積分の平均値の定理

$f(x)=x^2$ を $0\le x\le3$ で考える。
$$ \int_0^3x^2\,dx=\Bigl[\frac{x^3}3\Bigr]_0^3=\frac{27}3=9 $$
なので、区間の長さ $3$ で割った平均は $\dfrac93=3$ である。$f(c)=3$ となる $c$ を $0\le c\le3$ で探すと、$c^2=3$ から $c=\sqrt3=1.732\ldots$ である。平均の値 $3$ を、関数は $x=\sqrt3$ で実際にとっている。区間の中点は $1.5$ だが、$c$ は中点ではない。

$f(x)=\sin x$ を $0\le x\le\pi$ で考える。
$$ \int_0^\pi\sin x\,dx=\Bigl[-\cos x\Bigr]_0^\pi=-\cos\pi+\cos0=1+1=2 $$
なので、平均は $\dfrac2\pi=0.6366\ldots$ である。$\sin c=\dfrac2\pi$ となる $c$ は、$0\le c\le\pi$ の中に
$$ c_1=0.6901\ldots,\qquad c_2=\pi-c_1=2.4514\ldots $$
の 2 つある（$\sin(\pi-c)=\sin c$ から）。図 1 のように、高さ $\dfrac2\pi$、横幅 $\pi$ の長方形の面積は $\dfrac2\pi\cdot\pi=2$ で、曲線の下の面積と等しい。長方形の上の辺は、曲線と $c_1$、$c_2$ の 2 点で交わる。

$f(x)=x^2$（$0\le x\le3$）を、区間を $n$ 等分した右端の点 $x_k=\dfrac{3k}n$（$k=1,2,\ldots,n$）で測り、測った値の平均をとる。$n=10$ なら
$$ \frac1{10}\sum_{k=1}^{10}\Bigl(\frac{3k}{10}\Bigr)^2=\frac{9}{1000}\sum_{k=1}^{10}k^2=\frac9{1000}\cdot385=3.465 $$
である（$\sum_{k=1}^{10}k^2=\frac{10\cdot11\cdot21}6=385$）。同じく $n=100$ で $3.04515$、$n=1000$ で $3.0045015$ となり、ex-mvi-start-square の平均 $3$ に近づく（図 2）。

1. $f(x)=2x+1$ の $[0,2]$ での平均は $\dfrac12\displaystyle\int_0^2(2x+1)\,dx=\dfrac12\Bigl[x^2+x\Bigr]_0^2=\dfrac12\cdot6=3$ である。1 次関数では、平均は両端の値 $f(0)=1$、$f(2)=5$ の平均 $3$ に等しく、中点 $x=1$ での値 $f(1)=3$ にも等しい。
2. $f(x)=\dfrac1x$ の $[1,e]$ での平均は $\dfrac1{e-1}\displaystyle\int_1^e\frac{dx}x=\dfrac1{e-1}\Bigl[\log x\Bigr]_1^e=\dfrac1{e-1}=0.5819\ldots$ である。両端の値 $1$ と $\frac1e$ の平均 $\frac12\bigl(1+\frac1e\bigr)=0.6839\ldots$ とは違う。

1. $f(x)=x^3$ の $[0,2]$ での平均は $\dfrac12\displaystyle\int_0^2x^3\,dx=\dfrac12\cdot\dfrac{16}4=2$ で、$c^3=2$ から $c=\sqrt[3]2=1.2599\ldots$ である。
2. $f(x)=e^x$ の $[0,1]$ での平均は $\displaystyle\int_0^1e^x\,dx=e-1=1.7182\ldots$ で、$e^c=e-1$ から $c=\log(e-1)=0.5413\ldots$ である。
3. ex-mvi-average の 2 の $f(x)=\dfrac1x$（$[1,e]$）では、$\dfrac1c=\dfrac1{e-1}$ から $c=e-1=1.7182\ldots$ で、$1\le c\le e$ を満たす。

$f(x)=e^x$、$g(x)=x$ を $[0,1]$ で考える。$g\ge0$ である。部分積分で
$$ \int_0^1xe^x\,dx=\Bigl[xe^x\Bigr]_0^1-\int_0^1e^x\,dx=e-(e-1)=1,\qquad\int_0^1x\,dx=\frac12 $$
なので、$1=e^c\cdot\dfrac12$ から $e^c=2$、$c=\log2=0.6931\ldots$ である。重みのない平均の点 $\log(e-1)=0.5413\ldots$（ex-mvi-find-c の 2）より右にある。重み $x$ が右側の値を重く数えるからである。

$n$ を正の整数とし、$I_n=\displaystyle\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\,dx$ を考える。thm-mvi-weighted を $f(x)=\dfrac1{1+x}$、$g(x)=x^n\ge0$ として使うと
$$ I_n=\frac1{1+c}\int_0^1x^n\,dx=\frac1{1+c}\cdot\frac1{n+1} $$
となる $c$ が $0\le c\le1$ にある。$1\le1+c\le2$ なので $\dfrac12\le\dfrac1{1+c}\le1$ で、
$$ \frac1{2(n+1)}\le I_n\le\frac1{n+1} $$
である。$n=1$ では $I_1=\displaystyle\int_0^1\Bigl(1-\frac1{1+x}\Bigr)dx=1-\log2=0.3068\ldots$ で、確かに $0.25\le I_1\le0.5$ である。$n=10$ では数値積分で $I_{10}=0.04751\ldots$ で、$\dfrac1{22}=0.04545\ldots$ と $\dfrac1{11}=0.09090\ldots$ の間にある。$n\to\infty$ で両側が $0$ に近づくので、はさみうちの原理により $I_n\to0$ である（はさみうちと評価の技法）。積分の評価の他の方法は 積分の評価 で扱う。

$f$ を区間 $I$ で連続な関数、$x$ を $I$ の点とする。$h>0$ で $[x,x+h]$ が $I$ に含まれるとき、thm-mvi-main を $[x,x+h]$ で使うと
$$ \frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt=f(c_h) $$
となる $c_h$ が $x\le c_h\le x+h$ にある。$h\to+0$ のとき、はさみうちの原理で $c_h\to x$ で、$f$ は $x$ で連続なので $f(c_h)\to f(x)$ である。したがって
$$ \lim_{h\to+0}\frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt=f(x) $$
である（$h<0$ の側も、区間 $[x+h,x]$ で同じ議論をすればよい）。左辺は $F(x)=\displaystyle\int_a^xf(t)\,dt$ の差分商 $\dfrac{F(x+h)-F(x)}h$ なので、これは $F'(x)=f(x)$ を示している。この「積分の上端についての微分」の定理と、その使い方は 定積分で表された関数 で扱う。
数値で確かめる。$f(t)=e^{t^2}$、$x=0$ とすると、$f(0)=1$ で、数値積分により
$$ \frac1{0.1}\int_0^{0.1}e^{t^2}\,dt=1.00334\ldots,\qquad\frac1{0.01}\int_0^{0.01}e^{t^2}\,dt=1.0000333\ldots $$
となり、$h$ を小さくすると $1$ に近づく。

$[0,2]$ で、$0\le x<1$ なら $f(x)=0$、$1\le x\le2$ なら $f(x)=1$ とする。$f$ は $x=1$ で連続でない（左からの極限 $0$ が $f(1)=1$ と違う）。区間を $x=1$ で分けると、$[0,1]$ では $x=1$ の 1 点を除いて $f=0$、$[1,2]$ では $f=1$ である。1 点で値を変えても積分は変わらないので（この記事では証明しない。Leb26 Proposition 5.2.10）、
$$ \int_0^2f(x)\,dx=\int_0^10\,dx+\int_1^21\,dx=0+1=1 $$
で、平均は $\dfrac12$ である。しかし $f$ の値は $0$ と $1$ だけなので、$f(c)=\dfrac12$ となる $c$ はない（図 3）。破れている仮定は $f$ の連続性で、prf-mvi-main の段 4 で使う中間値の定理が使えない（関数の連続性と中間値の定理（高校数学） の反例と同じ現象である）。

$[-1,1]$ で $f(x)=x$、$g(x)=x$ とする。$g$ は $x<0$ で負になる。
$$ \int_{-1}^1f(x)g(x)\,dx=\int_{-1}^1x^2\,dx=\frac23,\qquad\int_{-1}^1g(x)\,dx=\int_{-1}^1x\,dx=0 $$
なので、どの $c$ でも右辺は $f(c)\cdot0=0$ で、左辺の $\frac23$ と等しくならない。prf-mvi-weighted の段 1 で「$g(x)\ge0$ を掛けても不等号の向きは変わらない」が使えず、段 2 の「$G=0$ なら左辺も $0$」が崩れている。

$[-1,1]$ で $f(x)=x$、$g(x)=x-\dfrac14$ とする。
$$ \int_{-1}^1x\Bigl(x-\frac14\Bigr)dx=\frac23-0=\frac23,\qquad\int_{-1}^1\Bigl(x-\frac14\Bigr)dx=0-\frac12=-\frac12 $$
なので、等式は $\dfrac23=f(c)\cdot\Bigl(-\dfrac12\Bigr)$、すなわち $f(c)=-\dfrac43$ を要求する。しかし $[-1,1]$ で $f(x)=x$ の値は $-1$ 以上なので、そのような $c$ はない。重みが負になる部分があると、「重み付きの平均」は $f$ の最小値と最大値の間に入るとは限らない。