三角形の垂心

方針：内積の分配法則で展開し、$\vec x$ を含む項と含まない項に分ける。
段 1（$\vec x$ を含む項）。分配法則により、$\vec x$ を含む項は
$$ \vec x\cdot(\vec b-\vec c)+\vec x\cdot(\vec c-\vec a)+\vec x\cdot(\vec a-\vec b)=\vec x\cdot\bigl((\vec b-\vec c)+(\vec c-\vec a)+(\vec a-\vec b)\bigr)=\vec x\cdot\vec0=0 $$
である。
段 2（$\vec x$ を含まない項）。残りは
$$ -\vec a\cdot(\vec b-\vec c)-\vec b\cdot(\vec c-\vec a)-\vec c\cdot(\vec a-\vec b) =-\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c-\vec b\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec a-\vec c\cdot\vec a+\vec c\cdot\vec b $$
である。内積は交換できる（$\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$ など）ので、$-\vec a\cdot\vec b$ と $\vec b\cdot\vec a$、$\vec a\cdot\vec c$ と $-\vec c\cdot\vec a$、$-\vec b\cdot\vec c$ と $\vec c\cdot\vec b$ がそれぞれ打ち消し合い、$0$ になる。
段 1 と段 2 を合わせて、左辺は $0$ である。$\square$

方針：$XP^2-XQ^2$ を、中点 $M$ と $\overrightarrow{PQ}$ の内積で表す。
段 1（垂直二等分線の式）。$PQ$ の中点を $M$ とすると $\vec m=\frac{\vec p+\vec q}2$ である。垂直二等分線は $M$ を通り $PQ$ に垂直な直線なので、def-orh-altitude の後で述べたのと同じ理由で、その式は $(\vec x-\vec m)\cdot(\vec q-\vec p)=0$ である。
段 2（距離の 2 乗の差）。$|\vec u|^2-|\vec v|^2=(\vec u-\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)$ を $\vec u=\vec x-\vec p$、$\vec v=\vec x-\vec q$ で使うと、$\vec u-\vec v=\vec q-\vec p$、$\vec u+\vec v=2\vec x-\vec p-\vec q=2(\vec x-\vec m)$ なので
$$ XP^2-XQ^2=2(\vec x-\vec m)\cdot(\vec q-\vec p) $$
となる。
段 3（結論）。距離は $0$ 以上なので、$XP=XQ$ と $XP^2=XQ^2$ は同値である。段 2 から、これは $(\vec x-\vec m)\cdot(\vec q-\vec p)=0$、つまり段 1 の式と同値である。$\square$

方針：2 本の垂直二等分線の交点が 3 点から等距離であることを示し、lem-orh-bisector で 3 本目に乗せる。
段 1（2 本は交わる）。辺 $PQ$ と辺 $QR$ の垂直二等分線は、それぞれ $\overrightarrow{PQ}$、$\overrightarrow{QR}$ に垂直である。もし 2 本が平行なら、$\overrightarrow{PQ}$ と $\overrightarrow{QR}$ も平行になり、$P,Q,R$ は一直線上にある。これは三角形であることに反する。よって 2 本は 1 点で交わる。その点を $O$ とする。
段 2（3 点から等距離）。$O$ は $PQ$ の垂直二等分線上にあるので、lem-orh-bisector から $OP=OQ$ である。同じく $QR$ の垂直二等分線上にあるので $OQ=OR$ である。よって $OP=OR$ である。
段 3（3 本目）。$OP=OR$ なので、lem-orh-bisector から $O$ は $RP$ の垂直二等分線上にある。$\square$

方針：2 本の垂線の交点 $H$ をとり、lem-orh-identity で 3 本目の方程式も満たすことを示す。
段 1（2 本の垂線は交わる）。$A$ からの垂線は $\vec b-\vec c$ に垂直な直線、$B$ からの垂線は $\vec c-\vec a$ に垂直な直線である。2 本が平行なら、$\vec b-\vec c$ と $\vec c-\vec a$ も平行で、$A,B,C$ は一直線上にある。これは三角形であることに反するので、2 本は 1 点で交わる。その点を $H$ とする。
段 2（2 つの式が $0$）。$H$ は $A$ からの垂線上にあるので $(\vec h-\vec a)\cdot(\vec b-\vec c)=0$、$B$ からの垂線上にあるので $(\vec h-\vec b)\cdot(\vec c-\vec a)=0$ である。
段 3（3 つ目の式）。lem-orh-identity を $\vec x=\vec h$ として使うと、3 つの項の和は $0$ である。段 2 から最初の 2 項は $0$ なので、$(\vec h-\vec c)\cdot(\vec a-\vec b)=0$ である。これは $H$ が $C$ からの垂線上にあることを表す（def-orh-altitude）。$\square$

方針：各頂点を通り対辺に平行な直線で大きな三角形 $A'B'C'$ を作り、$ABC$ の垂線が $A'B'C'$ の辺の垂直二等分線になることを示す。あとは prop-orh-circumcenter を使う。
段 1（大きな三角形の頂点）。
$$ \vec{a'}=\vec b+\vec c-\vec a,\qquad \vec{b'}=\vec c+\vec a-\vec b,\qquad \vec{c'}=\vec a+\vec b-\vec c $$
とおく。$\vec{b'}-\vec a=\vec c-\vec b$ なので、$B'$ は $A$ を通り $BC$ に平行な直線の上にある。$\vec{b'}-\vec c=\vec a-\vec b$ なので、$B'$ は $C$ を通り $AB$ に平行な直線の上にもある。$A'$、$C'$ についても同じように確かめられる。
段 2（$A$ は $B'C'$ の中点）。$\frac{\vec{b'}+\vec{c'}}2=\frac{(\vec c+\vec a-\vec b)+(\vec a+\vec b-\vec c)}2=\vec a$ である。また $\vec{c'}-\vec{b'}=2(\vec b-\vec c)$ なので、辺 $B'C'$ は $BC$ に平行である。
段 3（垂線は垂直二等分線）。$A$ からの垂線は、$A$ を通り $BC$ に垂直な直線である。段 2 から、これは辺 $B'C'$ の中点 $A$ を通り $B'C'$ に垂直な直線、つまり $B'C'$ の垂直二等分線である。同じく、$B$ からの垂線は $C'A'$ の、$C$ からの垂線は $A'B'$ の垂直二等分線である。
段 4（結論）。$\vec{b'}-\vec{a'}=2(\vec a-\vec b)$、$\vec{c'}-\vec{a'}=2(\vec a-\vec c)$ は平行でないので、$A',B',C'$ は一直線上にない。prop-orh-circumcenter により、三角形 $A'B'C'$ の 3 辺の垂直二等分線は 1 点で交わる。段 3 から、これは $ABC$ の 3 本の垂線が 1 点で交わることである。$\square$

方針：$\vec h=\vec a+\vec b+\vec c$ とおき、$H$ が $A$ からの垂線と $B$ からの垂線の上にあることを示す。そうすれば $H$ は 2 本の垂線の交点で、thm-orh-concurrent の垂心である。
段 1（外心が原点であること）。$O$ は外心なので、prop-orh-circumcenter により $OA=OB=OC$ である。その共通の値を $R$ とすると $|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=R$ である。
段 2（$A$ からの垂線）。$\vec h-\vec a=\vec b+\vec c$ なので
$$ (\vec h-\vec a)\cdot(\vec b-\vec c)=(\vec b+\vec c)\cdot(\vec b-\vec c)=|\vec b|^2-|\vec c|^2=R^2-R^2=0 $$
である。2 つ目の等号は、展開して $\vec b\cdot\vec c$ と $-\vec c\cdot\vec b$ が打ち消し合うことを使った。よって $H$ は $A$ からの垂線上にある（def-orh-altitude）。
段 3（$B$ からの垂線）。同じく $\vec h-\vec b=\vec c+\vec a$ なので、$(\vec h-\vec b)\cdot(\vec c-\vec a)=|\vec c|^2-|\vec a|^2=0$ である。
段 4（結論）。$H$ は 2 本の垂線の交点である。thm-orh-concurrent の証明の段 1 で見たとおり 2 本の交点はただ 1 つで、それが垂心である。$\square$

方針：$ABC$ の垂心の条件 3 つは、どれも「2 点を結ぶ直線が別の 2 点を結ぶ直線に垂直」という形をしている。これを三角形 $HBC$ の垂線の条件として読みかえる。
段 1（使う 3 つの式）。$H$ は $ABC$ の垂心なので
$$ (\vec h-\vec a)\cdot(\vec b-\vec c)=0,\qquad(\vec h-\vec b)\cdot(\vec c-\vec a)=0,\qquad(\vec h-\vec c)\cdot(\vec a-\vec b)=0 $$
である。
段 2（$H,B,C$ は一直線上にない）。一直線上にあるとすると、$H\ne B$ なので $\vec h-\vec b$ は $\vec c-\vec b$ の実数倍で、$\vec h-\vec b=t(\vec c-\vec b)$ と書ける。$H\ne B$ から $t\ne0$ である。段 1 の 2 つ目の式から $t(\vec c-\vec b)\cdot(\vec c-\vec a)=0$、つまり $(\vec c-\vec b)\cdot(\vec c-\vec a)=0$ で、$\angle C=90^\circ$ である。このとき $CA\perp CB$ なので、$A$ から $BC$ への垂線は直線 $CA$、$B$ から $CA$ への垂線は直線 $CB$ であり、2 本の交点は $C$ である。ex-orh-right と同じく垂心は $C$ になり、$H\ne C$ に反する。
段 3（$A$ は三角形 $HBC$ の 3 本の垂線の上にある）。三角形 $HBC$ で、

• $H$ から $BC$ への垂線は $(\vec x-\vec h)\cdot(\vec b-\vec c)=0$ である。$\vec x=\vec a$ を入れると $-(\vec h-\vec a)\cdot(\vec b-\vec c)=0$ で、段 1 の 1 つ目の式により成り立つ。
• $B$ から $CH$ への垂線は $(\vec x-\vec b)\cdot(\vec c-\vec h)=0$ である。$\vec x=\vec a$ を入れると $(\vec a-\vec b)\cdot(\vec c-\vec h)=-(\vec h-\vec c)\cdot(\vec a-\vec b)=0$ で、段 1 の 3 つ目の式により成り立つ。
• $C$ から $HB$ への垂線は $(\vec x-\vec c)\cdot(\vec h-\vec b)=0$ である。$\vec x=\vec a$ を入れると $(\vec a-\vec c)\cdot(\vec h-\vec b)=-(\vec h-\vec b)\cdot(\vec c-\vec a)=0$ で、段 1 の 2 つ目の式により成り立つ。
  よって $A$ は三角形 $HBC$ の垂心である。残りの 2 つも、文字を入れかえれば同じである。$\square$

方針：両辺の第 1 成分が等しいことを成分の計算で示す。第 2・第 3 成分は、番号を $1\to2\to3\to1$ と回せば同じ計算になる。
段 1（$\vec b\times\vec c$）。$\vec m:=\vec b\times\vec c$ とおくと、定義から
$$ m_1=b_2c_3-b_3c_2,\qquad m_2=b_3c_1-b_1c_3,\qquad m_3=b_1c_2-b_2c_1 $$
である。
段 2（左辺の第 1 成分）。定義から $\vec a\times\vec m$ の第 1 成分は $a_2m_3-a_3m_2$ なので
$$ a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3)=b_1(a_2c_2+a_3c_3)-c_1(a_2b_2+a_3b_3) $$
である。右辺は、左辺を展開して $b_1$ を含む項と $c_1$ を含む項に分けたものである。
段 3（$a_1b_1c_1$ を足して引く）。段 2 の式に $b_1\cdot a_1c_1-c_1\cdot a_1b_1\ (=0)$ を加えると
$$ b_1(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)-c_1(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)=(\vec a\cdot\vec c)\,b_1-(\vec a\cdot\vec b)\,c_1 $$
となる。これは右辺の第 1 成分である。
段 4（残りの成分）。def-orh-cross の式で番号を $1\to2$、$2\to3$、$3\to1$ と書きかえると、第 1 成分の式 $a_2b_3-a_3b_2$ は第 2 成分の式 $a_3b_1-a_1b_3$ に、第 2 成分の式は第 3 成分の式に、第 3 成分の式は第 1 成分の式に移る。内積 $a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3$ などは書きかえても変わらない。よって段 1〜3 の計算で番号を書きかえたものが、第 2 成分（さらにもう一度書きかえれば第 3 成分）の等式の証明になる。$\square$

方針：lem-orh-bac で 3 つの項を内積の式に直し、打ち消し合いを見る。
段 1。lem-orh-bac をそのまま、また文字を $(\vec a,\vec b,\vec c)\to(\vec b,\vec c,\vec a)\to(\vec c,\vec a,\vec b)$ と回して使うと
$$ \begin{aligned} \vec a\times(\vec b\times\vec c)&=(\vec a\cdot\vec c)\,\vec b-(\vec a\cdot\vec b)\,\vec c,\\ \vec b\times(\vec c\times\vec a)&=(\vec b\cdot\vec a)\,\vec c-(\vec b\cdot\vec c)\,\vec a,\\ \vec c\times(\vec a\times\vec b)&=(\vec c\cdot\vec b)\,\vec a-(\vec c\cdot\vec a)\,\vec b \end{aligned} $$
である。
段 2。3 式を足す。内積は交換できるので、$\vec b$ の係数は $(\vec a\cdot\vec c)-(\vec c\cdot\vec a)=0$、$\vec c$ の係数は $-(\vec a\cdot\vec b)+(\vec b\cdot\vec a)=0$、$\vec a$ の係数は $-(\vec b\cdot\vec c)+(\vec c\cdot\vec b)=0$ である。よって和は $\vec0$ である。$\square$

方針：垂線の法線 $\vec n$ が満たすべき 2 つの条件を書き、それを満たすベクトルが $\vec a\times(\vec b\times\vec c)$ の実数倍に限ることを示す。
段 1（条件）。$\vec m:=\vec b\times\vec c$ とおく。法線 $\vec n$ の大円が $A$ からの垂線であるための条件は、$A$ を通ること（$\vec n\cdot\vec a=0$）と、$B,C$ を通る大円に垂直であること（$\vec n\cdot\vec m=0$）である。
段 2（存在）。$\vec n_A:=\vec a\times\vec m$ とおく。仮定から $\vec a$ と $\vec m$ は平行でないので $\vec n_A\ne\vec0$ であり、外積の性質から $\vec n_A$ は $\vec a$ とも $\vec m$ とも垂直である。よって法線 $\vec n_A$ の大円は段 1 の 2 条件を満たす。
段 3（ただ 1 つ）。段 1 の 2 条件を満たす $\vec n\ne\vec0$ は、平行でない $\vec a$ と $\vec m$ の両方に垂直なので、外積の性質から $\vec n_A$ の実数倍である。したがって大円は法線 $\vec n_A$ のものと同じである。$\square$

方針：lem-orh-sphere-normal で 3 本の垂線の法線を書くと、thm-orh-jacobi によりその和は $\vec0$ である。あとは平面の場合の lem-orh-identity と同じく「2 つが $0$ なら 3 つ目も $0$」を使う。
段 1（法線）。lem-orh-sphere-normal により、3 本の垂線は法線
$$ \vec n_A=\vec a\times(\vec b\times\vec c),\qquad \vec n_B=\vec b\times(\vec c\times\vec a),\qquad \vec n_C=\vec c\times(\vec a\times\vec b) $$
の大円で、どれも $\vec0$ でない。thm-orh-jacobi により $\vec n_A+\vec n_B+\vec n_C=\vec0$ である。
段 2（$\vec n_A,\vec n_B$ は平行でない）。平行だとして矛盾を導く。$\vec n_A=(\vec a\cdot\vec c)\vec b-(\vec a\cdot\vec b)\vec c$（lem-orh-bac）は $\vec b,\vec c$ の実数倍の和で書け、同じく $\vec n_B=(\vec b\cdot\vec a)\vec c-(\vec b\cdot\vec c)\vec a$ は $\vec c,\vec a$ の実数倍の和で書ける。$\vec n_B=k\vec n_A$（$k$ は実数）とすると
$$ (\vec b\cdot\vec a)\vec c-(\vec b\cdot\vec c)\vec a=k(\vec a\cdot\vec c)\vec b-k(\vec a\cdot\vec b)\vec c $$
である。ここで $\vec a,\vec b,\vec c$ は 1 次独立（$\alpha\vec a+\beta\vec b+\gamma\vec c=\vec0$ なら $\alpha=\beta=\gamma=0$）である。実際、$\vec b\times\vec c$ との内積をとると、$\vec b\times\vec c$ は $\vec b,\vec c$ と垂直なので $\alpha\,\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)=0$ で、$\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)\ne0$ から $\alpha=0$ である。すると $\beta\vec b+\gamma\vec c=\vec0$ で、$\vec b\times\vec c\ne\vec0$ より $\vec b,\vec c$ は平行でないので $\beta=\gamma=0$ である。したがって、上の式の両辺で $\vec a,\vec b,\vec c$ の係数はそれぞれ等しい。$\vec a$ の係数から $\vec b\cdot\vec c=0$、$\vec b$ の係数から $k(\vec a\cdot\vec c)=0$ である。$k=0$ なら $\vec n_B=\vec0$ となり段 1 に反するので $\vec a\cdot\vec c=0$ である。すると $\vec n_C=(\vec c\cdot\vec b)\vec a-(\vec c\cdot\vec a)\vec b=\vec0$ となり、やはり段 1 に反する。よって $\vec n_A,\vec n_B$ は平行でない。
段 3（共通の点）。$\vec d:=\vec n_A\times\vec n_B$ は $\vec0$ でなく、$\vec n_A$ とも $\vec n_B$ とも垂直である。さらに
$$ \vec n_C\cdot\vec d=-(\vec n_A+\vec n_B)\cdot\vec d=-\vec n_A\cdot\vec d-\vec n_B\cdot\vec d=0 $$
である。$\vec u:=\frac{\vec d}{|\vec d|}$ とおくと、$\vec u$ は $S$ の点で、3 つの法線のどれとも内積が $0$ なので、3 本の垂線すべての上にある。$-\vec u$ も同じである。
段 4（ちょうど 2 点）。$A$ からの垂線と $B$ からの垂線の両方の上にある $S$ の点 $\vec x$ は、平行でない $\vec n_A$ と $\vec n_B$ の両方に垂直なので、外積の性質から $\vec d$ の実数倍である。長さが $1$ なので $\vec x=\pm\vec u$ に限る。$\square$

方針：外心 $O$ を原点にとり、6 点それぞれの $O$ からの距離の 2 乗を計算して、どれも同じ値になることを示す。
段 1（準備）。外心 $O$ を原点とし、外接円の半径を $R$ とする。$|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=R$ で、thm-orh-sum により $\vec h=\vec a+\vec b+\vec c$ である。辺 $BC$ の中点を $M$ とすると $\vec m=\frac{\vec b+\vec c}2$ である。
段 2（$OM\perp BC$）。
$$ \vec m\cdot(\vec c-\vec b)=\frac{(\vec c+\vec b)\cdot(\vec c-\vec b)}2=\frac{|\vec c|^2-|\vec b|^2}2=0 $$
である。
段 3（$OA_1^2$ を 2 つの 2 乗の和に分ける）。$A_1$ は直線 $BC$ の上にあるので、$\vec a_1-\vec m$ は $\vec c-\vec b$ の実数倍であり、段 2 から $\vec m\cdot(\vec a_1-\vec m)=0$ である。また $A_1$ は $M$ を中心とし $H$ を通る円の上にあるので $|\vec a_1-\vec m|=|\vec h-\vec m|$ である。よって
$$ OA_1^2=|\vec m+(\vec a_1-\vec m)|^2=|\vec m|^2+2\,\vec m\cdot(\vec a_1-\vec m)+|\vec a_1-\vec m|^2=|\vec m|^2+|\vec h-\vec m|^2 $$
である。$A_2$ についても同じ式が成り立つ。
段 4（計算）。$|\vec m|^2=\frac{|\vec b|^2+2\vec b\cdot\vec c+|\vec c|^2}4=\frac{R^2+\vec b\cdot\vec c}2$ である。$\vec h-\vec m=\vec a+\vec m$ なので
$$ |\vec h-\vec m|^2=|\vec a|^2+2\,\vec a\cdot\vec m+|\vec m|^2=R^2+\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c+\frac{R^2+\vec b\cdot\vec c}2 $$
である。段 3 に代入すると
$$ OA_1^2=OA_2^2=2R^2+\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec c+\vec c\cdot\vec a $$
となる。
段 5（6 点）。段 4 の右辺は $\vec a,\vec b,\vec c$ をどう入れかえても変わらない。辺 $CA$、辺 $AB$ について段 1〜4 を文字を入れかえてくり返すと、$OB_1^2=OB_2^2=OC_1^2=OC_2^2$ も同じ値になる。この値は段 3 から $|\vec h-\vec m|^2$ 以上である。
段 6（値は正）。$H\ne M$、つまり $|\vec h-\vec m|>0$ を示す。$\vec h=\vec m$ とすると、$\vec b+\vec c=2\vec m$ なので $\vec a=\vec h-\vec b-\vec c=\vec m-2\vec m=-\vec m$ となり、$|\vec m|=|\vec a|=R$ でなければならない。一方、$B\ne C$ なので $|\vec b-\vec c|^2=2R^2-2\,\vec b\cdot\vec c>0$、つまり $\vec b\cdot\vec c< R^2$ であり、段 4 から $|\vec m|^2=\frac{R^2+\vec b\cdot\vec c}2< R^2$ である。これは $|\vec m|=R$ に反する。よって $|\vec h-\vec m|>0$ で、段 5 の値は正である。辺 $CA$、$AB$ の中点についても同じである。
以上から、6 点は $O$ を中心とする 1 つの円の上にある。$\square$