_2n]+1$	$n-2^{m-1}+1$

1 行目は thm-grp-main である。2 行目・3 行目を命題として証明する。

奇数個ずつ・2 倍ずつの区切り

$n$ を正の整数とする。
(1) 第 $m$ 群に $2m-1$ 個ずつ区切ると、第 $n$ 項は第 $\lceil\sqrt n\rceil$ 群にある。
(2) 第 $m$ 群に $2^{m-1}$ 個ずつ区切ると、第 $n$ 項は第 $[\log_2n]+1$ 群にある。
群の中の番号は、どちらも prop-grp-locate により $n-S(m-1)$ である。

不等式を平方根・対数でほどく

要点：(1) は $(m-1)^2< n\le m^2$ の平方根をとって $m-1<\sqrt n\le m$、(2) は $2^{m-1}\le n<2^m$ の 2 を底とする対数をとって $m-1\le\log_2n< m$ にする。

詳しい証明を開く

(1) prop-grp-locate と ex-grp-def (2) により、群の番号 $m$ は $(m-1)^2< n\le m^2$ を満たす正の整数である。$m-1\ge0$、$m\ge1$ で、$0$ 以上の数どうしの大小は平方根をとっても変わらないので、この不等式は $m-1<\sqrt n\le m$ と同値である。def-grp-ceil により $m=\lceil\sqrt n\rceil$ である。

(2) ex-grp-def (3) により、群の番号 $m$ は $2^{m-1}-1< n\le2^m-1$ を満たす正の整数である。両側とも整数どうしの不等式なので、左は $2^{m-1}\le n$、右は $n<2^m$ と同じである。$y=\log_2x$ は増加する関数なので、$2^{m-1}\le n<2^m$ は $m-1\le\log_2n< m$ と同値である。これはガウス記号の定義そのものなので $m-1=[\log_2n]$、つまり $m=[\log_2n]+1$ である。$\square$

3 つの区切り方で位置を求める

奇数個ずつの区切りで第 50 項：$7<\sqrt{50}\le8$ なので $\lceil\sqrt{50}\rceil=8$、番号は $50-7^2=1$ で、第 8 群の 1 番目である（ex-grp-locate (1) と一致）。
2 倍ずつの区切りで第 100 項：$2^6=64\le100<128=2^7$ なので $[\log_2100]=6$、$m=7$、番号は $100-64+1=37$ で、第 7 群の 37 番目である（ex-grp-locate (2) と一致）。
2 倍ずつの区切りで第 1000 項は、第 10 群の 489 番目である。
(3) の計算を開く
$2^9=512\le1000<1024=2^{10}$ なので $[\log_21000]=9$、$m=10$ で、番号は $1000-512+1=489$ である。
同じ第 100 項でも、$m$ 個ずつなら第 14 群、奇数個ずつなら第 10 群、2 倍ずつなら第 7 群である。群が大きくなる速さが速いほど、群の番号は小さい。

2 倍ずつの区切りの条件 $2^{m-1}\le n<2^m$ は、「$n$ を 2 進法で書くとちょうど $m$ 桁」ということである（n進法と記数法）。たとえば $100$ を 2 進法で書くと $1100100$ で 7 桁なので、第 7 群にある。10 進法の桁数を常用対数で求める常用対数と桁数の計算と同じ形である。

例と反例

prop-grp-locate と thm-grp-main の式のどこか 1 か所を取り違えると、答えがずれる。どれも「群の最後の項」か「群の最初の項」の付近で起こる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
不等式の左は「$<$」、右は「$\le$」	$n=10$ で $\frac{(m-1)m}2\le n<\frac{m(m+1)}2$ を使う	群の番号（第 5 群と出るが、正しくは第 4 群）
$x_n$ を切り上げる	$n=9$ でガウス記号 $[x_9]$ を使う	群の番号（第 3 群と出るが、正しくは第 4 群）
群の中の番号は $S(m-1)$ から数える	$n=100$ で $n-S(m)$ を計算する	群の中の番号（$-5$ になる）

反例：等号の向きを逆にする

第 10 項は第 4 群の最後の項である（ex-grp-main (3)）。不等式の等号の向きを逆にして $\dfrac{(m-1)m}2\le10<\dfrac{m(m+1)}2$ を満たす $m$ を探すと、$m=5$ で $10\le10<15$ が成り立つので、「第 5 群」という答えが出てしまう。第 5 群は第 11 項から第 15 項までなので、これは誤りである。
ずれるのは、$n$ が区切りの位置（三角数 $1,3,6,10,\ldots$）のときだけである。それ以外の $n$ では等号が成り立たないので、向きを逆にしても同じ答えになる。反例がまれなので、誤りに気づきにくい。

反例：切り上げの代わりにガウス記号を使う

$n=9$ のとき $x_9=\dfrac{-1+\sqrt{73}}2$ で、$8<\sqrt{73}<9$ なので $3.5< x_9<4$ である。切り上げると $\lceil x_9\rceil=4$ で、第 9 項は第 4 群の $9-6=3$ 番目である（第 4 群は $7,8,9,10$ 番目の項）。
ガウス記号を使うと $[x_9]=3$ となり、「第 3 群」という誤った答えになる。$x_n$ が整数でないとき、$[x_n]=\lceil x_n\rceil-1$ なので、ガウス記号の答えは必ず 1 小さくなる。$x_n$ が整数になるのは $n$ が三角数のときだけなので（ex-grp-main (3)）、ガウス記号の答えが正しいのは三角数の $n$ に限られる。ガウス記号で書きたいときは、rem-grp-floor の形 $\left[\dfrac{-1+\sqrt{8n-7}}2\right]+1$ を使う。

反例：群の中の番号を後ろの区切りから数える

第 100 項は第 14 群にある。群の中の番号を $n-S(14)=100-105=-5$ と計算すると、負の数になってしまう。第 14 群の最初の項は第 $S(13)+1=92$ 項なので、番号は 1 つ前の区切りの位置 $S(13)=91$ から数えて $100-91=9$ である。$n-S(m)=-5$ は「第 14 群の最後から数えて 6 番目」という意味にはなる（$14-5=9$ と一致する）が、群の中の番号そのものではない。

大学数学で見る：自然数の対に番号をつける

prop-grp-rational は、分数 $\dfrac pq$ を正の整数の組 $(p,q)$ と見れば、正の整数の組 $(p,q)$ 全体に番号をつける規則になっている。
$$ N(p,q)=\frac{(p+q-2)(p+q-1)}2+p $$
とおくと、どの組 $(p,q)$ にも正の整数 $N(p,q)$ が対応し、thm-grp-main により、どの正の整数 $n$ もただ 1 つの組から来る（$n$ から群の番号 $m$ と群の中の番号 $k$ がただ 1 通りに決まり、$(p,q)=(k,m+1-k)$ となる）。つまり $N$ は、正の整数の組の全体から正の整数の全体への 1 対 1 の対応（全単射）である。
大学の集合論では、正の整数全体と 1 対 1 に対応する集合を 可算集合（可算無限集合）という（可算集合）。上の $N$ は、正の整数の組の全体が可算集合であることを示している。縦にも横にも限りなく続く表（図 3）が、正の整数の 1 列と「同じ個数」の要素しかもたないということである。

正の有理数全体も可算集合であることを開く

正の有理数はどれも $\dfrac pq$（$p$、$q$ は正の整数）と書けるので、図 3 の列のどこかに現れる。ただし $\dfrac11=\dfrac22=\dfrac33$ のように、同じ数が何度も現れる（ex-grp-rational (3)）。そこで、列を前から見ていき、すでに現れた数と等しい分数を飛ばす。残った列 $1,\dfrac12,2,\dfrac13,3,\dfrac14,\dfrac23,\dfrac32,4,\ldots$ には、どの正の有理数もちょうど 1 回ずつ現れる。この列の何番目かを数えることで、正の有理数全体と正の整数全体が 1 対 1 に対応する。

これに対し、実数全体は可算集合ではない（どのように 1 列に並べても、並ばない実数が残る）。証明は Cantorの対角線論法にあり、この記事では証明しない。

さらに先へ

群を 1 段深くして、3 つの正の整数の組 $(p,q,r)$ を「和が等しいもの」ごとに区切ると、第 $m$ 群には $\dfrac{m(m+1)}2$ 個の組が入る。区切りの位置は三角数の和 $\dfrac{m(m+1)(m+2)}6$ になり（ex-grp-main-seq (2) の計算と同じ形）、3 つの組にも番号がつけられる。
区切りの位置が $m$ の 2 次式なら 2 次不等式、指数関数なら対数で群の番号が求まる（prop-grp-rules）。一般に、区切りの位置 $S(m)$ が、連続で増加する関数 $S(x)$ の整数での値になっているなら、$S(x)=n$ の解を切り上げればよい。
群数列は数列の和の計算にも使える。毎月の積立や返済のように、等比数列の和が何度も現れる計算は複利とローンの計算で扱う。

群数列

概要