曲線束

$X=\mathbb{P}^1_S\to S$ は正則な曲線束である。$S$ が正則で $\mathbb{P}^1_S\to S$ が滑らかなので $X$ は正則であり、アフィン開集合 $\operatorname{Spec}A\subset S$ の上で $H^0(\mathbb{P}^1_A,\mathcal{O})=A$（Har77 III 定理 5.1、p. 225）なので $\pi_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_S$ である。閉ファイバーは既約な $\mathbb{P}^1_{k(s)}$ で重複度は $1$ なので、thm-fibration-in-curves-zariski の 3 により自己交叉数は $0$ である。

$n\ge2$ を平方因子をもたない整数とし、
$$ X=\operatorname{Proj}\mathbb{Z}[x,y,z]/(xy-nz^2)\longrightarrow S=\operatorname{Spec}\mathbb{Z} $$
とする。$X$ は正則な曲線束で、生成ファイバーは有理点 $(1:0:0)$ をもつ $\mathbb{Q}$ 上の非特異な円錐曲線である。

• $p\nmid n$ なら、$X_p$ は $\mathbb{F}_p$ 上の非特異な円錐曲線 $xy=\bar nz^2$ で、既約である。自己交叉数は $0$ である。
• $p\mid n$ なら、$X_p=V(xy)$ は 2 本の直線 $\Gamma_1=V(x)$、$\Gamma_2=V(y)$ の和で、重複度はどちらも $1$、2 本は 1 点 $P=(0:0:1)$ で交わる。$\Gamma_1\cdot\Gamma_2=1$、$\Gamma_1^2=\Gamma_2^2=-1$ で、交叉行列は
  $$ \begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix},\qquad q(a\Gamma_1+b\Gamma_2)=-(a-b)^2 $$
  である。$q$ は負半定値で、零点は $a=b$、すなわち $\mathbb{R}X_p$ である。
  この例は Liu06 Example 8.3.15（p. 353）にある。
  正則性と交叉数の確かめを開く

  曲線束であること。$f=xy-nz^2$ は $\mathbb{Z}[y,z]$ 上の $x$ の 1 次式で、係数 $y$ と $nz^2$ は互いに素なので既約、したがって素元であり、$A=\mathbb{Z}[x,y,z]/(f)$ は 3 次元の整域、$X=\operatorname{Proj}A$ は 2 次元の整スキームである。$A$ は $\mathbb{Z}$ 上捩れをもたないので $X\to S$ は平坦で、射影的である。生成ファイバー $xy=nz^2$ は $\overline{\mathbb{Q}}$ 上でも既約なので幾何的に整であり、rem-fibration-in-curves-conventions の 3 により $\pi_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_S$ である。

  正則性。$D_+(x)\cong\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[y,z]/(y-nz^2)\cong\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[z]$ と $D_+(y)$ は正則である。$D_+(z)=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x,y]/(xy-n)$ のうち $x$ が単元になる部分は $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x,x^{-1}]$ と同型で正則、$y$ についても同様である。残る点は素イデアル $\mathfrak{P}\ni x,y$ で、$n=xy\in\mathfrak{P}$ から $\mathfrak{P}\cap\mathbb{Z}=p\mathbb{Z}$（$p\mid n$）、よって $\mathfrak{P}=M:=(p,x,y)$ である。3 次元の正則局所環 $R=\mathbb{Z}[x,y]_M$ で $n=pm$（$m$ は $p$ と素なので $R$ の単元）であり、$p\notin M^2$ なので $n\notin M^2$、$xy\in M^2$ から $f=xy-n\notin M^2$ となり、$R/(f)$ は正則である。

  ファイバー。$X_p=\operatorname{Proj}\mathbb{F}_p[x,y,z]/(xy-\bar nz^2)$。$p\nmid n$ なら、偏微分 $(y,x,-2\bar nz)$ と方程式が同時に消える点はない（$x=y=0$ なら $\bar nz^2=0$ から $z=0$）ので非特異である。$p\mid n$ なら $X_p=\operatorname{Proj}\mathbb{F}_p[x,y,z]/(xy)$ は被約なので重複度は $1$ である。

  交叉数。$\mathcal{O}_{X,P}=R/(f)$ で $p=xy/m\in(x)$ なので、$\Gamma_1=V(p,x)$ のイデアルは $P$ で $x$ が生成し、同様に $\Gamma_2$ のイデアルは $y$ が生成する。$i_P(\Gamma_1,\Gamma_2)=\operatorname{length}\mathcal{O}_{X,P}/(x,y)=\operatorname{length}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_{(p)}=\operatorname{length}\mathbb{F}_p=1$、$k(P)=\mathbb{F}_p$ なので $\Gamma_1\cdot\Gamma_2=1$。lem-fibration-in-curves-fiber の 3 から $\Gamma_1^2=-\Gamma_2\cdot\Gamma_1=-1$、$\Gamma_2^2=-1$。

1 行目。 $X$ は正則な 2 次元整スキームで、$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[i]\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ が有限平坦なので $X\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ は射影的かつ平坦であり、数論的曲面である。しかし $\pi_*\mathcal{O}_X=\mathbb{Z}[i]$ で、$\mathcal{O}_S$ と一致しない（ex-fibration-in-curves-p1 と同じ計算）。$-1\equiv4=2^2\pmod5$ なので $\mathbb{Z}[i]/(5)\cong\mathbb{F}_5\times\mathbb{F}_5$ であり、$X_5=\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_5}\sqcup\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_5}$ は交わらない 2 成分 $\Gamma_1,\Gamma_2$（重複度 $1$）からなる。lem-fibration-in-curves-fiber の 2 と 3 から $\Gamma_1\cdot\Gamma_2=0$、$\Gamma_1^2=\Gamma_2^2=0$ で、$q$ は恒等的に $0$ である。$q$ の零点は $V_5=\mathbb{R}^2$ 全体で、$\mathbb{R}X_5$ より大きい。負半定値性（1）は成り立っている。
2 行目。 $\mathrm{pr}_1$ は正則な曲線束である。射影曲面 $X$ 上の交叉理論（交叉理論、Har77 V 定理 1.1、p. 357）で、$H$ は交わらない $H'=\mathbb{P}^1_k\times\{0\}$ と線形同値なので $H^2=H\cdot H'=0$、同様に $F^2=0$、$H$ と $F$ は 1 つの $k$ 有理点で横断的に交わるので $H\cdot F=1$ である。よって $D^2=H^2+2H\cdot F+F^2=2>0$ となる。$D$ は水平な成分 $H$ を含み、$\operatorname{Div}_s(X)$ に入らない。