完備多様体(代数幾何学)

1 は 固有射 の定理「射影射の固有性」による。2 は閉埋め込みと固有射の合成が固有であること（固有射 の系「固有射の像と閉部分スキーム」）による。3 は、固有射の積が固有であること（固有射 の定理「合成・底変換・積で閉じること」の 3）を $X\to\operatorname{Spec}k$ と $X'\to\operatorname{Spec}k$ に当て、$\operatorname{Spec}k\times_k\operatorname{Spec}k=\operatorname{Spec}k$ を使えばよい。4：$X\to Y\to\operatorname{Spec}k$ の合成は固有で $Y\to\operatorname{Spec}k$ は分離的なので、同じ定理の 4 により $f$ は固有であり、固有射は閉写像だから $f(X)$ は閉である。5 は 付値の中心 の定理「中心による分離性と固有性の判定」の 2 である。$\square$

$C=\varphi(A)\subset B$ とおき、$L=\operatorname{Frac}B$ とする（$\varphi$ が単射とは限らないので、$A$ の代わりに像 $C$ を使う）。
段 1：$C$ を含む $L$ の付値環は $B$ を含む。 $R$ を $C\subset R$ をみたす $L$ の付値環とし、$T=\operatorname{Spec}R$、$U=\operatorname{Spec}L$ とする。$u\colon U\to X$ を包含 $B\subset L$ で、$s\colon T\to Y$ を $A\xrightarrow{\varphi}C\subset R$ で定めると、どちらの合成 $A\to L$ も $\varphi$ と包含の合成なので $f\circ u=s\circ i$ であり、$(u,s)$ は $f$ に対する付値環の図式である。$X$ は Noether で $f$ は有限型かつ固有なので、付値判定法 の定理「固有性の付値判定法」により持ち上げ $t\colon T\to X$ がある。$X$ はアフィンなので、$t$ は環準同型 $\psi\colon B\to R$ で与えられ（スキーム の命題「アフィンスキームへの射と大域切断」）、$t\circ i=u$ は $B\xrightarrow{\psi}R\subset L$ が包含 $B\subset L$ に等しいことを意味する。$R\to L$ は単射だから $\psi$ は包含で、$B\subset R$ である。
段 2：$B$ は $C$ 上整である。 $b\in B$ が $C$ 上整でないとする。$b\ne0$ であり、$D=C[b^{-1}]\subset L$ とおく。$b^{-1}$ は $D$ の単元でない。実際、$1=b^{-1}(c_0+c_1b^{-1}+\cdots+c_nb^{-n})$（$c_j\in C$）と書けたとすると、$b^{n+1}$ を掛けて $b^{n+1}-c_0b^n-c_1b^{n-1}-\cdots-c_n=0$ となり、$b$ が $C$ 上整になってしまう。そこで $b^{-1}$ を含む $D$ の極大イデアル $\mathfrak{p}$ をとり、局所環 $D_{\mathfrak{p}}\subset L$ を支配する $L$ の付値環 $R$ をとる（付値環 の定理「支配付値環の存在」）。$C\subset D\subset R$ であり、$b^{-1}\in\mathfrak{p}D_{\mathfrak{p}}\subset\mathfrak{m}_R$ である。段 1 により $b\in R$ なので $1=b\cdot b^{-1}\in\mathfrak{m}_R$ となり矛盾する。
段 3：有限性。 $B$ の元は $C$ 上のモニック多項式の根であり、係数を $A$ へ持ち上げれば $A$ 上整である。$B$ は $k$ 代数として有限生成で、$k\to B$ は $\varphi$ を経由するから、$A$ 代数としても有限生成である。有限射 の命題「有限加群と整な有限型代数」により、$B$ は有限生成 $A$ 加群であり、$f$ は有限射である。$\square$

thm-complete-variety-affine-finite を $Y=\operatorname{Spec}k$ に当てると、$B$ は有限次元 $k$ 線形空間である。$0\ne b\in B$ に対し $b$ 倍写像 $B\to B$ は単射な線形写像なので全射であり、$b$ は可逆である。よって $B$ は $k$ の有限次拡大体で、$\operatorname{Spec}B$ は 1 点である。$k$ が代数閉体なら $B=k$ である。$\square$

1 は 付値の中心 の系「固有な整スキームの大域関数」（固有射 の系「完備整スキームの大域切断」も同じ主張）である。2：スキーム の命題「アフィンスキームへの射と大域切断」により、$k$ 上の射 $X\to Y$ は $k$ 代数の準同型 $A\to\Gamma(X,\mathcal{O}_X)=k$ と 1 対 1 に対応し、$k$ 上の射 $\operatorname{Spec}k\to Y$ も同じ準同型と 1 対 1 に対応する。この対応は $X\to\operatorname{Spec}k$ との合成と両立するので、$f$ は $f$ に対応する $k$ 有理点 $\operatorname{Spec}k\to Y$ と構造射の合成に等しい。$\square$

$f(X)$ は thm-complete-variety-basic の 4 により閉で、稠密なので $Y$ に等しい。$f$ は $X$ の生成点を $Y$ の生成点に送るので、関数体の埋め込み $K(Y)\subset K(X)$ が定まり、各 $x\in X$ について $f$ が誘導する局所準同型 $\mathcal{O}_{Y,f(x)}\to\mathcal{O}_{X,x}$ は、両辺を関数体の部分環とみるとこの埋め込みの制限である（生成点への局所化と両立するため）。
$Y$ が完備であることを thm-complete-variety-basic の 5 で示す。$R$ を $K(Y)/k$ の付値環とし、$R$ を支配する $K(X)$ の付値環 $\tilde R$ をとる（付値環 の定理「支配付値環の存在」）。$\tilde R\cap K(Y)=R$ である。実際、$b\in(\tilde R\cap K(Y))\setminus R$ があれば $b^{-1}\in\mathfrak{m}_R\subset\mathfrak{m}_{\tilde R}$ となり、$1=bb^{-1}\in\mathfrak{m}_{\tilde R}$ で矛盾する。$k\subset R\subset\tilde R$ なので $\tilde R$ は $K(X)/k$ の付値環で、$X$ が完備だから中心 $x$ をもつ。すると $\mathcal{O}_{Y,f(x)}\subset\mathcal{O}_{X,x}\cap K(Y)\subset\tilde R\cap K(Y)=R$ であり、$\mathfrak{m}_{f(x)}\subset\mathfrak{m}_x\cap K(Y)\subset\mathfrak{m}_{\tilde R}\cap R=\mathfrak{m}_R$ だから、$R$ は $\mathcal{O}_{Y,f(x)}$ を支配し、$f(x)$ は $R$ の中心である。$Y$ は分離的なので中心はただ 1 つで（付値の中心 の定理「中心による分離性と固有性の判定」の 1）、5 により $Y$ は完備である。$\square$