位相的グラフ理論

$\omega:=\frac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}$ とし、三角格子 $\Lambda:=\{a+b\omega\mid a,b\in\mathbb{Z}\}\subset\mathbb{C}$ を考える。$U:=\{\pm1,\pm\omega,\pm(1+\omega)\}$ は長さ $1$ の 6 つのベクトルで、$x\in\Lambda$ と $x+u$（$u\in U$）を線分で結ぶと、平面は 1 辺の長さ $1$ の正三角形 $\{x,x+1,x+1+\omega\}$、$\{x,x+\omega,x+1+\omega\}$（$x\in\Lambda$）で敷き詰められる。
$\alpha:=3+\omega$ とし、$L:=\alpha\Lambda$ とおく。$\omega^2=-1-\omega$ なので $L$ は $\alpha=3+\omega$ と $\alpha\omega=-1+2\omega$ で生成される格子で、$\Lambda$ の部分群である。基底 $1,\omega$ に関する係数の行列式は $3\cdot2-(-1)\cdot1=7$ なので、$\Lambda/L$ は 7 個の元からなる。トーラス $T:=\mathbb{C}/L$ は $\alpha,\alpha\omega$ を標準基底に写す実線形写像で $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2=S^1\times S^1$ と同相であり、$T_1$ である。敷き詰めは $L$ の平行移動で保たれるので、$T$ は頂点 $7$ 個、辺 $7\cdot6/2=21$ 本、三角形 $2\cdot7=14$ 枚に分かれる。
この 7 頂点の上のグラフは $K_7$ である。$0$ と $U$ の 6 元は $L$ を法として互いに異なる。実際、$\lambda=a+b\omega\neq0$ なら $\lvert\lambda\rvert^2=a^2-ab+b^2$ は正の整数なので、$L$ の $0$ でない元 $\alpha\lambda$ は $\lvert\alpha\lambda\rvert^2=7\lvert\lambda\rvert^2\ge7$ を満たすが、$\{0\}\cup U$ の 2 元の差の絶対値は $2$ 以下だからである。よって 7 頂点は $0$ と $U$ の類で尽くされ、頂点 $x$ は $x+u$（$u\in U$）、すなわちほかの 6 頂点すべてと 1 本ずつの辺で結ばれる。各辺はちょうど 2 枚の三角形の境界にある。
14 枚の三角形を $K_7$ に境界で貼り付けた空間 $X$ が $T$ と同相であることを確かめる。各三角形を平面の正三角形として射影 $\mathbb{C}\to T$ で写すと、貼り付けと両立するので連続写像 $h\colon X\to T$ が定まる。閉正三角形の 2 点の差の絶対値は $1$ 以下で、$L$ の $0$ でない元の絶対値 $\sqrt7$ より小さいので、各閉三角形と各辺は $T$ へ単射に写る。平面の敷き詰めでは、相異なる閉三角形は共有する辺か頂点でしか交わらない。$L$ の平行移動で移り合わない 2 つの三角形の内部の像が $T$ で交わったとすると、一方を $L$ の元で平行移動したものの内部がもう一方の内部と交わり、2 つは同じ三角形の平行移動になってしまう。辺の内部や頂点についても同様である。よって $h$ は単射であり、敷き詰めが平面を覆うので全射でもある。$X$ はコンパクトで $T$ は Hausdorff なので、$h$ は同相写像である。こうして $K_7$ は $T_1$ に胞体埋め込みされ、$7-21+14=0=\chi(T_1)$、$m=21=3(7-0)$ で cor-topgt-edge-bound の等号が成り立つ。$K_7$ がトーラスに埋め込めることは BM76 Exercise 9.1.4（p. 139）にもある。

$K_4$ を正四面体の頂点と辺に描くと、面は 4 枚の三角形で、正四面体の表面は中心からの放射状の射影で球面と同相である。4 枚の三角形を $K_4$ に境界で貼り付けた空間 $X$ は、各三角形を正四面体の対応する面に写す写像で表面へ連続な全単射に写り、$X$ はコンパクト、表面は Hausdorff なので、$X$ は表面と、したがって球面と同相である。これは $K_4$ の $S^2$ への胞体埋め込みで、$4-6+4=2$、$m=6=3(4-2)$ で cor-topgt-edge-bound の等号が成り立つ。一方、$K_5$ は $S^2$ に埋め込めないが、トーラスには埋め込める（BM76 §9.1 の Figure 9.4 (a)、p. 137）。

トーラス $T=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ の、原点の像を中心とする半径 $\frac1{10}$ の閉円板 $D$ の中に、三角形 $K_3$ を、原点を内部に含む小さな正三角形として描く。面は 2 つある。三角形の内部と、残り $R:=T\setminus(\text{三角形とその内部})$ である。$R$ が連結なのは、$T\setminus D$ が弧状連結で、$D$ の中の三角形の外側の点は原点から外向きの線分で $D$ の外までつながるからである。よって
$$ n-m+f=3-3+2=2\neq0=\chi(T) $$
となり、Euler の公式は成り立たない。満たす性質は「$K_3$ の $T$ への埋め込みである」こと、満たさない性質は「胞体埋め込みである」ことで、破れるのは「埋め込みなら $n-m+f=\chi(S)$」という含意である。thm-topgt-euler は、面がすべて多角形の内部として与えられる胞体埋め込みについての定理であり、一般の埋め込みについては成り立たない。

$K_5$ では $m-3n+6=10-15+6=1$、$K_{3,3}$ では二部グラフの評価で $m-2n+4=9-12+4=1$ なので、どちらも交差数は $1$ 以上である。交差が 1 個の良い描画があるので、どちらも交差数はちょうど $1$ である。
$K_5$：頂点を $a=(0,0)$、$b=(4,0)$、$c=(2,4)$、$d=(2,1)$、$e=(2,-2)$ に置き、$ab,bc,ca,ad,bd,cd,ea,eb,ed$ を線分で、$ec$ を折れ線 $(2,-2)\to(-1,-1)\to(-1,5)\to(2,4)$ で描く。交差は線分 $ed$ と $ab$ の $(2,0)$ だけである。
$K_{3,3}$：正六角形の頂点に $a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3$ をこの順に置き、六角形の 6 辺と、対角線 $a_1b_2$、$a_3b_1$ を線分で描き、$a_2b_3$ を六角形の外側を回る弧で描く。交差は 2 本の対角線の中心での 1 個だけである。

1. $K_2$（頂点 $v,w$、辺 $e$）に、長さ $2$ の多角形 1 枚を境界歩道 $v\xrightarrow{e}w\xrightarrow{e}v$ で貼ると、lem-topgt-face-length の証明の詳細の $P/{\sim}$ になり、球面と同相である。これは胞体埋め込みで $2-1+1=2$ だが、$m=1>0=3(2-2)$ である。満たす性質は「単純グラフの胞体埋め込み」、満たさない性質は「$n\ge3$」で、lem-topgt-face-length の結論（面の長さ $3$ 以上）が破れている。
2. $a=(0,0)$、$b=(1,0)$、$c=(2,0)$ とし、$a,b$ を結ぶ辺を、$a,b$ を通り高さの異なる $k$ 本の円弧（$0\le x\le1$ の範囲にある）で描き、$b,c$ も同様に $1\le x\le2$ の範囲の $k$ 本の円弧で描く。$a,b$ を通る相異なる円の弧は $a,b$ 以外で交わらないので、交差のない描画である。$n=3$、$m=2k$ で $m-3n+6=2k-3$ は $k\ge2$ で正だが、交差は $0$ 個である。満たさない性質は「単純グラフ」で、平面グラフ の系「単純平面グラフの辺数の上界」が多重グラフでは成り立たないことが原因である（交差数の定義そのものは単純グラフについてのものなので、ここでは描画の交差の個数で比べている）。
3. $K_4$ は平面グラフなので $\operatorname{cr}(K_4)=0$ だが、$m=6$、$n=4$ で $m^3/(64n^2)=216/1024>0$ である。$m=6< 16=4n$ なので thm-topgt-crossing-lemma の仮定を満たさない。証明では $p=4n/m\le1$ が確率として意味をもつために $m\ge4n$ を使っている。