福島分解

同義語：福島の分解定理Fukushima decompositionFukushima分解

概要

前提知識: Brown運動, マルチンゲール, 伊藤の公式, 自己随伴作用素, Sobolev空間

伊藤の公式は、なめらかな関数 $u$ と Brown 運動 $X$ について、$u(X_t)-u(X_0)$ を確率積分（マルチンゲール）と時間積分（有界変動過程）の和に分ける。しかし $u$ が Sobolev 空間の元にすぎないとき、$u$ の 2 階導関数は一般に測度にならず、第 2 項は有界変動とは限らない。福島分解（Fukushima decomposition）は、福島正俊（Masatoshi Fukushima）が 1979 年に示した定理で、対称 Markov 過程と対応する形式の定義域の関数 $u$ について
$$ \tilde u(X_t)-\tilde u(X_0)=M^{[u]}_t+N^{[u]}_t $$
という「有限エネルギーのマルチンゲール＋エネルギー零の連続な項」への一意な分解を与える（Fuk79 Theorem 2、p. 143）。半マルチンゲール分解の「マルチンゲール＋有界変動」を「マルチンゲール＋2 次変分が零」に置き換えたものである。
この記事では、分解の主張に必要な定義を述べ、エネルギーの計算（prop-fd-energy、prop-fd-martingale-energy）、一意性（prop-fd-unique）、レゾルベントの像の関数についての分解（prop-fd-resolvent）を証明する。一般の $u$ への拡張に使う空間の完備性と部分列の収束は引用する（rem-fd-main-source）。有限状態の連鎖と Brown 運動で分解を確かめ、$N^{[u]}$ が有界変動でない例を挙げる。

設定

対称 Hunt 過程と形式

$X$ を局所コンパクトで可分な Hausdorff 空間、$m$ を台が $X$ 全体の正の Radon 測度とする。$\mathbb M=(X_t,P_x)$ を $X$ 上の Hunt 過程（右連続で左極限をもつ強 Markov 過程で、停止時刻の増大列に沿って左連続なもの）とし、推移関数 $p_t$ が $m$ について対称、すなわち非負 Borel 関数 $f,g$ について $(p_tf,g)=(f,p_tg)$（$(\cdot,\cdot)$ は $L^2(X;m)$ の内積の記号を非負関数に延ばしたもの）であるとする。この記事では簡単のため保存的、すなわち $p_t1=1$ を仮定する。$p_t$ は $L^2(X;m)$ の強連続な自己随伴縮小半群に延びる（強連続半群）。その生成作用素を $L$（非正の自己随伴作用素）とする。

対称 Markov 過程の Dirichlet 形式

$$ \mathcal F:=\Bigl\{u\in L^2(X;m):\lim_{t\downarrow0}\tfrac1t(u-p_tu,u)<\infty\Bigr\},\qquad\mathcal E(u,v):=\lim_{t\downarrow0}\tfrac1t(u-p_tu,v) $$
を $\mathbb M$ の Dirichlet 形式という。$\mathcal F=D(\sqrt{-L})$、$\mathcal E(u,v)=(\sqrt{-L}u,\sqrt{-L}v)$ である。$\mathcal E_1(u,v):=\mathcal E(u,v)+(u,v)$ について $\mathcal F$ は Hilbert 空間である。$\mathcal F\cap C_0(X)$ が $\mathcal E_1$ ノルムで $\mathcal F$ に稠密で、かつ一様ノルムで $C_0(X)$ に稠密であるとき、形式は正則であるという。以下 $(\mathcal E,\mathcal F)$ は正則とする。

$(1-e^{-\lambda t})/t$ は $t$ について単調減少なので、スペクトル分解により $\tfrac1t(u-p_tu,u)$ は $t\downarrow0$ で単調増加である。したがって定義の極限は $+\infty$ を許して必ず存在する。ここでの Dirichlet 形式は、Gårdingの不等式で楕円型作用素に付随する形式を同じ語で呼ぶものとは別の、Markov 過程に付随する対称形式である。単位縮小（$u\in\mathcal F$ なら $(0\vee u)\wedge1\in\mathcal F$ でエネルギーが増えない）をもつ。

容量と準連続性

開集合 $G$ の容量を $\operatorname{Cap}(G):=\inf\{\mathcal E_1(u,u):u\in\mathcal F,\ u\ge1\text{ が }G\text{ で }m\text{-a.e.}\}$、一般の集合 $A$ については $A$ を含む開集合にわたる下限とする（容量(ポテンシャル論) の Sobolev 容量と同じ形である）。容量 $0$ の集合を除いて成り立つことを q.e. と書く。関数 $\tilde u$ が準連続であるとは、任意の $\varepsilon>0$ に対し $\operatorname{Cap}(G)<\varepsilon$ の開集合 $G$ があって $\tilde u|_{X\setminus G}$ が連続であることをいう。形式が正則なとき、各 $u\in\mathcal F$ は準連続な修正 $\tilde u$ をもつ（Fuk79 §1 の (I)、p. 139）。

加法的汎関数

加法的汎関数（AF）とは、右連続で左極限をもつ適合過程 $A_t$ で、$A_0=0$、シフト $\theta_s$ について $A_{t+s}=A_s+A_t\circ\theta_s$（$s,t\ge0$）を、q.e. $x$ の $P_x$ についてほとんど確実に満たすものをいう。各 $t$ について q.e. $x$ で $P_x(A_t=B_t)=1$ となる $A,B$ を同一視する。$P_m:=\int P_x\,m(dx)$ とし、AF のエネルギーを
$$ e(A):=\lim_{t\downarrow0}\frac1{2t}E_m[A_t^2] $$
で定める。

次の 2 つの族が分解の両側である（Fuk79 §1、pp. 139–140）。

$\mathring{\mathcal M}$：AF $M$ で、各 $t$ について q.e. $x$ で $E_x[M_t^2]<\infty$、$E_x[M_t]=0$ を満たし、$e(M)<\infty$ であるもの（有限エネルギーのマルチンゲール加法的汎関数）。
$\mathcal N_c$：連続な AF $N$ で、$e(N)=0$ かつ各 $t$ について q.e. $x$ で $E_x|N_t|<\infty$ であるもの（エネルギー零の連続な加法的汎関数）。
$M\in\mathring{\mathcal M}$ は q.e. $x$ で $P_x$ についてのマルチンゲールである。実際、加法性と Markov 性により $E_x[M_{t+s}-M_s\mid\mathcal F_s]=E_{X_s}[M_t]=0$ である。

主定理

福島分解

$u\in\mathcal F$ とし、$\tilde u$ を準連続な修正とする。$A^{[u]}_t:=\tilde u(X_t)-\tilde u(X_0)$ は AF であり、
$$ A^{[u]}=M^{[u]}+N^{[u]},\qquad M^{[u]}\in\mathring{\mathcal M},\quad N^{[u]}\in\mathcal N_c $$
と一意に分解される。さらに $e(M^{[u]})=\mathcal E(u,u)$ であり、$u\mapsto M^{[u]},N^{[u]}$ は線形である。

主定理の証明の筋と出典

Fuk79 Theorem 2（p. 143）と Corollary 1（p. 145）である。一意性は prop-fd-unique、$u=R_1f$（$f$ は有界 Borel 関数）の場合は prop-fd-resolvent で証明する。一般の $u$ への拡張の筋は次のとおりで、途中の空間の完備性（下の 2）と部分列の広義一様収束（下の 3）はこの記事では証明しない。

等式 $\mathcal E_1(R_1f,R_1f)=(f,R_1f)\le\|f\|^2$ と、$R_1L^2$ の $\mathcal F$ での稠密性により、$u_n=R_1f_n$（$f_n$ は有界）で $\mathcal E_1(u_n-u,u_n-u)\to0$ となるものがとれる。prop-fd-resolvent の分解の線形性とエネルギーの等式により $e(M^{[u_n]}-M^{[u_m]})=\mathcal E(u_n-u_m,u_n-u_m)$ である。
$\mathring{\mathcal M}$ は $e$ を 2 乗ノルムとする Hilbert 空間で、Cauchy 列の部分列は q.e. $x$ で $P_x$ について広義一様に収束する（Fuk79 Theorem 1、p. 141）。よって極限 $M^{[u]}$ が存在する。
$N^{[u]}:=A^{[u]}-M^{[u]}$ とおく。部分列で $N^{[u_n]}$ が広義一様に収束するので連続であり（同 (3.8)、p. 144）、$\sqrt{e(\cdot)}$ の三角不等式と prop-fd-energy により $\sqrt{e(N^{[u]})}\le\sqrt{\mathcal E(u-u_n,u-u_n)}+\sqrt{e(M^{[u]}-M^{[u_n]})}\to0$ である。
過程が $X$ の内部で消滅するときは、$e(M^{[u]})$ の値は $\mathcal E$ でなく、消滅測度の分を除いた形式になる（同 (3.2)、Appendices (7.5)）。$X$ の内部で消滅しない過程では、保存的でなくても値は $\mathcal E$ のままである（同 Appendices の Corollary、p. 166）。過程が過渡的（transient）なときは、分解は拡張された空間 $\mathcal F_e$ の元まで延びる（同 Theorem 2）。

エネルギーの計算

保存性と対称性から、非負 Borel 関数 $h$ について $\int p_th\,dm=(h,p_t1)=\int h\,dm$ である。つまり $P_m$ の下で $X_t$ の分布はつねに $m$ である。これを以下で何度も使う。

関数から定まる加法的汎関数のエネルギー

$u\in L^2(X;m)$ と Borel な修正について
$$ \frac1{2t}E_m\bigl[(u(X_t)-u(X_0))^2\bigr]=\frac1t(u-p_tu,u) $$
である。とくに $u\in\mathcal F$ なら $e(A^{[u]})=\mathcal E(u,u)$ である。

Markov 性により $E_x[(u(X_t)-u(x))^2]=p_t(u^2)(x)-2u(x)p_tu(x)+u(x)^2$ である。$m$ で積分すると、第 1 項は $\|u\|^2$ を与え、全体は $2\|u\|^2-2(u,p_tu)=2(u-p_tu,u)$ である。両辺を $2t$ で割り、$t\downarrow0$ とする。$\tilde u=u$（$m$-a.e.）で $P_m$ の下の $X_t$ の分布は $m$ なので、修正の取り方は左辺に影響しない。$\square$

マルチンゲールのエネルギーの線形性

$M\in\mathring{\mathcal M}$ について、すべての $t\ge0$ で $E_m[M_t^2]=2t\,e(M)$ である。

$\varphi(t):=E_m[M_t^2]$ とする。q.e. $x$ で $E_x[M_{s+t}^2]=E_x[M_s^2]+E_x[(M_{s+t}-M_s)^2]$ である（マルチンゲールの増分の直交性）。Markov 性により第 2 項は $p_sh_t(x)$、$h_t(x):=E_x[M_t^2]$ であり、$\int p_sh_t\,dm=\int h_t\,dm$ である。よって $\varphi(s+t)=\varphi(s)+\varphi(t)$ である。$\varphi$ は非負で加法的なので単調増加であり、したがって $\varphi(t)=ct$（$c\in[0,\infty]$）の形である。$e(M)$ の定義から $c=2e(M)<\infty$ である。$\square$

エネルギー零の項の 2 次変分

$N\in\mathcal N_c$ と $T>0$ について、
$$ \sum_{k=0}^{\lfloor nT\rfloor-1}\bigl(N_{(k+1)/n}-N_{k/n}\bigr)^2\longrightarrow0\qquad(n\to\infty) $$
が $L^1(P_m)$ で成り立つ。

加法性と Markov 性により、各項の期待値は $E_m\bigl[E_{X_{k/n}}[N_{1/n}^2]\bigr]=\int p_{k/n}h\,dm=\int h\,dm=E_m[N_{1/n}^2]$ である（$h(x):=E_x[N_{1/n}^2]$）。よって和の期待値は $\lfloor nT\rfloor E_m[N_{1/n}^2]\le 2T\cdot\frac n2E_m[N_{1/n}^2]$ で、$e(N)=0$ により $0$ に収束する。$\square$

これは Fuk79 (1.9)（p. 140）である。第 2 項が「有界変動」でなく「2 次変分が零」の過程になるのは、この性質による。

分解の一意性

$M+N=M'+N'$（$M,M'\in\mathring{\mathcal M}$、$N,N'\in\mathcal N_c$）なら $M=M'$、$N=N'$ である。

$D:=M-M'$ とおく。$D\in\mathring{\mathcal M}$ であり、$D=N'-N$ と $\sqrt{e(\cdot)}$ の三角不等式から $e(D)=0$ である。prop-fd-martingale-energy により $E_m[D_t^2]=0$、すなわち $m$-a.e. $x$ で $P_x(D_t=0)=1$ である。$q_t(x):=E_x[D_t^2]$ とおくと $q_t=0$（$m$-a.e.）なので、各 $s>0$ で $p_sq_t=0$（q.e.）である（Fuk79 Theorem 3 の証明の最後、p. 147）。Markov 性により $E_x[(D_{t+1/n}-D_{1/n})^2]=p_{1/n}q_t(x)$ で、$D$ は右連続で $D_0=0$ なので、Fatou の補題により q.e. $x$ で $q_t(x)\le\liminf_{n}p_{1/n}q_t(x)=0$ である（同所。これは同 (1.14)、p. 141 の $\mathring{\mathcal M}\cap\mathcal N_c=\{0\}$ にあたる）。よって $D=0$ であり、$N=N'$ も従う。$\square$

レゾルベントの像での分解

$\alpha=1$ のレゾルベントを $R_1f(x):=E_x\int_0^\infty e^{-s}f(X_s)\,ds$ とする。$f\in L^2$ が有界 Borel 関数のとき $v:=R_1f$ は有界 Borel 関数で、$L^2$ の元として $(1-L)^{-1}f\in D(L)\subset\mathcal F$ である。$t\mapsto v(X_t)$ は右連続で左極限をもち、$v$ は細連続なので $A^{[v]}=v(X_t)-v(X_0)$ と書ける（Fuk79 §1 の (I)、§3 の冒頭、pp. 139、144）。

レゾルベントの像の関数の分解

$f\in L^2(X;m)$ を有界 Borel 関数、$v=R_1f$、$g:=v-f$（$L^2$ の元として $g=Lv$）とする。
$$ N_t:=\int_0^tg(X_s)\,ds,\qquad M_t:=v(X_t)-v(X_0)-N_t $$
とおくと、$N\in\mathcal N_c$、$M\in\mathring{\mathcal M}$ であり、$e(M)=\mathcal E(v,v)$ である。

$N$ について． $N$ は連続な AF で、$|N_t|\le t\|g\|_\infty$ である。Cauchy–Schwarz の不等式と $P_m$ の下の分布が $m$ であることから
$$ E_m[N_t^2]\le t\int_0^tE_m[g(X_s)^2]\,ds=t^2\|g\|^2, $$
よって $\frac1{2t}E_m[N_t^2]\le\frac t2\|g\|^2\to0$ で、$e(N)=0$ である。
$M$ について． $x$ を固定する。$\phi(s):=p_sf(x)$ は有界で、Fubini の定理と Markov 性により
$$ p_tv(x)=e^t\int_t^\infty e^{-s}\phi(s)\,ds $$
である。右辺は $t$ の絶対連続関数で、ほとんどすべての $t$ で微分は $p_tv(x)-\phi(t)=p_t(v-f)(x)$ である。積分して
$$ p_tv(x)-v(x)=\int_0^tp_sg(x)\,ds $$
を得る。$E_x[N_t]=\int_0^tp_sg(x)\,ds$ なので $E_x[M_t]=0$ がすべての $x$ で成り立つ。$v,g$ は有界なので $M_t$ も有界である。$M$ は AF である。
エネルギー． $e_t(A):=\frac1{2t}E_m[A_t^2]$ とおくと $\sqrt{e_t(\cdot)}$ は三角不等式を満たす。$M=A^{[v]}-N$ なので $|\sqrt{e_t(M)}-\sqrt{e_t(A^{[v]})}|\le\sqrt{e_t(N)}\to0$ である。prop-fd-energy により $e(M)=e(A^{[v]})=\mathcal E(v,v)<\infty$ である。$\square$

$E_x[M^{[u]}_t]=0$ から、一般の $u\in\mathcal F$ で $E_x[N^{[u]}_t]=p_t\tilde u(x)-\tilde u(x)$（q.e. $x$）が成り立ち、$\mathcal N_c$ の元のうちこの性質をもつものとして $N^{[u]}$ は特徴づけられる（Fuk79 Theorem 3、p. 146）。prop-fd-resolvent の $N_t=\int_0^tLv(X_s)\,ds$ は生成作用素の項である。一般の $u$ では $Lu$ が関数にならず、$N^{[u]}$ はこの積分の極限としてしか書けない。

例

有限状態の対称 Markov 連鎖

$X$ を有限集合、$m$ を各点に正の値をもつ測度、$q(x,y)\ge0$（$x\ne y$）を $m(x)q(x,y)=m(y)q(y,x)$ を満たす遷移率とする（連続時間のMarkov連鎖）。$Lu(x)=\sum_{y\ne x}q(x,y)(u(y)-u(x))$、$\mathcal F$ はすべての関数で、対称性を使って書き直すと
$$ \mathcal E(u,u)=-(Lu,u)=\frac12\sum_{x\ne y}m(x)q(x,y)(u(x)-u(y))^2 $$
である。各点の容量は $m(x)$ 以上で正なので、q.e. は「すべての点」である。任意の $u$ は $f:=u-Lu$ によって $u=R_1f$ と書けるので、prop-fd-resolvent により
$$ N^{[u]}_t=\int_0^tLu(X_s)\,ds,\qquad M^{[u]}_t=u(X_t)-u(X_0)-\int_0^tLu(X_s)\,ds $$
である。たとえば $X=\{0,1\}$、$m(0)=m(1)=1$、$q(0,1)=q(1,0)=1$、$u=1_{\{1\}}$ のとき $Lu=1-2u$、$\mathcal E(u,u)=1$ である。$P_m(X_t\ne X_0)=1-e^{-2t}$ なので $\frac1{2t}E_m[(u(X_t)-u(X_0))^2]=\frac{1-e^{-2t}}{2t}\to1$ となり、prop-fd-energy と一致する。

Brown 運動と Sobolev 空間

$X=\mathbb R^d$、$m$ を Lebesgue 測度、$\mathbb M$ を Brown運動とすると、$\mathcal F=H^1(\mathbb R^d)$、$\mathcal E(u,v)=\frac12\int\nabla u\cdot\nabla v\,dx$ である（Fuk79 (6.1)・(6.2)、p. 159）。$u\in C_c^\infty(\mathbb R^d)$ なら伊藤の公式は
$$ u(X_t)-u(X_0)=\int_0^t\nabla u(X_s)\cdot dB_s+\frac12\int_0^t\Delta u(X_s)\,ds $$
で、第 1 項が $M^{[u]}$、第 2 項が $N^{[u]}$ である。一般の $u\in H^1(\mathbb R^d)$ でも $M^{[u]}=\int\nabla u(X_s)\cdot dB_s$、$e(M^{[u]})=\frac12\|\nabla u\|^2$ であり、$N^{[u]}$ は $u$ を軟化した $u_\varepsilon$ の $\frac12\int_0^t\Delta u_\varepsilon(X_s)\,ds$ の極限である（同 Theorem 10・Theorem 11、pp. 160–161。この記事では証明しない）。

有界変動でない零エネルギーの項

$d=1$ の Brown 運動では例外集合は空で、$u\in H^1(\mathbb R)$ について、$N^{[u]}$ が有界変動であることと $u'$ が各有界区間で有界変動であることは同値である（Fuk79 Theorem 12 (iii)、p. 164。この記事では証明しない）。このとき $N^{[u]}$ は局所時間の積分で書け、田中の公式の一般化になる。
$g(x):=x\sin(1/|x|)$（$0<|x|\le1/\pi$）、$g(0)=0$、それ以外で $g=0$ とおく。$g$ は連続な奇関数で台はコンパクトなので、$u(x):=\int_{-\infty}^xg(y)\,dy$ はコンパクトな台をもつ $C^1$ 級関数で、$u\in H^1(\mathbb R)$ である。一方 $k\ge1$ について $x_k:=2/((2k+1)\pi)$ とおくと $|g(x_k)|=x_k$ で、$g(x_k)$ と $g(x_{k+1})$ は符号が逆なので、$g$ の全変動は $\sum_{k\ge1}(x_k+x_{k+1})=\infty$ 以上である。よって $u'=g$ は有界変動でなく、$N^{[u]}$ は有界変動でない（同じ形の例が同 p. 164 にある）。$u(X_t)$ は $C^1$ 級関数の像であるのに、分解 $M^{[u]}+N^{[u]}$ は半マルチンゲール分解にならない。このような $u$ について、福島分解は伊藤の公式の代わりになる（Wal13 §1、p. 2414）。

反例

$d=1$ の Brown 運動で、$u\in C_c^\infty(\mathbb R)$（$u\ne0$）を固定する。

外す条件	反例	成り立たなくなること
$N$ のエネルギーが零	$M'=0$、$N'=A^{[u]}$	一意性：$N'$ は連続で $e(N')=\mathcal E(u,u)>0$
$M$ がマルチンゲール	$M'=A^{[u]}$、$N'=0$	一意性：$E_x[M'_t]=p_tu(x)-u(x)\not\equiv0$
準連続な修正をとること	$\bar u:=u+1_{\{0\}}$	$\bar u(X_t)-\bar u(X_0)$ は $P_0$ で右連続でなく、分解をもたない
$u\in\mathcal F$	$u=1_{[0,1]}$	どの修正 $w$ でも $w(X_t)$ が $P_0$ で右連続でない

反例の表の確かめ

確かめを開く

1 行目：$A^{[u]}$ は連続な AF で、prop-fd-energy により $e(A^{[u]})=\mathcal E(u,u)=\frac12\|u'\|^2>0$ である（$u'\ne0$ はコンパクト台の $u\ne0$ から従う）。$N'$ の条件のうち外れているのはエネルギー零だけである。ex-fd-bm の $M^{[u]}\ne0$ とは別の組なので、この条件なしでは分解は一意でない。

2 行目：$N'=0\in\mathcal N_c$ で、$M'=A^{[u]}$ は有限エネルギーの AF である。$p_tu=u$ がすべての $t$ で成り立つなら $u$ は $L^2$ で不変となり、$(u-p_tu,u)=0$ から $\mathcal E(u,u)=0$ となって $u\ne0$ に反する。よって平均零でない。

3 行目：$\bar u=u$（$m$-a.e.）なので $L^2$ の元としては同じ $u\in\mathcal F$ である。$P_0$ の下で $\bar u(X_t)-\bar u(X_0)=u(X_t)-u(0)-1+1_{\{X_t=0\}}$ である。$t>0$ で $X_t\ne0$ となる時刻が $0$ に集積するので、$t\downarrow0$ でこの過程は $-1$ に近づく時刻の列をもつが、値 $0$ から出発する。$M+N$ の形の過程は右連続なので、この過程は分解をもたない。$\bar u$ と $u$ の違いは無視できない。$d=1$ では空でない例外集合はないからである（Fuk79 §6、p. 163）。

4 行目：$u=1_{[0,1]}\notin H^1(\mathbb R)$ である。$w=u$（$m$-a.e.）とする。Brown 運動は時刻 $0$ の直後に $0$ の両側を訪れ、Lebesgue 測度の意味でほとんどの時刻で $X_t\ne0$ かつ $w(X_t)=u(X_t)$ なので、$P_0$ についてほとんど確実に、$t\downarrow0$ で $w(X_t)$ は $0$ と $1$ の両方の値を取り続ける。よって右連続でない。